Oeuvres complètes. Publiées par la Société hollandaise des sciences

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ŒUVRES COMPLÈTES

DE

- CHRISTIAAN HUYGENS

PUBLIÉES PAR LA

SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES

TOME QUATORZIÈME

CALCUL DES PROBABILITES. TRAVAUX DE
MATHÉMATIQUES PURES

10655—1666

NL 2301 © à
6

LA HAYE
MARTINUS NIJHOFF

1920

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AO LUAURAT ANTRIHIAIONS &

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VAN GELUCK.

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De
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Avertillement.

Aperçu de la genèfe de l'ouvrage ,De ratiociniis in ludo
aleæ” et des recherches fubféquentes de Huygens fur des
queftions de probabilité.

On fait qu’en 1654 le Chevalier de Méré, joueur renommé et un peu mathé-
maticien , propofa à Pafcal quelques problèmes concernant les jeux de hafard *),
qu’il en réfultait un échange de lettres *) entre Pafcal et Fermat et que ce fut là
l'origine du calcul des probabilités. Or, l’année fuivante, le jeune Huygens 3),
déja connu par quelques ouvrages de mathématiques #), fe rendit à Paris en
compagnie de fon frère Louis et de fon coufin Doublet 5). Ce féjour , jugé alors
néceflaire pour compléter l’éducation de gentilshommes hollandais de leur con-
dition *), fe prolongea de la mi-juillet jufqu’à la fin de novembre. Huygens ne

1) Voir la p. 290 du T. II des , Œuvres de Fermat, publiées par les soins de M. M. Paul Tannery
et Charles Henry”, Paris, Gauthier— Villars, 1894.

:) On trouve ces lettres, pour autant qu’elles ont été conservées, aux p. 288—314 du T.II

_ de l’édition citée dans la note précédente.

3) En juillet 1655, lorsqu'il arriva à Paris, Huygens avait l’âge de 26 ans.

4) Les , Theoremata de quadratura hyperboles, etc.” (T. XI, p.289), l’,Exetasis Cyclome-
triæ” (T. XI, p. 315), l'ouvrage ,,De circuli magnitudine inventa” (T. XII, p. 121) et les
»Illustrium quorundam problematum constructiones” (T. XII, p. 183).

$) Voir sur Lodewijk Huygens la note 1 de la p. 12 du T. I, et sur Philips Doublet la note 7 de
la p. 294 du même Tome.

5) Consultez la p. 356 du T.I, où Christiaan se permet de railler un peu les effets extraordi-
naires que son père attribuait à un tel séjour,

Lt

4 AVERTISSEMENT.

rencontra à cette occafion ni Fermat (qui demeurait à Touloufe) , ni Pafcal ”),
ni Carcavy *) qui avait fervi d’intermédiaire lors de l’échange de lettres de ces
deux favants fur les problèmes de de Méré 5); mais il (requenes Claude
Mylon, un des amis de Carcavy 4), et Roberval à qui Lon s'était sûre,
de même qu’à Pafcal, pour la folution des problèmes qui occupaient ” Méré 5).
Il n’y a donc pas lieu de s’étonner que Huygens fut informé pe l’exiftence is
ces problèmes (dont l’un eft refté connu fous le nom de »problème des partis

et dont nous appellerons les autres ,,les problèmes des dés”) fans avoir l’occafion
d’en connaître les folutions obtenues par Pafcal et Fermat, ou les méthodes fuivies

par eux.
De retour en Hollande, Huygens ne tarda pas à commencer la compofition de

fon Traité du calcul dans les jeux de hafard , qui roule prefqu’entièrement fur
les problèmes prémentionnés. Déja en mars 1656, il put écrire au profefleur van
Schooten qu’il lui enverrait ce qu’il préparait fur les jeux de dés *); le 18 avril il
fit favoir à Roberval 7) qu’il avait ,,depuis quelques jours efcrit les fondements

du calcul es jeux de hafard à Ja priere de Monfieur Schooten qui le veut faire.

imprimer”, et il lui pofa le problème qu’on trouve dans la XIVième Propofition #)
de fon Traité, en ajoutant qu’il défirait fort voir fi lui (Roberval) en trouverait

*) En 1657 Huygens écrivit à CI. Mylon Si l’on ne m’eust asseurè lors que j’estois à Paris que
ce dernier” [Pascal] ,avoit entierement abandonnè l’estude de mathematiques j’aurois taschè
par touts moyens de faire connoissance avec luy”; voir la p. 7 du T. II.

?) Voir la lettre de Huygens à Carcavy du 1 juin 1656 (p. 427 du T.[), où on lit: ,, Monsieur

Mylon m’ayant enseignè le lieu de vostre demeure j’ay estè fort marry de ne vous point
rencontrer. Mais je ne vous ay pas cherchè en vain puis que en revenche vousavez eu la bonté
de me venir trouver chez moy en m'escrivant en des termes si obligeants, et me donnant des
louanges dont peut estre vous m’eussiez trouvè indigne si vous m’aviez connu de plus prez”
Ajoutons qu'après le retour de Huygens en Hollande Carcavy devint un de ses correspon-
dants les plus assidus.

3) Voir les pp. 289 et 299 du T. II des Œuvres de Fermat.

#) D'ailleurs Claude Mylon lui-même s’intéressait aussi aux problèmes sur les jeux de hasard;
voir la p. 426 du T. I de notre publication.

5) Voir la p. 290 du T. II des Œuvres de Fermat. Roberval avait même pris une certaine part à
la discussion dés problèmes en question; voir les pp. 302 et 310 du Tome cité.

5) Voir la p. 389 du T. I de notre publication, où on lit »De lusu aleæ brevi aliqua concinna-
vero quæ tibi mittam”.

7) Voir la p. 404 du T. I.

#) Voir la p. 87 du présent Tome.

?) Voir la p.73. L'absence de cette Proposition dans le manuscrit envoyé le 20 avril (voir la
p.404 du T. I) résulte de la comparaison de la Pièce N°, 289 du 6 mai, dont nous parlerons
bientôt, avec le texte du Traité tel qu’il fut publié en 16 57 en latin et en 1660 en hollandais.

AVERTISSEMENT. 5

la même folution. Enfin, le 20 avril, il envoya à van Schooten un manufcrit
qui probablement ne différait du texte que nous publions que par l’abfence de
la Prop. IX ?) et des Exercices vers la fin du Traité, dont Huygens abandonne
l’analyfe à fes leéteurs *°).

Il fut donc convenu entre van Schooten et lui que le petit traité de Huygens
ferait inféré dans l'ouvrage ,,Exercitationum mathematicarum Libri quinque **)”
dont van Schooten préparait la publication. Cet ouvrage paraîtrait en deux
éditions, l’une latine, l’autre hollandaife **). L'édition latine devant être publiée
la première, il était néceffaire de fe procurer d’abord une verfion latine du
manufcrit de Huygens que celui-ci avait écrit en hollandais parce que les termes
latins lui manquaient. Après avoir achevé fon ouvrage, il trouva cependant
plufieurs de ces termes ‘3). Par fuite il fe fit fort, fi c’était néceffaire, d’éla-
borer une traduétion latine; mais avant de s’y contacrer il voulut favoir fi van
Schooten approuvait la manière dont il avait traité fon fujet ‘4). Celui-ci lui
répondit qu’il ferait la traduétion lui-même, mais le pria de lui envoyer tout ce
qui pouvait faciliter cette tâche :5). C’eft à cette circonftance que nous devons
la Pièce N°. 289, p. 414—416 du T.I, qui nous fait connaître la difpofirion

19) En effet, la plupart de ces Exercices doivent leur origine à la correspondance de Huygens
avec Carcavy et Mylon, qui commença seulement après le 20 avril 1656; voir les notes 7
et 13 de la p. 7.

1) Voir aux p. 50 et 52, qui suivent, le titre général de cet ouvrage et celui du ,,Liber V” qui
précède le traité de Huygens.

#2) Voir, pour les titres de l’édition hollandaise, les p. 51 et 53.

13) Sur une feuille détachée qui date probablement de ces temps, Huygens annota les mots
suivants : ,alea. sors. fortuna, casus. lusiones. deponavit. certare. sibi sumere. qui ter superior
fuerit. qui majorem numerum jecerit. senarium jacere. jactus. contendere”.

4) ,Ecce tibi quæ de aleæ ludo videre desiderabas, sed vernaculo sermone conscripta, quod
necessarid mihi faciendum fuit, quum vocabulis latinis destituerer. Sed absoluto opusculo
pleraque reperi, adeo ut si opus fuerit omnia nunc latine reddere me posse arbitror. Prius
tamen hæc uti sunt tibi exhibenda credidi ut videas nunquid eo ordine quo hic digesta sunt
totidemque verbis, an alia ratione, concinnata operi tuo accedere velis; et an omnia satis
dilucidé sint explicata” ; voir la lettre du 20 avril 1656, p. 404—405 du T. I.

15) ,Quoniam autem opere absoluto plæraque à Te reperta dicis, quæ si opus exigeret nullo
negotio eadem Latinè reddere possent, optarem, ut Latinè hæc mihi versuro, cui longè
minus ista ex voto succedent atque mult futura sunt difficiliora , ea quæ idem opus facilitare
ac promovere queant à Te suppeditarentur”; voir la p. 408 du T. I. Plus tard Huygens a
renouvelé son offre de traduire lui-même son traité, ce que van Schooten accepta dans sa
réponse du 13 juillet 1656 (p.454 du T.I). Cela n’a pas empêché que finalement la tra-
duction fut faite par van Schooten, comme il résulte de sa lettre du 18 mars 1657 (p.19
du T, Il) où on lit ,,Ecce tibi, Vir Clarissime, tractatum tuum de Ratiocinijs in aleæ ludo,
à me Latinè versum”.

6 AVERTISSEMENT.

générale du Manufcrit envoyé, le 20 avril, à van Schooten. Lorfqu’on compare
les phrafes latines, fuggérées par Huygens dans cette Pièce, avec le texte latin, tel
qu’il parut dans les ,,Exercitationes”, on peut conftater que, dans fa traduétion,
van Schooten n’a fait qu’un ufage limité des indications de Huygens. Ajoutons
que celui-ci n’était pas tout-à-fait farisfait de cette traduétion *) ; ce qui fut pour
nous une raifon de plus de préférer pour notre texte la verfion hollandaife à la
verfion latine, quoique cette dernière eût paru trois années plus tôt que l’autre.
En attendant la publication de fon Traité, qui n’eut lieu que l’année fuivante,
Huygens devint de plus en plus anxieux de favoir fi fes folutions et fa méthode #
s’accordaient avec celles des mathématiciens français. Ne recevant aucune réponfe
à fa lettre du 18 avril ?) à Roberval, il s’adreffa à Mylon pour lui pofer le même
problème ainfi que quelques autres plus fimples 3). Les folutions, en partie
fauffes +), que Mylon lui envoya ne peuvent avoir eu beaucoup d’intérêt pour
lui; mais c’eft à cette occafion que, par l’intermédiaire de Mylon et de Car-
cavy, le problème principal parvint à la connaiffance de Fermat et de Pafcals).
En effet, le 22 juin 1656°) Carcavy fit part à Huygens de la folution de
Fermat de ce problème, laquelle fe trouvait être conforme à celle de‘Huygens.
De plus, Fermat pofa à Huygens d’autres queftions plus difficiles 7). Or, le
même après-midi qu’il les reçoit, Huygens ,,trouve la folution de toutes, quant é
à la methode, non pas quant au calcul; qui eft fi long dans quelques unes d’elles :
qu’{[iln’a] pas voulu s’amufer à le pourfuivre jufques au bout #)”..

*) Voir sa lettre à de Sluse du 27 juillet 1657 où on lit (p. 42 du T. IT) ,Schotenij librum recens
editum quam primum potero tibi mittam...... Brevem quoque tractatum meum de Ratio-
cinijs in ludo Aleæ, adjunctum videbis, sed non satis commode & lingua Belgica, qua fuerat
à me conscriptus in latinam conversum”. Il est vrai que Huygens avait eu en révision
manuscrit de la traduction; voir la p. 8 qui suit. -

2) Voir la p. 4. #

+) Cette lettre de Huygens à Mylon nous manque , comme aussi la réponse de Mylon du 1 3 mai,
mais la lettre de Huygens à Mylon du 1 juin 1656 (p. 426 du T. D) nous fait connaître suff-
samment leur contenu. Il en résulte qu’outre le problème de la Prop. XIV (p.87 du
présent Tome) Huygens avait posé à Mylon des questions sur l’avantage de la primauté dans
les cas où le jeu est gagné par celui qui réussit le premier à faire un coup déterminé.

4) Ses solutions ne sont justes que pour le cas où l’on joue avec un seul dé. Elles sont fausses
pour le cas de deux dés à chances égales pour les deux joueurs, et pour le problème principal,
où les chances des deux joueurs sont inégales , parce que l’un gagne quand 7 points et l’autre
quand 6 points ont été amenés avec deux dés. til

5) Voir les pp. 418 et 432—434 et quant à Pascal les pp. 439 et 492 du T.I.

9) Voir les p. 432—434 du T. I,

AVERTISSEMENT. 7

On trouvera le réfultat des recherches de cet après-midi dans la lettre de
Huygens à Carcavy du 6 juillet 1656 ?), laquelle était deftinée à être commu-
niquée à Mylon, à Fermat et à Pafcal *°) afin de favoir fi ce que ces deux derniers
avaient trouvé était conforme à ,,ce qu’[il] en explique” dans cette lettre. Outre
les folutions des problèmes prémentionnés, la lettre contient la Prop. III (p. 65),
fur laquelle toutes ces folutions étaient fondées.

La réponfe de Carcavy fe fit longtemps et impatiemment **) attendre. Quand
elle arriva , au commencement d'octobre **), elle apprit à Huygens que Pafcal fe
fervait de la même propoñition ‘#) que lui mais qu’il ne voyait pas de quelle
manière celle-ci pourrait s’appliquer au problème des partis ‘#) dont ,le fieur
Pafcal n’a trouué la reigle que lors qu’un des joueurs a une partie à point, ou
quand il en a deux à point”. C’eft fans doute par fuite de cette remarque :5) que
Huygens reprit fes recherches fur ce dernier problème et qu’il écrivit, d’abord

7) C’est à ces questions que Huygens a emprunté le premier et le troisième des Exercices qu’il a
joints à son ouvrage; voir les notes 2 et 4 des p. 88—89 du présent Tome.
#) Voir sa lettre à Mylon du 6 juillet 1656, p. 448 du T. [. Elle est la réponse à la lettre de
+ Mylon du 23 juin (p.438 du T. 1), dans laquelle, sans doute, celle de Carcavy du jour
précédent (p.431 du même Tome) était incluse.
9) Voir les p. 442—446 du T. I.

19 Voir la p. 446 du T. I.

+7) Voir la lettre du 27 juillet 1656 (p.466 du T. 1) à Roberval, où il prie celui-ci de s'informer
pourquoi ni Mylon ni Carcavy ne lui ont répondu.

12) Voir la lettre de Carcavy du 28 septembre 1656, p. 492 du T. I.

13) Cette lettre contenait, en outre , un problème que Pascal avait posé à Fermat et que Huygens
a placé parmi les Exercices à la fin de son ouvrage; voir-la note 1 de la p. 90.

#4) Il y avait là un malentendu. Les cas relativement simples du problème des partis, traités par
Huygens, furent résolus par Pascal presqu’entièrement de la même façon que par Huygens
(voir les pp. 290—292, 300 et 306—307 du T. II des Œuvres de Fermat, citées plus haut
dans la note 1 de la p. 3), tandis que Fermat les résolut à l’aide de l’analyse combinatoire
(voir les pp. 290, 300—305, 309et 310—312 du même Tome). Le problème auquel Carcavy
faisait allusion était bien plus difficile et plus général ; il s’agissait de formuler ,,donné un tel
nombre de parties qu’on voudra” une règle générale pour trouver ce que Pascal appelait : la
valeur de la première partie, dela deuxième partie, etc.; c’est-à-dire la valeur de ce que le
joueur qui avait perdu devrait payer à l’autre joueur après une telle partie dans le cas où l’on
conviendrait de ne pas pousser plus loin le jeu. C’est ce problème que Pascal ne savait pas
résoudre sans recourir à l’analyse combinatoire et alors seulement pour la première et la
deuxième partie (voir encore les p. 292—295 du T. II des Œuvres de Fermat et consultez
à propos du problème des partis les p. 21—25 du présent Avertissement).

15) Consultez encore la lettre de Huygens du 12 octobre 1656 à Carcavy (p. 505 du T. I), où
on voit que Huygens avait, en effet, compris à tort que la remarque de Pascal se rapportait
à tous les cas du problème des partis.

8 AVERTISSEMENT.

l'Appendice I (p.92-—95), deftiné probablement à être communiqué à utise ),
et enfuice la Prop. IX (p.73—77) qu’il allait joindre au petit traité qu’il avait
compofé *). |

Cependant on continua avec la lenteur habituelle de ces temps l’impreflion de
l'ouvrage de van Schooten où le traité de Huygens eft inféré. En mars 1657
van Schooten avertit Huygens que dans quelques femaines on en ferait à ce traité.
Il lui envoia donc le manufcrit de la traduction latine pour y ajouter ce que bon
lui fembleraic 3). Huygens le lui retourna #) avec quelques changements et quel-
ques additions 5), en y joignant la verfion latine de fa lettre à van Schooten *),
datée du 27 avril 1657 , qui précède fon Traité en guife de préface.

Enfin , en août ou feptembre 1657, l’impreflion de l’édition latine de l'ouvrage
de van Schooten fut achevée 7). L’édition hollandaife fe fit attendre encoretrois
années, mais il nous femble inutile d’expofer ici les raifons de ce retard *).

Avant de pafler à d’autres fujets nous voulons ajouter encore quelques mots fur
l’hiftorique du Traité ,,De ratiociniis in ludo aleæ” après fa publication en 1657.
Comme on le fait, plufieurs des œuvres les plus confidérables de Huygens ne
parurent que longtemps après leur première rédaction ?); ce qui lui coûta la

7) Ce qui toutefois n’a pas eu lieu.

?) La correspondance avec les savants français sur les problèmes du jeu se continua encore pen-
dant quelques mois par les lettres échangées entre Mylon et Huygens le 8 déc. 1656 (p. 524
du T.1),le5 janvrier 1657 (p. 1 du T. IT), le 1 févr. 1657 (p. 7 du T. IL) et le 7 mars 1657
(p.8 du T. IT).

3) Voir la lettre de van Schooten du 18 mars 1657, p. 19 du T. II.

4) Voir la lettre du 21 avril 1657 , p. 27 du T. II.

5) C'est-à-dire la Prop. IX, p.73—77 du présent Tome, et les Exercices, p. 89—o91 ; voir les
notes 9 et 10 des p. 4—5. à

5) Cette version latine est donc la version primitive. On la trouve aux p. 59—60 du T. IL. La
version hollandaise de la même lettre (pp. 57—59 du présent Tome) ne fut envoyée à van
Schooten que le 28 septembre 1657 (voir la p. 57 du T. Il).

7) Voir p. e. la lettre de de Sluse du 4 septembre 1657 (p. 51 du T. IT) d’où il s’ensuit que de
Sluse venait de recevoir alors cette édition.

*) Consultez à ce propos la lettre de van Schooten du 1 octobre 1657, p. 62 du T. IL.

9) Le Traité ,,De iis quæ liquido supernatant”, qui contient tant de recherches intéressantes,
était entièrement inédit lorsque nous l’avons reproduit au T. XI (p. 81—194) de notre
publication; la ,Dioptrique”, rédigée en grande partie en 1653 et en 1666, ne parut, avec
plusieurs autres ouvrages, qu’en 1703 comme œuvre posthume; le » Traité de la lumiere”
et le ,, Discours de la cause de la pesanteur”, publiés en 1690, existaient en manuscrit, à l’ex-
ception de quelques parties, respectivement dès 1678:et dès 1669.

AVERTISSEMENT. 9

priorité fur bien des points importants. Grâce à van Schooten — on doit le
reconnaître — la publication du petit traité fur les probabilités ne fut pas différée.
L'ouvrage fut accueilli favorablement par les contemporains *). Pendant plus
d’un demi-fiècle (c’eft-à-dire jufqu’à la publication des ouvrages de de Mon-
mort **), de de Moivre ‘*) , de Jacques Bernoulli’: et de Nicolaas Struyck 4),
il forma l’unique introduétion exiftant à la théorie des probabilités. Dans cet inter-
valle, ou peu après, deux traduétions anglaifes en parurent ‘5). Enfin, Jacques

19) Carcavy , qui trouvait la méthode de Huygens admirable”, écrivit à Mylon que , Monsieur
Pascal en auoît jugé comme Iuy” (voir la p.1 du T.II); de Sluse appela cette œuvre de
Huygens ,,docta, acuta, Te digna” (p. 51 du T. II); Wallis la loua dans une lettre à Van
Schooten (voir la réponse de Van Schooten à la p. 833 de l’ouvrage de Wallis ,De Algebra
Tractatus cum variis Appendicibus. Operum mathematicorum Volumen alterum, Oxoniæ,
1693), Leibniz en parla dans ses ,,Meditationes” comme suit: ,,Christiani Hugenii ratio-
cinia de lusu aleæ... sunt elegans specimen ratiocinationis de gradibus probabilitatis”
(Opera omnia, publiés par Dutens, vol. VI, part. I, p. 318).

11) ,Essay d’analyse sur les jeux de hazard, seconde édition Revûe & augmentée de plusieurs
Lettres. Paris, Jacques Quillau , 1713”. Une première édition parut en 1708; voir l’ouvrage
de Todhunter, ,, History of the theory of probability, Cambridge and London, Macmillan,

1865” ,p. 79.

12) ,, The Doctrine of Chances : or a Method of Calculating the Probabilities of Events in Play.
The second edition, Fuller, Clearer, and more Correct than the First. By A. De Moivre,
fellow of the Royal Society and Member of the Royal Academy of Sciences of Berlin, Lon-
don, H. Woodfall, 1738”. Une première édition parut en 1718. Elle fut précédée en 1711
par un Mémoire dans les ,Philosophical Transactions”, p. 213—264 du T. XX VII, intitulé
»De Mensura Sortis, seu, de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pen-
dentibus”.

13) ,,Jacobi Bernoulli, Profess. Basil. & utriusque Societ. Reg. Scientiar. Gall. & Pruss. Sodal.
Mathematici Celeberrimi, Ars conjectandi, Opus posthumum. Accedit Tractatus de Serie-
bus infinitis, Et Epistola Gallicè scripta de Ludo Pilæ reticularis. Basiliæ, Impensis Thur-
nisiorum, Fratrum. 1713”.

14) ,Uytreekening der Kansen in het speelen , door de Arithmetica en Algebra, beneevens eene
Veérhandeling van Looterijen en Interest, door N. S., Amsterdam, weduwe Paul Marret,
1716”. Une traduction française fut récemment publiée par la Société générale néerlan-
daise d’assurances sur la vie et de rentes viagères, établie à Amsterdam, dans l’ouvrage:
»Les Œuvres de Nicolas Struyck (1687—1769) qui se rapportent au calcul des chances, à
la statistique générale, à la statistique des décès et aux rentes viagères, tirées des œuvres
complètes et traduites du hollandais par J. A. Vollgraff, Amsterdam, 1912 (p. 1—118).

Nicolaas Struyck naquit à Amsterdam le 19 mai 1687 et y mourut le 15 mai 1769.
L'ouvrage cité, trop peu connu, mérite d’être mentionné avec ceux de de Monmort, de
de Moivre et de Bernoulli. Struyck en écrivit plusieurs autres sur la géographie, l’astro-
nomie, la comptabilité et le calcul des rentes viagères. Pendant sa vie il jouit d’une grande
réputation et correspondit avec beaucoup de savants étrangers. Il fut nommé, en 1749,
membre de la Société Royale de Londres et, en 1755, correspondant de l’Académie des
Sciences de Paris.

15) La première, en 1692, dans l’ouvrage anonyme ,Of the laws of chance”, etc., attribué

2

10 AVERTISSEMENT.

Bernoulli, en compofant fon ,,Ars conjeétandi”, y inféra en entier le Traité de
Huygens comme ,,Pars prima, compleétens Traétatum Hugenii de Ratiociniis in
Ludo Aleæ, cum Annotationibus Jacobi Bernoulli”? *).

En 1665, à l’occafion d’une lettre de fon ami Johan Hudde, le futur bourg-
meftre d’Amfterdam *), l’attention de Huygens fut dirigée à nouveau fur les
problèmes concernant les jeux de hafard. Dans cette lettre 3) Hudde lui commu-
niqua fes folutions des Exercices IT et IV, propofés par Huygens vers la fin de
fon Traité #). En cherchant lui-même leurs folutions 5), Huygens en trouva
qui différaient de celles de Hudde; ce qu’il lui fit favoir dans fa réponfe du
4 avril 1665). En même temps, il lui pofa une nouvelle queftion, favoir : de
déterminer le défavantage du joueur qui fait le premier coup quand deux joueurs
jettent à cour de rôle croix ou pile à condition que celui qui amène pile doit
mettre chaque fois un ducat et que celui qui jette croix prendra tout ce qui

eft mis.

par Todhunter (History of the theory of probability, p. 48—49) à John Arbuthnot. La
seconde, publiée en 1714 par W. Browne, est intitulée ,,Christiani Hugenii Libellus de Ratio-
ciniis in Ludo Aleæ. Or the value of all chances in games of fortune; cards, dice, wagers,
lotteries, &c. mathematically demonstrated. London, S. Keimer, 1714” (Todhunter, p. 199).

*) Ajoutons qu’en juillet 1895, à l’occasion du deuxième centenaire du décès de Huygens, la
Direction de la Société d’assurances, mentionnée dans la note 14 de la p. 9, publia , comme
N°. 690 de ses Communications (Mededeelingen van de Directie), une reproduction du
Traité de Huygens dont l’exécution typographique ressemble à celle de l’édition hollandaise
primitive. De plus, elle donna une traduction française de ce Traité, due à M. K. R. Gallas,
aux p.43—56 de l’ouvrage , Mémoires pour servir à l’histoire des assurances sur la vie et
des rentes viagères aux Pays-Bas, 1898”. Cette traduction nous était inconnue lorsque
nous avons préparé la nôtre. 2

?) Voir sur Hudde la note 2, p.514 du T. 1; mais on doit corriger l’année de sa naissance. En
effet, il naquit en avril 1628, comme cela résulte de l’article de M. D. J. Korteweg ,, Das
Geburtsjahr von Johannes Hudde”, Zeitschrift für Mathematik und Physik, T. 41 , 1896,
p.22. Hudde n’avait donc qu’une année de plus que Huygens. Probablement il avait étudié
les mathématiques, comme Huygens, sous la direction du professeur van Schooten.

3) Nous ne possédons pas cette lettre, mais la réponse que nous mentionnons quelques lignes
plus bas nous en fait connaître le contenu.

#) Voir les p. 89—0o1 du présent Tome.

5) Voir les $$ 1—3 de l’Appendice II, p. 96—99.

5) Voir la p. 304 du T. V.

AVERTISSEMENT. IT

Cette queftion fit naître toute une férie de problèmes touchant l'avantage ou
défavantage de la primauté fous des conditions variées. Plus bas nous traitons
ces problèmes avec quelque détail 7).

Quant à la divergence des folutions des Exercices IT et IV , elle parut être due
aux interprétations différentes données par Hudde et Huygens à ces Excercices.
Comme nous le montrons dans la note 3 de la p. 88, l’Exercice IT n’admet
pas moins de trois interprétations, dont la première fut adoptée par Huygens *)
et la deuxième par Hudde ?). De même l’Exercice IV donne lieu à deux con-
ceptions dont l’une, conduifant au réfultat des $ 2 et 3 de l’Appendice II *),
fut choifie par Huygens, et l’autre, aboutiffant au réfultat du 4 du même
Appendice *:), fut admife par Hudde rs

En effet, les folutions de Hudde se ces problèmes étaient correétes (à part
une légère erreur de calcul), et il en eft de même de fes folutions d’autres
problèmes qu’on rencontre dans fa correfpondance avec Huygens ‘3. Plus on
étudie fes longues lettres, par trop prolixes et dificiles à comprendre à caufe
des malentendus continuels qui s'élèvent entre lui et Huygens, plus on s’aperçoit
de la perfpicacité de leur auteur. Quant aux méthodes dont il fe fert, il ne les
expofe qu’exceptionnellement et encore en partie feulement ‘#) , mais les indi-
cations qu’il donne fuffifent pour conclure qu’elles ne différaient pas beaucoup de
celles de Huygens *$).

7) Voir les p. 31—48 de cet Avertissement.

#) Voir la p. 96 du présent Tome.

9) Voir la p. 306 du T. V. En effet, après la correction apportée par Hudde dans sa lettre du
29 juin 1665 (p. 383 du T. V), sa solution correspond entièrement à celle obtenue dans les
mêmes hypothèses par Jacques Bernoulli p. 60 de son ,,Ars conjectandi” et par de Monmort,
p. 220 de son ,,Essay d'analyse sur les jeux de hazard”.

197) Voir les p. 97—099.

11) Voir les p. 100o—101.

12) Voir la p. 307 du T. V.

13) Comparez le dernier alinéa de la p. 37.

4) Voir p. e. les pp. 413—416, 446—448, 463—471 du T. V.

15) Outre les solutions des Exercices II et IV du Traité de Huygens, et des problèmes concer-
nant la primauté sur lesquels nous reviendrons, nous connaissons encore la solution que
Hudde donna à un autre problème. On trouve cette solution aux p. 470—-471 du T.V. Le
problème présente une grande ressemblance avec le dernier des Exercices de Huygens (p. 91
du présent Tome), seulement, le nombre des jetons de chaque j _s est dus de 12 à 3

et leurs chances à chaque coup sont représentées respectivement par 3 Fe et FF . Comme

12 AVERTISSEMENT.

Nous avons à parler enfuite, en fuivant l’ordre chronologique , de quelques
applications de la théorie de la probabilité à des problèmes concernant la durée de
la vie. Déjà en 1662, Moray avait fait parvenir à Huygens *) l'ouvrage de John
Graunt ,, Natural and political obfervations. . , made upon the Bills of Morta-
licy” *), qui venait de paraître. Huygens avait beaucoup apprécié cet ouvrage,
mais il ne s’occupa aétivement des matières qu’on y trouve traitées qu’au moment
où il reçut, de fon frère puîné Lodewiÿk, une lettre, datée du 29 août 1669, dans
laquelle celui-ci l’informait#) de ce qu’il avait ,, fait une Table ces jours paflez
du temps qu'il refte à vivre à des perfonnes de toute forte d’aage. C’eft une
confequence” dit-il ,,que j’aij tiré de cette table du livre Anglois of the Bils of
mortalitij, de la quelle je vous envoije icij une copie, afin que vous preniez la
peine de faire un peu les mefmes fupputations, et que nous puiflions voir
comme nos calculs s’accorderont”. Or, cette copie, qu’on trouve à la p. $19
du T. VI, donne pour chaque centaine de nouveaux-nés le nombre des furvivants
à l’âge de 6, 16, 26 ans, et ainfi de fuite, avec des intervalles de dix années.

Dans fa réponfe à Lodewiïjk, Chriftiaan lui fait remarquer +) ,,qu’a fin que ce
calcul fuft exaét il faudroit avoir une table qui marquaft d’année en année com-
bien il meurt des perfonnes de 100 qu’on fuppofe, et” pourfuit-il ,,il faut que
vous l’ayez fupléée par quelque moyen comme j’en fcay pour cela 5), ou autre-
ment vous ne fcauriez determiner au vray , combien doibt vivre une perfonne de
6, 16 ou 26 ans &c., et encore moins de quelque aage moyen entre ceux la.
comme vous l’avez entrepris de vous et de moy. Je crois donc que vous n’en
decidez qu’a peu pres” et il ajoute encore ,,j’ay envie de fuppleer la table comme

dans cet Exercice, le jeu ne finit pas avant que tous les jetons aient passé dans une mémemain.

Hudde trouve les espérances des joueurs respectivement égales à Er et à Per
où 4 représente l’enjeu. Cette solution est correcte. Elle correspond à celle donnée’ par
Jacques Bernoulli, p. 68—69 de son ,, Ars conjectandi”. Comparez encore lAppendice VI
aux p. 151—155 du présent Tome.

*) Voir les pp. 94,95, 130 et 149 du T. IV.

*) Voir, pour le titre complet, la note 7 de la p. 94 du T. IV.

3) Voir la p. 483 du T. VI.

4) Voir la p. 484 du T. VI.

5) Huygens fait allusion ici à la méthode graphique qu’il expose dans la pièce N°. 1778, p. 531
du T. VI. En effet, la courbe de la mortalité (ou ;,courbe de vie” comme il l’appelle), qu’on
y trouve construite avec beaucoup de soin à l’aide des données de la petite table de Graunt,
est bien la première représentation graphique de la mortalité qui ait été faite.

AVERTISSEMENT, 13

j'ay dit et refoudre les problemes qu’on peut propofer en cette matiere qui
eft affez fubtile. Voftre methode ne fcauroit eftre la mefme que la mienne , et
je feray bien aife de la voir”’.

Une lettre du 30 oëtobre 1669 *) nous fait connaître la méthode fuivie par
Lodewijk. Il a fuppléé aux lacunes de la table de Graunt en fuppofant la mor-
talité conftante dans chaque intervalle de dix années. Partant de cette fuppo-
fition il a calculé d’une manière parfaitement exaéte ce qu’on appelle aujourd’hui
la ,,vie moyenne” des perfonnes qui ont atteint l’âge donné. Toutefois, comme
cela réfulte de la même lettre, Lodewik ne s’était pas fuffifamment rendu compte
de la différence qui exifte entre la vie moyenne et la vie probable ; différence que
Chriftiaan lui expliqua dans fa lettre du 21 novembre 7). En même temps il
promit de lui envoyer une autre fois ,,la ligne de vie *) avec la pratique d’icelle
et mefme une table des vies a chafque aage d’année en année, qui ne me
couftera guere” ?).

C’eft à propos de la même lettre de Lodewijk du 30 oétobre que Chriftiaan
compofa la Pièce importante (p. 526—531 du T. VI) qu’il a intitulée: ,,En
examinant le calcul de mon frere Louis.” Il y met par écrit, au courant de la
plume, les idées qui lui viennent pendant et après cet examen. Entre autres, il
s’y pofe les problèmes fuivants (dans lefquels il s’agit toujours de la durée
moyenne des temps mentionnés): ,,Un homme de 56 ans efpoufe une femme de
16 ans, combien peuvent ils faire eftat de vivre enfemble fans que l’un ni l’autre
meure., Ou bien fi on m’avoit promis 100 francs au bout de chafque an qu’ils
vivront enfemble, pour combien feroit il jufte qu’on rachetaft cette obligation *°),.
Item dans combien de temps doivent ils mourir tous deux. En combien de temps

5) Voir.les p. 515—517 du T. VI.

7) Voir la p. 525 du T. VI,

8) Voir la note 5 qui précède.

9) Christiaan a rempli cette promesse dans sa lettre du 28 novembre 1669 (p. 538—539 du

«TT. VD). Cependant, au lieu de la ligne en question ,qui ne sert que pour les gageures”
il envoya une autre représentation graphique qui donne directement les ,restes de vie de
chaqu’aage”.

19) On ne doit pas supposer toutefois que Huygens ait pensé, en posant ce problème, à la
réduction des sommes à payer à leur valeur comptante. Il néglige cette même réduction
quand il écrit dans sa lettre du 28 novembre: ,Ce sont donc deux choses differentes que
l’esperance ou la valeur de l’aage futur d’une personne, et l’aage auquel il y a egale apparence
qu’il parviendra ou ne parviendra pas. Le premier est pour regler les rentes a vie, et l’autre
pour les gageures”.

14 AVERTISSEMENT.

mourront 40 hommes de 46 ans chacun ? Combien vivra le dernier de 2 person-
nes de 16 ans. Dans combien de temps mourra un de 2 perfonnes de 16 ans”,

De ces problèmes affez compliqués Huygens ne réfout que l’avant-dernier 2
le manufcrit s’arrétant au milieu ducalcul qui doit fervir à la folution du dernier.
Toutefois, il eft clair que la méthode ingénieufe qu’il applique à ces deux pro:
blèmes aurait pu conduire , après quelques modifications évidentes, à la folution

des autres ?).

Il eft vrai que Huygens a été confulté par Hudde, en 1671, fur la méthode
fuivie par le célèbre Penfionnaire de Hollande et de Wett-Frife, Johan de Wi,
dans fes calculs fur la valeur des rentes viagères que les États de Hollande fe
propofaient de négocier 5). Cependant, la Correfpondance de Huygens de
cette année nous apprend, qu'il n’a pas pris une part active dans cette entre-

Cie ft LIT T Y

1 À 2 af: S4PÈTE ! HE 4

*) Dans cette solution Huygens n’emploie pas la représentation graphique qu’on trouve en regard
de la p. 531 du T. VI. Il y suppose, comme Lodewijk l'avait fait, que la mortalité est con-
stante dans les intervalles de dix ans. En admettant cette hypothèse, la solution est exacte,
mais il y a dans la Pièce, où elle est reproduite , une erreur du copistebien regrettable. En
effet, on doit lire comme suit la phrase qui commence à la ligne 17 d’en bas de la p. 529 du
T. VI: ,Et encore 25 chances qui valent a un homme de 16 ans 29,40 ans”. Voici le Caléul
(qu’on ne trouve pas dans la Pièce) qui explique ces 29,40 ans: Fa itren

.

9 Chances à 15 ans font 135

4» »35 » » 140

3: 45 » » 135

2. » »55 » » 110

I » O5 » » 657 + 5 wi : HAN 8

25 235 paie A 01 #8 4 MMS
T fait 29,40. +4 date MERS

?) Comparez encore sa lettre du 28 novembre 1669 à Lodewijk, où on lit (p. 538—539 du
T. VI), à propos des deux derniers problèmes, qu’il n’en a pas encore calculé la solution,
mais qu’il voit le moyen de le faire; après quoi il ajoute: ,,Les aages des 2. personnes
estant posez differents comme l’une de 16 ans et l’autre de 56, cela apporteroit encore
quelque changement mais il n’y auroit pas grande difficultè apres qu’on auroît trouvé la
solution dans les aages egaux”. et 268$ méfie

3) Voir l'ouvrage cité dans la note 6 qui commence à la p. 59 du T. VIL. |

+) Cette Correspondance (voir les pp. 59,95—96, 103—104 du T. ViLetila p. 728 du T.X)
est d’ailleurs d’un certain intérêt pour la connaissance de l’histoire des travaux de Hudde
et de Johan de Witt sur les rentes viagères. C’est ce qui a été compris par la Direction de la

AVERTISSEMENT. 15

prife#). Dans fa lettre du 3 oétobre “), datée de Paris, il s’excufe auprès de
Hudde de n’avoir pu trouver plus tôt le loifir de réfléchir aux calculs des
rentes viagères à caufe des affaires qu’il a fur les bras, et de ne pouvoir
répondre à routes les queftions qu’il lui a pofées. Il fe borne donc à approuver
d’une façon générale les méthodes fuivies par le Penfionnaire, en y compre-
nant notamment celle qui concerne le calcul fur 2, 3 ou plus de vies %).

En 1676, Huygens fut ramené à la confidération de quelques problèmes du
jeu par une communication de fon ami Dierkens 7). Il paraît que celui-ci s’était
occupé à chercher la folution de l’un des Exercices propofés par Huygens vers la
fin de fon Traité *) et qu’il n’y avait pas réufli entièrement ?).

C’eft probablement à cette même occafion que Huygens compofa l’Appendice
VI (p. 151—155), daté d'août 1676, où il reprend et généralife la folution du
dernier de ces Exercices; folution qu’il ajouta à l’énoncé du problème fans

Société néerlandaise des assurances sur la vie. Dans ses , Communications” (voir la note 1
de la p. 10) elle a reproduit, en 1896, aux N°, 734 et 754, les passages de cette Corres-
pondance qui concernent le calcul des rentes viagères; à l'exception toutefois du contenu
de la lettre du 2 octobre 1671 qui ne fut découverte que vers 1903 dans une collection
privée (voir la note 1 de la p.725 du T. X). Dans ses , Mémoires” datant de 1898 (voir la
note 1 de la p. 10) elle a publié aux p. 76—83 des traductions françaises des passages qui lui
étaient connus alors.

5) Voir les p. 728—729 du T. X.

5) Avant 1896 on savait que Hudde et de Witt avaient fait des calculs sur les rentes viagères
en partant des hypothèses assez arbitraires exposées par de Witt dans son ,, Waerdye van Lijf-
renten naer proportie van Los-renten”, mais on ne savait pas qu’ils avaient fait encore
d’autres calculs fondés sur les données d’une vraie table de mortalité; à savoir sur celle
qu’on trouve en regard de la p. 96 du T. VII. De même on ignorait qu’ils s'étaient occupés du
calcul de rentes viagères sur plus d’une seule tête. Depuis, les , Communications” de la
Société néerlandaise des assurances sur la vie ont répandu plus de lumière sur ce sujet;
voir, outre celles mentionnées dans la note 4, la , Communication” N°. 794 de 1897 qui
contient 5 lettres inédites de de Witt à Hudde dont on trouve la traduction française aux
p.20 —33 des ,, Mémoires”.

7) Voir sur Dierkens la note 1 de la p. 13 du T. VII et sur ses relations avec Huygens la p. 415
di même Tome, la note 1 de la p. 379 du T, IX, la p. 568 et la note 4 de la p. 722 du T. X.

8) Voir les p. 89—91 du présent Tome, S’il s'agissait du dernier de ces Exercices, cela explique- :
rait d’autant mieux l’origine de l’Appendice VI dont nous allons parler; mais nous n’en
sommes pas sûrs.

9) Voir la p. 13 du T. VIII.

16 AVERTISSEMENT.

faire connaître l’analyfe qui l’avait amenée. Pendant la même année , il examina
la folution que Dierkens lui avait envoyée d’un problème concernant le jeu de
quinquenove :). De plus Huygens élabora pour Dierkens les folutions , à l’aide
des logarithmes, de quelques ,,problèmes des dés” *}. Si dans la Prop. XI 3) de
fon Traité il s’eft borné à déterminer en combien de fois on peut accepter
avec avantage de jeter deux fix avec deux dés, l'emploi des logarithmes lui
permet maintenant d'étendre fes recherches aux problèmes analogues pour

trois et quatre dés +).

Pendant fon dernier féjour à Paris, de 1678—1681, l'attention de Huygens fut
attirée fur le calcul des chances dans le jeu de la Baffette 5) alors très en vogue
dans cette ville®). En négligeant une des complications de ce jeu?), il calcula dans

1) Voir les p. 14—15 du T. VIIL. La solution de Dierkens est exacte, et Huygens n’a donc eu
qu’à l’approuver. Pour expliquer complètement cette solution , il suflira de faire remarquer
en premier lieu que le nombre 1001 pour l’enjeu a été choisi par Dierkens parce qu’il

est divisible par 7, par 13 et par 11. Voici ensuite comment les coefficients 5 0 Æ ontété

obtenus: prenons par exemple le premier de ces coeflicients, et posons x pour sait
mathématique du joueur qui tient les dés et.qui est supposé avoir jeté 7 points au. premier

coup. On a alors at Ko, puisqu'il y a 6 chances de jeter de nouveau

7 points, auquel cas le joueur gagne, 8 de jeter 5 ou 9 (ce qui le fait perdre) et 22 chances de
jeter l’un des autres nombres de points après quoi le jeu continue aux mêmes conditions. …

On retrouve le même problème sur le jeu de quinquenove chez de Monmort, p. 173=—=177
de l’ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9, et de même chez Bernoulli, p. 167—169de son
»Ars conjectandi” (voir la note 13 de la p.9). Chez de Monmort les conditions du jeusont
un peu différentes de celles indiquées par Dierkens; la solution de Jacques Bernoulli est
identique à celle de Dierkens.

2) Voir la Pièce N°. 2096, p. 16—18 du T. VIII et aussi l’Appendice VIE, p. 156—163 du
présent Tome. Cet Appendice contient les recherches de Huygens qui ontabouti à lasolution
qu’il communique à Dierkens dans la Pièce N°. 2096.

3) Voir la p. 81 du présent Tome.

4) Consultez encore , sur les problèmes des dés, les p. 26—28 du présent Avertissement.

5) Voir, pour les règles du jeu, pour autant qu’on doit les connaître afin de aeog les
calculs de Huygens, la note 3 de la p. 165.

5) Voici un passage que nous empruntons au Journal des Sçavans du 13 février 1679, p.43:

»Le jeu de la Bassette a fait tant de bruit cet Hyver par l’attachement avec lequel on l’a joüé
à la Cour, qu’il y a peu de gens qui ne sçachent présentement ce que c’est”. Le jeu paraît
avoir été inventé à Venise. il fut introduit en France vers 1675 par Justiani, ambassadeur de
la République de Venise à Paris.

7) Celle de la ,,face”, voir le troisième alinéa de la note 1 de la p. 168.

SP TER A DV ER EE TE EU CR

re Re
se

A ne RM pe Se

AVERTISSEMENT. 17

l'Appendice VIIT®) l’avantage du banquier fur les autres joueurs dans les
différents cas qui peuvent fe préfenter pendant le jeu.

Une folution plus complète fut donnée, fans analyse ni démonttration, par
Sauveur ?) dans le Journal des Sçavans du 13 février 1679 **). Pour les castraités
par Huygens les deux folutions font identiques entre elles et à celle publiée
plus tard, en 1713, dans l’,,Ars conjeétandi” de Jacques Bernoulli ‘’), mais il
paraît que Huygens ne connaiffait pas l’article de Sauveur lorfqu'’il fit fes
calculs ‘?).

En outre, de Monmort ‘#), Jean Bernoulli), frère de Jacques, et leur
neveu Nicolas Bernoulli #}), de Moivre %) et Struyck 7} fe font occupés des
chances du banquier dans ce même jeu de la Baffette, mais les cas qu'ils ont
craités font différents de ceux fuppofés par Huygens.

Enfin, en 1688, nous ignorons à quelle occafion, Huygens s’occupa pour
la dernière fois de quelques problèmes de jeu.

On en trouve les énoncés aux pp. 169, 172, 173 et 178 de l’Appendice IX.
Dans les deux premiers paragraphes (p. 169—173) de cet Appendice on voit
échouer fes premières tentatives de réfoudre le problème qu’il s’y pofe. Au $ 3,
p.173—-175, il fimplifie le problème et il réuffit facilement à le réfoudre fous cette
nouvelle forme. Au $ 4 (p. 176) ilreprend le problème principal, qu’il réduit à

8) Voir les p. 164—168 du présent Tome.

3) Joseph Sauveur naquit à la Flèche en 1653 et mourut à Paris en 1716. Il était membre
de l’Académie des Sciences; il est surtout connu par ses travaux sur la théorie des sons
harmoniques.

19) Voir les p. 44—52 du T. 7 de ce Journal.

11) Voir la première des ,, Tabellæ” de la p. 195 de l’,,Ars conjectandi”. Afin de comparer les
résultats de Huygens à ceux de Sauveur et.de Jacques Bernoulli, on doit poser dans les for-
mules de Huygens r = 2#.

. 44) Voir la note 1 de la p. 168 du présent Tome.

13) Voir les p. 144—156 de l’ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9.

14) Voir, à la p.287 de l'ouvrage de de Monmort, la lettre du 17 mars 1710 de Jean Bernoulli

_ à de Monmort.

15) Voir, aux p. 302—303 de l’ouvrage de de Monmort, les dernières remarques de Nicolas
Bernoulli.

16) Voir les p. 57—65 de l'ouvrage cité dans la note 12 de la p. 9.

17) Voir la p. 107 de l'ouvrage cité dans la note 14 de Ia p. 9.

1 AVERTISSEMENT.

la fommation d’une fuite infinie. Cette fuite eft de la même nature que celles dorit
Huygens avait trouvé les fommes en 1665 lors de fa Correfpondance avec
Hudde *). Cependant il n’a pas achevé la folution du problème, du moinsdans
les manufcrits que nous connaiflons, mais ileft facile d’arriver à fa folutionexaéte
par la voie fuivie par Huygens en effectuant, après y avoir appliqué quelques
corrections indiquées par lui-même, la fommation de la fuite à laquelle il s’eft
arrêté *). Enfin dans le dernier paragraphe de l’Appendice la folution d’un pro-
blème analogue eft interrompue également après avoir été réduite à la fommation
d’une fuite infinie du même genre 3). M 3 4

Ajoutons que dans le deuxième alinéa de la nore 2 de la p. 179 nous avons
donné une folution générale qui s'applique à tous les problèmes dont il eft
queftion dans l’Appendice IX. HOT sde

Point de départ de Huygens. Son théorème fondamental.
Sa méthode de réfolution des problèmes du calcul dés pro:
babilités, fuivie exclufivement NUQUE dans fes dernières.
recherches. Hot 1h 304. en8tf

| fi | SE HER as

Le calcul des probabilités eft une bibeo de echétiaftinult Enliquéees Afin
de pouvoir traiter une telle fcience fous la forme que Huygens choïfliffair.de
préférence dans fes premiers ouvrages, il fallait donc commencer, à l'exemple
d’Archimède #), par formuler, comme fupplément aux poftulats purement mathé-
matiques, une on plufieurs hypothèfes pouvant fervir de Lan de départ à la

démonftration des théorèmes dont on avait befoin. 12 8h sABbER TM
Fra
ATV bd
Ù 4 + ÿÿis Sr ve
1) Voir les pp. 106, 113—114,121—122 et 131. sis 1 2rprliree
?) Voir la note s de la p. 177. {5h s6tépets
3) Voir la p. 178 et le premier alinéa de la note 2 dela p.179, où ne sommation. de la me
est effectuée. vie" (0

#) Voir, aux p.142—145 du TomeIl de l'édition de Heiberg (citée dans la note. 2 de la p. 50 du
4 x XI) des œuvres d’'Archimède, les sept hypothèses au début du traité , De planorum æquili-
briis sive de centris gravitatis planorum” et de même aux pp.359 et 371 du:Tome pré:
mentionné les deux suppositions de l’ouvrage: ,, De iis, quæ in humido vehuntur?’; voiraussi
aux p.93—94 de notre T. XI les trois hypothèses par lesquelles Huygens Dntenette “|
traité ,,De iis quæ liquido supernatant”. ;

AVERTISSEMENT. 19

Ce point de départ, Huygens devait le chercher lui-même; bien qu’il ne fût pas

l'inventeur du caleul qu’il allait expofer. En effet, les ,,favants français” qui
l’avaient précédé fur ce terrain ,,quoiqu’ils fe miffent à l'épreuve l’un l’autre en
fe propofant beaucoup de queftions difficiles à réfoudre”’ avaient ,,cependant
caché leurs méthodes” 5).

L’hypothèfe à laquelle il s’arrêta eft, en effet, un modèle de clarté et d’évi-
dence. Il l’exprime ainfi: ,,dans un jeu la chance qu’on a de gagner quelque
chofe a une valeur telle que fi l’on poffède cette valeur on peut fe procurer la
même chance par un jeu équitable”).

À l’aide de cette hypothèfe, il démontre par un raifonnement ingénieux les
Propolitions I, IT et IIT 7) qui font des cas particuliers du Théorème: Avoir

?, chances d'obtenir 4%, , p, d'obtenir &,;, Etc. vaut E R).

Après avoir formulé ces Propofiti dons. il pate immédiatement au problème des
partis et aux autres problèmes qu’il fe propofe de réfoudre. En effet, la feule
méthode fuivie par Huygens non feulement dans {on Traité de 1657, mais auffi
dans fes recherches ultérieures fur le calcul des probabilités, confifte dans une
application continuelle, répétée autant de fois que le problème l'exige, de ces
apres Il emploie partout cette méthode , à l’exclufion de celle qui apprend

à dreffer, dès l’abord, à l’aide de l’analyfe RATE le bilan des cas favo-
rables et défavorables à l'évènement en queftion. Il l’applique même dans les cas
où cette ny méthode mènerait bien plus facilement au but.

.

#) Comparez la p. 59 du présent Tome.

6) Voir la p.61. De l’exemple qu’il fait suivre il résulte que Huygens entend par un jeu
équitable: un jeu où les chances des deux joueurs sont égales. Or, il nous semble que
l'expression ,un jeu équitable” (dans l’édition hollandaise ,rechtmatigh spel”, dans
l'édition latine ,æquâ conditione certans”) n’admettrait pas d’autre sens même si toute expli-
cation ultérieure avait manqué. Nous croyons donc que Jacques Bernoulli a tort lorsque,
à la p. 5 de son ,, Ars conjectandi””, il prétend avoir remplacé l’axiome de Huygens par un
autre d’un usage plus simple et plus à la portée de tous, qu’il énonce, en italiques, comme
suit: ,,que chacun doit attendre, ou doit être censé d’attendre, ce qu’il obtiendra infaillible-
ment” (,,;quod unusquisque tantundem expectet, vel expectare dicendus sit, quantum infal-
libiliter obtinebit”). Or, cet axiome nous semble bien moins évident que celui de Huygens.
On peut même dire qu’il ne devient intelligible que par les applications que Bernoulli
en a faites.

7) Voir les p. 63 —67.

#) Si Huygens n’énonce pas expressément ce théorème plus général; c’est parce que les
Prop. I, I, Il suflisent pour la solution des problèmes dont il s'occupe dans son Traité.

20 AVERTISSEMENT.

Prenons, par exemple, le quatrième des Exercices du Traité de Huygens
(p: 89). Le nombre votal des mas 85 des 12 jéroës du problème,

dont 4 blancs et 8 noirs, eft égal à —— + = S NON LE Süppofons que À, le

premier des deux joueurs, en Ph toujours les fept premiers; le nombre des

7! x 5" —

permutations qui lui font favorables eft alors évidemment égal à lat alal

= 5$ X 5 X 7, fa chance eft donc répréfentée par . et celle de l’autre joueur

64
B ar trans
pe 99
Que l’on compare cette folution à celles du même problème que Huygens a

données en 1665, telles qu’on les trouve aux 2—4 de l’Appendice IT, p.97—99
du préfent Tome. Évidemment il était facile à fes fuccefleurs immédiats: de
Monmort, de Moivre, Bernoulli et Struyck *) de dépaffer fur plufieurs points

importants l’œuvre de Huygens, au moyen de l’application de l’analyfe com-

binatoire. Et il faut ajouter que fes prédécefleurs, Fermat et Pafcal, fe fer-
‘vaient de même avec avantage (mais comme nous le favons à l’infu de Huygens)
de cette analyfe pour la réfolution de quelques problèmes de ; jeu *)... nr
Pour autant que nous le fachions, Huygens ne s’eft occupé qu’une feule fois, e en
1668, de cette branche nouvelle des mathématiques, qui fe développait pendant
fa vie par les travaux de Pafcal 5) et de Wallis #). Nous reproduirons en lieu
propre ces recherches de Huygens intitulées : ,,De A a mirandis”.

Une autre particularité de la méthode pratiquée par Huygens, c’eft qu’elle
amène fouvent la folution défirée fous la forme d’une fuite infinie 5) dans des cas.

où l’on peut éviter l’ufage d’une telle fuite en utilifant une voie différente °).
C'’eft à l’une de ces occafions que Huygens apprit à fommer la fuite formée par

") Voir la p. 9 du présent Tome.

?) Comparez la note 14 de la p. 7.

3) Dans son , Traité du triangle arithmétique”, publié en 1665. Voir, plus loin, les notes
2 et 3 de la p. 22.

#) Dans son ,,Discourse of combinations, alternations, and aliquot parts” qu'il joignit à l'édition
anglaise de 1685 de son ,, Algebra”. On le trouve aux p.485 —529 du ,, Volumen alterum” de
l’édition latine, citée dans la note 10 de la p. 0.

5) Comparez les pp. 105,111, 119,131, 135, 140,176 et 178.

5) Voir les pp. 31-—42 de cet Avertissemerit et les notes 2 de la p. 142 et de la p. 179.

PANIER ES de cn nd ae ré

E
4
4
4
4
4!
d “A
Si
4}
ni
Et

AVERTISSEMENT. 21

les fraétions qu’on obtient en divifant l’unité par les nombres triangulaires succef-
fifs 7). Dans tous les autres cas il s’agit de fuites de la forme 4 + 24r + 3ar° +
+ 44r5 +... (où à et r font des fractions données), dont la fommation lui
réuflit également *).

Le Problème des partis.

Le problème des partis remonte jufqu’au quinzième fiècle ?) et les favants
s’en font encore occupés de notre temps.

Laiffant de côté les extenfions qu’on lui a données plus tard, on peut le for-
muler comme fuit :

Les joueurs A, B, C... jouent à qui aura gagné le premier # parties, leurs
chances à chaque partie étant égales. Ils veulent ceffer le jeu au moment où il
leur manque refpectivement %, b,c... parties. Dans quel rapport doivent-ils fe
partager l'enjeu e ?

Parlons d’abord du cas de deux joueurs, À et B, et défignons par (4, b)e la
part de l’enjeu qui revient au joueur A et de même par g(#, #)e celle qui eft due
à B. Alors la folution du problème peut être exprimée à volonté par l’une ou
l’autre des deux fuites: 1°)

Un D=ÇYE [: géhkhr 1 d- (a+b—1)(a+b—o2) +

1 F.2
(a+b—1)(a+b—a a
Le 1.2...(b—1) L

7) Voir les p. 144—150.

8) Voir les pp. 106, 113—114 et 121. Comme nous l’avons indiqué aux p. 17 —18, les derniers
problèmes , traités par Huygens en 1688, conduisent également à des suites de cette forme
sans que Huygens en achève la sommation.

9) Voir les pp. 327, so1—502, 520—521 du T.II des ,, Vorlesungen über Geschichte der
Mathematik” de M. Cantor (édition de 1900).

19) On trouve une démonstration de l’identité de ces deux suites à la p. 98 de l’ouvrage de Tod -
hunter, cité dans la note 11 de la p. 9.

22 AVERTISSEMENT.

Ga D=Q) THONON EE

re au

Après les folutions fauffes de Paciuolo (1494), de Cardano (1539) et de Tar-
raglia (1556) *), les premières folutions exaétes ne furent obtenues qu'après
un intervalle de plus d’un fiècle par Pafcal (1654), Fermat (1654) et
Huygens (1656). |

Parmi ces derniers ce fut Pafcal qui, en cette matière, devança de loin
fes deux rivaux. Sa folution, telle qu’elle parut dans fon ,, Traité du triangle
arithmétique” *), fous l’en-tête ,Ufage du triangle arithmétique pour déter-
miner les partis qu’on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plufeurs
parties”, ne diffère pas effentiellement de celle repréfentée par la formule ( 1
En effet, les termes qui fe trouvent entre crochets dans cette formule, et qui
font des coefficients binomiaux, correfpondent un à un aux ,,cellules du triangle”, #2
dont la fomme eft le dénominateur de la fraction qui détermine chez Pafcal la s 4 5
portion revenant au premier joueur. Re

De plus, Pafcal a donné des folutions plus fimples et très intéreffantes pour Le
les cas (#—1,#) et (#—2,#). On retrouve facilement la première de ces
folutions en remarquant que la fuite (1) nous donne: sh és 1e

Er

+ 24) e 3 37H86"
(3) p(n— 1,8) —G,n 1) = CE DES

Con=n310 4215) Ca 5) Lee A RS
2 [(n—1)17 7 (2n—9)(on—4)....2

*) Paciuolo divise l’enjeu dans le rapport de (#—#) à (n—h); Cardano dans celui de
(+2..42)à(1+2+4...—+4 4); enfin Tartaglia dans celui de(n 5 4)à(n—a—06)s
voir les pages des ,, Vorlesungen” citées dans la note 9 de la p.21. Il est curieux de remarquer
que, de ces trois savants, Cardano soit le seul qui ait compris, avec Pascal, Fermat et Huygens,
que le nombre # des parties à gagner, dont on est convenu au commencement du jeu , doïtêtre
sans influence sur le partage à faire quand on connaît les nombres des parties qui manquent.

*) Ce traité ne fut publié qu’en 1665 comme œuvre posthume, mais il avait déjà été imprimé
du vivant de Pascal et on sait que celui-ci l’avait envoyé à Fermat en 1654; voir à la p. 308
du T. IT des ,, Œuvres de Fermat” la lettre du 29 août 16 54 de Fermat à Pascal, où il Iui parle
de ;, Vos derniers Traités du Triangle arithmétique et de son application”. tré Enefé

3) Comparez la Proposition III du Traité de Pascal , P. 265 du T. III de l'édition de Hachette
des , Œuvres complètes de Blaise Pascal”, Paris, 1 872.

1érten

AVERTISSEMENT. 23

et qu’on a évidemment:
(4) gn—1,#) + gr, n—1)=1 3),

Enfuite la folution du deuxième cas fe déduit immédiatement de celle du
premier cas par l’emploi de la relation:

(5) p—1,n) = 2, n) + pi, 1),

où évidemment g(#—1,#7—1) —- 4).

C’eft à l’aide des formules (3)—(43} qu’on arrive aifément aux réfultats qui
furent communiqués à Huygens par l'intermédiaire de Carcavy dans la lettre du
28 feptembre 1656 5); réfultats que Pafcal avait déjà obtenu en 1654, comme
le prouve fa lettre à Fermat du 29 juillet de cette année °).

D'ailleurs, comme nous l’avons déjà dit dans la note 14 de la p. 7, Pafcal
favait réfoudre de la même façon que Huygens les cas fimples du problème des
partis, tandis que Fermat y appliquait l’analyfe combinatoire 7),

Huygens, dans fon Traité, fe contente de fon côté de réfoudre quelques uns
de ces cas fimples , où 4 et Z font des nombres relativement petits *) , et de mon
rer comment on peut pafler de là à des cas de plus en plus compliqués ?).

Parmi les premiers fucceffeurs de Huygens fur le cerrain du calcul des proba-
bilités, Struyck ne s’eft pas occupé du problème des partis; de Monmort, dans la

4) Comparez la Proposition IV , p. 266 de l’ouvrage cité dans la note précédente.

$) Voir la p. 493 denotre T.I. Posons (2#—3) 2H—5)...1—n;(2n—2)(27—4)...2 6
et soit l’enjeu égal à 28. On trouve alors g(n—1, n)e=8 +a; q(n—2,n)e=8 + 20.
[1 faut donc quand on se sépare après la première partie que le gagnant reçoive outre sa mise
une somme égale à «, et une somme 2« quand on le fait après la seconde. C’est le résultat
exprimé dans la lettre de Carcavy.

5) Voir les pp. 292 et 294 du T. II des ,(Xuvres de Fermat”.

7) Consultez encore sur les solutious de Fermat la note-3 de la p. 28.

8) Voir les Prop. V— VII (p. 69—73).

9) Voir le dernier alinéa (p.75—76) de la Prop. IX.

AVERTISSEMENT.

24

première édition de 1708 de fon Effay” r) et Jacques Bernoulli dans fon ; Ars
conjeétandi” *) ont donné la formule (1); de Moivre a, le premier , étendu la
folution au cas où les chances p et 9 (p+4=—= 1) des joueurs À et B de gagner
une partie font inégales #). Dans ce cas les formules (1) et (2) doivent être

remplacées par les fuivantes :

QG.) PODET es en nr EEE
SR
C2.) G,5)=p [rte + ER D get !
RCE DAC SE =]. . “ v “

De ces formules (1,) et (2,) de Moivre a donné la première dans 1e Mé ioire
de 1711, cité dans la note 3 de cette page; de Monmort y a ajouté la fe onde
dans l’édition de 1713 de fon ,,Effay” +). PRES

Parmi les mathématiciens plus modernes qui fe font occupés du problème des
partis nous citerons Laplace, qui a trouvé la fonction génératrice 5) dont le
développement fuivant les puiffances de fes deux variables fait connaître les
valeurs de y(4, b), parce que ces valeurs font égales aux coefficients des termes /
du développement, et Meyer qui a réufli à repréfenter g(4, b) à l’aide d’une
intégrale définie très fimple ©).

08 2 pi

Dans le cas de # joueurs À,, À,,....A,, RS il manque BE A à
d:,4,3..4, parties, On a: ie

4 400 (e: Ho
DTA
7) Voir la p. 97 (Art. 173) de l'ouvrage de Todhunter. Las LRO
?) Voir la p. 109 de l’ouvrage cité dans la note 13 de la p. 9. His p 2RGË HSE
3) Voir la p. 217 du Mémoire de 1711, cité dans la note 12 de la p. 9. PAS UE
#) Voir la p. 245 de cette édition. Lensb Starr

faits): : Ru
5) Elle prend la forme: a 2 Te a E )— 7)’ pa ,b) étant égal au coefficient du terme de

contenant /,‘z,/; voir la p.625 du T. VII des , Œuvres complètes de Laplace, nr ur
les auspices de Ÿ'Acadénite des Sciences, Paris, Gaithier-Villars, 1886”. à 0.0

AVERTISSEMENT. 25

LEP Nc FC, “asset e) 4, à:
(6) p(,4,...4a,)—= he FC, +1) Pa) Gt) Pr Pa ++.Pn

OÙ Pr» Pasee es Pa Tepréfentent les probabilités que les joueurs ont de gagner une
partie et où la fommation doit être étendue à routes les valeurs entières de #,,
U,,..., 4, pour lefquelles o <4,<4,—1 7).

Déja Paciuolo ( 1494) s'était occupé du cas de trois joueurs *), Pafcal, Fermat
et Huygens favaient calculer (en fupposant p, = p, = p,) pour chaque cas parti-
_culier les efpérances mathématiques des joueurs; Pafcal et Huygens en réduifant
la folution du cas donné à celle de cas plus fimples ?); Fermat en appliquant
l’analyfe combinatoire *°). C’eft en fe fervant de cette dernière méthode que de
Moivre découvrit le premier une règle générale dont l’application ne diffère
point de l’emploi de la formule (6) **).

Ajoutons enfin que Laplace **) et Meyer ‘3) ont fu généralifer leurs folutions
que nous venons de mentionner, de forte qu’elles deviennent applicables au cas
de # joueurs. |

5) Voir la p.69 de l’ouvrage: , Cours de calcul des probabilités fait à l'Université de Liège
de 1849 à 1857 par A. Meyer, publié sur les manuscrits de l’auteur par F. Folie. Bruxelles,

pb
F. Hayez, 1874”.On a g(4, b)—= SO at—i(r— x} dx,
o

7) Ainsi p.e. dans le cas 4, =—2,4,=—= 2,4,= 3 On doit sommer les six termes qu'on obtient
en posant successivement 7,—=0, #3=0; #3—=0, U3= 13; 3 =0, U3=25 031,
HU = 03 Uy == 15 = 1,042. On sait qu'on a T(1)=1 et T(n)=(n—1)
(n—2)...1 pour z entier et plus grand que l'unité.

8) Paciuolo se contenta de généraliser sa solution inexacte du cas de deux joueurs; comparez la
note 1 de la p. 22.

9) Voir, quant à Pascal les pp. 300—301, 306 et 307 du Tome II de l’ouvrage cité dans la
note 1 de la p. 3, et quant à Huygens les p. 73—77 du présent Tome.

19) Voir au T. II de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 3 les pp. 302—306 et 310---312.

11) Voir les p. 191—192 (Problem LXIX) de l'ouvrage cité en premier lieu dans la note 12 de
la p. 9.

de Voici. dans notre notation, la fonction génératrice généralisée telle qu'on la trouve à la
p. 642 du T. VII de l’ouvrage cité dans la note 5 de la p. 24:

tr La În 1—Dolo Pots 0: à —Pntn
A ES EEE — Prin ?

p(4, , 4, - . an) étant égal au coefficient du terme 7,4 7,% . .… fut.
13) Dans nos notations le résultat obtenu par Meyer s'écrit :

26 AVERTISSEMENT.

Les Problèmes des dés.

Le 99 juillet 1654 Pafcal écrivit à Fermat *): ,,J'admire bien cavantage la
méthode des parties que celle des dés; j’avois vu plufieurs perfonnes trouver celle
des dés, comme M. le chevalier de Méré, qui eft celui qu me propofé ces
dueftions, et auffi M. de Roberval; mais M. de Méré n’avoit ju pu trouver En
jufte valeur des parties *) ni de biais pour y arriver, de forte que je me trouvais
feul qui euffe connu cette proportion.” MR LE

Pafcal avait en vue le problème des dés tel qu’il fut formulé par de Méré. Pour
celui-ci il s’agiflait de favoir en combien de coups on peut entreprendre avec
avantage de jeter deux fix avec deux dés, mais l’extenfion au cas de # dés > et le
problème plus général de déterminer en combien de coups on peut gager
d’amener un événement quelconque dont la probabilité à chaque coup eft égal à
p, ne préfentent non plus aucune difficulté, pourvu qu’on y emploie le calcul sa
des logarithmes. | De

Huygens l’a montré lui-même dans la Pièce de 1676, deftinée à Dierkens3), où

pa. . « An) PE (4, +4, +. +4»)

LORS DS
PCs pa at Cry pa)a Ca puy |
te G ERP E AIRE LA DEIDIURE dx, 4x3. .dxn

0

Après avoir développé suivant les puissances de p,. ..p, le numérateur de la fraction qui
se trouve sous le signe d’intégration, on calcule facilement les termes qu’on obtient à
l’aide de la formule:

LR EE PA

in CE ere € D EAN ONE à : |
CDDP D TO TG rique)

T(u)

© mm, 8

OÙ Pos Vgereee net, — V5... —v;—# doivent être des nombres entiers < o; voirles
p.72 et 73 de l’ouvrage cité dans la note 6 de la p.25.
*) Voir la p. 290 du Tome II des »Œuvres de Fermat”, citées dans la note 1 de la De %
*) Il s'agit du problème des partis. | + EAP
3) Voir, sur cette Pièce, la p. 16 de cet Avertissement. OR REUTS

AVERTISSEMENT. 27

il obtient par un raifonnement très fimple une folution qui, appliquée au pro-
bleme général, confifte dans la détermination du plus petit nombre entier excé-
- dant le quotient de log 2 par log (1—p}) +). Pourquoi donc Huygens s’eft-il
borné dans fon Traité de 1657 aux cas d’un feul et de deux dés 5) et n’y a-t-il fu
réfoudre le problème dans ce dernier cas que par des calculs qui doivent avoir
été affez pénibles ? :

Il eft vrai que le calcul des logarithmes ne femble pas avoir fait partie du cours
profeffé par van Schooten ‘) et qu’on n’en rencontre dans les manusfcrits de
Huygens aucune trace avant 1661, tandis qu’alors ce calcul eft approché par lui du
côté géométrique en connection avec la quadrature de l’hyperbole 7). Toutefois
il femble inadmiflible que Huygens n’ait pas pris connaiffance avant 1657
d’une branche fi importante des mathématiques, fans doute bien connue en Hol-
lande par les travaux de Vlack *). En effet, la réponfe à la queftion que nous
avons pofée eft à la fois plus fimple et plus curieufe. C’eft que Huygens avait
attaqué en 1656 le problème du côté le moins acceflible. Au lieu de confidérer
dès l’abord l’efpérance mathématique de celui qui donne à jeter, il avait com-
mencé par s'occuper des chances plus compliquées de celui qui jette les dés, de
forte qu’il ne s’était pas aperçu que l’efpérance du premier peut être repréfentée

par l’expreffion SR) , où 4 eft l'enjeu, # le nombre des dés avec lefquels on

doit jeter » fix , et #7 le nombre des coups dont on eft convenu.

L’exaétitude de cette explication eft prouvée indubitablement par l’Appen-
dice VII de 1676, p. 156—163 du préfent Tome. On y voit dans quelles cir-
conftances Huygens découvrit enfin la fimplification qu’on obtient en s’occupant
en premier lieu des chances du ,,contra certans”’, comme Huygens l’appelle ?).

4) On trouve cette même solution à la p. 231 de l’ouvrage de de Monmort cité dans la note 11
de la p.9, à la p. 219 du Mémoire de de Moivre cité dans la note 12 de la p. 9 et à la p. 32 de
l’,Ars conjectandi” de Jacques Bernoulli.

$) Voir les Prop. X et XI, p. 79—83 du présent Tome.

5) Voir sur ce cours les p. 7—20 du T. XI.

7) Voir la Pièce d'août 1661, intitulée ,,Fundamentum regulæ nostræ ad inveniendos logarith-
mos”, qui se trouve aux p. 18—19 du Manuscrit B et que nous reproduirons en lieu propre.

8)Sa ,,Trigonometria Artificialis, sive Magnus Canon Triangulorum Logarithmus” parut en
1633, chez Rammazeyn à Gouda.

9) Voir la note 5 de la p. 161,

28 AVERTISSEMENT:

D'ailleurs la Pièce deftinée à Dierkens, dont nous avons déjà parlé *), nous
apprend comment Huygens a profité auflitôt de cette découverte. bad srrsid

|
(2

Un autre problème des dés, traité par Huygens dans la Prop. XII É ès favoir
» Trouver le nombre de dés avec lequel on peut accepter de jeter 2 fix du premier
coup”, n’admet pas de folution auffi fimple que celui que nous venons de con-
fidérer. Comme Huygens l’a remarqué il eft équivalent ,,à la queftion de favoir
en combien de coups d’un feul dé l’on peut compter jeter deux fois un 6”

Suppofons plus généralement qu’il s’agifle d’un événement dont la probabilité
à chaque coup eft égale à p et qu’on veuille connaître la probabilité qu’il fe pro-
duife au moins #7 fois en # coups. Mn cu
Cette probabilité eft repréfentée par la fomme des (#—" + 1) premiers termes
du développement de (p +4)", où 9 —= 1—p; la probabilité complémentaire
eft donnée par les # derniers termes du même développement 5). Pour réfoudre
le problème pofé par Huygens il faut donc chercher le plus petit nombre entier de

pour lequel:

COMORES OO

: tri
ou bien déduire ce même nombre à l’aide de la relation : à si

GRO ER An

Il eft évident que c’eft la feconde formule qui mène le plus facilement au but
défiré. Or, le calcul effectué par Huygens correfpond à l'emploi de la première.

: MC CE

©) Voirsla p. 16. . APE

?) Voir les p. 83—85. L'HUNVT ES

#) C’est la solution obtenue par Bernoulli, p. 38 —43 de son »Ars conjectandi”* Évidemment
elle peut s’écrire sous la forme de la formule (14) de la p. 24. Or, de Moivre donne’àla
p.13 de sa ,, Doctrine of chances” (voir la note 12 de là p. 9) une solution qui correspond à
la formule (24) de la même p. 24. En effet, le probléme que nous traitons ici , ne diffère pas
essentiellement du problème des partis auquel se rapportent ces deux formules. Afin de le
montrer, soient #7 et #—m" les nombres des parties qui manquent encore aux joueurs À et B

FPE 0e

AVERTISSEMENT. 29

Les Exercices propofés aux lecteurs du Traité de 1657.

Les Exercices qu’on trouve vers la fin du Traité de 1657 +) n’ont pas
manqué le but ,,de laifler quelque chofe à chercher” aux ,,leéteurs, afin
que cela leur fervit d’exercice et de pafle-temps” 5). En effet, parmi les
favants qui fe font occupés à les réfoudre: Hudde°), Spinoza’), de Mon-

p la probabilité à chaque partie qu’elle sera gagnée par À , g la probabilité complémentaire,
c’est-à-dire celle que B la gagné. Supposons de plus, comme Fermat l'avait déjà fait pour
obtenir sa solution du problème des partis (voir les pp. 301—307 et 310—311 du T.II des
Œuvres de Fermat), qu'on convienne de jouer en tout cas #—1 parties, même si le jeu était
décidé plus tôt, c’est-à-dire même si l’un des joueurs avait gagné avant la #—1i"° partie
celles qui lui manquent. Lorsque #, ou plus que #, de ces #—1 parties ont fini à l'avantage
de A, il est évident qu’il a gagné le jeu puisqu'il a pu compléter le nombre de ses parties
gagnées, sans que B dans les —#»7—1 parties restantes ait pu gagner celles qui lui manquaient.
Lorsque, au contraire, À a gagné moins que » parties, B a gagné le jeu. La probabilité
que le jeu soit gagné par À est donc la même que celle qu’un événement de la probabilité p
arrive #, ou plus que # fois, en #—1 épreuves.

4) Voir les p. 89—81.

5) Comparez la p. 59.

6) Voir pour le deuxième Exercice les p. 304—307 et 382—383 du T. V et la note 3 de la
p.88; pour le quatrième les pp. 304 et 307 du T: V et les notes 1 et 4 de la p. 100; et enfin
pour le cinquième les p. 470—471 du T. V.

7) On trouve la solution de Spinoza du premier Exercice dans le traité , Reeckening van
kanssen” [Calcul des chances], qui probablement fut publié en combinaison avec sa ,,Stel-
konstige reeckening van den regenboog” [Calcul algébrique de l’arc-en-ciel]. Ces deux

petits traités étant devenus très rares, Bierens de Haan en fit une réimpression (Leiden,
Muré frères, 1884). Le premier traité fut reproduit de même aux p. 521—524 de l'ouvrage
»Benedicti de Spinoza Opera quotquot reperta sunt, Recognoverunt J. van Vloten et
J. P. N. Land. Volumen posterius. Hagæ Comitum apud Martinum Nyhoff. 1883.
Puisque la solution de Spinoza n’a paru jusqu'ici, pour autant que nous le sachions,
qu’en hollandais nous en donnons ci-après une traduction française :

»PREMIER PROBLÈME.

A et B jouent l'un contre l'autre avec 2 dés à va condition suivante: À aura gagné S'il jette
Gpoints, B s'ilenjette 7. À fera le premier un seul coup ; ensuite B2 coups l'un après l'autre;
puis de nouveau À 2 coups, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l’un ou l’autre aït gagné. On
demande le rapport de la chance de À à celle de B. Réponse : comme 10355 est à 12276.

Afin de répondre à cette question, je la divise , d’après la seconde règle de l’Art de penser
du Sieur Descartes” [voir le Discours de la methode”, p.18 du T. VI des Œuvres de

30 AVERTISSEMENT.

mort *), de Moivre *), Jacques Bernoulli #) et Struyck +), on rencontre quel-
ques noms des plus illuftres. Si donc ces problèmes, avec les généralisations aux-
quelles ils conduifent naturellement, ont exercé une influence inconteftable fur le
développement du calcul des probabilités, Huygens en doit partager l’honneur
avec Fermat et Pafcal qui lui avaient propofé M ap Lr JPRPrEI le

premier et le troifième , Pafcal le dernier des cinq Exercices $). di. SHPRSEN
Pour des informations plus détaillées fur chaque Exercice en parue n nous
préférons renvoyer le leéteur aux notes des p. 88—o1. 01.21 Hp EME

Descartes, publiées par Charles Adam & Paul Tannery, 1902] ,,en ces deux Propositions. Fe a
PREMIÈRE PROPOSITION. ;

B et À jouent l'un contre l'autre. avec 2 dés à cette condition, que B & gagnera S'il jeit
et À sil en jette 6, pourvu que chacun fasse deux coups consécutifs, et que

premier. Loterie kationt sous E 14256 7 8375 sie do HOT
22631 ? 22631

:ANIPNTOT Fe
ANALYSE ET DÉMONSTRATION.

Soit x la valeur de la chance de À, et que ce qu’on a mis, ou l'enjeu, soit roll me :
chance de B vaut donc #—x. Il paraît de même que, dans cette supposition, chaque foisque
le tour de B revient la chance de A sera de nouveau x, mais toutes lés fois qu'ilest-letour de
A de jeter, sa chance doit être plus grande. Désigoons par y ce qué cette chance vaut alors.
Puisque donc B doit jeter le premier et que 6 coups de 2 dés, parmi les 36 qu’il ya enttout,

lui peuvent donner 7 points, on à trouvé.que sur les deux fois où ii lui est permisdejeterila
(après réduction du rapport) 11 chances à 7, ou de gagner , et 25 qui lui font manquer, à

savoir, qui font revenir le tour de A” [on trouve en effet 11:25 pour lerapport des chances 2
en remarquant que B a 6 X 36 chances de gagner au premier coup et:30 X 6 de gagn
second coup, le nombre total des chances étant 36 X 36]. ,,Par conséquent À, lorsqi
commence à jeter, a 11 chances à o, ou de perdre, et: 25 dhslées désir JDE est-à-di

ce sera son tour dejeter. Cela vaut donc à A , Mais puisqu’ on a “supposé que la L« han

de À vaut x au commencement, on a donc Sr ie x, et par suite y 90 39% 3 7 de -

trouver la valeur de y encore d’une autre + il est sûr que lorsque À pe jeter

il a 5 chances à 7, ou de gagner, parce qu’il y a 5 chances des 36 qui lui peuvent donner
6 points; tout bien compté on a constaté que, dans deux coups, À a s35changes es

et 961 qui font revenir le tour de B, c'est-à-dire qui lui donnent x. Cela vaut ae
Comme cela doit être % y et qu'on a trouvé plus par 2 7, il faut donc que

3354 1x 2
3350 pete soit égal à ©, d’où l'on déduit x 20 se, , ce quiest il chance de À, ‘et par ni

À De. Pete SOON PS UE Ce ee |
ip à * NS me PEU

AVERTISSEMENT. 31

Problèmes échangés entre Huygens et Hudde fur l’avan-
rage ou le défavantage de la primauté.

Cas où l'enjeu, quelle qu'en [oit la grandeur, peut être gagné d'un [eul coup.

Afin de découvrir le fil qui nous conduira à travers le dédale des problèmes que
Huygens et Hudde fe fonc propofés en 1665, et des malentendus qui en font
réfultés, nous commencerons par réfoudre le problème qui fuit:

À et B jettent à cour de rôle. Lorfque le coup leur eft favorable ils prennent tout
ce qui fe trouve à l’enjeu et la partie eft finie; s’il leur eft défavorable ils ajoutent

suite la chance de B vaudra se a. La chance de A est donc à celle de B comme 8375 à

14256 et réciproquement celle de B à À comme 14256 à 8375. Ce qu’il fallait démontrer.

DEUXIÈME PROPOSITION.

À joue contre B comme il est décrit dans le problème. Leurs chances sont À en » , B Res 5 ‘

ANALYSE ET DÉMONSTRATION,

Puisque À a $ chances à 7, ou bien de gagner , et 31 chances de manquer, c’est-à-dire de

: Æ : 8 *
se trouver dans le cas de la première proposition, ce que lui vaut 375 y: il a donc 5 chances

22631
à 2481) (afin queje réduise tout au même dénominateur), et 31 chances à 8375 a. 11 vient”
22631 Ÿ 22631
[nous supprimons quelques calculs très simples] ,,10355 pour la chance de A. 12276 pour la
chance de B. Ce qu’il fallait démontrer.”

1) Voir dans l’ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9, les p. 216—223 de la Quatrième Partie.
Où l’on donne la solution de divers Problèmes sur le hazard , & en particulier des cinq Pro-
blêmes proposés en l’année 1657 par Monsieur Huygens”,

2) De Moivre a donné des solutions du deuxième, du quatrième et du cinquième Exercice; voir,
dans les ouvrages cités dans la note 12 de la p. 9, pour le deuxième Exercice les p. 229 —232
de son Mémoire de 1711 et les pp. 49—51 et 55-—56 de son Traité (édition de 1738), pour
le quatrième les p. 235—236 du Mémoire, pour le cinquième la p. 227 du Mémoire, et les
p. 44—47 du Traité.

3) Voir les p. 49—71 de la ,,Pars prima” de son ,, Ars conjectandi” et encore pour le troisième
et le quatrième Exercice les p. 144—146.

+) Voir, dans l'ouvrage cité dans la note 14 de la p. 9, les p. 32—45 où l’on trouve les solutions
des cinq Exercices, et encore sur le premier Exercice la p. 62 , sur le deuxième les p. 91—92
et sur le cinquième la p. 110.

5) Comparez les notes 7 et 13 de la p. 7.

32 AVERTISSEMENT.

un ducat à l’enjeu. Soit & la probabilité, quand c’eft le tour de A de jeter, que
le coup lui foit favorable et &’ la probabilité complémentaire (a+ & =1 );
foient B et B les probabilités correfpondantes dans le cas de B. Suppofons que
les joueurs fe féparent à un inftant où l’enjeu eft monté à # ducats, comment
doivent-ils fe partager cet enjeu, 1°. dans le cas où c’eft le tour de A de je
2°. dans le cas où c’eft le tour de 97 as

Repréfentons par g(z) la part qui revient à À dans le premier cas, par dC7)

celle qui eft due à B dans le fecond cas. | Eli OR
On a alors fuivant les règles du jeu : Sie hAä

(3) Gr) = an + a (n—d{n+1))"1), 5H 19 À

G@) DUOET ENCRES

Or, on peut confidérer la part de À comme la fomme de deux parties d dont |
l’une fe rapporte à fa chance, au cas où le jeu eût été continué, d'obtenir l'enjeu É
actuel, et l’autre à fes chances de gagner dans ce cas, outre l'enjeu aétuel, les :
ho. ajoutés par fon adverfaire pendant la continuation du jeu ou bien de perdre
ceux qu’il y aurait dû ajouter lui-même. : | vos SR CU

Évidemment la première de ces parties eft proportionnelle à Lai: n; rondis
que l’autre eft une quantité conftante puifque la chance que le jeu finira oune
finira pas par un coup donné eft pains de la pute de Te ME |

On peut donc pofer :

(5) G) = ana), ue latin son ste)
et de même : Rare
(6) VO =bnte, È
ir FE ë0 :

Or, la fubftitution de fes expreffions dans les équations " et (4) nous “foi,
puifque 4, , 4,, b, et b, font indépendants de #: Frs Pers % nt

A—i-ab;b=i-fRa;a x (b,+ 0); b, =-f cata
d’où il s’enfuit: de +

mr sb a 4 mer À à
= ; b, mr OU =
1—af FE (1—æ4R"): Le

*) Ici et dans les formules qui suivent l’unité représente un ducat,

AVERTISSEMENT, 33

et par conféquent :

(7)

(8)

p()=> ue + Te B) =),

= Pr} ER 2)
OS et Gap)

On trouve donc p. e. :

(9)

(ro)

LA , I
et l’on a dans le casa = «x = B—fR —-

(1)

2°

_

P,) = Ÿ,(n) = nr

Prenons maintenant le premier problème fur le défavantage de la primauté,
tel qu'il fut propofé par Huygens à Hudde dans fa lettre du 4 avril 1665 3).
Ce problème avait été formulé par Huygens comme fuit : 4)

»A et B jettent à tour de rôle croix ou pile, fous condition que celui qui jette
pile mettra chaque fois un ducat, mais que celui qui jette croix prendra tout ce qui

?) Voici comment cette formule peut être obtenue par une méthode qui ne diffère pas essentielle-
ment de celle suivie par Huygens dans ce genre de problèmes. Cherchons à cet effet la somme
des valeurs des chances de A pour chaque coup par lequel le jeu peut se terminer.

On trouve de cette manière:

q(n)=an—0"8—+a'p'açn+1)—20 788 Ha Ba(n+2)— 303884 a 3B3a(n+-3)+
+... rs + a'8la 5 20/80 + 3u'383a +... — af — 20/28'8 — 30 5f28 —

ap D nt G— à m5. G Par (puisque [4 + 24r +- 3ar° + ... =

= ai — cp

Fra" —"7 0
3) Voir la p. 304 du T. V.
4) Voir la p. 348 du T. V.

a'(op”
m7 + €: —.0"8") “

“HS AVERTISSEMENT.

eft mis, et A jette le premier, pendant que rien n’a été mis encore.
eft, combien À perd, quand il entre dans ce 468; ou combien il gloss onn
à B pour pouvoir en finir ?” à he sd

_ Or, Huygens en pofant cette queftion avait fous- entendu que » le jeu ne de:
pas finir avant que quelque chofe n’eût été mis de part où d' autre” 4
Dans ce cas on a pour calculer la perte p de À: mn

p=—iptii(— 4, DE dr à Ms e ..
c’eft-à-dire, en appliquant la forma < Di.
| pd Ga) =
réfulrat qui fut, en ces, M den par y D
ferait fini. Dans cette hyporhèfe on a:
Pare (= 4.0 >= À

réfultat qe” Hudde communique à re dans: Cr :
du T. V). fi | L É ra

fu ivante gr

#) Voir la p. 422 du T. V. TR ne
?) Comparez la p. 318 du T. V et consultez, pour PER ji voie vie
solution du problème, les p. 116—122 du présent 1e sé net

in

31 est vrai que Hudde avait commencé par trouver + Î é aul

p. 308 du T. V)) mais ce résultat avait été obtenu dan pos
du T. V) que celui qui jette pile doit mettre un ducat ,mais s
(de sorte que l’enjeu pouvait monter au plus à deux ducats, dont l’un
l’autre de B). Dans cette supposition la somme des valeurs des chances de

AVERTISSEMENT. 35

7 re

»A et B tirent à l’aveuglette à tour de rôle. A toujours 1 de 3 jetons, defquels
crois il y en a deux blancs et un noir, B de même toujours d’un certain nombre de
jetons blancs et noirs dont la proportion refte invariable ; fous condition que celui
qui tire un jeton blanc jouira de tout ce qui eft mis, mais qu’au contraire celui
qui tire un noir ajoutera toujours un ducat : et À cirera le premier avant que rien
n'ait été mis. On demande, lorfqu’on veut avoir des conditions équivalentes de
part et d'autre, de forte que, À commençant à tirer, il n’y ait d'avantage pour
aucun des deux, quelle proportion devra fe trouver entre les dits jetons blancs
et noirs ?” à

Pour réfoudre ce problème fuivant l'interprétation de Huygens nous repréfen-
terons par £a l’efpérance mathématique de À et par &, celle de B, lorfque c’eft
le tour de À de tirer et que rien n’a encore été mis.

On a donc, en employant les notations de la p. 32:

= ana + VCDE an #00),
so GA ÿ;

ans aux Rent manières dont le jeu peut se terminer est représentée par la suite infinie :
1

EUR tee

,. sh vrai aussi que dans sa lettre du 29 juin (p. 383 du T. V) Hudde corrige son résultat

de œ en s En effet, la conformité de ce dernier résultat de Hudde à celui de Huygens n’a

pas peu contribué à prolonger le malentendu qui existait entre eux. Cependant leur accord
n’était qu’apparent. Hudde, ayant cherché la cause de la divergence entre son résultat

(de 2) et celui de Huygens (ae 4) dans une différence d’interprétation des conditions

du problème, avait réussi (comme il le raconte naïvement dans sa lettre du 21 août,
p. 49-451 du T. V) à découvrir, non sans peine, ;un double sens évident dans le mot
gagner”. Ce mot ne se trouvait pas dans l’énoncé du problème tel que Huygens le lui avait
proposé, mais celui-ci ayant avoué (p. 422 du T. V) que cet énoncé avait été incomplet,
Hudde supposait que Huygens avait oublié aussi d’y ajouter une phrase de la portéesuivante:
que À en jetant croix du premier coup” gagnerait autant qu’il perd par les conditions
du jeu”. De cette manière Hudde avait donné à l’énoncé en question une interprétation
extrêmement forcée qui lui fournit enfin le résultat tant désiré, conforme à celui de Huygens.

Ajoutons que dans la même lettre du 21 août Hudde explique (p.447—448 du T. V) de

’ 1 i é I 2
quelle façon il avait obtenu successivement les nombres rai D:

+) Voir les p. 350—351 du T. V.

. 86 AVERTISSEMENT.

-et par conféquent :

FOIE RC LO UN

fem P se É

SC RER (interprétation de Huygens) = (a Se Ma à

La condition de l'égalité des chances de A et de B au commen
exige donc que le rapport 8: B' entre les jetons Hans et noirs de B.
racine pofitive de l’équation: É

4) is &- he ag - ue

équation qui dans le cas du problème (où aËr => = 2

= zts VY3.

Ce font là, en effer, les érhg obtenus par Huygens
Hudde dans fes lettres du 7 juiller et : 28 dns .

”

(13) En Gnrerprésarian de Huide) = = w 1 >=

L'égalité des chances exige donc en général:

Fr.

pour déduire ces péstsitatss le $1 dé 'Appéndies IV Ci
$ 3 de l’Appendice V (p. 106: 29 du même Tome). des ai
Ajoutons que dans sa lettre du 10 mai (p. 352—353 &T ss Huy
solution fausse 8 — 8’. Il la perde dans sa lettre du 7 Juillet @ 92 du
d’avoir mis un + pour un —’ Fra

AVERTISSEMENT, 37

et dans le problème 1pécial propofé par Hudde :

B __2.
Pire

réfultats qu’il annonça à Huygens dans fa lettre du 29 juin 3).

Voulant examiner encore d’une autre manière fi, en effet, fes, calculs” à lui et
ceux de Hudde ,,fuivaient des voies différentes”, Huygens demanda à Hudde #)

: ë . 20 A
s’il trouvait, comme lui, ne d’un ducat pour l’avantage de À, qui fait le premier

coup, dans le cas où A dispofe de deux jetons blancs et d'un noir et B d’un blanc
et de deux noirs.
On retrouve facilement le réfultat mentionné en fubftituant dans la formule (12)

de la p. 36 pour &, æ', f et B les valeurs > = = et ; La même fubftitution appli-

quée à la formule (13) fournit, au contraire, . d’un ducat. Sansdoute ce dernier

réfulrat eût été indiqué par Hudde dans fa réponfe fi le nouveau malentendu dont
nous avons parlé dans le deuxième alinéa de la note 3 de la p. 34 n’était intervenu.
On peut s’en convaincre en confultant les pp. 415—416 et 446 du T. V , où l’on

9

—— qu'il communiqua à
245

voit de quelle manière Hudde avait obtenu la folution

Huygens dans fa lettre du 29 juin 5).

Ici, comme partout, les calculs et les raifonnements de Hudde fur les queftions
dont nous traitons étaient parfaitement exa@s, les divergences entre fes réfultats
et ceux de Huygens ne provenant que des interprétations différentes qu’ils don-
nèrent à ces queftions.

LA

3) Voir les pp. 381 et 385 du T. V.
4) Voir sa lettre du 10 mai 1665 à la p. 353 du T. V.
5) Voir la p. 381 du T. V.

38 | AVERTISSEMENT.

Voici un autre problème propofé par Huygens dans fa lettre du 1omait): ne 1
A et B jettent à tour de rôle à croix ou pile, à condition que celui qui jee
pile mettra un ducat, mais que celui qui jette croix prendra tout ce qui eft mis;

et À jettera le premier. On demande combien A et B devraient mettre L ès le
commencement, c’eft-à-dire, chacun une somme égale, pour faire que la condition

de À et de B devienne la même ?”

Sur ce problème la différence d’interprétation concernant l’effet du pri
coup s’il était croix et que rien ne fût encore mis, ne trouvait pas « |
fuite, les réfulcats obtenus par Huygens et Hudde étaient identiques.

Évidemment l'égalité des conditions des deux joueurs exige ici:

or) =,
c’eft à dire *) :
n— — "nn;
+ 9 3

LEE

. . d | À è re 2 E* È 4
il faut donc que chaque joueur commence par mettre 3 d’un ducat.

Ce réfultat fut indiqué par Hudde dans fa lettre du nn ar H
dans la fienne du 7 juillet 1665 4). Ga HSE PU

“

Un dernier problème propolé par Huygens à Hudde en 1665
diable”. | ss is LOFT

2

»- +

pis
MU 4
AT «

*) Voir les pp. 353 et 38 1—382 du T. V.

*) Voir la formule (11) de la p. 33 de cet Avertissement. Mess
3) Voir la p. 382 du T. V, | Mu

AVERTISSEMENT. 39

fois un ducat fi quelque chofe a été mis. Et A jettera le premier quand il n’y a
encore rien à l’enjeu, et le jeu ne finira pas avant que quelque chofe ait été mis,
et l’on jouera jufqu’à ce que tout ait été enlevé. On demande quel eft le défavan-
rage de À ?”

De ce problème Huygens a élaboré une folution fous la date du 15 juillet 1665).
Il l’a aufli propofé à Hudde puifque celui-ci en a traité dans une pièce que nous
avons reproduite aux p. 463—469 du T. V.

Au premier abord le problème n’a. rien de bien particulier. Il femble même
que fa folution puifle être obtenue par un raifonnement très fimple 7) que nous
expofons dans la note 2 de la p. 142 et qui évidemment a échappé à l’attention de
Huygens *). Il y a cependant une réferve importante à faire dont nous parlerons
plus loin? ).

Nous commençons par développer ici ce raifonnement d’une manière un peu
plus générale que nous ne le faifons à la place précitée.

Suppofons, à cet effet, que les joueurs A et B conviennent de fe féparer à un
inftant où il y # ducats à l'enjeu, et foit x, la part qui revient au joueur dont c’eft
le cour de jeter. Nous divifons en deux périodes le jeu qui aurait eu lieu fi les
joueurs avaient continué. Nous étendons la première période jufqu’à l’inftant où
pour la première fois enjeu eft réduit à un feul ducat et la feconde depuis cet
inftant jusqu’à la fin du jeu. Évidemment l’efpérance mathématique correfpondant
aux ducats que le joueur peut gagner ou perdre pendant la première période eft
égale à fon efpérance totale dans le cas où il y a #—1 ducats à l’enjeu, c’eft-à-dire
elle eft égale à x,_,. Quant à fon efpérance correfpondant à la feconde période,
elle eft égale à x, dans le cas où z eftimpair , parce que dans ce cas le tour de
jeter fera au commencement de cette période au même joueur qui a jeté lorf-

#) Voir la p. 394 du T. V. Sur la méthode suivie par Huygens on peut consulter le $ 4 de
l’'Appendice V,p. 130—132 du présent Tome.

$) Voir la p. 132 du présent Tome.

5 Voir les p. 132—150.

7) Nous devons ce raisonnement et les solutions fondées sur lui à notre collaborateur
M. Fr. Schuh.

#) Comparez les p. 142—143 du présent Tome où Huygens exprime le désir de connaître une
solution plus simple que celle qu’il venait d'élaborer.

9) Voir les p. 43—47 de cet Avertissement.

40 | AVERTISSEMENT.

qu'il y avait # ducats à l'enjeu; dans le cas où # eft pair fon efpérance fera,
au contraire, repréfentée par 1 —x, ‘), l’unité étant égale à un ducat.

On a donc: PRE
(14) :« | x, = 2%, +4, (pour simpair); * ee
(15) x, = 1x, (pour # pair).

Dans le cas fpécial #— 2, on trouve:

(16) | x, =X +I—X =I. _ da:

Soient maintenant, au début du jeu, «A l’efpérance du joueur qui jette le
premier , & celle de l’autre joueur. D x.

2 I : MATE Hi Ge

D’après les règles du jeu, on a: ea — : FA — + AA — X;), puisque A

jette croix fe trouvera après ce coup dans la même fituation que celle o
trouvait au commencement du jeu. Mais, parce qu’on a és —=0"), €
équation fe réduit à : De

(17) a — ir
On a de plus:
Dr SE | 1
(18) sd D SU à —Xx,)= Me ic

et, par conféquent, à caufe de la relation (16):
| : I

(19) FO 08

donc enfin:

(20) EA— — z

réfultat obtenu par Huygens ?) et aufli par Hudde 5),

1) C'est-à-dire dans l’hypothèse où la somme des espérances des deux joueurs
l'enjeu qu’ils ont formé. Nous aurons à revenir sur cette hypothèse dont Huy
fait usage dans sa solution (voir p. e. la p. 133 du présent Tome).

?) Voir les pp. 132—141.

8) Voir la p. 463 du T. V. £

AVERTISSEMENT. 41

Quant aux équations (14) et (15), elles fe réduifent à la feule équation:
AE 7 re D applicable lorfque #eft pair ou impair. Et l’on trouve facilement

à l’aide de cette équation:

(21) HE" 4).

Nous indiquons ci-après une autre folution ne repofant pas fur le raifonnement
qui nous a fourni la valeur de x,. Elle nous fera connaître l’artifice fur lequel
la folution de Huygens eft fondée.

On à d’abord-comme conféquence immédiate des règles du jeu 5):

(22) =, +. 1—%,,) +: ik )=

de I I
=N— 5 Yr ie Xy41 ,
ou bien:
(23) Long, 6%,

À l’aide d’une application répétée de cette dernière relation on exprime facile-
ment x,,%,, %., etc. en fonction de x, et de x,. On trouve:
(24) X,—=27—2—(n—2)x,—(n—1)x, (nimpair),

(25) X,=—1+2+(n—2)x, +(n—1)x, (n pair).

4) Ce résultat est conforme à celui formulé par Huygens dans l'avant- dernier alinéa de la p. 142.
En effet, quand » est pair Huygens suppose que les joueurs ont contribué pour une même
somme à l’enjeu (voir les définitions de la p.133). L'avantage du joueur est alors égal à

zéro, parce qu’on doit soustraire sa mise 5! de son espérance future qui, elle aussi, est égale
I sie : |
à 2!" Quand » est impair Huygens suppose que l’adversaire a mis un ducat de plus que le

d : ; Riot sil
joueur en question. L'avantage de celui-ci est donc °” diminué de sa mise —(”—1),c'est-à-

-dire qu’il est égal à un demi-ducat. :
5) En admettant toujours l'hypothèse formulée dans la note 1 de la p. 40.

+2 AVERTISSEMENT,

: Or, il réfulte des équations (17) et (18):
(26Ÿ | XL, = — Enr x, = + en.

Les équations (23) et (24) fe réduifent donc aux fuivantes: :

(27)

X, = — GNEA (n impair) LEE
x,=n + 31e (n pair),

que nous écrivons:

e

te

ji , pute of

= 2H Cpair). ska

(29)

À l'exemple de Huygens ") nous raisohHons maintenant de la manière fuivante :
Même fi # eft un grand nombre, les efpérances des deux joueurs ne peuvent
différer que de 1 ou de 2 ducats, puisque la différence entre les chances du
joueur qui jette le premier et de l’autre joueur ne peut fe faire fencir que vers
la fin de la partie quand il n’y a plus qu’un petit nombre de ducats à l’enjeu. :

, . 1 1 : :
Soit donc p cette différence. On a alorsx,=-n = à Subitituons cette valeur
de x, dans les équations (28) et (29) et faifons croître indéfiniment le nombre .

À À à I
Ces équations amènent alors l’une’et l’autre le même réfulrat, favoir &, =— é

Difons enfin quelques mots à propos de la folution de Huygens. Huygens com-
mence par déduire deux équations qui font équivalentes à nos équations (17) et
(18) *). Enfuite il fe fert d'une férie d'équations #) qui ne diffèrent pas effen-
tiellement de celles qu’on obtient en prépanc fucceffi ivement #— 2, SARA etc.

©) Voir alinéa qui commence en bas de la p. 139 du présent Tome.

2) Ce sont les équations 34 — 3 et à — À =

à qu’on trouve à la p. 133.
3) Voir la p. 134. | ;

AVERTISSEMENT. 43

dans l'équation (22) #). De cette manière Huygens réufit à exprimer la quantité

— a 6 à l’aide d’une fuite qu’on peut pr olonger indéfiniment 5). 11 lui faut donc
prouver qu’on peut négliger le dernier terme de cette fuite quand on la prolonge
fuflifamment *). C’eft à quoi il emploie le raifonnement que nous venons de re-
produire. Après cela il ne s’agit plus que de fommer la fuite en queftion; ce qui
lui réuffit également ?).

Remarquons que cette folution de Huygens contrafte favorablement avec celle
de Hudde. Dans la première Pièce qui fe rapporte à cette dernière folution*),
Hudde n’a trouvé d’autre iffue que d’ériger en ,,Corollaire” une relation qui dans
nos notations s’exprime par: #,—2=%,— 1. Dans une autre Pièce ?) il tâche de
prouver la relation x,—1—o par un développement en férie dans lequel il
néglige en dernière inftance un grand nombre de termes dont les valeurs lui
font inconnues. | Ps

Nous avons maintenant à nous occuper de la réserve qui nous empêche d’ac-
cepter fans difcuflion les folutions dont nous venons de traiter. Ces folutions
fuppofent que la fomme des efpérances des deux joueurs eft égale à l’enjeu. Or,
cette hypothèse devient ici fujetre à caution parce que le jeu peut fe prolonger
indéfiniment fans que l’enjeu foit jamais épuisé.

Afin de montrer la portée de cette remarque, fuppofons que les joueurs con-
viennent de donner l’enjeu à une troifième perfonne dans le cas où cet enjeu
monterait à y ducats. Quelle eft l’efpérance mathématique g.(#, ») de cette per-
fonne à l’inftant où l’enjeu contient # ducats (7 y) ?.

FRE va I à
On a évidemment: pe(1 ,v) = FC ,»), et de même:

4) Comparez la note 1 de læp. 135.
5) Voir les p. 135—139.
5) I s’agit du terme — sal de la suite qu’on trouve à la p. 139. Or, dans la note 2 de la p. 138

nous avons indiqué la relation qui existe entre la quantité k et la différence des espérances
des joueurs.

7) Voir la p. 140. à

8) Voir les p. 463—465 du T. V.

9) Voir les p. 468—469 du T. V.

44 AVERTISSEMENT.

PA ,v) = = po(r + 1,9) += ge(r — 1,9) (pour 1<#<Y).

De ces relations on déduit facilement:
pc(r,v) =npe(r,v) (pour 1 <#<y).
Or, pc(v,v) =», donc gc(1,7) =1 Et par fuite *
(30) pc(#,v) =n (pour 1 <#<y).

Soit maintenant sc l’efpérance de la troifième perfonne au début du jeu , rien

n'étant encore mis. On a:

= —& + = 8 1,9) = et
et, par conféquent :
(31) LL:

L’efpérance de la troifième perfonne eft donc indépendante du nombre y. Elle
eft égale à un ducat au commencement du jeu et elle augmente ou diminue
enfuite régulièrement avec l’enjeu auquel elle refte toujours égale. $

Quelle eft la probabilité que l’enjeu après être monté à # ducats atteigne sa
fomme de y ducats ?

On obtient cette probabilité en divifant Re de la troifième Que par
la fomme qu’il peut obtenir. Elle eft donc er à — quand 1 LA <y, età— ; quand

rien n’a encore été mis.
La probabilité que la troifième perfonne gagne l’enjeu s’approche donc indé-
finiment de zéro à mefure que y augmente.

Pour y —2# elle eft égale à =. Or, puisque la probabilité que l’enjeu diminue

de # à o, fans pafler par y — 2, eft évidemment égale à celle qu’il monte de
nay = 2n ({ans pafler par zéro), il ne refte rien pour la probabilité que l’enjeu
ofcille indéfiniment entre les limites o et 2# fans jamais atteindre ni l’une ni l’autre,
Quoique cet événement ne foit pas impoffble, fa probabilité eft donc infiniment
petite. Et fi cela eft vrai pour y — 2r, il en eft de même a fortiori pour y —=en—1,

AVERTISSEMENT. 45

c’eft-à-dire la conclufion refte applicable dans le cas où la limite fupérieure eft
défignée par un nombre impair.

Quelles font l’efpérance yA(#, ») du joueur qui doit jeter, et celle y5(#, v)
de l’autre joueur ?

[l faut dans le développement poftérieur du jeu diftinguer trois poflibilités :
1° l'enjeu eft épuisé par les joueurs, 2° il eft gagné par la troifième perfonne,
3° il ofcille indéfiniment entre o et y ducats fans jamais atteindre une de ces deux
limites. Ce dernier événement entrainerait pour les joueurs une perte n’excédant
jamais » ducats; perte qu’on peut négliger puisque fa probabilité eft infiniment
petite comme nous venons de le voir.

On a donc:

paC#, y) T peC7,v) sr po(7,v) —#,
c’eft-à-dire, à cause de l’équation (30
(32) | Pr,v) = —pa(rv).

En appliquant les règles du jeu, on trouve:
+ de !
pAC#,v) =et Per — 1,Y)— “QE SPC + 1,7) —

I I
= — PAG — 1 ,») SPACE Ja
ou bien:
PAG +1,»)—=—2pa(n,v)—paln—1,y) (pour 1 Ln<Lv).
On a de plus:
cpu de din Go
paC1,v) mi ri + p(2,v) PR SPaC2r).
À l’aide de ces deux dernières relations on trouve fans peine:

pa(#,v) =npalt,r) (pour zimpair et < »),
pa(r,r)=—npa(i,) (pourzpairet < y).

Or, évidemment g1(v,) = 0, donc:
.

46 AVERTISSEMENT.

(33) Lo mOn =mn(r)=0). no el sfbfief
Caiculons maintenant les CEA ea et €, des joueurs À et Bau début io

Ona: 9 EL TON eatfatrO)
ex + & +éc—=0, , HOT STIUS 199

c’eft-à-dire, puifque & = 1:

Le

B = — 1 —E€A

: " f Te ei Sac.

Or, d’après les règles du jeu : | Hnron3v> roiatol SOC

: TRS ei és sf

: I ; I I ’ js
—— — bre CES 4 I pe tr xs I CS PEN - Pa HI |
EA es ‘Q + , y) ss Ébs:io ao SM cs |
5106 6 00
et par fuite :

= — ee a

34) | | 3 3 HS S the é he

En comparant ce réfultat à celui de la p.40 on voit que la perte caufée a
joueurs par la participation fuppofée de la troifième perfonne fe répartit égale
ment fur les deux joueurs. à tar b 4 wrevptlen te

Revenons maintenant au robe tel qu’il fut pofé par Huygens. Il n° . eft 1
queftion que des deux j joueurs A et B. Cependantil n’ya paslieu, nous femble-t-il,
de leur afligner l’efpérance mathématique qui, d’après nos calculs, revient à :
la troisième perfonne que nous avons introduite, Dès que la formation de l'enjeu
a commencé ces joueurs fe trouvent dans la fituation que nous avons indiquée dans À
la note 1 de cette page, pourvu qu’on y fuppofe » = ; c’eft-à-dire l'enjeudoit 4
être confidéré comme perdu pour eux, puifque leurs eFpéraheel mathématiques ;
font devenues égales à zéro. On arrive à cette conclufion fi l’on fait croître indé-

“à pb air ERA
à QE à à

1) Ce résultat s'explique facilement. À chaque coup le joueur a une chance égale de gagner ou
de perdre un ducat. Son espérance mathématique est donc égale à zéro pour cheqnecoup en
particulier. Or, lorsque l’enjeu est épuisé où lorsqu'il monte à » ducats, cela n’a ! d'autre es
effet pour les joueurs que de faire cesser le jeu. :

?) Voir la p. 32 de cet Avertissement. rip tord
i

AVERTISSEMENT. 47

finiment le nombre y. Il eft vrai que la probabilité que le jeu continue jufqu’à
l'infini eft infiniment petite, mais l’efpérance mathématique qui correfpond à cette
éventualité n’en refte pas moins une quantité finie. Elle eft égale à chaque inftant
à l’enjeu aétuel.

: Remarquons que des confidérations analogues fe préfentent dans tous les jeux
où les coups peuvent fe répéter. indéfiniment fans épuifer l’enjeu, de forte qu’il
nous femble utile d’introduire un terme pour défigner la fomme qui dans un tel
jeu eft perdue pour les joueurs à l’inftant même où ils conviennent de jouer.
Nous propofons de la nommer: la part du diable.

N'oublions pas cependant que parfois dans les jeux de ce genre il eft facile de
montrer dès l’abord que cette part eft infiniment petite, et par fuite négligeable.

Prenons par exemple le problème dela p. 31. La probabilité qu’un enjeu de
n ducats monte fous les conditions de ce problème jufqu’a # + y ducats s’exprime
pour y pair par æ'27@ 3%, et pour y impair par &'4("+:) 3-1), La ,,part du
diable” eft donc dans ce cas égale à la limite, pour y = « , du produit de ces
expreflions par # +, c’eft-à-dire qu’elle eft nulle. Afin de réfoudre ce problème,
il eft donc permis, comme nous l’avons fait *), d’appliquer l’hypothèfe que la
fomme des efpérances des joueurs eft à chaque inftant égale à l’enjeu 3).

3) Supposons, pour avoir un autre exemple , que les chances de chaque joueur de tirer un ducat
de l’enjeu ou d’y mettre un ducat soient entre elles comme p est à 4. On trouve alors:

tr n
c(n,»)— EL
: —(®)

par suite la part du diable est nulle dans le cas p > g et o dans celui de p < 4, tandis que pour
p—=q on retrouve la formule (30).
Ajoutons que la probabilité qu’un enjeu de # ducats augmente jusqu’à » ducats est

mo
PONT)

on en déduit en intervertissant les nombres p et 4, celle que l'enjeu s'épuise sans avoir jamais
contenu 2» ducats. La somme de ces deux dernières probabilités étant égale à l'unité, il en
résulte que, cette fois encore, la probabilité que l'enjeu oscille entre o'et 27 ducats , sans
jamais atteindre ces limites, est infiniment petite.

pour la probabilité que cet enjeu monte à 2» ducats. Or,

48 AVERTISSEMENT.

Nous finiffons par indiquer de quelle manière la part du diable peut être
éliminée par un changement dans l’énoncé du problème qui nous occupe. Il
suffit pour cela d’ajouter à cet énoncé la claufe fuivante : Lorfque l’enjeu monte
à une certaine fomme les joueurs fe le partageront en parties égales fans conti-
nuer le jeu. Évidemment il faut alors ajouter à l’efpérance de chaque joueur la
moitié de ce que nous avons trouvé pour l’efpérance de la troisième perfonne *).

On a donc dans ce cas:

LA I I ’
re She bd: ir
EA—AT-—=— Fo B — 8 +
et de même :

I I
D) = pAGnSv} PE

réfultats conformes à ceux de Huygens 3). | “ti en)

") Voici une autre idée, suggérée par M.F.Schuh. Supposons que les personnes À et B, quisont
intéressées au jeu, ne jouent pas elles-mêmes, mais qu’elles se fassent représenter au jeu par
des délégués. Si ces délégués leur annoncent que le jeu est fini, sans en communiquer le
résultat, les personnes À et B, qui ont fait une gageure sur le résultat, sachant que le
délégué de A ferait le premier coup, se trouvent précisément dans lesconditions qui justifient
la solution de Huygens, puisque la possibilité que le jeu se continue indéfiniment est exclue.

?) Voir sur cette notation la p. 39.

3) Comparez les p. 40—41.

FRANCISCI à SCHOOTEN
EXERCITATIO

MATHEMATICARUM

LIBR I QHIN Oo.

I PROPOSITIONUM ARITHMETICARUM ET GEOME-
TRICARUM CENTURIA.

11. CoNsTRuUCTIO PROBLEMATUM SimPpricium GEo-
METRICORUM.

111. APozLoN11 PERGÆ1I LocA PLANA RESTITUTA.

IV. ORGcaANICA CONICARuUM SECTIONUM IN PLANO
DESCRIPTIO.

V. SECTIONES MISCELLANEZÆ TRIGINTA.

Quibus accedit CHRISTIANI HucEnri-. TFradtatus,
de Ratiociniis in Aleæ Ludo.

FRaANCIsCr van ScHooren

MATHEMATISCHE
OEFFENINGEN,
Geg2epen in Lüf Cocchen.

L Verhandeling van vijftig Arithmetifche en vijftig Geometrifche
Voorftellen.

11 Ontbinding der Simpele Meet-konftige Werck-ftucken.
111 ArorLoni:1 PERG &1 herftelde Vlacke Plactfen.

1V. Tuych-werckelijcke befchrijving der Kegel-fncden op cen

vlack-

V. Dertich Af-deelingen van gemengdeftoffc,
ADaer bp genougt {8 een Œractaet/ Handelende han Heechening
" in Sypeclen ban Deluck/
Door d’Heer
CHRISTIANUS HUGENIUS.
Defen Deuck bermeerdert met een hote berBanting Lau
Le Fondarmenten

der
PERSPECTIVE.

tV

FRANCISCI à SCHOOTEN

LEYDENSIS
19 Academia Lugduno-Batava Mathefcos Profefloris,

EXERCITATION SE
MATHEMATICARUM,
LIRER, 4 + APE

Sectiones criginta mifcellaneas.

at NS ANA
CIZ4 } /
SNA eee
. ù À EE 6) %
ST re LE

F4 > 1
SON S5re = ? à

LvyCH Bars
Ex Officina JoHANNiIs ELSEvIR:1,
Academix Typographi.

cl Loc Lvss

Dôfoe Gouck

der
MATHEMATISCHE
OEFFENINGEN,
Gegÿpende
Dertich Afdeelingen van
gemengde ftoffc.

Door

FRANCISCUS van SCHOOTEN,
Profeflor Mathefeos in de Univerfiteyt tot Leyden.

FAMSTERDAM,

ps GERRIT van GOEDESBE RG H,

aSoeck-berhooper op ‘t Water / inde elffche Tyhel / tegen
ober De Rieutue-Beugh. Anno 1660.

AUILECTEUR).

Lorfquej’avais déjà pris la réfolution de terminer ces excercifes ?), il m’eft venu
à l’efprit, Cher Lecteur, qu’il me reftait encore plufieurs autres fujets amufants et
remarquables, lefquels, fi je les avais ajoutés à ces Sections 3) et que j'avais réuffi
à les traiter dignement , auraient grandement orné mon travail et peut-être facilité
et rendu plus profitablestes Études; feulement la peine que j'aurais dû prendre pour
les développer, ainfi que le travail qu’ils m’auraient coûté, me feraient devenus
trop lourds. C’eft pourquoi (de même que, parmi d’autres matières traitées dans
les Sections précédentes de mon ouvrage, j’ai indiqué comment quelques-unes des
Propofitions les plus belles et les plus fubriles trouvées en partie par les Mathéma-
ticiens de l’Antiquité et en partie par les Mathématiciens les plus Excellents de ce
fiècle, auraient pu être cherchées et trouvées au moyen del” #gèbre) il ne m’a pas
femblé inopportun, afin d'étendre les applications de cet Art, d'ajouter ici, au
lieu des fujets qui me reftaient, ce qui a été inventé dernièreménct par le Très
Noble et Très Célèbre Seigneur CHRISTIANUS HUGENIUS fur le calcul
dans les Jeux de Hafard, Traité qu’il m’a communiqué avec une lettre que j’ai
également ajoutée 4). Je préfume que fon Écrit te plaira d'autant mieux que les
confidérations de l’auteur te paraïtront plus fubtiles et plus extraordinaires; fur-
tout parce qu’il y emploie la même Æraly/e dont je me fuis fervi et dont je
lui ai enfeigné jadis les fondements 5), et qu’ainfi il indique à ceux qui ont étudié
cet art une méthode pour analyfer de pareils Problèmes. Si je t’ai donné ainfi,
Cher Leéteur, outre le refte de mon travail, affez de fujets pour t’exercer dans ce
genre d’ Étude gd comprendras, j'efpère, ma bonne volonté envers toi, ce qui
te fera agréer la peine que j’ai prife pour ton bien et celui des Études. Adieu.

LS

1) Dans cet avant-propos, qu’on trouve aux p. 485—486 des ,,Mathematische Oeffeningen”,
le professeur van Schooten introduit chez ses lecteurs le petit traité, qui va suivre, sur les
jeux de hasard, composé par son élève Christiaan Huygens.

*) Il s’agit de l’ouvrage dont nous avons reproduit le titre en fac-simile à la p. 50. Comparez
l’A vertissement, à la p. 5 du présent Tome.

3) Le traité de Huygens fut ajouté au cinquième et dernier Livre de l'ouvrage de van Schooten.
Dans l'édition hollandaise dont nous nous servons ce Livre portait le titre ,, Vijfde Bouck der
Mathematische Oeffeningen , begrijpende Dertich Afdeelingen van gemengdestoffe”. Dans
l'édition latine qui la précédait le même Livre était intitulé ,,Excercitationum Mathematica-
rum, Liber V, Continens Sectiones triginta miscellaneas,” Voir les deux pages précédentes.

TOFTDEN LESER”.

Na dat ick befloten hadt een eynde van defe oeffeningen te maecken *}, foo heb
ick bevonden, dat my, Beminde Lefer, noch verfcheyde andre dingen van ver-
maeckelijcke en treffelijcke ftoffe overich waren, welcke, foo ickfe, na haer
wacrde verhandelt hebbende, by defe Afdeelingen 3) gevoegt hadde, niet weynich
cieraet aen defen mijnen arbeyt en mogelijck oock hulp en profijt aenuwe Studien
fouden toe-gebracht hebben; doch de moeyte van die te befchrijven als oock het
werck fouden my te verdrietig gevallen zijn. Weshalven alfoo ick onder andere
dingen, die in de voorgaende Afdeelingen verhandelt zijn, betoont hebbe, op wat
wiz fommige der fraeyfte en fubtylfte Voorftellen, die ten deele van de Oude,
en ten deele van de Voortreffelickfte Wiskonftenaers defer eeuwe feer acrdig zijn
uyt-gevonden, fouden mogen zijn gefocht, ofte door behulp der Æ/gebra konnen
gevonden worden: foo en heb ick ?t niet ongeriymt geacht, indien ick, tot over-
vloediger gebruyck van defe Konit, ’t geen onlangs door den Wel-Edelen en
Wiät-beroemden Heer CHRISTIANVS HVGENIVS aengaende ’t reeckenen
in Spelen van Geluck uyt-gevonden ende my in fchrift van hem mede gedeelt is,
alhier met deffelfs brief 4), in plaets van ’tgeene my overig was, by-voegde.
Welck fijn' Traétaet ick dan UE. des te aengenamer acht te fullen wefen, als
’tgeen daer in verhandelt wordt te fubrijider en ongemeender fal bevonden wor-
den; infonderheyt door dien hy tot deffelfs vinding defelve Ænaly/is, welckers
fondamenten hy eertijts van my geleert heeft 5), als ick, gebruyckt; en alfoo de
bevlytigers van die de weg baent om diergelijcke Voorftellen te ontbinden.
Waer in, foo ick nevens mijnen andren arbeyt aen U, Beminde Lefer, in defe
foort van Studie ‘) genoegfame ftof van oeffening gegeven hebbe; foo fult ghy
daer uyt (gelijck ick hoop) mijne bereytwilligheyt r’uwaerts konnen afnemen, en

dienvolgende oock mijnen arbeyt, ’uwen en der Studien beften aengenomen, ten
goeden duyden. Vaert wel.

+) Voir la page 57 qui suit.

$) Voir au T. XI les p. 7—20 qui contiennent un aperçu de l’enseignement donné par
van Schooten en 1645 et 1646 à son élève Christiaan Huygens âgé alors de 16 à 17 ans. Cet
enseignement était fondé surtout sur les méthodes exposées par Descartes dans sa ,,Géomé-
trie”; voir l’ouvrage cité dans la note 7, p. 6 du T.I.

5) C’est-à-dire dans l’étude des méthodes analytiques.

7

ee | Monfieur
FRANCISCUS van SCHOOTEN").

Monjfieur ,

Sachant qu’en publiant les louables fruits de votre intelligence et a à votre
zèle, vous vous propofez entre autres de faire voir, par la diverfité des fujets
traités, la grandeur du champ fur lequel notre excellent Art Algébrique s'étend,
je ne doute pas que le préfent écrit au fujer du Calcul dans les Jeux de hafard ne
puiffe vous fervir à atteindre ce but. En effet, plus il femble difficile de déter-
miner par la raifon ce qui eft incertain et foumis au hafard, plus la fcience qui
parvient à ce réfultat paraîtra admirable. Comme c’eft donc à votre demande et à
la fuite de vos exhortations que ÿ ai commencé à mettre ce Calcul par écrit *}, et
que vous le jugez digne de paraître enfemble avec les réfultats de vos profondes
recherches, non feulement je vous donne volontiers la pérmiflion de le publier
de cette facon mais encore j’eftime que cette manière de publication fera tout à
mon avantage. Car fi quelques leéteurs pourraient bien s’imaginer que j’aitravaillé
fur des fujets de faible importance, ils ne condamneront néanmoïns pas comme
complètement inutile ec indigne de toute louange ce que vous voulez bien adopter
de cette façon comme fi c'était votre propre ouvrage , après l’avoir traduit, non
fans quelque labeur, de notre langue en Latin 3). Toutefois je veux croire
qu’en confidérant ces ‘chofés plus attentivement, le leéteur apercevra bientôt qu’il
ne s’agit pas ici d’un fimple jeu d’efprit, mais qu’on y jette les fondements d’une
fpéculation fort intéreffante et profonde. Les Problèmes appartenant à cette
Matière ne feront pas, me femble-t-il , jugés plus faciles que ceux de Diophante,
mais on les trouvera peut-être plus amufants attendu qu'ils renferment quelque
chofe de plus que de fimples propriétés des nombres. I] faut favoir d’ailleurs qu’il
y a déjà un certain temps que quelques-uns des plus Célèbres Mathématiciens

©) Voir sur Frans van Schooten la note 2, p. 4 du T. I. st
?) Comparez la lettre à de Roberval du 18 avril 1656 et celle à van Schooten du 20 oavril 2656,

p. 404 du T. I,

Aen mijn Heer,
FRANCISCUS van SCHOOTEN").

Miÿn Heer,

Naer dien ick weet dat VE., de loffelijcke vruchten van fijn vernuft ende arbeyt
in ”t licht gevende, onder anderen dit ooghmerck heeft : namentlijck, om door de
verfcheydenheyt der verhandelde stoffen te betoonen hoe wijt onfe uytnemende
Konft van #/gebra fich uytitreckt; foo en twijffele ick oock niet, of het geene ick
van de Rekëningh in Spelen van geluck befchreven heb, fal tot VE. opfet niet
ondienftig zijn. Want foo veel te fwaerder als het fcheen, | door reden te konnen
bepalen het geene onfeker is ende het geval onderworpen, foo veel te meer ver-
wonderinghs wacrdigh fal die wetenfchap fchijnen, waer door fulcx kan werden
te wcege gebrachr. Dewil ick dan op VE. verfoeck ende aen-maeninghe, defe
Rekening eerft heb beginnen by gefchrift te ftellen *), ende VE, defelve waerdigh
acht om te gelijck met fyne diepfinnige vonden in ”t licht ce komen; foo en fal ick
niet alleen het felve geerne toeftaen, maer oock tot mijn voordeel duyden, dat die
op defe maniere te voorfchin werde gebracht. Want of fommige mochten dencken
dat ick ontrent geringhe dingen en van weynigh gewichte min moeyte befteedt
hadde, foo en fullen fy nochtans niet t’ eenemael voor onnut ende onpryfelijck
houden, het geene VE. in dier voegen als voor het fyne is aen-nemende, en niet
fonder arbeyt uyt onfe fpraeck in de Latignfche heeft overgefet3). Alhoewel ick wil
. gelooven, fo iemandt defe dinghen wat naerder begint in te fien, dat hij haeft fal
bevinden, geen enckel fpel te zijn het geene hier wert verhandelt, maer datter de
beginfelen en gronden geleyt werden van een feer aerdige en diepe fpeculatie.
Soo fullen oock, meyne ick, de Voortftellen die in defe Materie voorvallen, geen-
fins lichter als die van Diophantus geacht werden, doch wel vermaeckelijcker
miffchien, door dienfe iets meer inhouden als bloote eygenfchappen der getallen.
Voorts is te wecten, dat al over eenighen tijdt, fommige van de Vermaertfte Wis-

3) En effet, le présent Traité sur le Calcul dans les Jeux de hasard parut pour la première fois
en 1657 dans l'édition latine des ,Mathematische Oeffeningen” qui précédait de trois années
l'édition hollandaise que nous suivons; voir l'Avertissement, aux pp. 5 et 8 du présent Tome.

8

58 = DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

de toute la France fe font occupés de ce genre de Calcul *) , afin que perfonne
ne m’attribue l’honneur de la première Invention qui ne m’appartient pas. Mais
ces favants, qüoiqu’ils fe miffent à l'épreuve l’un l’autre en fe propofant beaucoup
de queftions difficiles à réfoudre, ont cependant caché leurs méthodes. J’ai donc
dû examiner et approfondir moimême toute cette matière à commencer par les
éléments, et il m’eft impoflible pour la raifon que je viens de mentionner d’affirmer
que nous fommes partis d’un même premier principe. Mais pour ce qui eft du
réfultat, j'ai conftaté en bien des cas que mes folutions ne diffèrent nullement
des leurs*). Vous trouverez qu’à la fin de ce Traité *) j'ai propofé encore
quelques queftions du même genre fans indiquer la maniére de les réfoudre,
premièrement parce que je voyais qu’il me coûterait trop de travail d’expofer con-
venablement les raifonnements conduifant aux réponfes, et en fecond lieu parce
qu’il me femblait utile de laiffer quelque chofe à chercher à nos lecteurs (s’il s’en
trouve quelques-uns) , afin que cela leur fervit d'exercice et de pafle-temps.

4

La Haye
le 27 Avril HE EG slt fi
1657. | Votre ferveur à der ML 5

CHR. HUY GEN s ve Z CrLICnEM.

Sy BÉTRUUTE de

8 à
FASO CEE PR

HUE. LEO 318

; 31 2 LUE É Ê s

*) Il s’agit surtout de Pascal et de Fermat; voir la p. 405 du T. I et les p.3—4 de l'Avertise-
ment qui Hénia

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656—1657. 59

konftenaers van geheel Vranckrijck met defe foorte van Rekeningh *) zijn befigh
geweelt, op dat niemandt hier in, de eer van de eerfte Inventie die de myne niet
en is, my toe en fchrijve. Doch fy luyden, offe wel fich onder malkanderen met
veele fwaere queftien ter proeve ftelden, foo hebbenfe nochtans elck fijn maniere
van uytvinding bedeckt gehouden. Soo dat ick van noode gehad heb, alles van
vooren aen felfs te onderfoecken en te doorgronden: ende daerom oock “noch niet
verfeeckert en ben, of wy hier in een felfde eerfte beginfel getroffen hebben.
Maer de uytkomfte belangende, heb ick in veele queftien ondervonden dat de
myne van de haere geenfins en verfcheelt *). VE, fal vinden dat ick in ’t eynde
van dit Tra@taet 3), noch eenige van die queftien bygevoegt hebbe, achterlaerende
nochtans de werckingh; eensdeels om dat ick te veel moeyte te gemoet fagh,
indien ick alles nae behooren wilde afdoen; ten anderen om dat my raetfaem
dacht, iets overigh te laeten, ’rwelck onfe Lefers (foo der eenige zijn fullen)
mochte dienen tot oeffeningh en tijdt-verdrijf.

In s’Graven-
Hage den 27
Apr. 1657. VE. dienftwilligen dienaer

CHR. HUYGENS van ZUTLICHEM.

?) Voir les p. 6—8 de l'Avertissement.
3) Voir les p. 89—01.

Co

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47 A RASE }
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“

DU: C'ALEU-Er
DANS LES
JEUX DE HASARD.

[1656—1657].

Quoique dans les jeux de hafard pur les réfultats foient incertains , la chance
qu’un joueur a de gagner ou de perdre a cependant une valeur déterminée.
Exemple: fi quelqu'un parie de jeter avec un dé fix points au premier coup, il eft
incertain s’il gagnera ou s’il perdra; mais ce qui eft déterminé et caleulable c’eft
combien la chance qu’il a de perdre fon pari furpaffe celle qu’il a de le gagner. De
même, fi je joue avec une autre perfonne à qui gagnera le premier trois parties et
que j’en ai déjà gagné une, il eft encore incertain lequel des deux l’emportera; mais
on peut calculer avec certitude le rapport de ma chance de gagner à la fienne, et
l'on fait par conféquent aufli de combien, fi nous voulons interrompre le jeu , la
part de l’enjeu à laquelle j’ai droit furpaffe la fienne *). On peut calculer également
pour quel prix je devrais raifonnablement céder mon jeu à quelqu’un qui défire-
rait le continuer en mon lieu. Bien des queftions de ce genre peuvent fe préfenter
en des cas femblables où il y a 2, 3 ou plufieurs perfonnes ?), et comme ces cal-
culs ne font pas univerfellement connus et peuvent fouvent être utiles, j'en
indiquerai brièvement la méthode, après quoi je confidérerai auffi le jeu aux dés3).

Dans ces deux matières je pars de l’hypothèfe que dans un jeu la chance qu’on
a de gagner quelque chofe a une valeur telle que fi l’on poffède cette valeur on
peut fe procurer la même chance par un jeu équitable, c’eft-à-dire par un jeu qui
ne vife au détriment de perfonne, Exemple: fi quelqu'un cache à mon infu trois

1) Voir la Prop. VI, p.71.
?) Voir les Prop. IV, V, VIL, VII, IX , Pe 67 —77.
3) Voir les Prop. X—XIV , p. 77—87.

ENT
<JAN
MO

Dus27 \ 744
KE ÿ IPS
RAY

VAN
REKENINGH

IN
SPELEN VAN GELUCK.

[16561657].

Al-hoewel in de fpelen, daer alleen het geval plaets heeft, de uytkomften
onfeecker zijn, foo heeft nochtans de kanfle, die yemandt heeft om te winnen of
te verliefen, haere feeckere bepaling. Als by exempei. Die met een dobbel-fteen
ten eerften een fes neemt te werpen, het is onfeecker of hy het winnen fal of niet;
maer hoe veel minder kans hy heeft om te winnen als om te verliefen, dat is in fich
felven feecker, en werdt door reeckeningh uyt-gevonden. So mede, als ick tegen
een ander in drie fpelen uyt fpeel, ende een fpel daer van gewonnen hebbe, het
is noch onfeecker wie eerft fal uyt wefen. Doch hoe dat mijn kanffe ftaet tegen de
fyne, kan feeckerlijck bereeckent werden, en daer door oock bekent, ingevalle
wy het fpel wilden laten blijven, hoe veel my meerder toe-komen foude van”tgeen
ingefet is als hem *). Ofte oock indien yemandt anders mijn fpel begeerde over te
nemen, Waer voor ick hem dat foude behooren te laten. Hier konnen verfcheyde
queftien uyt ontitaen tuffchen 2, 3 of mecrder getal van fpeelders *) , en dewil
diergelijcke reeckeningh geenfins gemeen en is ende dickmaels kan te pañle
komen, foo fal ick hier in ”t kort de wegh daer toe aenwijfen, ende daer na oock
eenige verklaringe doen aengaende de dobbel-fteenen 3).

Ick neeme tot beyder fondament, dat in het fpeelen de kanffe, die yemant
ergens toe hecft, even foo veel weerdt is als het geen, het welck hebbende hy
weder tot defelfde kanffe kan geraecken met rechtmatigh fpel, dat is, daer in nie-
mandt verlies geboden werdt. By exempel. So yemandt fonder mijn weeten in

62 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1 (57.

écus *) dans une main et fept dans l’autre , et me donne à choifir entre les deux

mains, je dis que cet offre a pour moi la même valeur que fi j'étais certain d’obte-
nir cinq écus; en effet, lorfque je poffède cinq écus, je puis de nouveau me mettre
dans le cas d’avoir des chances égales d’obtenir trois ou fept écus, et cela dans

un jeu équitable, comme cela fera démontré plus bas *).

PropPosirTion I.

a +b
Avoir des chances égales d'obtenir 4 ou à me vaut E :

Afin de non feulement démontrer cette règle mais aufli de la découvrir,
appelons x la valeur de ma chance. Il faut donc que, poffédant x , je puifle me
procurer de nouveau la même chance par un jeu équitable. Suppofons que ce
jeu foit le fuivant. Je joue x contre une autre perfonne, dont l’enjeu eft égale-
ment x; il eft convenu que celui qui gagne donnera # à celui qui perd. Ce jeu
eft équitable, et il appert que j’aï ainfi une chance égale d’avoir 4 en perdant, ou
2x — 4 en gagnant le jeu; car dans ce dernier cas j'obtiens l’enjeu 2x, duquel je
dois donner 4 à l’autre joueur, Si 2x — 4 était égal à à, j'aurais donc une chance
égale d’avoir 4 ou d’avoir #. Je pofe donc 2x7 — 4—b, d’où je tire la valeur de

ma chance x — URA La preuve en eft aifée. En effet, poffédant Ê u A je puis

| ve a+b
hafarder cette fomme contre un autre joueur qui mettra également È ÿ ‘et

convenir avec lui que le gagnant donnera 4 à l’autre. J'aurai de forte une chance
égale d’avoir #fi je perds, ou # fi je gagne; car dans ce dernier cas j'obtiens l’enjeu
a+ b et je lui en donne 4. |

En chiffres. Lorfque j’ai une chance égale d’avoir 3 ou d’avoir 7, la valeur
de ma chance eft 5 d’après cette Propofition ; et il eft certain qu’ayant 5 je puisme
procurer de nouveau la même chance. En effet, fi je joue $ contre une autre
perfonne dont la mife eft également 5, à condition que le gagnant donnera 3 à
l’autre, c’eft là un jeu équitable, et il eft évident que j’ai la même chance d’avoir
3 en perdant, ou d’avoir 7 en gagnant; car en ce cas j'obtiens 10, dont je lui en
donne 3. |

") Le ,,schelling” est une ancienne monnaie hollandaise valant six sous; mais puisque la valeur
de la pièce n’importe pas et qu’on trouve dans l'édition latine le mot ,,solidus”, qui signifie
une certaine pièce d’or, nous employerons dans notre traduction française l’expression ,,écu”.

*) Voir la Prop. I, qui suit,

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656—1657. 63

d’eene handt 3 fchellingen *) verbergt, en in d’ander 7 fchellingen, ende my te
kiefen geeft welck van beyde ick begeere te hebben, ick fegge dit my even foo
veel weerdt te zijn, als of ick 5 fchellingen feecker hadde. Om dat, alsick s fchel-
lingen hebbe, ick wederom daer toe kan geraecken, dat ick gelijcke kans fal
hebben, om 3 of 7 fchellingen te krijgen, en dat met rechtmatigh fpel: gelijck hier
naer fal betoont werden *).

L VoorsTEL.

Als ick gelijcke kans hebbe om % of ? te hebben, dit is

my fo veel weerdt als nee.

Om defen regel niet alleen te bewijfen maer oock eerft uyt te vinden, foo zy
geftelt x voor het geenc dat min kanffe weerdt is. Soo moet ick dan x hebbende
weder tot defelfde kans konnen geraecken met rechtmatig fpel. Laet dit het fpel
zijn: dat ick tegen een ander fpeele om x, en dat den anderen daer tegen mede x
in-fette : ende dat bedongen z1j, dat de geene die wint aen die verlieft fal geven 4.
Dit fpel is rechtmaetigh, ende het blickt dat ick hier door gelijcke kans heb om 4
te hebben, te weeten, als ick ”t fpel verlies; of 2x—%, als ick ’t win: want alfdan
foo treck ick 2x die in-gefet zijn, daer van ick den anderen moet geven 4. Indien
nu 2x%—4 {oo veel ware als Z,f00 foude ick ghelijcke kans hebben tot z of à. Ick

ftelle dan 2x—4 50 b, fo komt x > _—.

, voor de waerde van mijn kans. En het

bewijs hier van is licht. Want - : ,

a + b
e

hebbende, foo kan ick dat tegen een ander

waegen die mede fal in-fetten, ende bedingen dat die het fpel wint, den

anderen fal 4 geven. Waer door ick gelijcke kans fal bekomen om 4 te hebben, te
weeten, als ick verlies, of à als ick win; want alfdan foo treck ick 4 + ? dat in-
gefet is, ende geef hem daer van 4.

In getaelen. Indien ick gelijcke kans heb om 3 te hebben of 7, foo is door dit
Voorftel mijn kanfle $s weerdt; ende het is feecker dat ick 5 hebbende weder tot
de felfde kanffe kan geraecken. Want fpeelende om de felve tegen een ander die
daer 5 tegen fet, met beding dat de geene die wint den anderen 3 fal geven; foo
is dit rechtmaetig fpel, ende het blijckt dat ick gelijcke kans hebbe om 3 te
hebben, te weeten, als ick verlies, of 7 indien ick win; want alfdan treck ick 10,
daer van ick hem 3 geef.

64 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

ProposiTion II.

Avoir des chances égales d'obtenir 4, b oue me vaur
a+b+c
3

Pour trouver ceci, appelons derechefx la valeur de ma chance. Il faut donc que,
poflédant x, je puifle me procurer de nouveau les mêmes chances par un jeu équi-
table. Que ce jeu foit le fuivant: Je joue contre deux autres perfonnes; chacun
de nous trois met x; je conditionne avec la première qu’elle me donnera 2 fielle
gagne le jeu et réciproquement, avec la feconde qu’elle me donnera c fi elle
gagne et réciproquement. Il appert que ce jeu eft équitable. J’aurai ainfi une
change égale d’avoir , favoir fi le premier joueur gagne, ou c, fi le deuxième
gagne, ou enfin 3% — b—c fi je gagne moi-même, car dans ce dernier cas j’ob-
riens l'enjeu 3x, dont je donne à l’un etc à l’autre. Or, fi 3x —b—c était égal

#

à 4, j'aurais des chances égales d’avoir 4, à ou c. Je pofe donc 3x — b 5 CE | 2

et

d’où je tire x — Shi , valeur de ma chance. On trouve de même qu’avoir
des chances égales d’obtenir 4, b, « ou 4 me vaut LEE PE tr “À et ainfi de fuite.

i

| dre ol

Proposirion III *).

Avoir p chances d'obtenir 4 et g d'obtenir b, les chances

« a b ;
étant équivalentes, me vaut ssh. LAS .
P +q | +5 abaanet

Pour découvrir cette règle, appelons de nouveau x la valeur de ma chance.
Il faut donc que, possédant x, je puifle rentrer dans mon premier état par un jeu
équitable. À cet effet je prends un nombre de joueurs tel qu’avec moiil yena
P+4 en tout, dont chacun met x, de forte que l’enjeu cotal fera px + gx; Chacun

") Cette Proposition fut communiquée par Huygens à de Carcavy dans une lettre du 6 juillet
1656 (p. 442 du T. I) en ajoutant qu’il s’en servait dans toutes ces questions des parties
du jeu”. Comparez les p. 19—20 de l’Avertissement. HEAR

#

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656—1657. 65

IT. VoorsTEL.

Alsrick geliÿcke kans hebbe tot # of bof c,het is my foo

veel weerdt als of ick dr Bien gris 2

Om dit wederom te vinden, foo zy als vooren geftelt x voor de waerde van
mijn kans. Soo moet ick dan x hebbende weder tot de felfde kanffe konnen ge-
raecken door rechtmaetig fpel. Laet dit het fpel zijn, dat ick tegen 2 andere
fpeele, infettende ieder van ons drien x, ende laet ick met den eenen defe
voorwaerde maecken, dat foo hy het fpel wint hy my fal geven b, ende ick b aen
hem, foo ick het kome té winnen. Met den anderen laet ick defe voorwaerde
maecken, dat hy het fpel winnende my fal geven c, of ick aen hem c als ick het
win. Het blijckt dat dit fpel rechrmaetig is. Ende ick fal daer door gelijcke kans
hebben, om à te hebben, te weeten, als het den eerften wint, of c, als het den rwee-
den wint, of 3x-—b—c als ick her win; want dan treck ick 3x die ingefet zijn,
en geve daer van aën den eenen b, aen den anderen c, Indien nu 3x3—#b—c
gelijck waer aen #, fo foude ick gelijcke kans hebben tot 4 of à of c. So ftel ick

a+b+c

dan 3x%—b— c 2 4, en komt x > , Yoor de waerde van mijn kans. Op

gelijcke manier werdr gevonden, dat als ick gelicke kans hebbe tot zof of cof 4,
a+b+c+d

dit foo veel weerdt is als. , ende foo voorts.

ITE VoorsTEL*).

\

Als het geral der kanffen die ick hebbe trot # is p, ende
het getal der kanffen die ick tot à heb is 9; nemende altidt
dat ieder kans even licht kan gebeuren: Het is my weerdt
pa + qb
Tabate

+ Om defen regel uyt te vinden, fo zy wederom x geftelt voor het geene mijn
kans weerdt is. So moet ick x hebbende wederom in ftaer als vooren konnen ge-
raecken door rechtmaetig fpel. Laet ick hier toe foo veel fpeelders nemen, datfe
mer my te faemen het geral van p + g uytmaecken, infectende elck x, foo datter

9

66 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656-1657.

joue pour fon propre compte avec une même chance de gagner. Suppofons en
outre qu'avec g joueurs, c’eft-à-dire avec chacun d’eux en particulier, je faffe
cette convention que fi l’un d’eux gagne la partie, il me donnera la fomme , et
que fi moi je gagne, je lui donnerai la même fomme. Suppofons enfin qu'avec
les p— 1 joueurs qui reftent, ou plutôt avec chacun d’eux en particulier, je
faffe la convention que fi l’un d’eux gagne la partie, il me donnera la fommetz, et
que je lui donnerai également la fomme 4 fi c’eft moi qui gagne la partie. Il eft
évident qu’à ces conditions le jeu eft équitable, attendu que les intérêts d’aucun
joueur ne fe trouvent léfés. On voit de plus que j'ai maintenant g chances d’ob-
tenir d, p—1 chances d’obrenir 4 et une chance (au cas où c’eft moi qui gagne)
d’avoir px + gx — bg — ap + a; en effet, dans ce dernier cas je reçois l'enjeu
px + gx dont je dois céder # à chacun des q joueurs et 4 à chacun des p—1.
joueurs, ce qui fait en tout gb+pa — 4. Or, fi px + gx — bq —4p +4 était égal
à 4, j'aurais p chances d’avoir 4 (car j'avais déjà p — 1 chances d'obtenir cette
fomme) et 7 chances d’avoir 4; je ferais donc revenu à mes chances premières.

Je pofe donc px + gx — bg — ap + a—a, et je trouve x — ie 44 gours
It 1WIE | D. 2 FL
valeur de ma chance , conformément à l’énoncé. dc 0 _trattied

En chiffres. Si j'ai 3 chances de gagner 13, et 2 chances de gagner 8. je poffède
pour ainfi dire 11, d’: après cette règle. Et il eft aifé de faire voir qu’étanc en
poffefion de 11, je puis me procurer de nouveau ces mêmes chances. En effer, j je
puis jouer avec 4 autres perfonnes et chacun de nous cinq peut mettre 11; je con-
viendrai alors avec deux de ces perfonnes que fi l’une d’elles gagne la partie elle
me donnera 8 et que, fi c’eft moi qui gagne, je leur donnerai à chacune. a
même fomme. De même je conviens avec les deux autres que celle des deux qui
gagne la partie me donnera 13 et que, fi moi je gagne, je leur donnerai à chacune
13 également. Ce; jeu fera équitable. Et l’on voit que j’ai ainfi 2 chances d’avoir
8, favoir au cas où l’un des deux joueurs qui m’ont promis cette fomme emporte
l enjeu, et 3 chances d’avoir 13, favoir fi l’un des deux autres qui doivent me don-
ner cette fomme gagne la partie, ou fi je la gagne moi-même. En effet, dans ce
dernier cas je reçois l'enjeu qui eft de 55, dont je dois donner 13 à chacun de deux.
joueurs et 8 à chacun de deux autres joueurs, de forte qu’ilm’enrefte égalément 13.

LES IR 7e.

ProPosirion IV.

F4 à

Suppofons que je joue contre une autre perfonne à qui aura
gagné le premier trois parties, et que j’aie déià. gagné deux
parties et lui une. Je veux favoir quelle partie de lenjeu
m'eft due au cas où nous voulons interrompre lé jeu et peste
tager équitablement les mifes. | | j yhRe 1908

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656— 1657. 67

in fal flaen px + gx, ende elck voor fijn hooft fpeelende met even goede kans om
te winnen. Voorts laet ick met foo veel defer fpeelders, als het getal g is, ieder in
’tbyzondér dit verding maecken,, dat als hy het fpel komt te winnen hy my fal 4
geven, of ick daer entegens het felfde aen hem als ick het win. Laet ick oock met
de reft van de fpeelders, zinde p— 1, dit verding maecken met elck in ’t byfon-
der, dat hy het fpel winnende my fal # geven, ende ick hem van gelijcken 7 indien
ick het kome te winnen. Het blijckt dat dit fpel met defe voorwaerden recht-
mactig is, niemandt hier door verongelijckt wefende. Het blijckt mede dat ick
alfnu 7 kanffen hebbe tot ?, ende p — 1 kanffen tot #, en 1 kanffe, (te weeten,
als ick het win, ) tot px + gx — bq— ap + a, want alfdan foo treck ick px + gx
dat ingefet is, waer van ick aen yder van 4 fpeelders moet geven 2, en aen yder
van p—1 fpeelders 4, maeckende te faemen gb + pa — 4. Indien nu px + gx —
— bq— ap + a gelijck waer aen #, foo foude ick p kanffen hebben tot #, (want
ick alreede p— 1 kanffen daer toe hadde) ende 7 kanffen tot 4, ende foude
alfo tot min voorige kanffe wederom geraeckt zijn. Soo ftel ick dan te zijn

Px + gx —bq — ap + aa; en komt x > re voor het geene dat mijn

kanffe weerdt was, gelijck in ”t begin is geftelt.

In geraelen. Indien ick 3 kanffen hebbe tot 13, en 2 kanffen tot 8, foo heb ick
door defen regel foo veel als 11. En is licht te thoonen, dat ick 1 1 hebbende
wederom tot de felfde kanffe kan geraecken. Want fpeelende tégen 4 andere, en
fetrende elck van ons vyven 11 in, oo fal ick met 2 van haer verdraegen elck in
*: byfonder, dat foo hy het fpel wint hy my 8 fal geven, of ick aen hem 8, indien
ick het winne. Mer de ander 2 van gelijcken, dat die van haer het fpel wint my
fal 13 geven, of ick aen hem 13 als ick het kom te winnen. Welck fpeelen recht-
maetig is. Ende het blijckt, dat ick daer door 2 kanffen hebbe tot 8, naementlijck
als een van de twee die my 8 belooft hebben wint, en 3 kanffen tot 13, te weeten
als een van de twee andere die my 13 gheven moeten wint, of als ick felver het
fpel win. Want ick her winnende foo treck ick ’t geen ingefet is dat’s 55, daer
van ick aen elck van 2 moet geven 13, en aen elck van de 2 andere 8, foo dat
voor my dan oock 13 overblift.

IV. VoorsTEL.

Genomen dan dat ick tegens een ander fpeele ten dryen
uyt en dat ick alrcede 2 fpelen hebbe en hy maer een. Ick
wil weeten, ingevalle: wy het fpel niet en wilden voort-
fpeelen, maer het geen ingefet is gerechtelijck wildendeelen,
hoeveel my daer van komen foude.

68 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

Il eft néceffaire de commencer par les cas les plus fimples pour arriver à la
folution des queftions propofées en premier lieu *) au fujet du pre de sets ge
entre plufieurs joueurs dont les chances font inégales.

Il faut remarquer d’abord qu’il fuflit de tenir compte des parties doi Wanéent
de part et d’autre *}. Car il eft certain que fi nous jouions à qui aura gagné le
premier 20 parties, et que j’eufle gagné 19 parties et mon adverfaire 18, j'aurais
le même avantage que dans le cas énoncé , où fur trois parties j’en ai gagné deux
et lui une feule, et cela parce que dés les deux cas il ne me Ps hi une
partie tandis qu’il lui en manque deux. |

Enfuite, pour calculer la part qui revient à chacun de nous, il Gui fair atten-
tion à ce qui arriverait fi nous continuions le jeu. Il eft certain que fi je gagnais
la première partie, j'aurais terminé le jeu, et qu’ainfi j’obtiendrais l'enjeu tout
entier que j’appellerai 4. Mais fi l’autre joueur gagnait la première partie nos
chances feraient déformais égales, a qu’il nous MOQUE sé pris à

chacun; nous aurions donc chacun droit à 4 Or, il eft évident. que j "ai autant de

chance de gagner la première partie que de la perdre. Jai donc des chances égales

d’avoir 4 ou “4, ce qui, d’après la première Propoftion 3), équivaut à la fomme

des moitiés , c’eft-à-dire à a, de forte qu ’il refte " pour mon adverfaire. J'au aurais

d’ailleurs pu faire pour lui aufli un calcul direét, en fuivant la même méthode!
Il en reffort que celui qui voudrait continuer le j jeu en mon lieu, pourrait moffrir

L et qu'on peut donc toujours hafarder 3 contre 1 en acceptant de gagner un

jeu avant qu? un autre joueur en gagne deux.

PRoPosiTioN V. ï er #

frey
“

Suppofons qu'il me manque une partie à moi et trois rire
adverfaire. Il s’agit de partager l'enjeu dans cette hypothèfe.

Confidérons de nouveau l’état où nous ferions fi moi je gagnais la première
partie ou bien fi mon adverfaire la gagnair. Si je la gagnais, j'aurais l° enjeu 4, mais
fi c'était lui qui la gagnait, il lui en manquerait encore 2 contre une qui me man-
querait à moi; nous nous trouverions donc dans l’état confidéré dans la propofition

précédente, et il me reviendrait ‘2, comme nous l’avons vu à cet endroit. J'ai
. l F3 (ae Je L'

”) Voir la p. 61. à Fe ct
?) Comparez la note 1 de la p. 22. s5Y304

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656—1657. 69

Om nu tot de eerft voor-geftelde queftien *) te komen, aengaende de verdee-
lingh onder verfcheyde fpeelders te maecken, als haere kanffen ongelijck zijn,
{oo is ’t noodigh van de lichtfte te beginnen.

Voor eerft moct acht genomen werden alleen op de fpelen, die weder-zijds
noch ontbreecken. Want het is feecker, dat, of wy ten 2081 uyt fpeelden, en dat
ick 19 hadde, en die tegens my fpeelt 18, dat ick even het felfde voordeel foude
hebben als nu, hebbende van drie fpelen 2 gewonnen en hy een: door dien in beyde
gevallen my noch maer een fpel ontbreeckt en hem twee fpelen.

Voorts om te vinden, wat deel ons elck toekomt, foo moet aengemerckt werden
watter foude gebeuren indien wy voort fpeelden. Het is feecker indien ick het
cerfte fpel quam te winnen, dan foude ick uyt wefen en hebben al dat ingefet is,
het welck zy genoemt 4. Maer indien den anderen het eerfte fpel won, dan zou-
den wy gelijcke kans hebben, elck noch een fpel ontbreeckende, en daerom elck

gerechtigt zijn tot ca. Her is nu feecker dat ick gelijcke kans heb om dat eerfte
fpel te winnen of te verliefen. Soo heb ick dan gelijcke kans om % te hebben of

“4; het welck door het 1$te Voorftel*?} foo veel isals of ick van beyde de helft hadde

dat is Sa, en blift voor die tegens my fpeelt ra Wiens rekening oock van eer-
ften aen op de felve manier hadde konnen gemaeckt werden. Hier uyc blijckt, dat
die mijn fpel foude willen overnemen my a daer voor kan geven; en dat men

dienvolgens altijdt kan 3 tegen 1 fetten, als men neemt 1 fpel te winnen , eer dat
een ander 2 fpelen wint.

V. VOORSTEL.

Zÿ geftelt dat my 1 fpel ontbreeckt, en die tegens my fpeelt
3 fpelen. Nu moet men de verdeeling maecken.

Laet ons wederom acht nemen, in wat ftaet wy fouden zijn, indien ick of hy
het eerfte fpel quam te winnen. Als ick het won foo had ick het geen in-gefet is
dat is 4, maer als hy het eerfte fpel won, dan fouden hem noch 2 fpelen ont-
breecken tegen mijn 1, en wy fouden daerom in ftaet zijn gelijck in ’t voorgaende

voorftel geftelt wierdt, en my tockomen 14, gelijck aldaer bethoont is. Soo heb

3) Voir la p. 63.

70 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

donc des chances égales d’obtenir 4 ou 10 , ce qui, d’après la première Propo-

fition *), me vaut 7a. Refte 89 pour l’autre joueur. Ma chance eft donc à la
fienne comme 7 eft à 1.

De même que ce calcul-ci dépend du calcul précédent, de même le rébuléat
obtenu ici eft néceffaire au calcul qui fe rapporte au cas fuivant, où il me manque
une partie, tandis qu’il en manque quatre à mon Eu On crouve de la même

façon qu'il me revient dans ce cas 5 de l’enjeu, ete c°? NUL po

ProPosiTion VI. PTE

Suppofons qu'il me manque deux parties et qu'il e en man
que trois à mon adverfaire. ces bel.

La première partie aura maintenant pour effet, ou bien qu ïlr me : manq era
encore une partie à moi et trois à l’autre joueur ‘auquel cas il me revie!

Ta d’après ce qui précède), ou bien qu’il nous manquera deux parties à cheun

de nous, auquel cas il me revient =4, attendu que nos chances feront devenues

égales. Mais j'ai une chance contre une de gagner la première partie ou de la .
, I RU
perdre; j’ai donc des chances égales d'obtenir 7a ou 4, ce qui me vaut T6 ,

d’après la première Propofñition ‘). Onze parties de l’ enjeu me font _ dues ; .
contre Cinq à mon adverfaire. LÈ

Proposirion VII

Suppofons qu’il me manque encore deux parties et lui pire ht &
FFSA 3 ad

Ayant gagné la première partie, j'aurai donc encore 1 partie à gagner c contre
43 l'ayant perdue, encore 2 contre 3. J'ai donc des chances égales d'avoir :

=: 34 ou [64 Se qui me vaut “Sa d’après le première Propofiti icion :). Îlen réfülee

“+

+) Voir la p. 63.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, 1656— 1657. 71

ick dan een kans tegen een om 4 te hebben of 34, het welck fo vecl is door het
iste Voorstel *) als Ca. En blijft 34 voor den anderen. Soo dat mijn kans is tot

de fyne als 7 tot 1.

Gelijck nu tot defe reeckeningh vereyfcht is geweeft de voorgaende, fo is
wederom defe nodigh tot de volgende, te weeten, als men ftelt dat my 1 fpel ont-
breeckt, ende mijn party 4 fpelen. En werdt op gelijcke manier bevonden, dat

ES, : : 1
my komt e van ’t geen ingefet is, en hem 1<

VI. VooRsTEL.

Zi geftelt dat my twee fpelen ontbreecken, en hem die
tegen my fpeelr drie fpelen.

Nu fal gebeuren door het eerste fpel, of dat my noch 1 fpel fal ontbreecken en

hem 3 (toekomende my daerom door het voorgaende La) , Of dat ons elck noch

wee fpelen fullen ontbreecken, waer door my komt 54 om dat dan elck even
gôede kans heeft. Maer ick heb een kans tegen een, om het eerfte fpel te winnen
ofte verliefen; foo heb ick dan ghelijcke kans tot Ta of La , het welck my weerdt

8
is ZA door het cerfte Voorstel *). Soo dat my komen elf deelen van ’t geen inge-

ftelt is, en die tegens my fpeelt vif deelen.

VII. VooRrsSTEL.

Zy geftelt dat aen my noch rtwee fpelen ontbreecken en
hem 4 fpelen.

Soo fal ick het eerfte fpel winnende noch 1 fpel tegen 4 te winnen hebben; of,
Sa of

a, dat foo veel is als 4, door het ste Voorftel ). Waer uyt blijckt dat het

het felve verliefende, noch 2 tegen 3. Soo dat ick gelijcke kans heb tot

11
16

72 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

qu’il eft plus avantageux d’avoir deux parties à gagner contre quatre, qu ’une
contre deux. Car dans ce dernier cas: à favoir le cas d’une partie contre deux ,

* ; 1
ma part eft Îa d’après la ième Propofition *), ce qui eft moins que “da.

PropPosiTion VIII.

Suppofons maintenant que trois perfonnes jouent enfemble
et qu’il manque une partie à la première aïinfi qu'à la
deuxième, mais qu’il en manque deux à la troifième.

Pour calculer la part du premier joueur , il faut derechef tenir compte de
ce qui lui reviendrait fi lui-même ou fi l’un des deux autres gagnait la première
partie. S’il la gagnait, il obtiendrait l’enjeu que j'appelle z. Si le deuxième gagnait
cette partie, le premier n'aurait rien, car le deuxième aurait terminé le ; jeu. Si le
troifième gagnait, il manquerait encore une partie à chacun des trois: par fuite 1

premier, ainfi que chacun des deux autres, aurait droit à es L
chance d'obtenir 4, 1 chance d’obtenir o, et 1 chance d’obtenir. _. (care

des trois a la même chance de gagner la première partie) ce qui lui vaut #e
d’aprés la deuxième Propofition *). Au deuxième joueur revient donc hi où ‘
part, c'eft-à-dire, 00 de forte qu’il refte 5 pour le troifième. On aurait pu 4

crouver direétement la part de ce dernier et calculer en partant de à la part
des autres 3). CR,

rs dl sit
PropPosiTion IX +).
Pour calculer la part de chacun d’un 10 ee donné de

joueurs, auxquels manquent des parties en nombres donnés
pour chacun d'eux féparéments), il faut d’ abord fe rendre :

4 i'à % Re ë
hé fa 008
a D tte ÿ s
1) Voir la p. 67. | Lei log is PAR
?) Voir la p. 65. 1e
+) Voir pour une rédaction antérieure de la solution du même problème le Pr 15

dice I, p. 92—93. pue

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656— 1657. 73

beter kans is 2 fpelen te moeten winnen tegen 4, als.een fpel tegen twee. Want

in dit laetfte geval, te weeten, van 1 cegen 2, fo is mijn deel 2) door het 4de
L t 4

Voorftel *), zijnde minder als a.

VIIL VoorsreL,.

Laet ons nu ftellen dat drie perfoonen t’famen fpeelen,
daer van den eerften 1 fpel ontbreeckt, den twceden mede
1 fpel, maer den derden 2 fpelen.

Om het deel van den eerften te vinden, fo moet weder aengemerckt werden wat
hem foude komen, indien hy of een van de twee anderen het eerfte fpel quam te
winnen. Als hy het won foo had hy het geen dat ingefet is, ’: welck zy 4. Als het
den tweeden won foo hadde den eerften niets, want den tweeden foude daar mede
uyt zijn. Als het den derden won foo foude aen elck van drien noch 1 fpel ont-

I
breecken, en daerom den eerften fo wel als elck van d’andere De toekomen. Soo

LA I
-iffer dan voor den eerften 1 kans tot 4, 1 kans tot o, en een kans tot -#, (want het
even licht kan gebeuren aen yeder van drien het eerfte fpel te winnen,) het welck

hem weerdt is 9 door het 2de Voorstel ?). Soo komt dan oock voor den tweeden

gs en voor den derden blijft over Ta. Wiens deel int byfonder oock hadde kon-

nen gevonden worden, en daer door de andere haer deelen bepaelt 5).

IX. VoorsTEL #).

Om tuffchen foo veel fpeelders als voor-geftelt zijn, waer
van d’eene meer en d’ander minder fpeelen ontbreecken een
ieder haer deel te vinden5), foo moet ingefien worden, wat

4) Cette Proposition manquait dans le manuscrit envoyé à van Schooten le 20 avril 1656, elle
doit avoir été ajoutée en 1656 après le 6 mai, date de la Pièce N°. 289, p. 415 du T.I, ou
en 1657; voir encore les pp. 5, 7 et 8 de l’Avertissement.

5) Voir, sur la solution générale de ce problème, les p. 21—25 et la note 3 de la p. 28 de
l'Avertissement.

10 :

74 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

compte de ce qui reviendrait à celui dont on veut favoir la
part dans le cas où lui et dans ceux où chacun des autres à fon
tour aurait gagné la première partie fuivante. En ajoutant
toutes ces parts et en divifant la fomme par le nombre des.
joueurs ou trouve la part cherchée du joueur con fidéré.

Suppofons que 3 perfonnes À, B et C jouent enfemble et qu’il manque 1 partie
à A, 2 à B et également 2 à C. On veut favoir quelle part de l’enjeu que j'ap-
pelle g revient au joueur B. :

Nous devons examiner d’abord à quelles parts B aurait droit, fi lui-même ou À
ou C aurait gagné la première partie fuivante. Si A la gagnait, il aurait terminé
le jeu. B recevrait par conféquent o. Si B écait lui-même le gagnant, 1 partie lui
manquerait encore, ainfi qu’à A, tandis qu’il en manquerait 2 à C. B aurait

donc droit à of d’après la huitième Propofition. |
Enfin, fi C gagnait la première partie fuivante, il manquerait 1 partie à Aetà
C, tandis qu’il en manquerait 2 à B; B, par conféquent, aurait droit à " d’après

la même Propoñition VIII. LL. EE
Il faut maintenant ajouter les parts qui reviendraient à B dans ces trois hypo-
thèfes, favoir o, nl et ne Il vient 4. En divifant ce nombre par 3, le nombre:
1 |
27 th dl
On le démontre par la deuxième Propofition *). En effet, comme B a des chances

g. C’eft là la part jufte du joueur B.

des joueurs, on trouve

égales d’obtenir o, “I ou RE il poffède , d’après cette Propofition, pour ainfi |

rue
dire e 2_ou q *). Et il eft certain que le divifeur 3 eft égal au nombre
des joueurs.

Mais pour favoir ce qui reviendra dans chaque cas à chaque joueur lorfque lui-
même ou l’un quelconque des autres aura gagné la première partie fuivante, il
faut d’abord faire le calcul pour les cas les plus fimples et enfuite, en partant delà,
pour les cas fuivants. Car de même que le dernier cas que nous avons confidéré
ne pouvait être foumis au calcul fans que d’abord la huitième Propofition eût été,
réfolue, dans laquelle les parties manquantes étaient aux nombres de 1 , de 1 et
de 2, de même aufñli la part de chaque joueur au cas où les nombres des parties
manquantes font 1,2, 3 ?) ne peut être calculée fans qu’on cherche d’abord cette

*) Voir la p. 65.

#

Là

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, 1656—1657. 75

hem, wiens deel men begeert te weeten, foude toekomen,
indien of hy, of elck van d’andere in ’tbefonder het eerfte
volgende fpel quam te winnen. Dit dan alles te faemen gead-
deert en door het getal der fpeelders gedeelt, foo komt het
gefochte gedeelte van den eenen.

Zy genomen dat 3 perfoonen A, B , en C te faemen fpeelen, en dat aen A een
fpel ontbreeckt, aen B 2 fpelen, en aen C van gelijcken 2 fpelen. Men begeert te
weeten wat deel aen B toekomt van het geene ingefet is, het welck zy genoemt g.

Voor eerft moeten wy onderfoecken wat B foude komen, als hy felfs, of A, of
C het eerfte volgende fpel quam te winnen, Als het À won, fo foude hy uyt zijn,
en dienvolgens foude B toekomen o. Als B felfs het won, fo ontbrack hem noch
1 fpel, en aen À mede 1 fpel, maer aen C 2 fpelen. Daerom foude B in dit geval

| toekomen y door het 8st Voorftel.
Eyndelijck als C het eerfte volgende fpel quam te winnen, foo foude A en C
_elck 1 fpel ontbreecken, maer aen B 2 fpelen; en diéênvolgens foude B komen 59

door het felfde 8st Voorftel. Nu moet geaddeert werden het geen in deze 3 voor-

5
9
getal der fpeelders, gedeelt, komt À ’Twelck B zijn gerechte deel is. Het be-
wijs nu hier van blijckt door het 2de Voorftel *). Want naer dien B gélijcke kans
o+T9+ q

heeft tot o, 91 , Of SP foo heeft hy door het 2de Voorftel foo veel als FE —

vallen aen B foude toekomen, te weeten, o, nl k 5! en komt “7. Dit door 3, het

dat is a ?). Ende het is feecker dat defen divifor 3 het getal van de fpeelders is.

Doch om te weeten, wat iemandt komt in elck geval, te weeten, als hy felfs of
een van d’andere het eerfte volgende fpel wint: foo moeten de fimpelfte voorvallen
cerft uytgevonden werden, en door haer behulp de volgende. Want gelijck dit
laetfte voorval niet konde afgedaen werden fonder dat eerft dat van het 8st Voor-
ftel uytgereeckent was, in *t welck de refterende fpelen waeren 1, 1,2, foo kan
. infgelijcks ieders deel niet gevonden werden in fo een geval, als de refterende
fpelen zijn 1, 2, 35), of men moet eerft uytgereeckent hebben het voorval van 1,2, 2

?) Le même problème est résolu dans l’Appendice I à la p. 93.
3) Ce problème aussi est traité dans l’Appendice I aux p.93—95 ; mais Huygens a manqué alors
la solution exacte.

76 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657. |

part dans le cas des nombres 1,2, 2, comme nous venons de le faire, ainfi que
dans celui des nombres 1, 1,3,ce qui peut être fait d’après la huitième Propo-
fition. C’eft en fuivant cette méthode qu’on trouve les parts M eme pre aux
nombres du tableau fuivant, ainfi qu’à une infinité d’autres. Sésh

.

Tableau pour trois joueurs.

Parties qui leur

manquent.
Leurs parts. | 4.4.1 | 17.5.5 |13.13.1| 19.6.2 £
9 27 27 27
Parties qui leur 1,1.4 116 1.05ù ne.

manquent.

Leurs parts. | {o 40.1 |rer.1or.1| 178.58.7 | 540.170.8

2 8x}, 243 243 729 RU
Parties qui leur
manquent. 1:3-3 1.34 CAS D EE ©
Leurs parts. | 65.8.8 |616.82.31 | 629.87.13 #36: 9
81 729 729
Parties qui leur | ET TT
manquent. | *’?5 | ?:?:4 2.2.5 2.3.3 | ui,
Leurs parts. 34.34.131338.338.531353.353.23| 133.55.55 451.195.83
| 81 729 729 243 7 729

bre n0%

À l égard ag dés, on peut Soft ces queftions : à favoir en ie mp fe .
peut accepter de jeter avec un dé un 6 ou bien un des autres nombres; de même
en combien de fois 2 fix avec 2 dés ou 3 fix avec 3 dés. Et bien its quetions
encore. Pour les réfoudre, il faut remarquer ce qui fuit. Hi 40

D'abord qu’on peut faire avec un dé fix coups différents étain vraifem-
blables. Car; je fappofe que le dé a la forme d’un Cube parfait. :

Enfuite qu’on peut faire 36 coups différents avec 2 dés, lefquels ont aufli des :
vraifemblances égales. En effet, avec chaque coup du premier dé chacun La He
coups du deuxième dé peut fe combiner. Et 6 fois 6 font 36. de

De même qu’il y a 216 coups de 3 dés. Car avec chacun des 36 coups

RTE RUPTURE MN

She)

ul

Pate.

FE <

OS ET CR TT APTE A0 ROME A 7 à RARE = * È
ee EN nn se TT
" x L

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, 1656— 1657. 77

gelijck wy terftond gedaen hebben, ende noch dat van 1,1,3, het welck door
behulp van het 8ste Vooritel mede konde bereeckent werden. Op defe manier dan

werden vervolgens al de voorvallen uytgevonden, die in de volgende tafel zijn
vervat, en oneyndelijcke andere.

Tafel voor drie Speelders.

Spelen die haer
ontbreecken.

Haer deelen. 4.4.1 |17.5.5 |13.13.1| 19. 6. 2

Spelen die haer
ontbreecken.

Haer deelen. |40.40.1|121.121.1| 178.58.7 | 542.170.8

81 243 243 729

Spelen die haer

ontbreecken. 1-3-3 as -3:5

Haer deelen. , | 65.8.8 | 616.82.31 | 629.87.13
81 729 729

Spelen die haer

ontbreecken. ir 244 2.2.5 2.3.3 | 2.3.4 2.3.5

|
Haer deelen. 134.34.131338.338.531353.353.231133. 55. 55/451-195.83 1433.635.119
| 81 729 : 729 243 729 2187

- De dobbel-fteenen aengaende konnen defe queftien werden voorgeftelr, te
weeten, van hoevéel reyfen men kan nemen met eene fteen een 6 te werpen of
een van d’ander ooghen. Oock van hoeveel reyfen 2 feffen met 2 fteenen, of 3
feffen met 3 fteenen. Ende noch veel andere. Om welcke te folveeren, fo moet
hier op werden acht genomen.

Eérftelijck dat op 1 fteen zijn 6 verfcheyde werpen, die even licht konnen
gebeuren. Want ick neeme dat een dobbel-fteen de perfecte figure van een
Cubus heeft.

+ Voorts, dat op 2 ftecnen fijn 36 verfcheyde werpen, die infgelijex even licht
konnen voorkomen. Want tegen elcke werp van de cene fteen kan een van de 6
werpen van d’andere fteen te gelijck boven leggen. En 6 mael 6 maeckt 36.

Oock dat op 3 fteenen zijn 216 werpen. Want tegen clck van de 36 werpen

78 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656 —1657.

des 2 dés peut fe combiner l’un quelconque des 6 coupsdu troifième. Et 6 fois
36 font 216.

On trouve de la même façon qu'il y a 6 x 216 ou 1296 coups de quatre dés;
et qu’on peut en continuant ainfi calculer le nombre de coups pour un nombre
quelconque de dés: on multiplie par 6 le nombre précédent de coups, chaque
fois qu’on ajoute un nouveau dé. :

Enfüuite, il faut favoir qu'avec deux dés on ne peut faire qu’un coup de 2 ou de
12 points, et 2 coups de 3 ou de 11 points. En effet, fi nous appelons les dés A
et B refpeétivement, il eft évident que pour jeter 3 points À peut donner un as
et B un 2, ou bien B un aset À un 2. De même pour obtenir 11 points, A peut
donner 5 et B6, ou bien AGet B 5. Le coup de 4 points eft triple, favoir A r,
B 3,ou À 3,B1,ou À 2,B 2. Le coup de 10 points eft également triple. Celui
de 5 ou de 9 points, quadruple. Celui de 6 ou de 8 points, quintuple. Celui de
7 points, fextuple.

r

3 OU 18 I
4 OÙ 17 3
5 ou 16 6-
Avec 3 dés l’on trouve pour : x U points 1 | coups différents.
8 ou 13 21 |
‘gou12 |. 25
IOOUII 27

PROPOSITION X.

Trouver en combien de fois l’on peut accepter de jeter
un fix avec un dé.

IlLeft certain que le joueur qui accepte de jeter un 6 en un feul coup à 1 chance
de gagner l'enjeu et 5 de perdre. Car il y a 5 coups contre lui et pas plus qu’un
feul pour lui. Appelons l’enjeu 4. Il a donc 1 chance d’obtenir 4 et 5 chances de
n'obtenir rien, ce qui d’après la deuxième Propofition *) lui vaut a Il refte Ja
pour celui qui l’engage à jeter le dé, Celui qui joue une partie d’un feul coup, ne
peut donc mettre que 1 contre 5. _ 7

La part de celui qui parie de jeter un 6 en deux coups, eft calculée de la façon
fuivante, S'il jette un 6 la première fois, il gagne 4. S’il manque fon coup, ilen
a encore un, ce qui lui vaut se d’après le calcul précédent. Mais il n’a qu’une

chance de jeter un 6 du premier coup et il en a 5 de manquer ce coup. Il a donc

Sn nt Ne SA LC MS fe. M SAS D lue CS dE Eu

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656—1657. 79

der 2 fteenen kan een van de 6 werpen komen, die op de derde zijn. En 6 mael
36 maeckt 216.

Van gelijcken blijckt, dat op 4 fteenen zijn 6 mael 216 werpen, dat is, 1296;
en dat men foo voort de werpen van foo veel fteenen als men wil kan bereeckenen,
alcijdt door het toe-doen van eene fteen 6 mael de werpen der voorgaende nemende,

. Vorders moet men weeten, dat op twee fteenen maer eene werp en is van 2 of
12 oogen, en 2 Werpen van 3 of 11 oogen. Want gevende aen de fteenen de nae-
men van À en B, foo blijckt dat om 3 oogen te werpen op A cen aes kan zijn, en
op B een 2; of op B cen aes, en op À een 2. Van gelijcken om 1 1 oogen te hebben,
fo kan op À 5 ziÿn, en op B 6; of op A 6 en op B 5. Van 4 oogen zijnder 3 werpen,
te wecten, À 1, B 3; of A 3,B 1; of À 2, B 2. Van 10 0ogeninfgelijcks 3 werpen.
Van 5 of 9 oogen 4 werpen. Van 6 of 8 oogen s werpen. Van 7 oogen 6 werpen.

3 of 18 —.
4 of 17 3
5 of 16 6
Op 3 fteenen vindt men van os | oogen werpen.
8 of 13 21
gof12 25
Lioof11 L:a7

X. VooRsTEL.

Te vinden van hoeveel reyfen men kan neemen een 6te
werpen met eene fteen.

Die het ten eerften neemt, het is feecker dat hy 1 kans heeft om te winnen,
ende te hebben het geen ingefet is, tegen 5 kanffen om te verliefen. Want daer
fijn 5 werpen tegen hem, en maer een voor hem. Het geen ingefet is zy genoemt 4.
Soo heeft hy dan 1 kans om te hebben %, en 5 kanffen om o tehebben, het welck

door het 2de Voorftel *) fo veel is als A En blijft voor die het hem geeft te wer-

pen Ja. Soo dat hy maer 1 tegen 5 kan fetten, die het ten eerften neemt.

Die van tween eens een 6 neemt te werpen, werdt fijn deel aldus bereeckent.
Indien hy de eerfte reys een 6 raeckt, foo heeft hy 4%. Indien hy mift, foo heeft hy

noch eene werp, dewelcke door het voorgaende foo veel is als ca. Maer hy heeft

maer een kans om in de eerfte reys een 6te werpen, en 5 kanffen om die te miffen.

1) Voir la p. 65; mais il s’agit plutôt de la troisième Proposition qu’on trouve à la même page.

80 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

. . I j | . «
au commencement 1 chance d'obtenir 4 et $ chances d'obtenir gce qui lui vaut

16 d’après la deuxième Propofition. Il refte su pour celui qui gage contre lui.

Celui qui joue en 2 coups peut donc mettre 11 contre 25, ce qui eft moins que 1
contre 2.
En partant de ce réfultat, on calcule de la même manière que la part de celui

qui parie de jeter un 6 en trois coups eft 24. Il peut donc mettre 91 contre 195,

c’eft-à-dire à peu près 3 contre 4. | ts 4 À 01
La part de celui qui joue en 4 coups eft es. Il peut donc mettre 671
contre 625 , c’eft-à-dire plus que 1 contre 1.

La part de celui qui joue en 5 coups eft MS ea il peut mettre 4651 contre

3125, c’eft-à-dire à peu près 3 contre 2.

Lé

La part de celui qui joue en 6 coups eft > : 3 6:

contre 15625, c’eft-à-dire à peu près 2 contre 1.

On peut pourfuivre ce calcul fucceflivément pour chaque nombre de coups.
Mais on peut aufli avancer par de plus grands bonds, comme nous l’indiquerons
à la Propofition fuivante; fans quoi le Calcul deviendrait fort long.

da) et il peut mettre 31031

Prorosirion XI. Î

Trouver en combien de fois lon peut RE ESA de jeter 2
fix avec 0 dés. 4 nocddod ày #8

Jai

Celui qui joue en un feul coup, a 1 chance de gagner, c’eft- à-dire d’ avoir 2,
contre 35 chances de perdre, c’eft-à-dire d’avoir o, attendu > il y a 36 come

it CH

De forte qu’il a 36 d’après la deuxième Propofition :).

Quant à celui qui joue en 2 coups, il gagne 4 s’il jette 2 fix la première fois.
S'il manque fon coup la première fois, il lui en refte encore un, ce qui lui vaut

56° d’après ce que nous venons de dire. Mais il n’a qu’une chance de jéter 2 fix

la première fois contre 35 chances de manquer fon coup. Il a donc au commence-

a | LA 3-1 12%

+) Voir la p. 65.

DR NE"

= T4

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, 1656—1657. 81

I

| AE het
welck door het 2de Voorftel foo veel is als 36 Ende blijft voor die het hem geeft
25

7 4 Soo dat dic het van tween neemt 11 tegen 25 kan ftellen, dat is, min als

So heeft hy dan van eerften aen 1 kans om 4 te hebben, en 5 kanffen tot

1 tegen 2.
Hier uyt nu werdt op defelve manier bereeckent, dat die van dryen eensneemt

.. 7 I
een 6 te werpen, zijn deel is a. Soo dat hy kan 91 tegen 125 fetten, datis,

weynigh min als 3 tegen 4.

à à és à al à 7 à
Die het van vieren neemt, fijn deel is ss GA. Soo dat hy 671 vogen 625 kan

fetten, dat is, meer als 1 tegen 1.

Die het van vyven neemt, fyn deel is Se, ende kan 4651 tegen 3125 fetten

dat is, weynig min als 3 tegen 2.

Die het van feffen neemit, fijn deel is 26636? ende kan 31031 tegen 15625
fetten, dat is, weynigh min als 2 tegen 1.

Aldus kan men vervolgens yder getal van werpen vinden., Maer men kan oock
met grooter fprongen voort gaen, gelijck wy in ’t volgende Voorftel aenwyfen
fullen, fonder ‘r welck de Reeckening anders feer lang foude vallen.

XL... VooRsTEzL.

Te vinden van hoe veel reyfen men kan neemen 2 feffente
werpen met 2 fteenen.

Die het ten eerften neemt, heeft 1 kans om te winnen, dat is, om 4 te hebben,
tegen 35 kanffen om te verliefen ofte o te hebben; om datter 36 werpen zijn. Sulex

dat hy door het 2de Voorftel *) heeft 36”

Die het van rween neemt, indien hy de eerfte reys 2 feflen werpt, foo heeft
hy 4. Indien hy d’eerfte reys mift, foo heeft hy noch eene werp overig, dat is,
I
36
reys 2 feffen te werpen, tegen 35 kanflen om die te miflen. Soo heeft hy dan van

1
eerften aen 1 kanffe tot 7, en 35 kanffen tot 36? het welck door het 2de Voor-

door ’t geen gefeyt is, foo veel als —7. Maer hy héeft maer 1 kans om in de eerfte

11

82 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656-—1657. ;

. , . I . . j I à
ment 1 chance d’obtenir # et 35 chances d’obtenir ET ce qui lui vaut Dre

d’après la deuxième Propofition. Il refte +. Sa pour celui qui l’engage à jeter.

On peut trouver en partant de là la chance ou la part de celui qui joue en 4 Coups;
on peut fauter le cas du jeu en 3 coups.
En effet, celui qui joue en 4 coups, obtient #, s’il jette 2 fix l’une des. deux

premières fois; finon, il lui refte encore 2 coups, ce qui lui vaut 7 6° d’après le

calcul précédent. Mais d’après le même calcul ila 71 chances de jeter 2 fix l’une
des deux premières fois, contre 1225 chances de les manquer. Ïl::a, donc. an

commencement 71 chances d’obtenir 4 et 1225 chances d’obtenir. ges ce

178991 see

qui , d’après la deuxième Propofition , lui vaut 1679616" Nrefte =" 167961 TO7SÉ TC) pour
celui qui gage contre lui. Leurs chances font donc l’une à l’autre comme 17 F0
eft à 1500625. neo 9 218 cie give, 2b18b

Partant de là, on trouve de la même manière la chance de celui ui pari e-

jeterune fois 2 fix en 8 coups. Enfuite, en partant de là, la chance de ul ui quijoue
en 16 coups. Et en partant de la chance de ce derniers jointe à celle. de celui qui
joue en 8 coups, on trouve la chance de celui qui joue en 24 coups. Dans ce
calcul,comme il s’agit furtout de chercher pour-quel nombre de coups les chances
des due : joueurs commencent à devenir égales, on peut omettre une partie des
derniers Chiffres des nombres qui fans cela deviendraient très grands. Je trouve
que celui qui joue en 24 coups a encore un léger défavantage, et qu’on ne peut
accepter la partie avec avantage qu’en jouanten 25 coups au moins :).

+

Proposirion XII.

if (SÜTSW

Trouver le nombre de dés avec lequel on ae accepter de
jeter 2 fix du premier coup. no nsinss 2e Tai

Cela équivaut à vouloir favoir en combien de coups d’un feul dé l'on peut

compter jeter deux fois un 6. D’après ce que nous avons hat ih cœe haut k),
iibol «à yfl
celui qui accepterait de jeter 2 fix en 2 coups, aurait ik droit À — ! 6

Lu |
le 7 1600b

3 RE À CA
For © 47. 31

1) On trouvera aux p. 26—28 de: l’A vértissement une ssRsIQN du nee en question. ét
de celui qui le suit.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, 1656—1657. 83

Li 4 à I LU i a]
ftel foo veel is als 55 g4- En blijft voor die het hem geeft te werpen 15907 Hier

uyt nu kan gevonden worden, wat kans ofte deel hy heeft die het neemt van 4
werpen, overflaende de kanffe van die het neemt van dryen.

Want die het van vieren neemt, indien hy het doet in een van de 2 eerfte reyfen,
{00 heeft hy 4; indien nier, foo heeft hy noch 2 werpen overig, dat is, door ’tgeen

te vooren gefeyc is, foo veel als Éd 4. Maer hy heeft oock door het felve 71

kanffen om van de 2 eerfte werpen eens 2 feffen te werpen, tegen 1225 kanffen
om die te miffen. Soo heeft hy dan van eerften aen 71 kanffen tot 4,en 1225 kanflen
Zi, à d is als178991
tot 159 g“ het welck door het 2de Voorftel fo veel weerdt is als 167961 LIT IT Ende
es 5
16796

blijft voor die het hem geeft ca. Staende haere kanflen tegen een, als

178991 tegen 1500625.

Hier uyt werdt vorders op defelve manier gevonden de kans, van die van 8
reyfen eens 2 feffen neemt te werpen. En daer uyt dan wederom de kans, van die
het neemt van 16 reyfen. En uyt defe fijn kans, ende uyt de kans van die het
neemt van 8 werpen, werdt gevonden de kans van die het neemt van 248en, In
welcke werckingh, alfoo voornamentlijck maer gefocht werdt in wat getal van
werpen de gelijcke kanffe begint tuffchen die het neemten geeft, foo magh men
van de getalen, die anders feer groot fouden werden, een deel van de achterfte
Cijfers af-fnijden. Ick vinde dat die het neemt van Dauer, noch yets te kort komt;
en dat het eerft van 258en genomen kan werden met voordeel *).

XII. VoorsTEL.

Te vinden met hoe veel fteenen men kan nementeneerften
2 feffen te werpen.

Dit is foo veel dan of men wilde weeten, in hoe menige werp met eene fteen
men kan nemen tweemael een 6 te raecken. Het welck die het in 2 werpen nam,

I
foude, door het geen hier te vooren is bewefen?), 36 a toekomen.

?) Voir l’avant-dernier alinéa de la p. 81.

84 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

Quant à celui qui jouerait en 3 coups, fi fon premier coup n’était pas un 6, il
lui refterait encore 2 coups lefquels devraient être des 6 l’un et l’autre; ce que

nous avons dit valoir TA Mais fi fon premier coup eft un 6, il ne lui faut plus

jeter qu’un feul 6 dans les deux coups fuivants, ce qui d’après la dixième Propo-

fition *) lui vaut 56 Or, il eft certain qu’il a 1 chance de jeter un 6 du
premier coup contre 3 chances de le manquer. Il a donc au commencement

1 chance d’obtenir 6° et 5 chances d'obtenir 56 ce qui d’après la deuxième

16
on trouve qu’on peut accepter avec avantage de jeter 2 fix avec un dé en ro coups

ou avec 10 dés en un coup à).

: 16 2 1
Propofition ?) lui vaut 4 ou a Prenant ainfi chaque fois un coup de plus,

: ProPosiTion XIII.

Dans l’hypothèfe que je joue un coup de deux dés contre

une autre perfogne à condition que sil vient 7 points,
j'aurai gagné, mais qu’elle aura gagné s’il en vient 10,et que
nous partagerons l'enjeu en parties égales s’il vient autre
chofe, trouver la part qui revient à chacun de nous. Rte

Comme parmi les 36 coups qu’on peut faire avec 2 dés, il y en a 6 de 7 points
et 3 de 10 points, il en refte 27 qui ne font gagner ni l’un ni l’autre. Dans ce

. . \ I . . .
dernier cas, nous avons chacun droit à na Mais finon, j’ai 6 chances de gagner,
c’eft-à-dire d’avoir 4, et 3 chances de perdre, c’eft-à-dire d’avoir o; ce qui d’après
1 . 2 .
la deuxième Propofition ?) me vaut À pour ce cas. J’ai donc au commencement

Li Ï . 2 : L2 “ Li
27 chances d’avoir 529 chances d’avoir 3 ce qui d’après la deuxième Pro-

+ I j II à
pofition me vaut Dé Et il refte ee pour l’autre joueur.

?) Voir les p. 79—81.
©) Voir la p. 65 et consultez la note 1 de la p. 79.

Sn, en | Ne -

NON TRE ST Ne
vi sil Mani ES di, S

ie do 0 CT SE

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, 1656—1657. 8s

Die het in dryen nam, indien zijn eerite werp geen 6 en waer, foo had hy noch
2 werpen, die beyde een 6 fouden moeten zijn; het welck gefeyt is foo veel weerdt
te Zijn als 36 Maer zijn eerfte werp een 6 wefende, foo behoeft hy van tween
noch maer eens een 6 te werpen, het welck foo veel is door het 1ode Voorttel ‘als
of hy 30 hadde. Nu is feecker dat hy 1 kans heeft omten eerften een 6 te werpen,
tegen 5 kanffen om die te miflen. Sao heeft hy dan van eerften aen 1 kans tot
11 1

n gens kanffen tot 367 het rrabk door het de Voorftel *) foo veelis als Lea

2 À
of 57 Op defe manier t’elckens een werp meer nemende foo werdt bevonden,

dat in 10 werpen met eene fteen, of met 10 fteenen ten cerften, kan genomen
werden 2 feffen te werpen, en dat met voordeel 5).

XIIL VoorsTEL.

Als ick tegen een ander fpeel met 2 fteenen alleen eene
werp, op conditie, dat, indien der 7 oogen komen, ick win-
nen fal; maer hy, indiender 10 oogen komen; en ingevalle
iets anders, dat wy dan gelÿckeliÿck deelen fullen het geen
ingefet is: Te vinden wat deel daer van ons elck toekomt.

Dewl van de 36 werpen, die op 2 fteenen zijn, 6 werpen zijn van 7 oogen,
en 3 werpen van 10 oogen, foo refteren noch 27 werpen, die het fpel konnen

kamp maecken. Het welck gebeurende fo komt ons ieder 54. Maer als het geen

kamp is, foo heb ick 6 kanflen om te winnen dat is om z te hebben, en 3 kanflen
om te verliefen ofte o te hebben; het welck door het 24e?) oo veel is, als of ick in

fulcken geval 3 hadde. Soo heb ick dan van eerften aen 27 kanffen tot 4 en 9
kanffen tot 365 het welck door het 2de foo veel is als Se En blijft voor den

II
anderen —4.
24

3) Voir la note 1 de la p. 82.

86 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657. .

Proprosirion XIV.

Si un autre joueur et moi jettent tour à tour 2 dés à con-
dition que j'aurai gagné dès que j'aurai jeté 7 points et lui
dès qu’il en aura jeté 6,tandis que je lui laiffe le premier
coup,trouver le rapport. de ma chance à la fienne.

Soit x la valeur de ma chance, et 7 l’enjeu. La chance de l’autre joueur a donc
la valeur 4— x: Il eft évident aufli que chaque fois que c’eft fon tour. de jeter , ma
chance aura de nouveau la valeur x. Mais chaque fois que c’eftmon tour de
jeter, ma chance doit avoir une valeur fupérieure , mettons y. Or, attendu que
parmi les 36 coups qu'on peut faire avec 2 dés, il y en a 5 qui peuvent donner 6
points à mon adverfaire et lui faire gagner la partie, et 31 coups à fon défavan-
tage, c’eft-à-dire qui amènent mon tour de jeter, j’ai 5 chances d’avoir o lorf-
qu’il jette la première fois, et 31 chances d’avoir y; ce qui d’après la troifième

. I . : HS:
Propofition *), me vaut 2 Mais nous avons pofé que ma chance valait x au

commencement du jeu. De forte que =. = X, partant y = e. Nous avons
pofé en outre que ma chance vaut y, lorfque c’eft mon tour de jeter. Mais lorfque
je jette, j'ai 6 chances d’avoir 4, attendu qu’il y a 6 coups de 7 points qui me
font gagner; et j'ai 30 chances de faire revenir le tour de mon adverfaire, c’eft-à-
dire d’avoir pour ma part x. La valeur y eft donc équivalente à 6 chances d’avoir
4 et 30 chances d’avoir x; ce qui, d’après la troifième Propofñition, me vaut

Mo A 2 3% Cette expreflion étant donc égale à y, et y d’après ce qui précède

36
, 36% 30% + 64... n BA 19 xù amaiédiael in 2 RSR is
à 31° il se que de foit pe , d’où l’on tire x = é: ; valeur de ma

, . O4 |
chance. Par conféquent, la chance de mon adverfairé vaudra PE. Le rapport de

nos chances eft donc de 31 à 30 *).

*) Voir la p.65. C’est la seule fois que la Prop. III est citée dans le présent Traité. Comparez
- la note 1 de la p. 79.
*) Consultez encore sur cette Proposition les pp. 4 et 6 de l'Avertissement et la note 2 de
la p. 88. F4 | FÆ

bei PC À l'E SES FO RAT Fe à is me fi ie ss L

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1636—1657. 87

XIV. VoorsreL.

Als ick en noch een ander met beurten werpen met 2 ftee-
nen, ende befpreecken dat ick fal winnen, foo haeft ick 7
ooghen werp, ende hy, foo haeft als hy 6 ooghen werpt, mits
dat ick hem de voorwerp geve. Te vinden in wat reden mijn
kans tegen de fine ftraet.

Laer mijn kans weert fijn x, ende het geen ingefet is fy genocmt #; [oo is dan
de kans van den anderen wecrdt 4—x. Het blijckt oock dat elcke mael, als fin
beurt van werpen weder komt, mijn kans dan weder moet x weerdt zijn. Maer foo
dickmaels als het min beurt is te werpen, foo moet mijn kans meerder weerdt zijn.
Laet ons y ftellen voor het geene datfe dan weerdt is. Overmits nu datter 5 wer-
pen zijn van de 36 werpen op 2 ftcenen, die mijn tegen fpeclder 6 ooghen konnen
geven, ende het fpel doen winnen, en 31 werpen die hem doen miflen, dat is, die
mijn beurt van werpen doen komen: foo heb ick dan, als hy begint te werpen, 5
kanffen om o te hebben, en 31 kanflen om te hebben y; het welck door het 31e

Voorftel 1) weerdit is se Maer daer is geftelt, dat mijn kans van eerften aan x

weerdt is. Soo is dan dé 2 x, en daerom y % 3%, Voorts foo is geftelt, dat,

mijn beurt van werpen gekomen zijnde, mijn kans dan y weerdt is. Maer ick
fullende werpen, foo heb ick 6 kanflen tot #; om datter 6 werpen zijn van 7
ooghen, dewelcke my doen winnen;, en ick heb 30 kanffen om de beurt van min
regen-fpeelder te doen wederkeeren, dat is, om voor my x te hebben, Soo is dan
y foo veel weerdt als 6 kanffen tot 4 en 30 kanffen tot x; ’t welck door het 34e

SRE 39%, Dit dan zijnde gelijck aen y, ende te voren ge-

36
pe zijnde 3e æ y, foo moet 308 +2 gelijck zijn aen 0e ; waer UYt ge-

vonden werdt x 20 rh het welck de weerde is van mijn kans. En diensvolgens

61
fal de kans van die tegens my fpeelt weerdt zijn 3. Soo dat onfe kanflen cegen

Voorftel foo veel is als

malkanderen ftaen, als 31 tot 30 *).

88 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656—1657.

Je termine en faifant fuivre encore quelques Propofitions”).

12). A et B jouent enfemble avec 2 dés à la condition fuivante : À aura gagné
s’il jette 6 points, B s’il en jette 7. A fera le premier un feul coup; enfuite B
2 coups fucceflifs; puis de nouveau À 2 coups, et ainfi de fuite, jufqu’à ce que
l’un ou l’autre aura gagné. On demande le rapport de la chance de À à celle de
B? Réponfe : comme 10355 eft à 12276.

IL 5). Trois joueurs À, B et C prennent 12 jetons dont 4 blancs et 8 noirs; ils
jouent à cette condition que celui gagnera qui aura le premier, en choififfant à
l’aveuglette, tiré un jeton blanc, et que A choifira le premier, B enfuite, puis
C, puis de nouveau A et, ainfi de fuite, à tour de rôle. On demande le rapport de
leurs chances ?

IIT 4). A parie contre B, que de 40 cartes, dont dix de chaque couleur, il en
tirera 4 de manière à en avoir une de chaque ALES On trouve dans ce cas que
la chance de A eft à celle de B comme 1000 eff à 8139.

IV 5), On prend comme plus haut 12 jetons dont 4 blancs et 8 noirs. A parie

?) Voir sur ces Exercices les p.29—30 de l’A vertissement.

?) On doit ce problème à Fermat; voir la p. 433 du T.I. Aprèsavoir PAU la Prop. XIV
de Huygens, transmise à lui par l’intermédiaire de Carcavy Cvoir les pp. 428 et 430 du
T. 1), Fermat inventa ce problème plus compliqué, qu’il fit parvenir à Huygens par la même
voie (voir la lettre du 22 juin 1656 de Carcavy, p. 432 du T.Iet l'Appendice, p. 433 du
même Tome, qui y appartient). Huygens en envoya sa solution à Carcavy par sa lettre du
6 juillet 1656 (p.442 du T. I). On trouve les solutions de de Monmort et de Jacques Ber:
noulli respectivement aux pp. 216—217 et 49—51 de leurs ouvrages, Citès dans les notes 14
et 13 dela p.9 du présent Tome; celle de Struyck aux p. 32—34 de l’édition française de
ses Œuvres, citée dans la note 14 ‘de la p. 9. Et nous avons reproduit celle de Spinoza dans
la note 7 de le p. 29.

3) Aux p. 57 —65 de son ,, Ars conjectandi” Bernoulli distingue trois interprétations différentes
qu’on peut donner à l’ énoncé de ce problème. En premier lieu on peut supposer que chaque
jeton noir qui ait été tiré est remis parmi les autres jetons, de sorte que les joueurs ont
toujours à choisir entre 4 jetons blancs et 8 noirs. En second lieu, lorsque les jetons ne sont
pas remis, on peut supposer que les joueurs prennent zows estusbe 12 jetons, ou bien jrs
chaque joueur prend 12 jetons pour en tirer un lorsque c’est son tour de jouer.

Huygens, comme il résulte du $ 1 de l’Appendice II, p.96 du présent Tome, avait € en
vue la première de ces trois interprétations , tandis que Huddeadoptala deuxième dans la

pd ste dc on CS Gt ue

Mn nn Aie EN

Cat

AE
MU one.

Eh

He

NS Se CE ADO

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656—1657.

89

Volgen tot een besfluyt noch ecenige Voorftellen ”).

L*). A en B fpeelen teghen malkander met 2 fteenen, op defe conditie: dat A fal
winnen als hy 6 oogen werpt, maer B fal winnen als hy 7 oogen werpr. A fal cerft
eene werp doen; daernae B twee werpen achtervolgens; dan weder A 2 werpen;
en foo voorts, tot dat d’een of d’ander fal winnen. De vrage is in Wat reden de
kans van À ftaet tegen die van B? antw. als 10355 tot 12276.

IL 3). Drie fpeelders A, B en C nemende 12 fchijven, van de welcke 4 Wit zijn
en 8 fwart, fpeelen op conditie, dat die van haer blindeling cerft een witte fchyve
fal gekofen hebben winnen fal, en dat A de ecrfite fal nemen, B de tweede, en dan
C, en dan wederom À, en foo vervolgens met beurten. De vraghe is in wat reden
haere kanffen ftaen tegens malkander?

III +). À wed tegens B, dat hy uyt 40 kaerten, dat is, 10 van ieder foort,
4 kaerten uyttrecken fal, foo dat hy van elcke foorte een fal-hebben. Hier wordt
de kans van À tegen die van B gevonden, als 1000 tegen 8 139.

[IV 5). Genomen hebbende ghelijck hier tevooren 12 fchyven, 4 witte en
8 fwarte ; foo wed À tegen B dat hy blindeling 7 fchyven fal daer uyt nemen,

ES PP D D TU, D EPP ET

Si fan re ne ed.

solution qu’il envoya à Huygens en 1665; voir les p. 10—11 de l’Avertissement. Bernoulli,
au lieu cité, résoud le problème pour chacune des trois interprétations. De Monmort,
p. 219—220 de son ,,Essay”, de Moivre, p. 229—232 du Mémoire de 1711, cité dans la
note 12 de la p.9 et p. 49—57 de sa ,, Doctrine of chances”, citée dans la même note,
et Struyck, p.34—38 de l'édition française de ses , Œuvres”, s’occupent tous de la première
et de la deuxième interprétation, la troisième étant en effet un peu forcée, et donnent les
solutions qui y correspondent.

4) Ce problème est dû à Fermat; voir la p.434 du T.I. Huygens dans sa lettre à Carcavy en
donne la solution numérique sans y ajouter son analyse (p. 444 du même Tome). On trouve
la solution de de Monmort aux p. 221—222 de son ,,Essay”, celles de Bernoulli aux pp. 66
et 144—145 de l’,,Ars conjectandi”, celle de Struyck aux p. 38—39 de ses , Œuvres”.

5) Le problème admet deux interprétations différentes sur lesquelles on peut consulter le
deuxième alinéa de la note 6 de la p. 96 et les notes 1 et 2 de la p. 100 du présent Tome. À la
p.20 de l'Avertissement nous avons comparé les solutions de Huygens (p. 97—101) aux
solutions plus simples obtenues à l’aide de l’analyse combinatoire, telles qu’on en trouve
chez de Monmort (p.220—221 de son ,,Essay”), chez de Moivre (p.235— 236 du Mémoire
de 1711), chez Bernoulli, (p. 145—146 del’, Ars conjectandi”) et chez Struyck (p.39—40
de ses , Œuvres”).

12

EP TE PP CRE

90 DU CALCUL DANS LES JEUX DE HASARD. 1656— 1657.

contre B que parmi 7 jetons qu’il en tirera à l’aveuglette, il fe trouvera 3 blancs.
On demande le rapport de la chance de A à celle de B.

V *). Ayant pris chacun 12 jetons, À et B jouent avec 3 dés à cette condition
qu’à chaque coup de 11 points, A doit donner un jeton à B, mais que B en doit
donner 1 à À à chaque coup de 14 points, et qui celui là gagnera qui fera le
premier en poffeflion de tous les jetons. On trouve dans ce cas que la chance
de A eft à celle de B comme 244140625 eft à 282429536481.

F I N. ré ST 510

") Ce problème fut proposé par Pascal à Fermat. Huygens en reçut communication dans une
lettre de Carcavy, datée du 28 septembre 1656 (p. 493 du T. L). I] en envoya la solution à
Carcavy au 12 octobre 1656 (p. 505—506 du T. I). Plus tard, probablement en 1676 (voir la
p. 15 de l'Avertissement), Huygens s’occupa de nouveau du problème et enélabora une
solution qu’on trouve aux p.151—155 du présent Tome. Dans la note 2 de la P. 154 nous

‘ VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. 1656 — 1657. 91

onder welcke 3 witte fullen zijn. Men vraegt in wat reden de kans van A ftaet
tegen die van B.

V :). A en B genomen hebbende elck 12 penningen fpelen met 3 dobbelfteenen
op defe conditie: dat, alf’er 11 oogen geworpen worden, A een penning aen B
moet geven; maer alf’er 14 geworpen werden, dat dan B een penning aen À moet
geven; en dat hy het fpel winnen fal, die eerft al de penningen fal hebben. Hier
werdt ghevonden de kans van A tegen die van B te zijn, als 244140625 tot
282429536481.

M Sn EYNDE.

7% à 7 di ( : :
ART Dans ITU

HAS AS LEIS

Mae lIeL sub De Lb ÿ à

= citons les solutions de Bernoulli, de de Monmort, de de Moivre et de Struyck. Ajoutons
encore que c’est à ce problème que les célèbres recherches sur la durée des parties doivent

leur origine; voir les p. 268—277 de l'édition de 1713 (citée dans la note 11 de la p.9 du
présent Tome) de l”,,Essay” de de Monmort, les p. 251—264 du Mémoire de 1711 de

© de Moivre , les p. 162—191 de sa , Doctrine of chances”, comme aussi les p. X—XI de la

Préface de ce dernier ouvrage.

APPENDICE 19

AU TRAITÉ ,,VAN RERENINGH IN SPELEN VAN GELUCK”.

[1656 |.

S’il refte 1 jeu à gaigner à À et 1 à B, et 2 jeux à C, combien vaudra la place de
chafcun pofè qu’ils ayent mis chacun 2 “efcus au jeu.

Si C perd le premier jeu il perdra 2 efcus, s’il le gaigne il fera quite, mais
c’eft deux contre un qu’il gaigne ce premier jeu, il a donc deux hazards pour per-

Li LA Li 2

dre 2 efcus, et 1 pour eftre quite. Partant je dis que fa part des 6 efcus "+
CRE * 2

efcu*). Car prenant ces 3 d’efcu, il trouvera deux autres qui mettront 3 d’efcu

contre fes 3 ES. Et [ils] joueront à qu aura le tout, fçavoir 2 efcus, en quoy il

aura mefme chance qu'auparavant, à fcavoir 2 hazards pour perdre fes jd'efcu,

c’eft a dire 2 efcus, y adjouftant ce qu'il aura laiffè à A et B: et un hazard pour

1) Cet Appendice, emprunté à une feuille séparée, contient la solution de la Prop. VIII
(p.73) du texte du Traité que nous venons de reproduire et de deux problèmes, traités
(p.77) dans la Prop. IX du même Traité. C’est probable qu’il fut pot os de
la correspondance, en 1656 , avec Carcavy; voir les p. 6—8 de l’A vertissements

?) Consultez la Prop. II, p. 65. D'ailleurs Huygens au lieu de se ru àcente répo-
sition fait suivre une démonstration qui en est indépendante. : #4

3) De cette manière Huygens fait reposer la démonstration de sa solution sur axiome qu'il a
énoncé au commencement du deuxième alinéa de la p.61. 0 0 0 » 0 nn

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE 1. 1656. 93

k j 2
eftre quite, en gaignant aux deux autres chacun leur à d’efcu. Car ainfi il aura 2
efcus, comme auparavant qu’il avoit jouè contre À et B. Il s’en fuit que les
2 L1 Li . LA
places de À et de B valent chacune 2= efcus. Et fi l’on divife ce qui eft au jeu en

9 parties, Aen prendra 4. B. 4. C. 1 #).
S’il refte 1 jeu à gaigner à A. 2 à B..et 2 à C, 6 efcus au jeu.

Si À gaigne le premier il gaigne 4 efcus. fi B ou C le gaigne, A gaigne : efcus
par la precedente, donques A a 2 hazards pour gaigner à efcus et 1 hazard pour

gagner 4 efcus. Je dis que des 6 efcus fa part eft Ts efcu. C’eft à dire qu’il
Z

gaigne 1£ efcus, car prenant outre fes 2 efcus qu’il avoit mis, encore 1Zefcus que
9 9

SR SR 10 10
je dis qu'il gaigne il mectra — efcus contre deux autres qui en mettront — efcus
F8 { A tr ® 9 9

chacun, pour jouer qui aura tout. Et par ainfi il aura 1 hazard pour gaigner :

efcus qui avec les ; efcüs qu’il aura mis a part, le feront gaigner 4 efcus et deux
hazards pour ne gaigner que de'elt À efeus qu'il aura mis à part. donc Bet

1 “a :
C'auront des’ 6 efcus chacun 1=—‘efcus. Er fi l’on divife ce qui eft au jeu en

27 parties, À prendra: 17. B et C chacun 5,5).
S'il refte r à A. 9°à B. 3 jeux à C. d'Éfeus a au jeu. combien vaut la place de
chacun.

Si À gaigne le p premier jeu il gaigne 4 efcus. s’il le perd il a un hazard pour

paigner À efcus SYetiun pour gaigner 2 efcus?), qui ‘vaut autant que s’il eftoit

4) Comparez la solution de la Prop. VIIT, p. 73.

5) Comparez le deuxième cas de la ,, Table pour trois joueurs”, p. 77.

6) Évidemment il s’agit ici du cas | où c’est B qui-gagne. Alors ilreste à À 1 jeu, à B et à C 3
jeux à gagner. Huygens aurait donc dû calculer les ,,hazards”” de ce cas et il aurait trouvé

Seau lieu de ? écu. Ce n’est que par mégarde qu’il a pris ce dernier nombre qui se rapporte

au cas, traité au début de cette Pièce, où il manque à À 1 jeu, à B 1 et à C 2 jeux.
7) On lit en marge ,,par précedente”; voir, erf effet, la solution du cas où il reste à À 1 à B 2
et à C 2 jeux à gagner.

|

94 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE I. 1656.

affeurè de gaigner (en cas de perte du dit premier jeu) 5 efcus, qui vaut la moitiè
des dits = . 1£. Oril a deux hazards pour perdre le PT jeu, et un hazard pour

“+1
le gaigner. donques il a un hazard pour gaigner 4 fn à et 2 pour gaigner >
efcus. Je dis qu’il gaigne De ou bien efcus. Car Me: cecy et mettant a part
1 efcus il mettra le refte qui eft F: contre deux autres qui mettront chacun autant.
Et ainfi il aura 1 hazard pour gagner À efcus ceft a dire (y adjoutant ide:
s’eft refervè) à ou 4 efcus et 2 hazards pour ne gagner que les - ? A qu ‘il

s’eft refervè. Sa part donc des 6 efcus eft 2 + 2 + > efcus c’eft 4 27 + efcus 1),
Pour fcavoir combien aura B. Je dis, fi B gaigne le premier jeu il gaignera

: efcus*) per primam. s’il le perd, il court fortune efgale de perdre 2.efcus ou

de perdre ; efcus per fecundam. qui eft autant que fi en perdant ce premier jeu il

perdoit ÿ efcus fcavoir la moitie de 2 +5 Or il a 2 hazards pour perdre le 1er

jeu et 1 hazard pour le gagner. Dong il a 2 hazards pour perdre “3 efcus et 1
hazard pour gaigner : efcus. Je dis qu'il aura des 6"efcus Fe ou FE efcus 3), Car

. I . H 1”
prenant efcus il en mettra 2 efcus contre deux autres qui chacun en mettront

: 1 7 1e 8
autant et ainfi aura 1 hazard pour gagner # efcus, qui avec = efcus ou F

ER FEI T ANS

*) En vérité 45:

3 9°

3) En vérité 12
3

*) Le confusion entre les cas 1, 1, 2 et 1, 1, 3. On doit nest comme auparay ant

+) En vérité A
9

Le

VAN een IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE. I. 1656. 95

LFÈPTAR eur psg er

cauil a | refervez apart font 24 7 # ou a c’eft à dé qu’il gaignera F efcus.

Et deux hazards pour n avoir que Îles . eleus ete c'eft en perdre
| D

at sed n < It) RU

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AU TRAITÉ ,VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK*. *

C1665.]

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A: B:€ A heeft kanffen 4 tot #, 8 tot z 4) ess
%.Y 23) ET ù
19 AL 4.

I 2, + 0
—4 + = D X LÉ US

B heeft kanffen 4 tot o, 8 tot x C heeft kanffen 4toto,8toty …
ei SP Wa
12 x .
2x 90 y HAE . di
?x so 33; +09 Le | |
: s . : POLE

250 AL 2: 0 Ca: Lie xs El

Fr eme 0e" Fat 19

1) Cet Appendice, que nous avons divisé en paragraphes, contient les solutions de Huygens du
deuxième et du quatrième des Exercices ajoutés par lui à son Traité (voir la p. 89 du
présent Tome). D’après le lieu qu’il occupe aux p. 42—44 du Manuscrit C il doit dater
de 1665. On retrouve les résultats des $$ r et 2 dans la lettre de Huygens à Hudde du 4 avril
1665, p. 304 du T. V. Consultez encore, à propos des $$ 2—4, la p. 20 del Avertissement.

?) Ce paragraphe traite du deuxième Exercice.

3) x,y et z représentent respectivement les espérances mathématiques des trois joueurs À, B, =
au commencement du jeu.

4) Traduction: ,,A a 4 chances d’avoir 4, 8 d’avoir z”. 4 représente l’ enjeu.

5) D’après la Prop. IL, p.65 du présent Tome. 90 est le signe d’égalité employé par Huygens.

5) Traduction: ,, A parie contre B que parmi 12 jetons, dont 4 blancs et. 8 noirs, il prendra à 2

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE II. 1665. 97

f 2.

À wedt tegen B dat hij uit 12 fchijven, daer van 4 Witte en 8 fwarte fijn, fal
7 fchijven blindeling nemen wacronder 3 witte fullen fin, en niet meer. Vraghe
wat reden de kans van A heeft tegen die van B, facit als 35 tot 64).

Soo À genomen hebbende 6 fchijven heeft 3 Witte en 3 fwarte. foo heeft 1

kans tot o en 5 kanfen tot 4 (pot) 7). se D 34 *)

6 [fchijven] 2 [wit] 4 [zwarr] 224 + 4:90, 5

6
1.04 6.4
UE ,, 3% TT 9 7 er
2.93 + 56.14
: 6 3 Ca]
5 5 2 oh 3 ,, 7 01
3-.L4]+4.o .
5 ,, LENT Es 7 Paie]
1.0+7-5[a] s
4 >) CARS LIRE MERE” 8 2 [4]
* 4 10
2,Sd)+6. a)
4 ,, 2 9 2 » 8 214]

l’aveuglette 7 jetons dont 3 seront blancs, et pas plus. On demande le rapport de la chance
de A à celle de B; réponse : comme 35 est à 64”.

On voit que ce problème est identique au quatrième des Exercices qu’on trouve aux
p. 89 —91. Seulement , en conséquence d’un malentendu qui avait eu lieu entre lui et Hudde
sur la conception du problème, Huygens a ajouté à l'énoncé les mots ,,en niet meer”, qui
indiquent que, pour gagner, À doit prendre 3 jetons blancs et pas plus”. Consultez sur 1
malentendu en question les pp. 304 et 307 du Tome V. TR

7) Traduction: ,,Si A, ayant pris 6 jetons, en a 3 de blanc et 3 de noir, il a une chance d’avoir
zéro et 5 d’avoir 4 (l’enjeu )”.

8) Comme on le verra Huygens suppose que les jetons sont pris l’un après l’autre et il commence
par calculer l’espérance mathématique de À après le sixième coup dans les deux seuls cas où
celui-ci peut gagner au septième coup. Ensuite il considère la situation du jeu après le
cinquième coup, et ainsi de suite, pour remonter enfin jusqu’au commencement du jeu.

13

98 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE 11. 1665. a

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VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE II. 1665. 99

$3°).

$ De voorgaande kans van À is nootfakeliÿk even foo veel dan of hij uyt de voor-
fegde 12 fchijven moefte nemen 5 waeronder 1 witte #).

4 [fchüven] 1 [wi] 3 [zwart] SE Lo] ÿe

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*) Traduction: ,,Par conséquent la chance de A est à celle de B comme 35 est à 64”.

=) Ce paragraphe contient une vérification de la solution obtenue au paragraphe précédent.

3) Traduction: ,,La chance précédente de A est nécessairement aussi grande que dans le cas où
parmi les 12 jetons mentionnés il en devait prendre 5 dont un blanc”. Remarquonsqu'ils’agit
. + dans ce dernier cas des jetons qui, suivant la première supposition, n’ont pas été pris, dont
# #sont noirs et 1 blanc. Nous appellerons le problème qui s’y rattache: le problème complé-
«shheñtaitecoitstsrout"l l'HSeN00 SHebUS LIVE & Y amv ip Hot:

100 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE II. 1665.

$4 ).

ijsdem pofitis, mær datter ten minfle 3 witte onder de 7 getrocken fchijven
fullen fijn *).

L2

4 [fchijven] 1 [wic] 3 [zwart] 3075 [oo] 2e s'y noir]

3-0 + 6.2[4]

3 mn Es. ,, 9 Co] 3 [a]

4-3 le] + 5.4 5
3 ,, 2, 1 ,, 9 [>] Le]

3.0 + 73 ] 7 F
© ,, TT. ,, 10 [Lo] SA el

45 [a] + 6.3[a] k
2 ,, O y» 2 ,, 10 [>] [a]

*) Ce paragraphe contient la solution du quatrième Exercice proposé par Huygens si l’on
donne à ce problème l’interprétation que Hudde y avait attachée; CORRE le deuxième
alinéa de la note 6 qui commence à la p. 96.

?) Traduction: »[Solution du problème précédent] sous les mêmes suppositions, mais avec cette Fe
différence qu’il faut qu’il y ait 4% moins trois blancs parmi les 7 jetons qu’on a pris”. 3)

3) Pour simplifier le calcul Huygens commence par remplacer le problème en question par le sa
problème complémentaire (voir la note 3 de la p. 99) d’après lequel À prend sjetons dont
quatre, au moins, doivent être noirs. Remarquons qu’il n’est pas nécessaire de discuter Lo
le cas de 4 jetons dont o blancs et 4noirs, pacs qu’alors le mr Nec “ia toujours a
gagner À. etats #0

+) C’est, en effet, le résultat ons par Hudde; voir la p. 304 du T.V. Mstties PR peu plus
haut dans le Manuscrit C, aux p. 36—37, on rencontre un autre calcul qui se rapporteau
même problème et qui doit avoir précédé celui que nous avons reproduit. Ce calcul fut bifé
plus tard et Huygens le signala comme ,,misrekent”” (mal calculé). En le parcourant, on
s’aperçoit d’abord que Huygens y a suivi, comme dans ceS 4, l'interprétation de Hudde,

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE II. 1665. 101

1 Fchüiven] o Lit] 1 [zwart] - val ART alt [æ] a La]

» O “oki D. nd [12] Cao] Ce]

42 [tot] 57
14 [tot] 19. bon +).

lieu del, comme au $2 de la présente Pièce. Il aurait donc dû arriver au résultat obtenu
| par dde pis au cas de 1 jeton gro et4 nes noirs il commet une erreur de calcul en

cn La +o
: Do Zac qui explique l’inexactitude du résul-

. one ete os" au lieu de —— e

tat final nt il parvient,

APPENDICE III
AU TRAITÉ ,VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK”.

C1665.]

J[an] heeft 2 witte fchijven en 1 fwarte, maer P. heeft 1 witte en 2 fwarte.
En ieder uit fijn fchijven met beurten een uytkiefende blindeling , die een fwarte
krijght moet een à (ducaet) infetten, maar die een witte krijghc, ftrijckt alles
dat ingefet is, en J kieft eerft als noch niets ingefet is. de vraghe is hoe veel J "1

van eerften aen hier door wint of verlieft, ancw. J wint ve van een ducaet Sa ‘2

+ a is ”t geen heeft P. als hi o tegen o heeft ingefet en J. moet werpen 5).

D “3 n JU» 1152008 00 4 »
EC 99 ,, ”, ve »9 9 JL ss L » ,, ,, J- ED ”,
dy p. 0 Im es 2 RES ,, n T7 +
ut TE 4: y » 2 » 72 ,, FR ee ,.
—f 59 » JU pu tn T0 ,, RE ere ,,
És ::# A ,, ,» LL ,,
os 9 nn: es », ». P. » » +)

1) Cet Appendice est emprunté aux p. 45—47 du Manuscrit C ; ces pages étaient numérotées
1—3 par Huygens. On y trouve la solution d’un problème posé par Huygens dansune lettre
à Hudde du 10 mai 1665; voir les p. 352—353 du Tome V. Ajoutons que ce problème
était une modification d’un autre problème proposé par Hudde à Huygens dans la lettre du
5 mai 1665; voir les p.350—351 du même Tome, On peut encore consulter sur Ces pro- x
blèmes les p. 34—37 de l'Avertissement. à
2) Traduction: ,J[ean] a 2 jetons blancs et 1 noir, mais P. 1 blanc et 2 noirs. Et cbdiolf Aion cu
tour choisit à l’aveuglette un de ses jetons. Celui qui obtient un jeton noir doit ajouter un d
(ducat) à l'enjeu, mais celui qui obtient un jeton blanc reçoit tout ce qui a été mis. Et].
choisit la première fois, quand il n’y a encore rien à l'enjeu. On cr combien est l’avan- Ê
tage ou le désavantage de J. au commencement du jeu. Rép. J. gagne? 343 és d'un dent” #

F5 TRIER NL

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE III. 1665. 103

+Æ is ’t geen hceft J. als hij o tegen o heeft ingefet en P. moet werpen.

ET 2] LL] 2] ST 7 I »”, O L2] ”, 2] J. 2] +2]
Ms ,”, » J. Cr D ON COM EE ‘ ,, » Fa » »
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Fr sr Ep) RE To 81°
—e22.—9d 1.+f — foi.-3d 2.+8g
_lHpgri Téspuia RS POLE EE TS
TRE TETE 243 729 729
—g02.—3d 1.+# — h 20 1.—4ù 2.+ À
8 M, + 8 32 16:
T #29 ratart 1870861 és6r

3) Traduction: ,,+ 4 est l'avantage de P. quand il a mis o contre o et que J. doit choisir”.
Remarquons que Huygens a donc supposé, en commençant ces calculs, que l'avantage
se trouverait du côté de P, mais que les calculs lui ont appris le contraire,

4) Plus bas dans le manuscrit ces définitions préalables sont continuées encore en introduisant
les lettres z, N, 3, 4, mais nous avons cru pouvoir supprimer ces dernières définitions.

5) Ces définitions aussi sont continuées plus bas en introduisant les lettres 4, 7’, / et .

5 Cette notation (1. — b et 2. +- #) indique, comme Huygens l’expliquera expressément dans
une autre Pièce que nous reproduirons plus bas (voir la p. 124 du présent Tome), que J[ean]
a (au commencement du jeu) une chance d'obtenir —2 et deux d’obtenir +- £. On voit donc
que Huygens suppose que le jeu se continuera si Jean prend un jeton blanc au premier coup.

. Or, cette supposition a donné lieu à un nouveau malentendu entre Hudde et lui, puisque
Hudde considérait que le jeu était fini dans ce cas (voir les pp. 381 et 422 du T. V). D'après
cette dernière interprétation on aurait donc # = o.

7) En effet, il est évident que l'avantage de l’un des joueurs est toujours égal au désavantage de

l’aütre.

8) Nous supprimons, ici et dans la suite, quelques calculs tout-à-fait analogues à ceux qui
précèdent.

104 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE II. 1665.

16 "4 128
_ 6561 [106831

=
_
8
Le.
S

—0DI.—92d9 92.+p
8 16 16

——0 D — à — —
243% 729.729

—q4DI.—3d 2.+7r
16 48 RP

0 pr

21877 © 6561. 7 6561”

32 128

16
[19683] *

64

[19683] 7 [59049]

1) Voir la première équation obtenue à la p. 103. Dans ce qui suit Huygens désignera si N
premier terme a , par B le deuxième terme — SA du second membre de cette équation.

?) Huygens veut indiquer ainsi qu’on peut remplacer —— ? par — a a 4 voir les caleuls

qu’on trouve aux p. 103—104. Ft

3) Comme on ie verra, la solution de Huygens repose sur la aisée es terme
Cet aussi celui de l’expression pour B) s'approche indéfiniment de zéro. Cela admis, il ne .
s’agit plus que de sommer les suites infinies formées par les termes qui contiennent à. Comparez
encore à propos de cette supposition la note 1 de la p. 112.

+ t
[59049]

& DL

: 2
AD 0 28.
PTE

N 20 L.— 50 ; 4. ii?

Em
3

120%. à 1.+ 3
+150 ty
Sr
—n2D92.—928 1.+0
RS .
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—DD2.—3d 1.+4

16 96 16
#9 187 21877

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fés6]" 7 [19685]? * L19683]
—109—50 LFy
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3

9

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE Ii. 1665.

” 105

A
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D. 9
As: di
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+$:9 81°
16,3 3 4
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ue
729 729 .
48 8
16 . 92% 16,
Cissé + 8561 ° 78561!
128 LT
(6831 * [9683] *
\ ns 37 ….
À [590491 — [59049] 4
B
>
En se > UN
FE à
ds
: +8: 81”
F RL PRE
243 243
6 6
FU
729 729
96 3, 16
2187 2187
2 48 $ __ 32
L 6 ] T 6561 6561
256 32
C96831? * L19683] ÿ
12 hu
| + [59049] ° © [59049]' |
F [177147] [177147]

14

106 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE HI. 1665.

THEOREMA. COR PEUR

Si fint magnitudines in ratione geometrica continue defcendentes erit maxima
cum omnibus reliquis in infinicum ad folam maximam ficut maxima ad exceffum
maximæ supra fequentem. Ergo fi fint ut 4 ad 1 erit maxima cum omnibus ad
maximam ut 4 ad 3.

Si fint ut 9 ad 2 , erit maxima cum omnibus ad maximam ut 9 ad 7. five maxima

cum omnibus erit maxime.

4 8 16. 334 hic?) fequens eft = precedentis.
81 729 6561 59049 9
«0
8 16,434 2 Can] ge gr 13 20 de horene à
729 6561 59049
| les + de B. *) 9 ia tt & He
16 32 2 van À [20 ] 4 sal de Un Se
6561 59049 7. A. :
de + van B3) HT |
3%; ÿ

les + de B aux — de B ut 1 ad6
les — de B aux — de A ut 2 aa 1
les — de À aux + de A ut 4 ad 3

1) En effet, la somme de tous ces crabes est égale à celle des quatre premiers né
de à dans la suite B qui résulte du développement de — 3e Me

?) C'est-à-dire dans les 2 qu’on trouve à côté.
3) Traduction :,, 2 LS 0 : D la première suite. TA 63 D # 20 fiasomme] detoutestes |

suites, c’est- idtre 20 les termes positifs de B”.
+) C’est le résultat annoncé au début de cette Pièce; voir la p. 102.

re
F1

APPENDICE IV 9
AU TRAITÉ ,, VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK”.

[1665].

SI

À en B kiezen blindeling met beurten, A altijdt uit 3 [of uit ÿ + À] fchijven
waer van 2 [6] wit fijn en 1 [A] fwart, maer B uyt een onbekend getal van witte |
en fwarte fchijven, op conditie dat die cen witte treckt fal al hebben dat'in staet;
maer die een fwarte treckt daer voor ieder reys 1 duc. fal in fetten. en A fal eerft
trecken, de vrage is als men wil hebben dat de kanffen van À en B gelijckwaer-
digh fijn, wat proportie van witte tot fwarte fchijven B foude moeten hebben3).

1) La Pièce est empruntée aux p. 54—61 (numérotées 10—17 par Huygens) du Manuscrit C.
Elle contient la solution du problème posé par Hudde dans sa lettre du 5 mai 1665 (voir la
p. 350 du T. V ) et de quelques autres problèmes qui s’y rattachent.

?) Ce paragraphe s'occupe du problème de Hudde, où A doit choisirentre 2 jetons blancs et
1 noir, et de la généralisation que Huygens y a donnée en représentant le nombre des blancs
par 0 et celui des noirs par 1. Huygens traite conjointement ces deux problèmes, mais, pour
éviter la confusion qui en résulterait ici, il nous a semblé préférable d’omettre tout ce qui
se rapporte à la solution particulière sauf l'endroit où il s’agit de l’application de la solution
générale à ce cas spécial. On peut encore consulter sur ces dpt les p.35—37 de
l'Avertissement.

3) Traduction: ,, A et B choisissent à l” aveuglette à tour de rôle, A touTOtes un de 3 [ou de0 +1]
jetons dont 2[07] blancs et 1 [4] noir, mais B un d’un nombre inconnu de jetons blancs
et noirs, à condition que celui qui tirera un jeton blanc aura tout ce qui est mis; mais celui
qui tire un jeton noir ajoutera chaque fois un ducat à l’enjeu, et À tirera le premier. On
demande lorsqu’on veut que les chances de A et de B soient équivalentes, — proportion
devra exister entre les nombres des j jetons blancs et noirs de B”.

4) Traduction: ,,A choisit un de 3 [ou de 8 +1]; jetons dont 2 [9] blancs, 1 [4] noir”?

5) Traduction: ,,4 est l’avantage de A quand il a mis o contre o et qu’il doit choisir”

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE 1V. 1665. 109

4 A À kiefl uyt 3 [of uit p 30 0 + À] fchijven waer van 2 [4] wit, 1 [A] fwart 4
etui & fchijven sd pwit fwart. u09+ 4.

CPP 0 4

is ’t geen heeft A dE hi o atgen o |
À. :

| heeft ingefet en hij moer kiefen 5),

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…

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Aropor de are nou not 6 ep 103.

110 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GBLUCK APPENDICE 11665

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4 A0 4 A0 4 A + 1404 nn
CE ù SDS Es
f au RU se. .
4 à À
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?) Cette notation su où qu’on peut remplacer FA êu
3) Il s’agit des pages dont nous avons empruntés qui précède uk

d'Or 10!
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| Po riooiu ut 401 rie 20 éf à b 24 A
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112 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IV. 1665.

3 Atues

deviennent infiniment petites,

Notez que lesdernieres quantitez ?

puifque les + de A et de B et aufli La — Rae toujours felon la proportion
de po à da, Ceftant po plus grand que A parce que p % Ü + Aetw 5 p + W,
et que les quantitez r, # ou g, s et À, 2 ou 4, N croiflent feulement par l’unité

comme l’on voit par l’ hypothefe pag. 10 *).

fit À 00 les + d’A ?)
ergo ÿ les + de B

Vu" 4 à (les + [d’1A» —— x 5) les—d’A
A Àp ————— à (les + de B) —— 7% o les — de B
é ds 2 PONT RE à
— À + il 2 4 à: 4)
D © &À + a — 37 fed +0 %p
ro 2 wp — ÀY | : à
wpAp 20 wpbd, — AyÜŸ led + MAN AREES 40

ppp 20 pŸ68 — gbap + Opdd Fe " ' |
vel gp 2 — dy + # p + de bon. Regula 5).

©) Par ,, l’hypothese” Huygens entend les définitions des quantités a,—b, etc. données au début
de cette Pièce à la p. 109. Or, chacune des quantités, qui entrent dans une même suite, peut
être considérée comme la somme de trois parties dont la première et la deuxième sont pro-
portionnelles, respectivement, aux mises des joueurs À et B, lesquelles croissent chaque fois
de l'unité, et dont la troisième ne varie pas. À la première et à la deuxième partie le raison-
nement de Huygens s’applique; quant à la troisième, son produit avec les coefficients bépiie *
s'approche 4 fortiori de zéro.

*) Puisque la solution cherchée dépend exclusivement des rapports qui existent entre 5 sominés
des + et — de À et de B, on peut remplacer ces sommes par des quantités qui leur sont
proportionnelles, et choisir pour l’une d’elles une valeur arbitraire. De cette manière il n’est
pas nécessaire de déterminer la somme de l’une des suites formées par les quantités + ou —
de A ou de B, comme Huygens l’avait fait pour les - de B à l’occasion du problème qui
précède, où, évidemment, cette romane ne PERS être évitée; voir la p. 106.

3) Cette notation indique que 0y est à pe comme À est à qe.

#) Puisque les chances des deux joueurs doivent être équivalentes au commencement du jeu, on
doit avoir #—0oet, par suite, — À —B; voir la dernière équation de la p. 110 et la note 1

E

4

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE IV, 1665. 113

gp D 9Ÿ + 24°)

I I au
g 00 Ed + L 264 velg o Ad + <l/ 734

y prope 2 QE y ad d prope ut 11 ad 7 propius ut 1 193 ad 750 7)

fit 8 20 10; À 90 1%). [y 2 +1) tr 13 à Prox. ma.

292 ox. mai
29 Pp . ]:

prox. maj. 101Y 90 11y

$ 2°).
les + de B ont cette proportion

484 a 220644 A 3266454 »)

ppo po p ‘w5
&p 2
20p 3àd

de cette même p. 110.

5) Par cette règle le problème peut être considéré comme résolu. En effet, pour déterminer la
proportion désirée entre les nombres q et w des jetons blancs et noirs, il ne s’agit plus
que de résoudre une équation quadratique à racines toujours réelles et de signes contraires,
dont la racine positive est la seule qui satisfait aux conditions du problème.

5) Application de la ,Regula” au problème posé par Hudde où 0=2,1= 1,g = 3.

7) On ne voit pas comment la première approximation a été obtenue, mais de petits calculs en
marge du Manuscrit permettent de constater que la seconde a été trouvée en calculant la
racine quadratique de 73000000 qui est égale à 8544, d’où il suit p =" Ets y— _ 23y.

8) Voir à propos de cette proportion de 10 à 1, qu’on retrouve plusieurs fois dans la correspon-
dance entre Huygens et Hudde, les pp. 386 et 393 du T. V.

9) Dans ce paragraphe Huygens détermine l'avantage du joueurs À pour des valeurs données de
0, À, y et y; problème dont il a résolu un cas particulier dans l’Appendice III (p. 102—107).
À cet effet il doit chercher la somme de l’une des quatre suites dont il est question dans la
note 2 de la page précédente, desquelles il choisit celle des ,,+ de B”.

19) Voir les trois premiers termes positifs de la suite B de la p. 111.

15

114 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IV. 1665.

ratio primæ ad fecundam *)

SR Pen à
ar
utexceff. max. fup. 242: (wp— Ad) ad max. (wp)[ita ]prima 00 Ne “hs d] nn n?

series E II vel E >

T w66A

wp — 2Ÿ [ad] ap Cia] = pp — pAŸ Ca d] coupp — 20pAŸ + AAŸY

fumma omnium ferierum five les+ de B

RES

+B —A +A 57h | Ne
a D pe sage Te *). Regula. wi dot US
A "+
+B —A <+A —B |
a — “e 2 £A — me + 24 2 bon. Regula eadem. HS s: ï à
RE
4 DATE ré ce 5 a0-# he à

1) Pour comprendre les calculs qui suivent, il suffira de considérer le , Theorema” de la p. 106 et
l'algorithme dont Huygens s’est servi à cette page pour la sommation den page "+ —. D

?) Comparez l'équation ,,4 20 — 5 T° de la p. 110. :

3) Application au problème de croix ou pile qu’on trouvera formulé au début de l'Appendice V,
p.116. Il est clair que la solution de ce problème peut être obtenue au moyen nues be, 4
générale précédente en posant 0—=1—p—#y—1,etpar suit e—=w—2 SE

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IV, 1665. 115

DE dif, de gr fans 23 dis 4
3} DTA —2A + —A — ba À
E-.À di 49 : 49 49 . A 5 a a NN 343

ii re LE TS Le | HE re

Aw1: 50 103920 10; V1; po 11 20 À +3 & D 21 50 p + d

es ra
NT MEN AE Le æ a D —- mc 145%)

+ 44 k =: PR FE Ê
4 Er D 15#20 23020 35920 350 © 5

P
L
PTT
ci ‘ k
# i i
t D
‘ ps ct in
EURE sn Du
5 : ;
ÿ
| $
ke
j PET
ni 72
FH 5
.

| dc raté dns l'Appendic X, p 102 Où D 3, 1 1,92 V2,
== ge Pa bé
css mers Hudde du 7 juillet 1665, pe ss duT. y

APPENDICE V9
AU TRAITÉ ,VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK”.

1665.

$1°)
Jul. 1665

A fpeelt tegen B werpende met beurten kruys of munt, op conditie dat die

munt werpt ieder reys een ducaet sal in fetten, maer die kruys werpt fal alles

ftrijcken dat in gefet is, en A fal eerft werpen als noch niets in gefet is. En werdt
oock verftaen dat het fpel niet eer eyndight dan als er iets in gefet geweeft is, en
weder uyt getrocken 3).

Traduction :

À joue croix ou pile contre B; les deux joueurs jettent tour à tour à condition
que celui qui amène pile mettra chaque fois un ducat, mais qui jette croix prendra
tout ce qui eft mis; et À jettera le premier, alors qu’on n’a encore rien mis. Et il eft
entendu que le jeu ne finira pas avant que quelque chofe ait été mile, et enlevée.

s

7) Cet Appendice, que nous avons divisé en paragraphes, est emprunté aux p.63—74 du
Manuscrit C. Cès pages étaient numérotées de 19 à 30 par Huygens.

?) Ce paragraphe contient ia solution du problème sur le jeu de croix et: phesiproion#tt
Huygens à Hudde dans une lettre du 4 avril 1665; voir les pp. 304 et 308 du F , # ve peut
encore consulter sur ce problème les p. 33—34 de l'Avertissement.

3) On peut consulter sur l’adjonction de la dernière phrase qui manquait dans l'énoncé du pro- |
blème envoyé à Hudde, la p. 422 du T. V, ou bien la p. 34 de l'Avertissement.

#) Voir la p. 123.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V, 1665. 117

Ziÿ geftelt dat de geene die moet werpen als van weder fijden noch niets
in gefet is verlieft 4, dat is
| — a die o tegen o
+ b die o tegen 1
+ c die 1: tegen 1
+ 4 die 1 tegen 2
laet hij hebben so % sd 5 heef ingefet en hij felfs moet werpen.
+ g die 3 regen 3
+- h die 3 tegen 4
+ À die 4 tegen 4
+ À die 4 tegen 5

(Men foude beter de quaeftie voorftellen dat A en B ieder een ducaet fouden

LA LA I
ingefet hebben. Wanneer de avantagie van À waërd wordt bevonden 5 ducaets.

als pag. fequ. werd gerekent #).)

dewijl nu den eenen effen foo veel wint als den anderen verlieft, foo heeft dan
B, die o tegen o heeft in gefet, den andere moetende werpen , foo veel als + 4.

Traduction :

Soit fuppofé que celui qui doit jeter quand rien n’a encore été mis, ni par l’un, ni
par l’autre, perd 4, c’eft à dire:

— a de celui qui a mis o contre o
+ b s= oO! I
+c I I
+ d I 2
{oit l’avantage es ; k et qui doir jeter.
FE 3 3
+ # 3 4
ré 4 4
+ 4 5

(1 vaudrait mieux propofer la queftion en ajoutant la condition que À et B auraient
I
mis chacun un ducat. Alors on trouvera que l’avantage de À vaut rs ducat, comme

nous l’avons calculé à la page suivante *).)

Or, puifque l’un gagne précifément autant que l'autre perd , il s’enfuit que l'avantage
de B, qui a mis o contre o, l’autre devant jeter, eft égal à + 4. Et de même celui

118 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

En van gelijcken die 1 tegen o heeft in gefet en den andere moet werpen, fal
hebben — #, om dat die werpt heeft + Z, en foo voorts.

die nu eerft werpt als otegeno is ingefet , Wiens kans werd gefteld —4, indien
hij kruijs werpt, foo heeft hij de felve kans die den anderen tegenwoordigh heeft
dat is + 4; maer indien hij munt werpt foo moet hÿj 1 tegen o in fetten, en den
anderen fal werpen, dat is, foo heeft hij — Z. Soo is dan—# % 1 kans tot + z

a—b Li
en 1 kans tot — 2. Ergo — 4 © —— , door het 2. voorftel van onfe Rekeningin

fpelen van geluck ?). Van gelijcken kan men licht verftaan dat + 2, dat is de kans
van die otegen 1 heeft ingefet, en felfs moet werpen , is 20 1 kans tot een ducaet

S } # A—c
te hebben, welck zij genoemt A , en 1 kans tot — c, foodat hierom is à 50. “te
A—d
Item is c 2 1 tot Aen1itot— 4. daeromc D —
2A —e

Item is Z % 1 tot 2A en 1 tot — e. daerom 7 %

; 24 — ka
Item is e 1 tot 2A en 1 tot — f. daerome SRE à S 6

dns ni
Item ff 1 tot 3A en 1 tot — g. daerom f % P2TE TS.

À 8
3A—
Item go 1 tot 3A en 1 tot — #. daerom g 2% Ne
A—$.. ;:. . 445-k
En foo voorts # % ET ; 0 #—

Traduction :

qui a mis 1 contre o, l’autre devant jeter , aura — >, parce que celui quijettea + à
et ainfi de fuite.

Or, quant à celui qui jette le premier lorfqu’il eft mis o contre o, dont l’avantage
fut pofé — #, s’il jette croix il a le même avantage que l’autre a maïntenant, c’eft-à-
dire + #3 mais s’il jette pile il doit mettre 1 contre o, et l’autre jettera, c’eft-à-dire
il aura —2. Ainfi donc —4 eft équivalent à une chance d’avoir + 4 et 1 d’avoir —2. Par

conféquent — 4 on , par la deuxième propofition de notre Calcul dans les jeux de

hafard *). De même on peut concevoir aifément que +- b, c’eft-à-dire l’avantage de celuï,
qui a mis o contre 1 et qui doit jeter lui-même, est égal à 1 chance de recevoir un
A à A—cC
ducat, que nous réprefenterons par A, et 1 chance d’avoir — c. On a donc ? % ur
Ag j 1 F &::?
On a de même c DH 1 Aet 1 à — d. donc € 20 2

DEL ie mel ee ee Ve + ere. + Lee Met Te NO MIRE SUN PS TR NE ET TEE

le els fi mie. 0; ke; Tee +, 676 LS Le er EPdeT Re Te TES RTE NN INR

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE V. 1665. 119

a— sl
Hi) gui dé an Sid k Ge: 0 NOTE SADOM DOME ae
+0 fra 13 jet 5 nStrb Loc
Fate, #l +0: en pou
k :
soranée GE LPS Et

PR PE pe sie 3% dé + 2 À. 4 €
ft AE + ‘nl à Q ; [a

# Hisbelis ner TONI DENT

Ps
LÆ à
59 €
L t
Le 24 £
E {
y à
‘144 M3 Fagitie —
+
ee:
CURE

waeruy bee dat

1 2 2
—amia-iats = A+ TA

5127 : 512

Traduction : R rat

Hit 1 ! EM

*
ss MN 4 *1f #14 METRE
Es MO a Ék BUREC ;
L2
d. #
ré .
a ÿ 2

€ à d'où il s'enfuit: NE

| 4 4 Ar
anle-lats sa— Fat fa SA A 7 256° TEE TTS

nv Voir la pe 65 du présent Tome; mais il s’agit plutôt de la première Proposition , P- 6
A
4 Cette notation indique que l’on peut remplacer — — ; Par ie.

120 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

maer defe laetfte quantiteit welcke hier is as werd oneijndelik kleiyn indien in

infinitum de rye continueert want dewyl men noch foo veel ducaten niet en ver-
lieft als men ingefet heeft foo is # minder als een ducaet of A en 7 minder als 2A
en f minder als 3A en # minder als 4A en * minder als $A maer den denominator
van ’t gebroken gaet voort in de dobbele proportie 2, 4,8, 16, etc. Ergo moet

noodfaekelijk, als gefeght is, de laetfte quantiteyt, fijnde hier TL eijndelijck
foo kleïjn werden als men ne en daerom Free werden als o.

2
Ergo — 4 + Das rt PORTE ET UE

| A2. Astein us
512 1024
Voorts fiet men hier dat de quantiteyten daer A in is en +- VOTRE tot die
daer — voorftaet fijn als 1 cot 2.
Maer de geene daer — voorftaet kan haar fomme doch aldus gefchreven
werden

Traduction: ;

mais cette dernière quantité, repréfentée ici par k, devient infiniment petite fi la

fuite continue indéfiniment, car, puifqu’on ne perd pasencore autant de ducats qu’on a
mis, il fuit que 2 eft moins qu’un ducat ou A, et / moins que 2A, et f moins que 3A, et
h moins que 4A, et k moins que $A, mais le dénominateur de la fraétion monte dans la
proportion double 2, 4, 8, 16, etc. Par fuite il eft néceflaire, comme il a été dit, que

La L2 L LA I Li Li
la dernière quantité, étant ici Pre devienne finalement aufli petite qu’on le veut:

elle doit donc être comptée pour zéro.

1 I I 2 2
On 2 done 260 er nn Pa SD NET
L'ESS “A

512 1024
Enfuite on voit ici que les quantités où A entre et qui font précédées de + font à
celles précédées de — comme 1 eft à 2.

Mais, quant à celles qui font précédées de —, leur fomme peut aufli être écrite
comme il fuit:

A etc. jufqu’à l’infini.

*

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

121
I 1 1 4 1
119, H9IV OST fa A de A ee — À = À F
4 16 ha és 1024 °C
naw1 28 LH ET «4 —A— A — — < A etc.
ei” 56° 7 1024
FEV MOTSNITEUD ob nebull cgé A A — à À etc.
064 25 1024
{s
3195 FIEM L E gi {73 " : ol hi A à e
| ” 1024 je
Re k — -A etc.
: 1h) H 1h Ge :L. î À F : } f pou :

want dit alles te ne RU da En. NÉ SP
4 F 64 2567 _1024

In de bovenfte rie nu; dewijl ieder volgende quantiteyt is qu de voor

A etc. .

gaende, foo fijn fe alle te famen À van de voorfte, dat is van — D foo dat fe
maecken 8.

Van gelijcken is de tweede rye Lo van haer voorfte quantiteyt + ZA. En

foo voorts ieder rye 5 van fijn voorfte quantiteyt foo sijn dan alle de ryen te

FORGE à 1e

Traduétion: :

Noire DE

: abus ë jm A — 68 —> pare pr LT

F AN à Æ F .
ë VD 15 9151075 MAD. Sa k. ser El isié . dite di is À

+

Fop 55, À . sf; ‘ D PHIFOT HO 11 (€ 14:
2 3 2. a 5
; rs ME se _— _— ——/ etc.
car tout cela enfemble ef égal à — 4e S Ga. 356 1024 ”
00} pas suns 4 do ,masb38tq ob pet 57 pire nés

Or, dans la fuite péter, pique. toute quantité qui aie eft de celle ai la
péde, cs prise nee toutes enfemble Co 4 de la première, c ’eft-à-dire rs —12.
Leur fomme fera done — :A. a bei publi ol ratfi

: -De même lu deuxième fuite eft D £ de fi première quantité — <a Etain partout,
chaque fuite étant 0% dire hnés ich its H en réfulte que toutes les fuites
| 16

122 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

"1

famen DT van de fchuijnfe rije die beftaet uyt alle de voorfte quantiteyten, en
welcke defelve is met de bovenfte rie. Maer defe was % 3 Ergo al de ryen

te famen % : van — 52 dat is, gelijck — $û . Soo fijn dan dequantiteyten van

de voorgaende aequatie daer A in komt en:— voor ftaet > — 41, maer defe

waren tot die daer + voor ftaet als 2 tot 1. Ergo die met + gereykent fijn doente
famen +64. Welcke van die met — afgerrocken refteert — Sa. Soo dat de

#4

aequatie is

I
— 4 ®© —4— —“A
2
QT
L
an lose

foo verlieft dan A die eerft uicwerpt F7 van een ducaet*). nhsilst see

Traduétion :

enfemble font égales à À de la fuite oblique qui eft formée par toutes les premières.
ee et qui eft identique à la fuite fupérieure. Mais Fer dernière eft égale à

ue par conféquent toutes les fuites enfemble font ques à À 3. de rs ce qui

A 2 4 ; re à | $ Fr 147

fait — 4 Ainfi donc les quantités de l'équation précédente, où À entre et qui font
ÎTf f à ty

précédées de —, ont pour fomme T9 mais célles-el étaient à celles qui font
FR de + comme 2 eft à 1. Il s’enfuit que celles précédées par bi font enfemble
+ NS Si on les fouftrait de celles affectées du figne —, on obtient 54. mans rs

On a donc l'équation —4="4 — FA , ou bien —34=— M où enfin 4— LS

et il s’enfuit que À, qui jette le premier, perd > d'un ducat "+

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE V, 1665. 123

—aof— #4 50 A=—-b;b 41
nt 8

Aro 1 anqpiione-d ofsz 2 ÿe ee) 54 + 36 c 0 < A dekans van die werpt als
DES 19 | er een tegen een is ingefet.

RAS jo notes co PRE 7
AIRES se PGA; g 40 64

THE die ét au gétillia de À Le né
Ho, ‘ahel ee At Nr nota quod e 5 b.

| Traduétion: |
pH TMS 4, Li 1 4
n# ou ne AG las 2 ho 0
UN Bee UE RD OU : _ va 2 9
Frot 5 2 O1! { }
. =D où —=A "A +603 € 50 = A, avantage de celui qui jette quand
9 PPT 9 . On à mis 1 contre 1.

D ds es (leon La nf - gd TA
1 = gdou PAT GA + - 665 20 SA notez que e 20 b.

va al usb brnas 1
" ” Le problème at LA tésolu. Ajoutons que quelques pages plus haut dans le “ue Manuscrit
(p/38—42) on rencontre des calculs, datés du 16 mars 1665, par lesquels Huygens, sans
réussir à résoudre le problème, qu’il y appelle ,,quæstio diflicillima”, enferme la valeur
TE a de l'avantage du second joueur B dans des limites de plus en plus répprochées
Or, à cause de leur rédaction confuse et incomplète, il aurait été très difficile de repro-
duite ces calculs. Nous nous bornons donc à en donner un résumé.
+ Remarquons, à cet effet, que les équations qu’on peut déduire des expressions successives
pour — 4 (p. 119) peuvent s’écrire:

Re EL, is ReRe ï : 2
| due “us + JE isa Css UT 35
dE Pis LS nc
hémfésuite >: |

b—3a; c—A—06a; d—12a— A; e=4A—9244a; f—48a—6A; g—15A— 964;
h=192a — 27A ;1— 58 A — 3844; k—768a—112A;/—229A — 15364; m— 30724—
—453A5n—=912A — 61444; 0—12288%—1818A ; p—3643A — 245764.
Dans ces équations les coefficients de 4 constituent une suite géométrique et la formation
À ar si de A est facilement expliquée par l’algorithme suivant :
Meyer RTE 4X2—2—=6
LUS 6X2+3—15
“Li | 15 X a 37
Léa. otils 27 X2+4=58, etc.
one maintenant de quelle manière, entre autres, les deux limites les plus rapprochées

124 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

$3:).

Naer defe Rekening is oock licht te verftaen die van de queftie pag. 1 voorge-
ftelt*) doch tot meerder verklaring fal dienen het volgende : als er ftaet 1.— 4 en
2.+k3), dat is kortelijck gefeght 1 kans tot —4 en 2 kanffen tot + £. En foo in
al d’andere. d in defe rekening beteykent een ducaet of ”t geen ieder reijfe werdt
ingefet.

Traduction :

À l’aide du calcul qui précède on comprendra aifément auffi le calcul de a queftion
pofée à la p. 1 *). Mais ce qui fuit fervira à expliquer plus en détail ce dernier calcul:
lorfque nous écrivons ,,1.—2 et 2.+ #73), cela exprime brièvement qu’on 2 ,,une
chance d’avoir — et deux chances d’avoir + %”. Et aïnfi partout. Dans ce calcul -
à repréfente un ducat, ou bien ce qui fe met chaque fois.

ont été obtenues par Huygens. Nous considérons à cet effet d’abord l'avantage » de celui
qui jette le premier quand il a mis à l’enjeu 6 ducats contre 6 qui ont été mis par l’autre

joueur. Il est clair qu’on aura # — 3A + (— 0), et de même o — 3-A Te # (— p); par
suite 7 — SA+p. Or, on a évidemment p>1 ñ, puisque l’enjeu est le plus grand dans le cas

auquel l’avantage p se rapporte. Il en résulte” > $a+ Us —n# etpar conséquent n > 323 m mais

o—= 6AÀ — on, donc 0 < Fe ne US , Ou bien # < FR

En din de la ges q # o, on peut déduire 3 la même manière des équations
0 =3 A+ TT À etp= 3 —A + (— q) la relation p < 7a; d’où il s ’ensuit 3543à —

nas A,oubien,z> SH à

On trouve FA enfin :

Il est vrai, qu’à la dernière des pages citées du Manuscrit, Huygens vérifie si, en"effet :
54624 4 | 5461,
36864 2: 27 V« 36864?
mais ce petit calcul a probablement été ajouté après que la valeur avait été ses par une

autre méthode.
D'ailleurs Huygens a calculé la limite supérieure SE A > a encore d’uneautre manière,
c’est-à-dire en employant directement la relation p > #, qui peut s’écrire 3643A — 245764 >
> 912A — 61444.

") Ce paragraphe contient l’explication des calculs que nous avons reproduits dans l'Appen-
dice [IT (p. 102—107).

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE v. 1665. 125

De rekening vervolght pag. 2 en 34). In ’tbegin van pag. 2 blijckt dat a is
2 = 4 en daerenboven al de quantiteijten der 2 neergaende ryen daar 9 in komt 5).

Pag. 3 komt eerft het vervolg van de eerfte fuppofitien pag. 1 begoft en daer aldaar
geen plaats toe en was®). Voorts werden pag. 3 de quantiteijten der rije B pag. 2
daer d inkomt met + daer voor , opgefomt, volgens het theorema boven aen op
deze pag. 3 geftelt 7). Ende uijc de aengemerckte proportie defer quantiteijren
tot die met — geteijckent fijn in de felve rije B, en cot die met — en + ftaen in
d’andere rije À, werden defe haere fommen oock gevonden. Waeruijt dan in

plaats van de aequatie pag. 2 komt defe 5 — nd > 4eneyndelijck — 4 5 2873,
dat is te feggen dat — 4, ’t welck was ’r geen hadde J. die eerft werpt als noch niets
was in gefet, is as foo dat al hoewel dit met — geftelt wierdt als of ]. verloor,

. .. . 20
_ foo vind men nochtans dat hij wint . van een ducaet.

Traduction:

Le calcul eft‘continué p. 2 et 3 +). Au commencement de la p. 2 on trouve 4 0 4

augmenté de toutes les quantités des deux fuites defcendantes où entre à 5). La p. 3
contient en premier lieu la continuation des fuppofitions préalables qui commencent
à la p.r et pour lefquelles il n’y avait pas aflez de place à cette page %). Enfuite les
quantités de la fuite B de la p. 2, où entre D et qui font affectées du figne +, font
additionnées à la p. 3 à l’aide du théorème qu’on trouve en haut de cette page ?).
Or, en remarquant la proportion de ces quantités à celles marqués — de la même fuite B
et à celles affectées du figne — et du figne + de l’autre fuite A, on détermine aufli les
fommes de ces dernières quantités. I1 en réfulte qu’on peut remplacer l’équation de

la p. 2 par: se — _ 2 4 et enfin par — 4% FE . Ce qui veut dire que — #, c’est-à-

-dire l'avantage de J. qui jette le premier quand il n’y a encore rien à l’enjeu , eft

égal à de Ainfi, quoique cet avantage fût fuppoté être négatif, c’eft-à-dire que ce
| 207

ferait J. qui perdrait, on trouve néanmoins qu’il gagne A d’un ducat.

2 Voir la p. 102 du présent Tome.

3) Voir la p. 103.

#) Voir les p. 104—107.

$) Voir àla p.104 l’équation 4 DR m2 et à la p. 105 les expressions pour 30 et — ske
5) Voir les notes 4 et 5 de la p. 103.

7) Voir la p. 106.

126 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

$3:).

Pag. 10 à) werdt het getal der fchijven van B geftelt > w en daer van y witte
en d fwarte; zoo dat y + d sw. Defe queftie is eerft volgens het voorge-
ftelde 5) berekent op pag. 10. 11. 12. #) alwaer de proportie van y tot gedeter-

mineert werdt door defe aequatie y %® A +1 3784 5) foo dat fe in geen

getalen kan gegeven werden ‘). In de aequatie die begint boven aen pag. 11 is 4
gelijck aan al de quantiteijten der neergaende 2 rijen daer À in komt en daeren-

24 #
boven aan — ftaende boven aen de rije geteykent met B 7). Maer om datmen

Traduction :

À la p. 10 *) le nombre des jetons de B fut pofé 5 «, dont ® blancs et 4 noirs; de
forte que ® + 4 w. Cette queftion eft réfolue d’abord aux p. 10. 11. 12 +) fuivant ce

qui fut propofé +). La proportion de ® à 4 y eft déterminée par l’équation ® D +

+ V37VVS), de forte qu’elle ne peut pas être définie par des nombres). Dans

l'équation qui commence en haut de la p. 11,4 eft égal à toutes les quantités des

. ; 204 F à
deux fuites defcendantes, où entre A, augmentées de l’expreflion qu’on trouve en

haut de la fuite marquée B 7). Maislparce qu’on défire que les chances des deux joueurs

1) Explication des calculs qu’on trouve dans l’Appendice IV , p. 108—115 du présent Tome.

?) Voir la p. 1009. :

3) C’est-à-dire suivant la manière dont le problème fut posé par Hudde qui suppose que le
joueur À doit choisir entre 2 jetons blancs et 1 noir ; comparez les notes x et 2 de la p. 108.

4) Voir le $1 (p. 108—113) de l’Appendice IV , où l'on doit substituer partout Ü—=2,i=—1
pour retrouver les expressions qui se rapportent au problème tel qu’il fut posé par Hudde.

5) Lisez: V4 eV73uv et comparez la p. 113 du présent Tome.

5) On retrouve cette manière d'indiquer l’incommensurabilité d’un rapport chez Euclide, voir
p. e. la, Prop. 7” du ,,Lib. X”, où on lit: ,,Incommensurabiles magnitudines inter se pro-
portionem non habent, quam numerus ad numerum” (p. 217 de l'édition de 1607 des ,,Ele-
menta”” par Clavius).

Ë L'ABRS Î
7) Voir à la p. 111 le premier terme du second membre de la suite pour E où il faut toujours

substituer 0—2,1—1,0—=3.

À ne pm db ien cr en rer ti ee
PT bo PE VU AC = ORETS
. e de

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V, 1605. 127

de kanffen der 2 fpeelders gelijckwaerdigh begeert, foo is dan 4 0. En daerom
oock defe voornoemde quantiteijt dE 20 0; daerom dan deze in de aequatie
in fine pag. 11 ©) voor o gehouden wordt. Ende is te weten dat in defe aëquatie
alleen geftelt werden de fommen der quanriteijten dacr A in komt van beijde de

neergaende rijen A en B. Ende dewijl was 4 En 3 ?), en amor fijn 20 o,

foo moet dan oock — 3? + st fin 20,of ne 2 ak daerom dan de pluffen en

minuflen der quantiteijten met À der rije À, nae dar haëre teijckens in contrarie
verandert fijn , moeten gelijck fijn aen de pluffen en minuffen der quantiteijten A
der rije B. geljck geftelt werd in de aequatie in fine pag. 11. welcke aequatie
vervolght pag. 12 *°).
Op de felfde pag. 10 en 11 werd begonnen de Rekening van de voorgaende
queftie in ’t generael. foo dat in plaets van het getal der fchijven daer A uijctreckt
te weten 3 werdt gefteltp, en het getal der witte fchijven 2 2 4, en der fwarte”
1 % À. Soo dat 8 + À % p. En tot defe rekening behooren de quantiteijten die

… Traduétion :
204

foient égales, on a donc # 3 o. Et, par fuite, on a aufli TF 2 o. C’eft pourquoi cette
expreflion eft fuppofée égale à zéro dans l’équation qu’on trouve au bas de la p. 11 8Et

lon remarquera que cette équation contient feulement les fommes des quantités, où

entre A, des fuites defcendantes A et B. Et parce qu’on avait 4 5 — " _ _ 9) et que

a doit être 5 o, il s’enfuit qu’on doit avoir auf —"? + “ Do, oubien D 20 sé Par

conféquent, tous. les + et les — des quantités, contenant A, de ia fuite A doivent
être égaux après changement de figne aux + et aux — des quantités, contenant À,
de la fuite. B, comme nous l’avons pofé dans l’équation au bas de la p. 11, laquelle
équation eft reprife à la p. 12 “°).

- Aux mêmes pag. 10 et 11 on a commencé le Calcul de la queftion générale, d’après
laquelle le nombre des jetons, à favoir 3, dont A tire le fien, fut pofé % p, et le
nombre des jetons blancs (étant 2) 54, et des noirs (étant 1) 2 2; de forte que

4+290p. Et à ce calcul fe rapportent les quantités que nous avons entourées de

8) Il s’agit de l'équation — À + Fe ee) re (p. 112), ou plutôt de celle qu’on en déduit en

posant 0—=2,1— 1.
9) Voir la dernière ligne de la p. 110.

79) Voir aux p. 112—113 les réductions successives de l’équation en question.

128 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE V. 1665.

pag. 10 en 11 met ringen omgetrocken fijn *). En werd vervolght pag. 14 en 15.
alwaer den Regel totte generale folutie van defe queftie, te weten om de
kanfen gelijckwaerdigh te maecken gevonden werdt, namentlijck gp 90 —4\ +
66e , éd,

DT id

Voorts heb ick oock in ’t generael willen rekenen 5), gegeven fiinde het getal
der witte en fwarte fchijven van ieder der 2 fpeelders, ceteris pofitis ut prius,
hoe haere kanffen ftaen dat is hoeveel A die eerft werpt verlieft of wint. Welcke
rekening uyt de voorgaende aequatie pag. 14 #) , oock licht gededuceert werdt,
moetende nochtans hier foo gevonden werden de fommen der quantiteijten daer
A in komt met -- of— van een der neergaende rijen À of B. Gelijck in defe cafus
ick gerekent hebbe de pluffen der rije B, welcke rekeningh begint pag. 15 in
fin. 5) en vervolght pag. 16. alwaer defe fomme gevonden fijnde door het
theorema boven aen pag. 3°); foo werden voorts daerdoor oock de pluffenen
minuffen der andere quantiteijten met A der rijen À en B gevonden, dewil haere

Traduétion :

de cercles aux p. 10 et 11 *). Et le calcul eft continué aux p. 14 et 15, où la Règle eft
déduite qui donne la folution générale de cette queftion, à favoir: de faire en forte que

004 see 2
1 + M Bert

Enfuite j'ai voulu calculer auffi 3), pour le cas général, quelles font di chances des
deux joueurs quand le nombre des jetons blancs et noirs de chacun des 2 joueurs eft
donné, ceteris pofitis ut prius, c’eft-à-dire : quel eft l’avantage ou le défavantage.de
A qui jette le premier. Ce calcul peut facilement être déduit de l’équation précédente
de la p.144), maïs on doit néanmoins chercher alors, pour une des fuites defcen-
dantes À ou B, la fomme des quantités où entre A qui font affectées du figne + ou du
figne —. Aiïnfi j'ai déterminé dans le cas préfent les + de la fuite B. Ce calcul com-
mence vers la fin de la p. 15°) et continue à la p. 16, où cette fomme eft trouvée
par le théorème qu’on rencontre en haut de la p. 3°); on connaît alors aufli les
fommes des + et des — des autres quantités des fuites À «et B,'puifque les pro-
portions qu’elles ont les unes aux autres font connues et indiquées au côté droit

les chances deviennent égales, C’eft-à-dire @® 50 — p® +

*) Ce sont ces quantités que nous avons reproduites aux p. 109—1 14 à l'exclusion de celles
qui se rapportent à la solution particulière; voir la note 2 de la p. 108.

2) Voir la p. 112.

3°) Il s’agit du 2 de l’Appendice IV, p. 113—115.

4) Voir la dernière ligne de la p. 110.

5) Voir le début du $ 2 à la p. 113.

5) Voir le , Theorema” de la p. 106,

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE V. 1665. 129

proportiën onder malkander bekent fijn pag. 14. aen de rechter handen 7). Waer
uijt dan voortkomt den regel pag. 16in fine *). alwaer de quantiteijt — ve ge-

haelt, is uyt de aequatie pag. 14 init. ?) want defe quantiteijt hier nu niet en is
0 o dewil a geen o en is. De aequatie die defen Regel in fin. pag. 16 be-
gript ” foude miffchien konnen gedivideert werden als men overal voor p
ftelde 4 + À en voor w, y+ 4, welcke volgens ’r bovengeftelde haer ge-
lijck fijn *°).

-: Traduétion:

de la p. 147). D’où lon déduit la règle dela p.16. vers la. fin *), ; où la quantité
6e provient de l'équation en haut de la p: 14 ?). En effet, ici cette quantité n’eft
plus égale à zéro , puifqu’il n’en eff pas ainfi pour 4. Peut-être l’équation qui résume cette
règle vers la fin de la p. 16 8), pourrait-elle être divifée, fi l’on y remplaçait partout

po par 0 à et w par D<+-4; quantités qui leur font égales d’après ce que nous
avons posé plus haut ”°). ,

T) Voir la p. 119 après le premier alinéa.
8) Voir la première ,,Regula” de la p. 114...
| 1h 0k :0k2 Opa
9) L’équation 4 90 —— —+- —, où —90 ——+ ——

#9) Voir la p. 109. Remarquons que dans técasiqu’une telle division seraitrpossible le numéra-
-. teur de la fraction qui est égal à 4 a d’après la première ,,Regula” de la p. 114 devrait

: contenir umfacteur rationnel, mais qu’il est facile de constater qu'il n’en est pas ainsi.
_.n Bneffet, si l’on.suppose #4=— 0, il faut, que ce numérateur soit égal à zéro, c'est-à-dire
qu'onaitt _-iut ob ilnie 14 A ; 4:

}

% voir les p. 110—111.

OBwy — Agwp + Olwy — 10qy 0:
7 Cette équation doit. donc amener, outre les solutions éventuelles qui dépendraient du
_ facteur soupçonné, la solution irrationnelle du problème traîté dans le $ r' de l’Appen-
_ dice IV (p. 108—113). Or, cette dernière solution est exprimée par l’équation qui résume
la ,,Regula” de la p. 112 et qui peut s’écrire:
10pp + 4epw — 00py — Ogwy— 0.
L'égalité du degré des premiérs membres de’ces équations pat rapport aux: quantités

10,4, 0,9,w, prouve déjà queile numérateur en question ne contient pas de facteur supplé-
mentaire. D'ailleurs l'identité complète des deux équations est aisément vérifiée en substituant

dans la première g +- y à w.
17

130 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

$ 4°).
In de queftie van kruijs of munt pag. 21.*) wil men weten hoe veel dat
ieder fpeelder van eerften aen foude moeten in fetten, (ieder even veel) om te
maecken dat A die voorwerpt foo goede kans foude hebben als B. komt ieder =

van een ducaet 3),
Sit z quod unufquifque deponit ab initio.

A die eerft werpt heeft 1 kans tot z,en 1 kans om in te zetten A #) behalven
z, en den anderen te laeten werpen ’t welck hem waert zij — c. Ergo aen B
is het waert + c. En fal wefen c 5 1 kans tot A + z en 1 kanstotinte fetten
A + tegen A + z en laten den andere werpen ’t welck aen B waert fij — 4.
En foo voort.

Traduétion :
Dans la queftion de croix ou pile p. 21 *) on veut favoir combien chaque joueur
devrait mettre au début (chacun la même NES afin que A, qui jette le PEER

eût une chance aufli bonne que B. Il vient: chacun ? - d’un ducat 5).

Soit z ce que chacun met dès le commencement. 1:

A, qui jette le premier, a 1 chance d’obtenir z, et 1 chance de mettre A #) en plus
de fa mife z et de laïfler jeter l’autre; ce qui lui vaille —c. Par conféquent, cela vaut
c à B. Et on aura c 5 1 chance obtenir A+ z et 1 chance de mettre AT? contre

A +2 et de laïfler jeter l’autre; ce qui vaïlle — 7 à B. Et ainfi de fuite:

1) Ce paragraphe, emprunté à la p. 63 du Manuscrit C ri étS Es 19 par Huygens), contient
la solution d’un problème posé par Huygens dans sa lettre à Hudde du 10 mai 1665; voir la
p. 353 du T. V. On peut encore consulter sur ce problème la p. 38 de l'Avertissement.

2?) Voirlap.116

3) Comparez le haut de la p. 394 du T. V.

4) C'est-à-dire ,un ducat”. LE

s ji , g — A—3+d

5) Par cette notation Huygens indique qu’on peut emplacer — PARTS -TN TR

5) La somme de ces quantités représente la suite ,,des — A”, c’est-à-dire des termes négatifs
de l'expression pour — 4.

7) Comparez les p. 121—122.

ee > les — A 7),

LE ro ss Re
soid À lus oi ei soute

fe — ï

ain dt wc me PS L'ÉFA TI TONE

132 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

Hô z— 2 —<A 20 o*) nam —4 volumus effe % o ut fors utriufqu
2

æqualis fit. ï
Z D —A
3

$ 5°). |
15 Jul. 1665.

Pag. 19 en 20 #) was gerenteert de folutie van defe queftie die alhier fal bere-
kent werden, fijnde als volght.

A en B werpen met beurten kruys of munt, op conditie dat die munt werpt een
ducaet daer voor ieder reijfe fal in fetten , maer die kruijs werpt fal ieder reijfe
daer voor een ducaet trecken als eriets in gefet is. En A fal eerft werpen als noch
niets is in gefet en het fpel niet uijt fijn eer er iets in gefet is, en men fal foo lang
fpelen tot alles weder uijtgetrocken is. De vrage is hoe veel À hierdoor verlieft.

A I : SJ
facit 6 van een ducaet.

Traduction :

_a4%0 TE GA 2 o *) car nous fuppofons que — 4 foit zéro, afin que la chance

foit égale pour les deux joueurs. é
Z de be

$5°).
15 juillet 1665.

Aux p. 19 et 20%) nous avons tenté la folution de la queftion fuivante, qui fera
rélolue ici :

À et B jettent à tour de rôle croix ou pile, à condition que celui qui jette pile
mettra chaque fois un ducat à l'enjeu, mais celui qui jette croix recevra chaque fois
un ducat fi quelque chofe a été mis. Et A jettera le premier quand il n’y a encore rien à
Penjeu, et le jeu ne finira pas avant que quelque chofe ait été mis, et l’on jouera jusqu’à

ce que tout a été enlevé. On demande quel eft le défavantage de A. facit d’un ducat.

* , : ANOE : à à
T) C'est-à-dire en supposant que le dernier terme, comme ici TL s'approche indéfiniment de

zéro ; comparez la p. 120.

?) Ce paragraphe contient la solution d’un problème dont Huygens et Hudde se sont occupés
dans les mois de juillet et d'août 1665; voir la p. 463 du T. V et surtout la note 2 de la
même page. On peut encore consulter sur ce problème les p. 38—48 de l’Avertissement.

VAN REKBNINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE v. 1665. 133

srabrox ob, r {— adieotegeno) Ergo die niet en werpt heeft dan +
LEE 1480 1 | Want dat d’een verlieft wint den anderen.
trs fl À NE SE toc Det" .
pré + d— 7x 2 | ,

| Le bij hebben | Li ) heeft ingefet en hij moet felfs werpen +),

nAe Sal os

BA T2

Fi—4 —34

16 ae pole

zij A 2 een ducaet.
— 4 1 kans tot + 4 en 1 kans tort —b 5) b30 1. tot A en 1 tor —c5)
| A— c

Ergo — 40%? ; 34 ob Ergo »

Traduétion :

— alavantage de celuiqui a mis o contre o|Par fuite, celui qui nejette pas a l'avantage
LE à. o 1] +4, car ce que l’un gagne, l’autre le perd.

D ir Poe

LAPS +
Soit A 90 un ducat.

— 4 > 1 chance à + zet 1 chance à — 25) bHi.àAetr.à—c®

Par fuite HS Es À 34 © b “+ Pa fuite ÿ 20 © —

3) Ces pages contiennent des calculs qui correspondent en partie avec ceux qui vont suivre,
mais qui n’ont pas été terminés.
4) Pour préciser dès l’abord le sens attaché par Huygens aux quantités 3, «, d, etc. , appelons
__ xm la part due à celui qui doit jeter le premier, lorsqu'il s’agit de partager , sans terminer la
_ partie, un enjeu A Ç(A— un ducat), qui s’est formé durant le jeu. On aura alors: 2—x,,
| c=x, — À, d=x, —AÀ,e=x, — 24, f= %5— 2À, g—=%xç—3; h=3x,—34,
_ f=x3—4A, k=x,—4A. Âu contraire les avantages (pris dans le sens de Huygens) de
_ l’autre joueur seront respectivement # —(A—x,)— A(puisqu’on doit retrancher le ducat
mis par lui même) = — 2; c—(2A—x,)—A=—c; d'=(34—x;)—24=—d;
e—(4A—x,) —2A—=—e, etc; voir toutefois les p.43—47 de l’Avertissement , où il est
montré que l’hypothèse que la somme des espérances des deux joueurs est égale à la mise totale
est sujette à caution à cause de la possibilité que le jeu se continue indéfiniment sans que la
_ mise soit épuisée. Mais ici êt dans les notes qui suivent nous accepterons cette hypothèse sans
_ laquelle les raisonnements de Huygens perdent leur validité.
5) C'est-à-dire à 4’; mais »'—— D.
$) Puisqu’on a «——c.

134 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE. V: 1665.

Voorts is c 20 een kans om te hebben A — Z en 1 tot — 4, waer van de reden
is defe, dat die kruijs werpt als er 1 tegen 1 ftaet, kan bedacht werden te trekken
de A ofte ducaet die den anderen heeft ingefet, en fijne eighene te laten ftaen,
te weten 1 tegen o, en den anderen moet werpen ,’t welck hem die niet en werpt

— h weerdt is. foo heeft hij dan 1 kans tot A —b, en 1 tot — 7 dat isom2
| | 1 k A—b—4
tegen 1 in te fetten en den anderen te laten werpen. daerom dan is c > Cu

Van gelijcken is 4 2 1 tot A—c en 1 tot —e; daerom 4 > ne HER à
En foo werden defe volgende mede voort gevonden *) e a à
| A—e—g
AT
A—f—h
82 Res
Len PE
2
ÿ 0 —4—k |
2 ie
k A—i—7]
+ CESR

Traduction :

Enfuite c eft égale à une chance d’avoir A—b et 1 d’avoir — d, pour la raifon que
celui qui jette croix quand il y 1 contre 1 à l’enjeu peut être eftimé avoir gagné le ducat
que l’autre a mis et laifler fon propre ducat à l'enjeu: ce qui eft 1 contre o, l’autre devant
jeter, et cela vaut — Z à celui qui ne doit pas jeter ; de forte qu’il a donc rchance d'avoir
A—b,et 1 d’avoir — 4, c’eft-à-dire: de mettre 2 contre 1 et de laifler jete autre.

C’eft pourquoi e 90 À —£ br ta EE SP TA

De même d 20 1 à A—c et 1 à— es ainfi 250 et de Ja même façon on trouve

enfuite *) 7 cas dl D :g 00 EE, D DEEE 0 ARRETE
2 Qu LH
: AE * 2 À
D ———,
2

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN: GELUCK. APPENDICE V. 1665.

ds | 135
| Sootrèn 2 Le cube diBE de
tâche. à
NT à is 0 ts boven gevonden *)
Late |
8 t
_rAtcH+e
ET
+Aa—d—f
NA ÉTE +
: 1 28 64 we z 71
+A—-f—}
128
=Ateti
25
e +A—h—k
. > 512
Traduétion:
On a done — 229 22 D .
; À A
anti rares | STE; on a trouvé plus haut —? 0 ie 9).
| +A—b—d
SARL | - 8 + morbehes Tr
PEAU LE Vie TUE Ré —ATEEe
EU ps à : 15 | FALSE : * Ë re à à : OC S- 5114-62
> à À E RE rap # CA U ‘
NUE 4 ai ù Fe j s 5-46 à à .
ENRE:, Ca: L OR MR ES "3 OC ‘ ; las +
se e. ; E 1 | . e n.: , [A £ MER , if
Ver : % se % ” 4 FA 4
Sous la réserv dd 4" formulée dans la À He lap P« 133, le “fifoenient Œ

conduit aux in es est exact. Pour l'appliquer il suflit de supposer que le
joueur qui jette croix prend toujours un des ducats qui appartiennent à la mise de l’autre
joueur. Toutefois cette supposition peut sembler un peu artificielle. Il n’est donc peut-être
pas inutile de faire remarquer que toutes ces équations, quand on y substitue les valeurs de

b,c,d, etc. indiquées dssnaiéns note 4 de la pe 1 +se réduisent à des cas particuliers de

l'équation Xm = MA — am = — ge» +35 équation qui découle de la définition de x,, telle
| que nous l'avons donnée ah la iv citée, pélsqu'ôn a évidemment par suite de cette defi-
nition se = DA +3 {G—1) a Li 7 HO 10 +na— tm+il.

g, Voir la p.1 Fe

136 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V: 1665

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AN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665. 137

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138 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

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On a donc —490-4—TA—Sb—E
I se t .
a? 2 à 19 ?
I 1
Ta. T 16
*) Cette notation indique qu’on peut remplacer par sa valeur, trouvée plus haut à la p.

?) Consultez sur la signification précise de 4 la note 4 de la p. 133. On peut encore définir.
comme la différence des espérances mathématiques des deux joueurs dans le cas oùilsaurai
à partager entre eux un enjeu de neuf ducats suivant les rêglés du jeu en question. D’autre
part 27 est égal à la différence des espérances dans le cas où il y a huit ducats à l'enjeu.

sonne IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE V. 1665. 139

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L :
PAL TAN SH k AE

Han à hs

Joie atts
PO AT

re quantité, ici Le devient Didiout petite, puifque k?) ne devient
grand, parce que fi lun n'a mis qu'un feul ducat de plus que

140 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V, 1665.

ingefet heeft, foo fiet men wel dat hij in dit fpel niet boven 1 of 2 en verlieft,
maer den divifor , (fijnde hier 32) werd oneindigh groot waffende met 4. Soo dat |

PA LL 4
dan de laetfte quantiteijr, (hier de ,) voor o moet gerekent werden, als men

. . . æ . k . I
verftaet in infinitum voort gegaen te fijn, ende dienvolgens dat — 4 is 2 eu de

rije onder À — de rije onder B.

maer in de rije onder À, fijn al de + gelijck al de —, behalve de bovenite
— g4 S0o is dan — 4 % =4 — g4 — de rije onder B in infinitum vervolght.

maer de rije onder B is . van defe rije — =b— — eV — sb NT ET d —
— se? &c. En defe rije is 20 — 2h gelijck hier nae gethoont fal werden (pag. 28,

29, 30 ‘)), fijnde de divifores van defe gebrokens de triangulare getallen van

Traduction:
l’autre, il eft affez évident que dans ce jeu il ne perd pas plus que 1 ou 2 ducats,
mais le divifeur (étant ici 32) devient infiniment grand, augmentant chaque fois de 4.

}

Par conféquent la dernière quantité (ici 50 doit être comptée pour o, fi l’on fuppole

qu’on a continué le calcul jusqu’à l'infini. On trouve donc — 7% Sr la fuite fous A

— la fuite fous B.
Mais dans la fuite fous A tous les + font égaux à tous les —, à l’exception du
I
8
tinuer jusqu’à l’infini.
Mai ; 1 k Li CRU l I pie)
ais la fuite fous B eft — de la fuite: — bp" "hp = }&e.

8 I 3 6 : 194 180 4aT

Et cette fuite eft égale à — 2} comme nous le montrerons plus bas (pag. 28, 29,
30 ‘)), les divifeurs de ces fractions étant les nombres triangulaires à com-

À DRESS à ; *
premier terme —-—A. On a donc 7490 -4—5A — la fuite fous B qu’on doit con-

©) Voir le $6 qui suit (p. 144—150)et surtout la note 1 de la P. 144.

- VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665. 141

vooren af. En ÿ van — 20is 00 — "4. Soo is dan

NID

À SNL

5 Ï .
— 64 D —,4A—b; fed à 5 34. vid. pag. 25 *).

3 fi #0 1 4 + f I
4 D = A.
6

_ Soo verlieft dan À die eerft Werpt & van een ducaet.

Sijnde dan 4 2 34 en à 2 343 b 0 54 fed b 5 = — >< vid, pag. 25 *).

à —
“A RTS É, A 5 Ac, co, foo dat als er 1 cegen 1 inftaet de kanfeng gelijek

En fic D ie mélodies

- defe kanffen even goedt, te weten die van o tegen 1 of van 1 cegen 2 ingefet te
hebben en te moeten werpen.

Traduction:
MOT ? ca 1e Me + \rréeir init

£a rhanik 1
mencer 4 le ya Et s de — 0h eft =, On a donc RE 7

H # | CT ut ME

— Gas la 53 mais Po 3e Le pag: 25 D) a D GA.
A, qui jette le premier, perd donc ! 2 d’un ducat.

’ A— s
On a donc an A et À > 343 b DA, mais D 7 —. : vid. pag. 25 °).

6
2 339 ad A ee. A— c, CD 0; ainfi, fi Von a mis 1 contre les chances font égales.
A—b—d_

Mais c CDrnies-rapire DD:08 A2 b+d,et bD =A5 “A >od, par fuite d 20 b, c’eft-à-dire:
2

ces. chances font | égales; favoir : celle au on a or on a mis o contre I Ou 1 contre 2
SAMOA FRET Lio) sad

MAT IDE LU XP

2) Voir la p. 133.

142 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

fed 40 —, La oo = —#, fed c mo; =A DA, #00 o; foo dat
als er 2 ree 2 ; ftaet de kanffen wederom Hp fin.

Red e 50 24 —f, Ergo À — 22 fa 0 Erge à 0 d++ ft d 0 A; = A © f.
Ergo f x ét. ;

En foo want voorts oock d’andere kanffen gevonden werden fijnde overhands

xoen gelick = FA sé À

Men moeft fin of men in defe queftie door korter weghtot feecker ditrrsde
konnen geraecken, °t welck foude fijn indien men befluiten rér ex, as er 1
tegen 1 ingefet is de kanfen gelijck fijn*). Siet pag. præced DE SO

pare: mar À
Ces: GET 42

Traduction :
op jéa (19 sftasx 9isb
C—e I Pa red Are

Mais d% 2, 54 20 eco, £ mais € 2 03 = a Àa u hsyronag sde %

s’il y a 2 contre 2 à l’enjeu les chances font de nouveau éenles.

Mais e © ne ; par fuite Do; donc A%4+7f, mais d: A

I
20. Donc f > d > L.
noboubsrt

Et l’on peut trouver enfuite Le, autres chances de la même manière. Elles font

% | LR. 6

alternativement % o et égales à ;À ÿE à h 2 +4 iosiq 2f, 19 one

II faudrait examiner fi dans en queftion on ne pourrait pas arriver à un réfultat

certain par une voie plus courte. Cela ferait ainfi fi l’on pouvait conclure que] Jes chances
font égales quand on à mis 1 contre 1 *). bras la page précédente Ch

ttiob Hrroct roro st À

né | TP: nt ro dut OC 10b TT
1) Comparez la note 4 de la p. 41 de l’Avertissement, LAS

?) On peut, en effet, arriver à cette conclusion par une voie très courte. Reprenons à cet effet

les notations de la note 4 dela P- 133: Soit donc x 2 l'espérance mathématique du joueur qui
doit jeter (c’est à-dire la part qui lui est due des deux ducats qui se trouvent à l’enjeu) et soit

A ce joueur. On peut partager le jeu en deux périodes dont la prémière s'étend j
moment où pour la première fois l'enjeu est réduit à un seul ducat. La deuxième période
s'étend depuis cet instant jusqu'à la fin du jeu, et il est évident que l'espérance a hématique
totale x, est égale à la somme des espérances mathématiques partielles concernant les deux
périodes. Or, l'espérance concernant la première période est la même que s’il n’y avait qu’un
seul ducat à l'enjeu et que l’on jouât jusqu’à l'épuisement de l’enjeu; elle est donc égale à x,.
Quant à la deuxième période, il est sûr que lorsqu’elle commence cesera B qui doit jeter (puis-
que c’est toujours son tour de jeter quand le nombre des ducats à l’enjeu est impair). L’espé-

+ à 09! MEME

2

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665. 143

De kanffèn van 2 of meer fpeelders fijn gelijck ofte evenwaerdich, als her f pel
foodanigh is dat, even geluckigh fpelende tot het eijnde van ”t fpel, niemandt
winnen kan noch verliefen: Ende dat een felfde exces van geluck aen d’een of
d’ander evenveel gewin of avantage toebrengen foude.

Hier uÿt volght dat als in *t fpel daer van hier géhandelt werdt, 1 tegen 1
ingefet is, (want als A kruijs werpt en B mede, foo treckt elk een en het fpel is
uijt #)) of a tegen 2, of 3 tegen 3,&c. dat dan de kanffen van de fpeelders A en B
gelÿck fijn 5). Nu als o tegen o ingeset is, en A moet eerft fpelen, foo is fijn

verlies geftelt +2 zijn — 4 ©“ 1 kans tot + z als hij kruijs werpt
1 kans tot — # als hij munt werpt en derhalve À

moet infetten
1 kans tot — A als B komt kruijs te werpen.

) 1 kans tot o dat is noch winft noch verlies, als B munt werpt en 1
tegen 1 moet infetten. |

maar —b is <

Traduction :

Les chances de 2 ou de plufieurs joueurs font égales ou équivalentes fi le jeu eft tel
que lorfqu’on joue jusqu’à la fin avec un fuccès égal perfonne ne gagne ni ne perd: Et
qu’un même excès de bonne chance apporte autant de gain ou d'avantage à lun qu’il
en apporte à l’autre.

I1 en réfulte que fi, dans le jeu dont nous traitons ici, on a mis 1 contre 1 (car fi
A jette croix et B de même, chacun prend un ducat et le jeu eff fini #)) ou 2 contre 2,
ou 3 contre 3, etc., qu’alors les chances des joueurs A et B font égales 5). Or, fi
l’on a mis o contreo et que A doit jouer le premier, nous avons pofé pour fa perte:
1 chance à + 4 s’il jette croix
1 chance à — 2 s’il jette pile et qu’il doit donc mettre A;

__ 1 chance à — A fi B vient à jeter croix.
» chance ho, c’eft-à-dire gain ni perte, fi B jette pile et qu’il doit mettre

7
PAT : DE <

mais — 2 eft

I Contre I.

rancéde B sera donc x, , et A — x, celle de À. Par suite, x, =x, + À —x,=A. L'avantage
‘de À , dans le sens que Huygens y attache, est donc c—x,— À — 0; ce qu’il fallait prouver.
3) Le raisonnement qui va suivre fut écrit par Huygens sur la page précédente du Manuscrit
dans un espace qui jusque là était resté vide.
4) Cette phrase se trouve en marge du Manuscrit.
5) Ce raisonnement n’a pu entièrement satisfaire Huygens. Il nous semble qu’on doit plutôt
--: considérer cette partie de la présente Pièce comme une annotation provisoire sur laquelle il
y aurait lieu peut-être de revenir. Comparez d’ailleurs les p.43—48 de l'Avertissement , et
surtout la note 1 de la p. 46, où nous avons voulu montrer qu'en effet les chances des deux
| joueurs sont égales dans les cas mentionnés, mais que l’enjeu doit être considéré comme
perdu pour eux s’ils appliquent, sans en déroger en aucun cas, les règles du jeu, telles qu’elles
sont formulées à la p. 132.

144 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

I tot + 7 ais Lana 50
Soo is — à 50 — A Ergo — 4 © < . Ergo — a 0-2. Ego Ste
Et 1 tOt— A" 6]

> A. En # A. Even als in d’andere folutie.
2

6

$6°).
1. Om den triangel van een gegeven getal te vinden
€ foo addeert men het getal tot fijn quadraet, en de helft
Nr der fomme is den gefochten triangel twelck uijt defe
FR nes figuur blijckt, want als men tot het getal ACBD , fijnde
Hit ":# het quadraet des getals AB, noch eens bij doet het getal
£....", F der rije AB, foo heeft men à mael het FasralA des triangels
ape ACB, daerom de helft der voorzegde fomme moet wefen
D gelijck den triangel ACB, welck is den triangel des getals

D?
AB. Sijnde dan x de fijde foo is den criangel LÉ Le .

Traduction: init: deu up
5 fou | él a— A pif o 10
Donc—? © "A. Par fuite — 490 <<, Te a’ Donc — 4 D .Donc am A
2° 110
Et 4 % ZA. Comme dans l’autre folution. nu Fa vu à Mu

6 sh

$ 6°).

1. Pour trouver le triangle d’un nombre donné on ajoute ce nombre à fon
carré ; la moitié de cette fomme eft le triangle cherché ainfi qu’il réfulte de la
figure à côté, car fi l’on ajoute au nombre ACBD, c’eft-à-dire au carré du nombre
AB, encore une fois le nombre de la ligne AB, on a deux fois le nombre du triangle
ACB. Par fuite, la moitié de la fomme prémentionnée doit être égale au triangle ACB

qui eft le triangle du nombre AB. Soit donc x le côté, alors le HAE a _—

1) Ce paragraphe apprend à sommer la tite des valeurs réciproques des Pahirs A
Nous n’avons par voulu le supprimer puisqu'il fait connaître la manière dont cette sommea
été obtenue par Huygens; mais on sait qu’on l’obtient bien plus facilement en mr)

2 2 2
so et que, par conséquent, la suite se réduit à 1 M I sat +
sa HRviEs A7
——— etc. î
Ts #1 UP

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE Y, 1665. 145

Hénin il mon na, 1 He AN sci sb

Di | ti

2. defe rije van gebroocken getallen fijnde foo danigh dat al de tellers fijn 1 , :
en de noemers de achtereenvolgende triangulen van de getallen daer boven ge-
fchreven beginnende van 1 en met 1 opgaende: indien men eenighe 2 achter-
cenvolgende defer gebroockens te famen addeert, nemende tot voorite foo een
wiens noemer is den triangel yan een even getal; foo fal de fomme gelijck fijn
aen de helft van het gebroocken defer rije wiens noemer den triangel is van de
helft der fijde welckers triangel was den noemer van het voorfte der 2 gead-

deerde gebroockens. bij exempel adderende de gebroockensdefer rije 35°" ze

foo fal haer fomme fijn F1 dat is de helft des gebroockens _., wiens noemer 1
& 15° 5

den triangel is van 5, fijnde de helft van 10, wiens triangel 55 is den noemer des
eerften der 2 gebroockens. want laet de fijde des noemers van ’t eerfte gebroken
fijn 0 x, foo is fijn triangel, dat is, den noemer des eerften gebroockens,

Traduétion :

Re AE
ET CES A SR RE AR CRE MO ÉDN E e PE (Nb ere Re

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120

2. Cette fuite de nombres fractionnaires eft telle que tous les numérateurs font
égaux à l’unité, et que les dénominateurs font les nombres trangulaires fucceflifs des
nombres qu’on a écrit au-deflus, en commençant par 1 et augmentant chaque fois de 1 : fi
de ces fractions on en additionne deux fucceflives, dont la première eft telle que le déno-
minateur eft le triangle d’un nombre pair, alors la fomme fera égale à la moitié d’une
fraction de la même fuite, dont le dénominateur eft le triangle de la moitié du nombre

duquel le triangle conftitue le dénominateur de la première des deux fractions qu’on
È I 1
a additionnées. Par exemple, en additionnant les fractions 35 et 2» appartenant à

É I
cette fuite, leur fomme fera … c’eft-à-dire la moitié de la fraétion ra dont le

dénominateur eft le triangle de 5, c’eft-à-dire de la moitié de 10 dont le triangle 55

eft le dénominateur de la première des 2 fractions; car : foit le côté du triangle qui

conftitue le dénominateur de la première fraétion 5 x, alors fon triangle , c'eft-à-dire le
19

146 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V, 1665.

XX Rd 2
go —— en het eerfte gebroken dan sa" Voorts fal de fijde des noemers

van ?t end gebroken fijn x + 1,en daerom fijn triangel, dat is den noemer

xx +

des aden nn. o se F2, En dienvolgens het volgende rs

.… G* Om tot het welck te adderen het cerfs gcbroken

DR
TT xx geo

den gemeenen noemer x3 +- 3xx + ox ende haer fomme ce)

: I
1S

SRE
Fa

x een even geral geftelt werdt, foo is fin a 2

Ende diensvolgens —— fal fijn het gebroken , wiens noemer x de at

Le . Fe:

Traduction 0

dénominateur de la première fraétion, eft égal à — et la première fraétion >

Puis le côté du dénominateur de la fraction qui ne fera x + L. Done fon vi a

in

qui eft le dénominateur de la feconde fraétion, fera © ti contente

it A Dax

fraction qui fuit fera Afin de faire l'addition de cette fraction n

nt Ds
xx + 3x +0

pe . , on remarquera que leur dénominateur commun eft x3 + sstae leur
14444 À i FT
ME ex L'or? c’eft- à-dire D ï Or, en prenant le côté éga à

fentera un nombre entier puifque x a été fuppofé pair, fon triangle eft 4

"+; “x. Par fuite nr conftituera la fraction dont le dénominate
Rd À Fr re Le

#4
5

*
L
É
e
<

Be
‘@

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665. 147

. van de helft der fijde x, welckers triangel was den noemer des eerfte gebrokens

hræ U I
us nu is oock S D Ho de gevonden fomme der 2 gebrokens gelijck de

helft van ——, quod erat demonft.
perte

3. Indien men nu oock een rije van gebroockens ftelt die proportionael fijn
tot die van de voorgaende triangulare rije , het is feecker, dat gelijck de fomme
van 2 aan een volgende der triangulare rije gelijck is aan de helft van het ge-
broken in ’t voorgaende voorftel gefeght , alfoo oock de fomme der 2 proportio-
nale der felve 2 gebrokens, gelijck fal fijn aan de helft van het proportionale
des gefeijden gebrokens. |

LG. 8 6 14 Bi exempel dewijl +1 fijn de helft van = datis
bplniloghur.k na c nono gr 3

Lui 0 01.40 025 1: gelück ? fo fal oock in de onderfte proportionale rije
DR di

= — — — 1 1 I SUR E 14

4 12 24 40 6o jen + 6 © de helft van 1 dat is gelijck Frs

Traduction :

triangle de la moitié du côté x dont le triangle était le dénominateur de la première

fraction —.. Or, eneffet, RErr 2e c’eft-à-dire la fomme des deux fractions, eft
xx + x I I
xx + —x
4 2
égale à la moitié de- ; ro ce qu’il fallait démontrer.

g"* - à
3. Si maintenant on forme de même une fuite de fraétions qui font proportionnelles à
celles de la fuite triangulaire précédente, il eft certain que, puifque la fomme de deux
fractions fucceflives de la suite triangulaire eft égale à la moitié de la fraétion indi-
quée plus haut, la fomme des 2 fractions proportionnelles aux 2 dites fraétions fera
égale à la moitié de la fraétion proportionnelle à la fraétion fufdite.

Par exemple, puifque _ + ge 2 la moitié de 4 c’eft-à-dire,

©

3

&

6 10 15 égal à 2 on aura aufli dans la fuite proportionnelle inférieure
É 1

ï I pe: Res ÉERRNERES à
4 12 24 40 60 siens moitié de 1, C'eft-à-dire égal à a

148 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

4. In de rije der gebroockens welckers noemers fijn de achter een volgende
triangulare getallen en de tellers alle 1, is de fomme dér ganfche rije in genre |

gelick 2.

A OS A a AS A us à ER pr

FA I
- Eerfte r1Je h 3 6 + 15 "pe °8 36 45 55 66 78 91 91. 105 0
de I I I I k; + HhRtE eo
tweede rije È & Es re A4 ie
dé 1 I kite”
_ derde rije " ee | PE
…. 153 Ars à Sy} 1h "Ib

Zij genomen de eerfte defer rijen in infinitum te gaen. En laet de ot rije beftaen :
uijt de fommen der gebrookens der eerfte rije, genomen 2 aan 2, van welcke twee .
ieder minfte fi ijn noemer fij den triangel van een even getal. 7” a fin dan d

talen der 2e rije, door het 2e voorftel *), ieder de helft der getalen van de
op. 4

Traduction :

4. Dans la fuite des fraétions dont les dénominateurs font les nombres triangulaires
fucceflifs et les numérateurs tous -1, la fomme de la fuite totale prolongée jusque |
l'infini eft égale à 2.
première 1 CRE D AR GR EE Pr CD ve

fuite ï
deuxième I ee +

fuite ne 6 LE so Hion d
troifième un

fuite

09 | 4 bp
ON m4
nt
©
Un
Le]
ei
[ie]
[ee]
SI
a
B|
al
en |
mi
|
Ca
a
a
9 f
2}

Ir

nl

b
æls

4° fuite

Suppofons que la première fuite continue jusqu’à l'infini et que la ne e
fe compofe des fommes des fraétions de la première fuite, prises 2 à 2, de manière qu
le plus petit dénominateur de chaque couple foit le triangle d’un nombées pair. Alors
les nombres de la deuxième fuite font, d’après la feconde propofition *), les moîtiés

*) Voir, à la p. 145, l'alinéa numéroté 2.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V, 1665. 149

rie, als men de evenveelfte in de order neemt. laet men wederom de 3de rije be-
ftaen uit de fommen der getallen van de 2de rije, genomen 2 aen 2 , en weder
het eerfte overflaende, {oo fijn dan, door het derde vooritel *) , de getallen der
3° rie ieder de helft van de getallen der de rije.

En van gelijcken foo de 4de rije beftaet uijt de fommen van ieder 2 getallen
der 3e rije, overflaende het eerfte, foo fullen de gerallen defer 4de rije ieder de
helft fijn van die van de 3e rije.

En foo voorts met al de andere leegher rijen in infinitum te bedencken.

Nu foo blickt dat het eerfte geral der tweede rije, te weten _ is de fomme

van de 2 getallen der eerfte rije die nae het eerfte getal volgen.
En dat het eerfte getal der 34e rije is de fomme van de 4 volgende getallen der
cerfte rije.
En dat het eerfte getal der 4de rije is de fomme van de 8 volgende getallen der
*eerfte rie.
En van gelijcken dat het eerfte getal der 5° rije foude fijn de fomme van de
16 volgende getallen der eerfte rije en foo voort.

Traduction :

des nombres de la première fuite, pris dans le même ordre, Si maintenant la 3°° fuite

fe compofe de nouveau des fommes des nombres de la 2"° fuite, pris 2 à 2, en laiffant

derechef de côté le premier de ces nombres, les nombres de la 3"* fuite feront, d’après
+ la troifième propofition ?), chacun la moitié des nombres de la 2" fuite.

Et de même, fi la 4"° fuite fe compofe des fommes de chaque couple de 2 nombres
de la 3"° fuite, laïffant de côté le premier, les nombres de cette 4" fuite feront chacun
la moîtié de ceux de la 3" fuite. Et de la même manière on traitera toutes les fuites
inférieures jusqu’à l’infini.

Or, il s’enfuit que le premier nombre de la deuxième fuite, c’eft-à-dire _ eft la

fomme des 2 nombres de la première fuite qui fuivent après le premier nombre.
Et que le premier nombre de la 3"° fuite eft la fomme des 4 nombres fuivants de la

première fuite.
Et que le premier nombre de la 4" fuite eft la fomme des 8 nombres fuivants de

la première fuite.
Et de même que le premier nombre de la 5" fuite ferait la fomme des 16 nombres

fuivants de la première fuite, etc.

2) Voir, p. 146, l’alinéa numéroté 3.

150 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE V. 1665.

Dewil dan aldus de eerfte getallen der rijen maecken de fomme van al de
getallen der eerfte rije; en dat de felve eerfte getallen der rijen ieder de helft
bewefen fijn te fijn van het Ne 23" 7) en dienvolgens al te famen in infinitum

gelijck aen 2 mael het eerfte = =; foo fiin dan oock al de salles der certe rije

Er ait he ab

te éuné 2 2 mael + dati is » 2 quod erat dem. sait toi ét DE
J' LA }
4 out

tre 0h code € #b: res
: af ! M 48 ra
— FLE AOL CRE 1408 JO JE) FRE |

SI STES
ÿ sf téhs tt #4
M
VHS + FES
He TS

Traduction

Puisque donc les premiers nombres jes: fuites conftituent Ra nm
nombres de la première fuite, et qu’on a démontré que ces prem
fuites font chacun la moitié de celui qui précède , et que, P

MALE LS à,

enfemble jusqu’à l’infini 1ont égaux à 2 fois le premier nombre, Fi il en rée

tous les nombres de la première fuite enfemble sont auf on 2 Me or be

2 2. Ce qu’il fallait démontrer. | are:

ONE “EN np NO te 106

dc ait mi

4

Tata

LAB pts #7 ‘it tail venin = ane at a

APPENDICE VI )
AU TRAITÉ , VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK

1676.
Aug. 1676.

Quæftio ultima mearum in iis quæ de Ratiociniis in ludo
aleæ edidi; propofita olim a Pafcalio®?). .

Lufores A et B accepto numero calculorum æquali ludunt tribus tefferis hac
conditione ut quoties eveniunt punéta 14, accipiat À calculum unum à B. Quoties
vero 11 punéta eveniunt, contra accipiat B unum calculum ab A. Vincat autem
qui prior omnes calçulos collegerit. Quæritur quantum valeat f pes utriufque
inter fe comparatæ ; feu quæ pars debeatur utrique ex eo quod depofitum eft, Hoc
autem idem eft ac fi, evenientibus 14 pun&tis, A fcribac punétum unum, et, eve-
nientibus 11, B fignet itidem punétum unum, et viétoria cedat ei qui primus certo
punétorum numero alcerum fuperaverit 3).

*) Dans cette Pièce, qui fut écrite sur une feuille détachée, Huygens essaie de justifier et de
généraliser la solution qu’il avait donnée (sans y ajouter l’analyse ) du dernier des Exercices
qu’on rencontre vers la fin de son Traité (voir la p.91). Ajoutons qu’il ne réussit pas à
démontrer à son entière satisfaction la solution généralisée qu’il trouve par induction.

?) Voir la note 1 de la p. 90.

3) En effet, si # représente le nombre des jetons que chaque joueur possède au commencement
du jeu, il est évident que dans les deux suppositions mentionnées le jeu finira aussitôt que le
nombre des coups favorables à l’un des joueurs surpasse de # unités celui des coups favorables

à l’autre. Cependant on peut faire encore une troisième supposition , équivalente aux deux
autres, d’après laquelle à chaque coup favorable le joueur efface un des points obtenus par
son adversaire si celui-ci en possède, sauf à marquer un point pour lui-même si l'adversaire

* n’en possède plus ou pas encore. C’est la supposition choisie par Huygens dans les cas » — 4
"et = 3 qui suivent (voir encore la note 1 de la p. 152) et ce fut à l’aide de cette même

” supposition que Pascal formula primitivement le problème que Huygens lui emprunta (voir
la p. 493 du T. D.

152 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VI. 1676.

Punta 14 eveniunt modis 15, cum tribus tefferis luditur. Punéta 11 vero
modis 27. unique 15 ad 27 ut 5 ad 9. ,

Si vincere ponatur qui primus punétum unum Bout apparet fpem luforis
A ad fpem B efle ut 5 ad 9.

Si vincat qui primus duobus punétis alterum præcefferit calculus ita fe habebit.
fit x portio debita lufori B ex eo quod depofitum et, qued vocetur és

94) ad habendum 1 ad o (9) < nus nn ad o (ni)

oado
t Ne) ad hab. oadi(z) < ne es à

dx, n+cx 5 de
de TE y CARE . FT ne

À

4 !
#5 æ” *

1]

Cum B habeat ——,, habebit A quia fimul addieæ pres

ES Ru ; 2 Re
facere . Ergo fpès B ad fpem A ut dd ad cc.

din

AE rar enim fic fe bebebe “+

X 2

vs
t: &

VE 18

1) Le calcul ut suit s'explique le plus aisément lorsqu'on chnititis doibiisetes tons
sitions équivalentes mentionnées dans la note 3 de la p. 151. D'ailleurs Huygens lui-même
employé ici cette supposition, comme les notations ,,2 ad o, 4 ad 0,0 ad o, etc.” ouvent.

Remarquons donc d’abord qu'avant d’arriver à une décision (représentée par (4,0)
(o,4)) le jeu doit nécessairement passer par l’une ou l’autre des phases (2,0) ou (0,2). Or, les
probabilités que l’une de ces phases, (2,0 )ou(o,2), se réalise pour la mo
l’autre se soit présentée sont dans le rapport de 47 à ec. Cela résulte du casdéjàtraité, où

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE VI, 1676. 153

44 [ad] 4 ad
44 Lad habendum] 2 ad o (y) < cc Pad: ssà à ea

Ne [ad habendum] o ad 2 (2) A so a

Eft autem hic 4 et ce ubi prius Zet c, ac de cætéro operatio eadem quæ prius.

É ergo necefario fiet x 50 AL as Et fpes B ad fpem A ut 44 ad ct,

o ad o (x) 2

Hinc rurfus fi vincat qui 8 punétis præverterit, concludetur x + sin A
, Het tque

ita porro fi continuo dupletur punétorum numerus.

Verum ft vincar qui 3 punétis præcefferit calculus inftituendus eft hoc modo ?)

ja End} 2 ado (D) ET da à CS

F7 eron 44 Kad] 1 ad o () L'pb ce 20

6e [ad ]:0 ad 3 (o) dd + cc
+7 à dm écreeg 18 |
s'ié + ce + cc ccddl |
Te | RAR Mat ad + cc | | +
“ se Cal 4 M +. ç4l 20, din + ccddn pi ccddl de

din + ccddn Po din
” ++ ddéc + c+ Li _ 7e EE JaccE C4

2103 >

sup ce phares pour gagner. Si nous partons maintenant de la phase (2,0), il est clair que

eur B,pour gagner, doit pouvoir compter encore une fois deux coups favorables de plus que A.

j. Si ce sera au contraire À qui gagne, le jeu doit passer premièrement par la phase (0,0). Or,

…les probabilités que l’un de ces évènements se réalise avant l’autre sont évidemment dans

.… le même rapport que les probabilités correspondantes au commencement du jeu concer-

nant l'arrivée des phases (2,0) et (0,2); c’est-à-dire elles sont dans le rapport de d4 àce,
comme Huygens l'indique dans le calcul en question.

7) On peut comparer au calcul qui suit celui de Hudde (p. 470 du T. V.), qui se rapporte

‘au même cas particulier, où # — 3. Remarquons que la méthode de Huygens s'applique à

tousles cas où » est divisible par 3, C'est-à-dire en supposant connues les solutions des cas où

PA LE SR ER UN TT

F \ à I a fx ? + ; AA
le nombre des points à obtenir est a ou 4: Les-cas intermédiaires qu’on doit choisir sont

alors Gr, o)et Corn).

154 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK: APPENDICE VI 1676,

din + ccddn
#° 4 Ced1 7 Co] d#+ + ddcc + c+ d$n + ccdin + cdin AN Leds
ne" Fad din A+ c)in(di + dâce FE) TA
d+ + ddcc+- c+
din | FL ne

_—— (a+ c) in (dd— de + ce) fed hoc % 43 + cs dr 4 + cs
© a où cf sven ours

Ergo fpes luforis B ad fpem A ut 43 ad ci.
Hinc autem rurfus concluditur, fi vincat qui 6 punétis præcefferit fpem luforis
B ad A fore ut 4° ad «°”). -

SIND OUI OS HO1O0E EH

1) De cette manière on peut donc aussi prouver rigoureusement l’exactitude de la solution
(2441406025 : 282429536481, c’est-à-dire 5°° : 9°?) ajoutée à l'Exercice * (p.91 du présent
Tome), où #— 12.

?) En effet, avec les ressources mathématiques dont on disposait à l’époque dé Huygens, il
paraît avoir été difficile d’obtenir une démonstration rigoureuse valable pour le cas où # est
un nombre quelconque. Bernoulli n’y réussit pas, car on ne peut pas accepter comme telle le
raisonnement vague qu’il présente à ses lecteurs à la p.70 deson ,,Ars conjectandi” pour le cas
où ceux-ci n’accepteraient pas la conclusion par induction, qu 4 fait précéder. De Monmort
(voir les p.222—223 del’ouvrage cité dans lanote 11 de la p. 9 du! présent, Tome). se contente
de traiter lecasn—12, qu’ilrésoud à l’aide de 22 équations linéaires où entrentcomme incon-
nues les probabilités diverses qui peuvent se présenter durant le jeu. Il est vrai quede Moivre
(voir les p.227—228 de son Mémoire de 1711, ou les p.44—46 de sa Doctrine. of chances”, L
cités dans la note 12 de la p. 9) arrive à une solation rigoureuse du problème général à raide

* d’une méthiode extrêmement ingénieuse, mais bien artificielle. Afin d’exposercette méth
prenons le cas où A possède les trois jetons SA 6,yet B les trois va 3,8, On PNR À

2

à ces jetons respectivement les valeurs y, , r, RES, +, De PE où nous supposons 7 > c, |
et l’on convient qu’à chaque partie en particulier A engagera parmi tous les jetons qu'il a
possède celui dont la valeur est la plus petite et B de tous ses jetons celui qui a la plus grande
valeur. Ces valeurs alors seront toujours dans le rapport de Zàc, mais comme les chances des
joueurs À et B sont dans le rapport réciproque de c à , chaque partie en particulier sera une
partie équitable, c’est-à-dire où les espérances des joueurs sont égales. 11 en doit donc être de
même pour le jeu entier, qui finit lorsque l’un des joueurs obtient tous les jetons. Or, puisque
les sommes que les joueurs peuvent gagner sont dans le rapport d de # Lis il faut que leurs
chances soient dans le rapport réciproque de c3 à 43. élan :

Enfin, Struyck (p. 108—110 de l'ouvrage cité dans la note ju de la p. 0) donne
une solution plus directe, que voici: Supposons que les 2 jetons soient des pièces de
monnaie d’une valeur égale à l’unité, et soit fe AS bg méthéiatique du 60 A

REA s
PR À Le = Cr — ep-1). On en déduit successivement foire e, +iese, st s 5

=®. Lu D) thon GES PT Éd: MP
tr M 5 on == — >< —
1 morsenlt élue

en = 15 RÉ ge On trouve die NÉ sut e ee " Lire E La
=" de: 1. —
PF

#4? u 1e
a: C

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VI, 1676. 155

Si numerus punétorum præceflionis fit 3 erit fpes B ad A ut 45 at cs, fed hoc
rurfus calculo opus habet qui paulo longior quam in punétis 3. nec video adhuc
qui concludi poffit in univerfum, fpes luforum B ad A effe inter fe femper ut

eftates Z et c numerorum, quæ habeant exponentes æquales numero punétorum
quibus alter alterum debet præcedere ?).

ASUS De ASE HR I MOVIMANA

"EE
LE £ à : D nr ——
5 £ ; rs LA 4 ? d F “ : : F4
ASS UN Dr HS RTE U Ets EN 6 HIS Lt A re )1 : À Fépl : à A.
TRUE € !
Y
P % :
Papiers à x 1 \
F : €
+, ATP LS F *
FREUMEEE U
DAS
LEE es | ‘hi

PES MU quo Pr Les gui 4 À

: se CAR rod à sd sci
7° let il reste pour l'espérance de l'autre joueur ="T7:2#, d’oùil suit que leurs
au début du jeu étaient dans le rapport de c” à 4".
le de dire qu’à l’aide des méthodes modernes la solution générale du problème
sans aucune difficulté. En représentant par #(p) la probabilité que A gagne le jeu
l re des coups qui ont été favorables à A, diminué de celui des coups favorables
devenu égal à p, il ne s’agit que de résoudre l’équation fonctionnelle ep(p + 1) —
#? Cp) + dpCp 1) — 0 sous les conditions g(n) — 1, pC—n) = 0. On
po la solution générale de cette équation g(p) — c(eY +- C'et, par consé-
A ont mr rnidurinNeterit ri2t DC)
elle qui satisfait aux conditions mentionnées: g (?) = Re

L-éfreretre 2 rene Pre a ÿ ‘ ct He © re
e K'au début du jeu po)

1

AY AATANE TERME MIAGE AV

dass

Mau À né À sie à tt eitotasætd PRE eH9MIUIT fé

ue dobiy 59041 22 21e ri ps ioierol olsq #4 +90 bit #Hqo ofules gr
ñ br sito ot revient ifié ibul 23H09 it

fr t pod er à usonstæun » 39h a93efta3o »

bosgra radob morale 1018 eudiup

1 ei

APPENDICE VIT
AU TRAITÉ ,VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK”. …

[1676] °).

tas AM id mmgen iso robe

Elck heeft La ingefet. die ten ecrlen : een 6 met eene fleen neemt te

heeft 1tot4 4
b—jtoto o

a+o |
n b>6

Traduétion :

a I chance à a, b—1 à zéro, ce qui vaut soma Quia

hoc rh soin tt hé nie Po
one. ofr:38e3! here she L'on. 19h site

3) Cet. -Appendice contient prob Hphientass raide LS He de problèmes des
: identiques ou analogues à ceux dont occupe dans les Prop 'X et XI-de son T
(voir les p. 79—83 du présent Tome). Il a servi évidemment d’avant-projet à la Pièce,
destinée à Dierkens, qu’on trouve aux p. 16—-18 du T. VII. 11 nous montre que Tuy.
n'a pas réussi au premier Coup à donner à ses solutions la forme sim l Iles ont obte
DE la Pièce one # nee Noa « TON. AN HO

?) La Pièce n’est pas datée, mais il est très probable qu ’elle fut panpoée 6. L
détachées sur lesquelles elle est écrite ont le même ‘aspect, quan “4 pt
et le format, que la feuille dont nous avons emprunté l’A ppendice Hé at
Et ce format diffère de celui dont Huygens se servait nn AL en”

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VII. 1676. 1 57

die in 2 reijfen het neemt heeft Itot4 4

Lg AU: 5 2€
\® It 4 n
ME
sat CR Fa
hd af vange 1tot4 L
LS
b L LE LS js TE
Cvan gen] x [tot] z
M io à mo. AT à €:
REPIE TE | bi rot] ++ | EE dE - +

b— 120 c3),4 2 1 hebbende elck . ingefet

1tOt4 4 van2®iltot]4) van 3° 1 [rot] 4

4 ac
£gtoto 0. a+ ae
cn c Ctor]# [5 28 c [rot] #4 5 +0 +30

F ù fish |
# “g a rtt Traduction: PE | 3 e :
deux COUPS à 1 chance à a,.b à, ce qui vaut D 7 "RTE

Sd em 6 en

; Soit —1 > c3),4a > 1 ,enfuppofant que chacun a mis " [On trouve au cas d’un feul

Ta 4 Vs re RER"
| ‘cpop] + à 4 scà ss ce qui vaut © 7 Au cas de deux coups. ..:..,..,au cas detrois

des “208 E qui le présente et ce Livre était employé de 1674 à 1680; plusieurs feuilles

| en ont été enlevées, parmi na asso se trouvaient peut-être celles sur lesquelles cet Appen-
dice VIT fut écrite. ns}

3) La solution menaçant de devenir inibilement compliquée pour le cas d’un plus grand nombre
de coups, Huygens la reprend avec une légère modification. À l’aide de cette modification il
réussit en effet à la rendre plus maniable. Ce n’est que vers la fin de la Pièce (voir la note 5 de

la p.161} qu’il s'aperçoit combien la question se simplifie si l’on se met à calculer la chance
_: deceluiqui donne à jeter au lieu de celle de celui qui jette. Comparez lessolutionsdes prop. X

et XI (p. 79—83) du Traité de Huygens où l’on retrouve la même complication inutile.

158 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VII, 1676:

k

van gen 1 [tot] 4 vu eu

cca
ç Leo] SEE (NE

_ maer Zis 9 1,ergo HE HE es 0], dat ismen mot fien wanneer

de fomme van de progreflie gelijck werdt aen _ want dan is de kans gelijck van

die het in foo veel reijfen genomen heeft.

Om de fomme der proportionalen te vinden. 200 fumma proport.
bad] e [ut] x [ad]z—7. # ultima et minima proport. + prima.
bz— 1 20 cz —cu

I1—CU 1 1 4 DE,
2904, 2,204 nam 4. Volo fcire quanta fit ul

| I
prop. # ut fumma prop.um fit 2 à

Le à

1— cu 00 =b— 0 fed —c mihieft 5 1 <
1 — CU D —
| di
Sc 24 z 90 1 —cu. Ergo sels certa remanet
cu quod hic eft pri “us:
Traduction : à æ |
cOups......., au cas de 4 coups 1 à 4,cà— ++ ce qui me iti fee

FE

HSE _ » mais 4 eft ‘0 1, par conféquent, Tu tR F pe ue rm Be

on doit rechercher quand la fomme de la progreflion devient égale à: =,

celui qui a Ace de le faire en ce nombre de COUPS a une chance égale.

1e

Manière de trouver la Gite des quantités proportionnelle. z D fume propore :
etc. .…. € FA RTE F3 ;

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VII. 1676. 159
Quoto jaëlu duarum tefferarum duos fenarios me daturum certare poffum cum

lucro? Sunt jaétus 36. Ergo hic eft 36. et c © 35. prima proportionalium
kiss -
3? 36° Quærendum ergo quot proportionales ftatuendæ fint in ratione 36 ad 35

1 1 \ 1

ut ultima % fit minor quam +: hoc eft hic quam 7Q: ‘UNC enim fumma proportio-

nalium (quæ fignificat partem quam ex unitate seu (4) mihi arrogare poffum)
I nn. re

excedet F adeo ut illo jaétuum numero potior effe incipiat conditio mea.

Quod fi fiat ut 36 ad 35 ita 56 ad aliam ea erit fecunda proportionalis et fic

deinceps faciendum donec proportionalis inveniatur quæ fit minor quam M À
o

Hoc autem per logarithmos facile eft *) , nam fi ab log. 2 qui est — 1.5563025

auferatur differentia log. 35 et 36, quæ eft 0.0122345, habebitur log. diétæ
fecundæ proportionalis. Invenio autem 2411 diétam differentiam auferendam a
logarithmo 2 priusquam habeatur logarichm. minoris fraétionis quam —. quia

I

dividendo differentiam logg. < et 36 quæ eft—0.2887955 per diétam differ. logg.
36 et 35 quæ eft 0.0122345, fiunt plus quam 23, ideoque 24 fumendum ut perve-

L2 Li . I L
niatur ad fraétionem minorem quam 20 Itaque 24 proportionales ftatuendæ

x 1 k
præter primam 36: adeo ut omnino fint 25. ac proinde 25° jaë@tu certare poffum

eventuros duos fenarios , idque conditione potiori quam fit contra certantis.

1) Cette phrase, écrite avec une encre différente, à commencer par z 20 1 —€w, fut sans doute
ajoutée après que ce même résultat avait été obtenu dans le dernier alinéa de la p. 161, où
il donna lieu alors à la remarque de la note 5 de cette p. 161.
2 De ce qui précède l’on déduit aisément :
log — 10g a
. log » — log € +1

où # désigne le nombre des quantités proportionnelles qu’il s’agit de déterminer.
C’est la règle que Huygens va appliquer dans ce qui suit.

160 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VII. 1676.

Quoro jaétu gum tefferarum tres fenarios jaéturum me certare poffum. Refp. 150.

; I
216%b prima Sn er

L[og].—2. Gasa68s |
si?

I
exe. LLeël.—2.3344537 |

ro 20
215 20 20 — re

ni - 0.2990148
216 L.2.3344537 149 *)
215 L.2.3324385 54
0.0020152 150

439

CHA 0 H

Quoto jaétu 407 cefferarum quatuor fenarios ? ue 899: . le
b 1296 L. 31226050 prima prop. — rade L. —_ 31426050. 1. aus

‘c 12985 (L.3.1122608 u 0 60 == cat © OR got.
I 7 2 2590 ee |

3352 Fe 2 PRE * oi

Brevius hæc omnia peragi poffunt3),

A , Exempli gratia cum queritur quoto
LA 36 ja@tu duarum. tefferarum : ‘poffint duo
‘ fenarij haberi, ita ut certetur cum lucro.

\ Tantummodo quærendum quoties ra-

Le M ( tio 36 ad 35 continentur in ratione 2 ad
tr: 4). dividendo nempe logarithmum

binarij 0,30103 per differ. logarithmo-
L rum 36 ct 35, qui eft o,01223. fit 24 et
2 { aliquid fupereft. Tum addenda 1. et fit

Fa % 25 numérus pag care. qtrétitn
fumma fuperabit © _ Ideoque 25 inétibus

LL =
L
pq
L

cum lucro certatur obventuros duos fenarios.

1) C’est le premier nombre entier qui excède le quotient de 0,2990148 par @œ0020152.
Ajoutons que la division, que nous n’avons pas reproduite, fut faite v l'aide de po
expliqué dans la note 3 de la p.152 du T. XIII.

= VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE VII. 1676. 161

fl Simili ratione fi quæratur quot jaétibus quatuor fenarij quatuor tefferis poffint
obtineri ut certetur cum lucro: quia funt jaétus diverfi quatuor tefferarum 1296;
oportet dividere logarithmum binarij, (qui eft logar. rationis 2 ad 1 )per diffe-
rentiam logarithmorum 1296 et 1 295, quæ differentia eft 3352. Quotienti addenda
unitas. 898 + 1 % 899 vicibus cum lucro certatur.

Ut fciatur quantum valeat fpes utriufque, five quæ pars ejus quod depofitum
eft utrique debeatur, cum certo nümero jaétuum omnibus tefferis fenarius even-
turus certatur. tantummodo fraétio conftiruenda eft cujus denominator fit numerus
diverforum .jaétuum, qui dato tefferarum numero conveniunt, nominator vero
numerus unitate minor illo jam dicto. Hujus fraétionis poteftas ea quæ convenit
numero jaétuum, (veluti quadratoquadratum fi quatuor jaétibus fenarij eventuri
certantur) defignabit partem quæ contra certanti debetur ex eo quod depofitum eft.

Ex. gr. fi duabus tefferis quarto jaëtu duos fenarios mihi venturos certem, quia

duarum tefferarum jaétus diverfi funt 36 erit fraétio conftituenda A Porro quia
numerus jaétuum dacorum eft 4 hinc quarta poteftas pofitæ nempe ie
1500625

1679 26 (fi 4 vocetur quod depofitum eft) eft pars debita contra certanti;

ut proinde mihi restent At Et valor meæ spei ad illius ut 178991

site À |

five

ad 1500625.

Ratio horum hæc eft quèd fol. præc. inventa fuit z fumma proportionalium ,
(quæ etiam eft fractio defignans partem certantis ) æqualis 1— cv. unde contra cer-
tanti relinqui apparet cv, Eft autem c# produétum ultimæ proportionalium in €,

em

in BoUD DE 163199 MINIHIISV dé? survan Pad
| ima P ionalis fit -— h mplo fic pr millud 5).
unde f ultima proportionalis fi ga) Ut in hoc exemp fit productum illud )

“à 4 2: fut et ts Te Pat £ k dé jt

s #1 est Vrai que, plus tard ; Huygens a diminué cé nombre d’une unité. Probablement il avait
oublié l’addition d’une unité exigée par la formule de la note 2 de la p. 159.
.# De la relation Le (voir la p. 159), ou bien pes 4 D on déduit (©) > 2; c'est
‘ : log 2
la relation dont Huygens va se servir dans ce qui suit sous la forme » > lg — loge .
4) Voir la.figure à côté par laquelle Huygens représente géométriquement le procédé qu'il
Ho MASMIINRE. 1: pi 717 taf ÿ À
15) Ici Huygens annota en marge: »Melius adhuc ;ratio bic queritur examinando in
principio sortem contra certantis”. C'est la méthode qu'il va suivre dans la Pièce
destinée à Dierkens, dont nous avons parlé dans la note 1 dela p.156. Voici, en effet, la
21

162 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VII. 1676.

Eft autem logarithmorum etiam hic ufus, cum abfque his longum futurum fit
poteltates iftas fraétionis formare , cum magnus numerus jaétuum certanti conce-
ditur. Sic in exemplo fuperiori, fi datis jaétibus 899 quatuor tefferarum , quibus
quatuor mu evenire oporteat, fcire velim quantum ve ss PE

fraëtio hic erit 5; ; cujus ut fciatur poteftas 899. ma

Pieiom logar. 1295 quieft 3,1122698
multipl. in 899
28,0104282
280,104282 Lo spires fe
1 2480,81584 BOFMEEIIES 169199 2H
2797,9305502 I. né Mt purs n1O ONE

Rurfus log. 1296 quieft : 3,1126050

28,0134450;:5115: sudeub À 1x4
in 280 »134450

S “2490, 08400 fat core 190; 9. 1 euh

2798,2318950 log. num.i mé Mo que

rhe Lsaov à À Ca sv

.. 8522. is,

Et habetur pars contracertantis 17060 6045 unde GAS VE 060% 1
Et fpes certantis ad'alterius fpem ut 8 538 ad 8522 proxim. | ge

LONG Ha MO! Cul. € Ge sa

1e. UD.

ED Ai ah

Qui vicibus continuis, quarum numerus fit 4, eventurum “cercar ad vas
eveniat funt cafus D, ut autem non eveniat fun cafus c; € us. ors FE
dob+c) ad fbriem contra certantis ut ba ad de — ba. hoc eft ut coties in fe
duétum quot funt unitates in 4, ad fummam + c toties in fe duétam miqus çoties
in fe duéto. pt Te HS RE LES PL

Ex. gr.”) fi quis, duabus tefferis, fefe fupra 5 punda iaéturum ce certet, tape

f

3 4 EL LEE fire ni
. 152%) EIRE

traduction du troisième alinéa de cette Pièce: ,,La meilleure manière de résoudre cette
question consiste dans le calcul de la chance de celui qui donne à jeter, ou bien de la part
de ce qui lui revient de Fenjeu. Alors on connaît aussi la part de celui pement ”
jeter, laquelle est égale à ce qui reste”. ifTé)

©) On retrouve cet exemple dans la Pièce destinée à Dierkens; voir la p.18 du T. VI.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VII, 1676. 163

is vicibus. Hic 26 cafus funt punétorum fupra quinque; 10 vero cafus

in um vel infra. Ergo hic 4 5 3; b 20 26; c æ 10. b + c 5 d > 36. unde fors
ertantis erit ad fortem contra certantis ut cubusà 26, ad cubum a 36 — cubo a 26:

hoc eftur 17576 ad 29180. Hujus facilis eft demonitrtio. Nam qui femel fupra 5

certat habet cas. WEres 10 ado. Ergo 2e. Qui bis habet cas. 26 ad

ne 26.1 _26.26.n
“36.36 vs cer babes PA D 26 tp 136.36 et 10 ad o. Ergo

un ue ita rro. ARE dE Su
RE LH PA 1 | 14° 12 fil AA lt 4 + #1 T2 4 LIANT] KL}

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nd dut Ein) our cobrereebrüd ns sr 65199 dis ] Fa

RCE LE PE Se TE Fram

Li679] jt

la carte y eftant 1 fois mais le fermier
ne paie rien fi elle vient toute la derniere.
1— N N
2 4)
I—— 0 0)
®
2 à
- ondes. 3 he
1 —N
I
32 |
2
()

1) La Pièce occupe les p.169—171 du Manuscrit E. Aj
encore les annotations suivantes qui se rapportent au je
_— estant semblables à la carte en jeu, le

les © seulement ? R. les 2 tiers. Et la deuxième das "est )
l’on ne reva [fic 4%
Si ce desavantage du Banquier des © au lice du cout, "un

la première carte de tout le jeu ? R. à toutes.”
Il nous semble qu’il résulte de ces annotations que Haye
larités du jeu chez quelque personne compétente. Or, on lit en effet
l'annotation suivante: ,,demand. à .m.e le Cocq. de la Bal :
derniers alinéas de la Hôte 1 dela p. 168. ee

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE VII, 1679. 165

—

la carte 2 fois

| 6| N N
1842 : À:

aN 3 I1—+N N
avantage du Banquier quand la carte eft Le
une fois dans les reftantes 3
sut Eftrmv bat} N |? + 2N

Ê he
sh +aN

?) D’après le lieu d’où nous avons emprunté la Pièce.

3) Les règles de ce jeu, telles qu’on les trouve exposées par M. Sauveur dans le ,, Journal des
_ Sçavans” du lundi 13 février 1679 aux p. 45—46 de l'édition d'Amsterdam, sont assez com-
abs pliquées ; mais puisque Huygens ne les applique pas toutes dans les calculs qui suivent , nous
nous bornerons ici à celles qu’on doit connaître pour comprendre ces calculs. À cet effet nous
citons de l’article de Sauveur les passages suivants: ,Celuy qui taille qu’on nomme Banquier
ou Tailleur a un Jeu entier de cinquante deux cartes & ceux qui joüent contre luy ont chacun
en ‘main treize Cartes d’une couleur, gw’on appelle le livre. Apres que le Tailleur a battu ses
Cartes, les Joüeurs découvrent devant eux telles cartes de leur livre qu’ils veulent, sur

elles ils couchent de l'argent à discretion ; ensuite le Tailleur tourne son jeu de Cartes,
ensorte qu’il voit la premiere qui estoit désrons. Apres cela il tire ses cartes deux à deux
jusqu’à la fin du Jeu en commençant par celle qu’il voit; & par la nature de ce jeu, la
premiere de chaque couple ou main, est toñjours pour luy , & la seconde ordinairement pour
le Joüeur, de sorte que si la premiere est par exemple un Roy, le banquier gaigne tout ce qui

a esté coûché sur les Roïs, mais si la seconde est un Roy, le Banquier donne aux joüeurs
autant qu’ils ont couché sur les Rois, en cela precisement l'avantage du Banquier n’est pas
plus grand que celuy du joüeur. Maïs il faut remarquer.

1. Que si la premiere & la seconde carte sont , par exemple des Roïs (ce qu’on appelle
doublets) le coup devroit estre nul, cependant le Banquier gaigne ce qui a esté couché sur

_les Rois.

2. Chaque joüeur a la liberté de coucher de l’argent sur telle carte qu’il veut lors que le

_ jeu est commencé, de sorte que s’il couchoit de l'argent, par exemple sur une Dame lorsque le

nes # jeu est commencé, il pourroit arriver que dans le reste des cartes, il y auroit 4, ou 3, ou 2, ou
# “frs à 1 Dame: ce qui diversifie les avantages du Banquier . .

| 3...2.1a derniere carte est nulle, /4quwelle devroit estre pour le Joüeur.....

: 4) Ce chic représente le nombre des cartes qui sont encore dans le jeu tenu par le RFA Il

- à» wa les tirer deux à deux, les mises N étant faites auparavant par les joueurs. Or, il est évident

2: Lier le cas présent de deux cartes qui restent le banquier a we chance à gagner , c’est-à-

… -dire si la première carte est la carte en question , et wne à être quitte, quand cette carte vient

comme deuxième, c’est-à-dire comme la dernière du jeu.

5) À propos des calculs qui se rapportent aux cas où le nombre des cartes restantes est impair
+ on doit remarquer que le compte entre le banquier et le joueur n’est réglé qu'après que les
deux cartes ont été tirées. Par suite les désavantages du banquier , qui se présentent à com-

mencer par la deuxième colonne de la p. 165 toutes les fois que le nombre des cartes est

LE DE

166 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VIN. 1679.

2 ms? —9oN
SH AN N
9 3
Le
5
(2 N o N
°| S' OUN TE
5 5
I
—N
Ts
2 N an
Cie. NN N
5 5.
Mi
| 7
2 N o N
8 I 6
D ml
? 4
I
SD
F3

avantage du Banquier quand la carte eft
2 fois dans les reftantes

1
N
r—1

impair, n’existent pas en réalité; ce qui n’empêche pas que Huygens ne puisse se servir
dans ses calculs de ces cas. Considérons, pour le montrer, le deuxième cas de la ii
colonne de la p.165, où il y a 4 cartes restantes, #,, 4,, D, c; dont deux, a, et HR
soient conformes à celle sur laquelle la mise est faite. Il y a alors deux chances quela première ne
carte est 7, ou %,, auquel cas le banquier gagne la mise, «et deux autres où élle est zou c.
Dans ces derniers cas le jeu continue avec trois cartes restantes et il s’agit de calculer les à
avantages et désavantages qui peuvent se présenter encore. C’est ce que Huygensafaitpar
le premier calcul de cette deuxième colonne et il est évident qu’il doit supposer dansce
calcul, et dans tous ceux qui se rapportent aux cas d’un nombre impair de cartes, que /# carte
qui a précédé n'était pas conforme à celle sur laquelle la mise a été faite, de sorte que sila
première du nombre impair des cartes restantes est conforme , cette carte ” ms os k
de ,,doublet”, mais c’est le joueur qui gagne.

LA

quand la carte en jeu y est 3 fois

— N pour le banquier quand

3 lil ne refte que 3 cartes car ila
perdu

3 ——— N quand vient un des 3

FAITES 291 MB QT EN

— N quand vient l’autre

_ carte

I

4

: N quand il refte 4 cartes

3—-N -3N

ti eft

van REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK,. APPENDICE VIH, 1679.

167

#

22

11.12

12

88

TRE à

LE 6: 121
2 10 928 54 88 136

avantage du Banquier quand la carte
y eft 3 fois

r nombre pair des cartes reftantes

3, _6
2

qu.r—2—r
quand il ne refte que 4 cartes l'avan-

| ‘rage eft À N.

quand À carte y eft 3 fois. r bdiibre
impair

3r—3
47 defavantage du Bang.
| 2 [la carte 4 fois] |
4-——N 4 —— N
SA à HAE Es
23 , I4N
5\ 39
AT dust À ms NN
ML ee + His: 088
roi 4 dt 9:
8 ELITE
…. M 280 | 35
| TN, dt 4 N
ARE ent EN
| Ur o|15| 5
EN Gelale

168 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VIH. 1079.

_49, 19.25, 28, ç_ 29 RL TRES à

23F2:09%€ 343 143" 195° O8 255 323! a
"40 #5
fre Er 399 L— IR 18e 1 à EA Aer La F
af Es
qu. #12 — 1 n |

FTÉE. E "1 =
qu.r—2—10077—47+3

Soit r le nombre pair des cartes qui reftent, et que la carte en jeu y foit4 |
fois. alors l’avantage du Banquier eft cette fraétion de N, c’eft a dire da cequi
a eftè mis fur la carte en jeu *). ss |

1) En résumé Huygens a donc trouvé dans les quatre cas différents pour les tes

37 6

è : 1 I 2 2r—5 :
banquier, respectivement: -N,—— N, ss Er N, CT) N.Or, pe” vraie |

cité de Sauveur (voir la note 3 de la p. # 5) celui-ci-donne (sans démonstration) bour: ces.

mêmes avantages, si on les exprime dans la notation de Huygens: N, PR + NN,
2r—5 à
PME. LORS
On voit donc facilement que les résultats de Huygens et de Sauveur sont identiqn es; mais

la forme sous laquelle Huygens présente le troisième résultat nous semble indiq r que

l’article de Sauveur lui était inconnu lorsqu'il composa la présente Pièce. |
D'ailleurs Sauveur donne encore d’autres résultats qui se rapportent aux règles plus com-
pliquées qu’il expose dans son article. Parmi ces règles il y a celle de /a face, qu'il explique
comme il suit: ,, Cependant parce que Pavantage du Banquier seroit trop grand, on Pa diminué
en faisant que lorsqu'il gagne à la première main dans laquelle il peut gagner une é
verte, il face pour lors, c’est à dire qu’il ne prend que les deux tiers A ce quia
sur cette carte, de sorte qu'il y perd un tiers”. ë vo Ve EM Mn ve
C’est évidemment à propos de cette règle que Hadisiés # RER 5 à que nous è
avons reproduites dans la note 1 de la p. 164. Nous y trouvons une preuve de plus que
Huygens ne connaissait pas encore l’article de Sauveur, où les questions qu'il bass
résolues assez clairement. je

APPENDICE IX
_ AU TRAITÉ ,,VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK”.

; [1688 ] ”)

$1:).

A, B, C fpelen piquet fettende ieder een ducaet. Altijdt fpeelen er twee van
de drie en die verlieft fet noch een ducaet in. En die beijde de fpeeldersachtereen
afwint, ftrijckt alles foo dat de laetft verliefende oock noch een ducaet

de quefie is hoe veel A wint , als hij voor eerft zich vrij werpt.
aie. 5h sise on: Yi

af qu

Traduction :
‘: A,B, C jouent au piquet mettant chacun un ducat. Ce font toujours deux des trois
qui jouent. Celui qui perd met de nouveau un ducat. Et celui qui fait perdre fes deux
_ adverfaires confécutivement prend tout, de forte que celui qui perd la dernière fois
_ doit auffi donner encore un ducat. On demande combien eft l'avantage de A, s’il a
jeté de manière à refter libre pendant la première partie.

: 1) Cet Appendice, emprunté aux pp. 176 et 322—324 du Manuscrit F, contient les recherches
__ de Huygens à propos du problème énoncé à cette page-ci et de deux autres problèmes
_ aalogues. Nous l’avons divisé en paragraphes. La
2) D'après le lieu occupé dans le manuscrit F le $ 1 devrait dater de 1683 et les autres para-
- graphes de 1688, mais nous ne pouvons pas admettre qu’il y aurait un intervalle de cinq
années entre ces deux tentatives pour parvenir à la solution d’un même problème. Nous
croyons plutôt que le $ 1 fut écrit dans la même année que les autres $$ sur une page restée
| videen 1683 ris ol of
: 3)Ce paragraphe nous fait conraître la première tentative de Huygens de résoudre le problème

en question.
22

170 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IX. 1688.

A B C :
1 I

X —-X ——X
2 2

A,B,C ieder een duc. in.

A vri als 3 d. in ftaen. valeat fijn winft x.

À dan fal tegens een der twee andere fpelen, met gelijcke kans om tegen hem
te verliefen en de 5e ducaet in te fetten *), of te winnen en gelijcke kans te heb-
ben tegen den laetften fpelende tot 3 aucuen te winnen, of om felfs de vijfde
ducaet *) in te fetten.

À ingefet 2 duc. van de 5 en B, C, moeren fpelen. i it — D.

een kans tot —b 3 —b Le 4 LEE
en kans tot | 3 we 4 D ans ;
| of—és) (LR88àr .
B fpelende tegen C als 3 inftaen, valet —" x.
| supiq vofot Yo
Traduétion; trot FE ab coott 20 Hsilosv sil Pi ah 5

Que les avañtages de A, B, C foient rebedivements = X,— ts ——%, “Cine pen ci

ducat à l'enjeu. A eff libre lorfque l’enjeu eft de 3 ducats. Soit x fon avantage.
À jouera alors contre l’un des deux autres joueurs avec une chance égale de perdre e
et de mettre le sme ducat *) ou de gagner et d’avoir une chance égale, en jouant
contre le dernier des joueurs, de gagner 3 ducats ou de devoir mettre lui-même Je
cinquième ducat ?). hoteubet
À ayant mis 2 ducats des 5 Bee doivent ; jouer. Soit —Z fon avantage. Een
NES j te À ee

une chance à — } 3—bD pre Foi ! mp Fee 57 1340 ip
duc. #4; a OI ue vinhies erNÉMOR
une chance à |" } sjer d 4 Lee min és sich

É di dir rEn

B jouant contre C quand la mife eft de 3 ducats, cela vaut—"#.

1) Il semble que d’après les règles formulées au début A cette e Pièce le j 1 Fm ei
En effet, À ayant perdu contre le gagnant de la première partie, celui-ci a fait perdre consécu-
tivement ses deux adversaires. Toutefois Huygens suppose dans l’alinéa qui suit que dans
ces circonstances le jeu se continue. Ajoutons que nous ne savons pas séudreJeete
dictions que nous signalons dans cette note-ci et dans les deux suivantes 4:42 51240)

?) Ce serait, en vérité, le sixième ducat. Fe

3) À ayant gagné la deuxième partie et perdu la troisième Cia prani dns tes été jouée par à TER
et C) la mise totale sera montée à 6 ducats. L'avantage de À ne peut donc pas ‘me ae
par — b.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IX, 1688. 171

of 2 van de 4 in te fetten als hÿ verliest, quod valeat—c
ais | fl 3 te winnen als hij van A oock wint,
7. [ favandesin te fetten dat is —»
C

—2 foo C oock van À wint
2 van de 5 te hebben ingefet en te moeten fpelen dés A gti valeat —4

—

3 van 6 te hebben ingefet en niet te fpelen
[2 van 6 Mgr en moeten fpelen tegen C. quod fit —e

{+ 5
3 van 7 ingefet en niet te fpelen

Soude op een progreflie uytkomen.

Emission: :.

| ou De ou de mettre 2 des 4 s’il perd, ce qui vaille —c
Pal de gagner 3 s’il gagne aufli de À

|de mettre 2 des 5, c’eft —2

—C

—b—0c I
par conféquent — {x 2 32 DT + pe
tax me F 10 ie à À : 2

‘NEC Ho) n sb 5 a:
LE Fibds map; cm2 5h

aa _ [—2 fi C gagne aufñfi de A
€ avoir mis 2 des 5 et de devoir jouer contre À, ce qui vaille —4

{d’avoir mis 3 des 6 et de ne pas jouer
[d'avoir n mis 2 des 6 ct de deyolnj jones contre ak. ce qui foit —e
+ ê 6h HD n° Fa ,
{+5 ré
d’a avoir mis 3 des 7 et de ne pas jouer.

RARE LE

Cela mènerait à une progreflion.

—e,

172 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IX. 1688.

$2°).

A, B, C fpelende fetten ieder.een ducact in. À fpeelt cerft es en die
van beijde wint, fpeelt tegens C. en C winnende fpeelt weer tegen de derde,
tot dat iemandt 2 mael achtereen wint, welcke dan het ingefetté ftrickt. en daer
en boven de ducaet die ieder die een (pel verlieft noch bij moet fetten, te weten
r ducaet voor ieder verloren fpel. tot de laetft verliefende inclus. Vraëghe naer
de waerde haerder kanffen *). .

De kans van A fijz. VanBfijy. Van C fij x. Den ducaet fij 4

Soo À van B wint foo moet hij met C fpelen, en B noch een ducaet infetten. laet
die kans alfdan van A fijn p. maer {oo A tegen B verlieft foo fij de kans van À 504.
Soo heeft dan in ’teerfte À een kans tot p en een kans tot g dat is +9 2

p is een kans tot 54 te weten foo À van B en C achtereen wint mA daer
fin eerft 34 ingefet en noch 14 door B ingefet, en C verliefende moet Rare aan
A 14geven. at

en een kans tot 3) | s ART ET :

Traduétion :
6 2 *).

ÀA,B,Cqu jouent mettent chacun un ducat. À joue d’abord contre B et celui des
deux qui gagne joue contre C, Et fi C gagne il joue de nouveau contre le troifième,
jufqu’à ce que quelqu'un gagne 2 fois confécutivement, lequel prend alors l'enjeu
et en outre le ducat que chacun qui perd une partie Hdi ajouter encore à l'enjeu, à
favoir un ducat pour chaque partie que l’on perd, inclufivement célui qui perd la
dernière partie. On demande la valeur de leurs chances *).

Que la chance de A foitz; celle de B y; celle de C x. Le ducat foit repréfenté par 4.
Si À gagne de B il doit jouer avec C, et B doit ajouter un ducat à l'enjeu. Que la
chance de A foit alors p, mais fi À perd contre B que la chance de A foit 20 g.
D+49 ? q.

I1 s’enfuit que A a d’abord une chance à p et une à g;. cela vaut ——

p eft une chance à 5d, à favoir fi À gagne confécutivement . Bet de Ç€ car:
il a été mis d’abord 34et encore 14 mis par B et fi C perd ül doit encore donner 14 à A,
et une chance à ?) |

k
BRE
.

7) Ce paragraphe nous fait voir comment Huygens a attaqué de nouveau le € problème du ç1 I
sans réussir , cette fois encore, à le résoudre.

?) On voit que ce problème ne diffère pas essentiellement de celui du Ç 1. |

3) Huygens n’achève pas la phrase. Il préfère recommencer sa tentative d'une façon un nee
différente. 8

ce
Fe

Ladies Ghit
+ RU

VAN REKENINGH'IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE 1X. 1688. 173

So À ”t eerite fpel verlieft let fijn kans weerdt fin p.

Soo À ”t eerfte fpel wint laet fijn kans weerd fijn 4.

Soo À ‘t eerfte en rweede fpel wint foo heeft hi 54.
:? Soo À ’reerfte wint en het rweede verlieft , laet fijn kans weerdt fijn r.
. ;maer f het eerfte gewonnen hebbende, heeft, 1 kans tot 5d,en 1 kans tot r.
Soo is Sr D 4.

À beginnende te fpelen heeft 1 kans tot pen 1 kans tot 4 foo is dan fijn kans
van eerften aen weerdt? 9 su

Soo is de kans van C van eerften aen waerdt 34— b—g, of À of Bt eerite
wint foo heeft C defelfde kans. te weten 1 kans om van A of B te winnen , wan-
ncer de waerde van de kans van C fij s. ende 1 kans om regen À of B te verliefen

dat is om te hebben o— 7, want C moet dan noch 14 geven.
Nu s is een kans om te hebben 64 of om #)

$ 3 5).

Eerst genomen dat niet meer als de eerfte 3 ducaten werdt ingefer.

?

+ Traduétion:

Si À perd la première partie , que fa chance vaille p.

Si À gagne la première partie, que fa chance vaille 4.
ST A gagne la première et la deuxième partie il a 54 * | |

Si À gagne la première et perd la deuxième partie, que fa chance vaille r..….. .
mais À ayant gagné la première,-partie a 1 chance à 54, et 1 chance à r; donc

d+r
# Quand À commence à jouer il a 1 chance à p et 1 chance à 9, par fuite fa chance
vaut au début ? 7.

La chance de C vaut donc au début 37—p — g. Que ce foit A ou B qui gagne la
première partie, la chance de C eft la même, à favoir 1 chance de gagner dé À où B,
auquel cas fa chance vaille s, et 1 chance de perdre contre À ou B, c’eft-à-dire
d’avoir o— 4, car C doit alors donner encore 14.

Or, s vaut une chance d’avoir 67 où de #).:

$ 3°).

Suppofons d’abord qu’on ne met rien que les gipreniers ducats.
PTT ME TE ES LUE RS LME 2 lotto®n YUSGIRV ST HOMTSI TIMOR CEE" rot :

+) Huygens suspend de nouveau sa tentative pour la reprendre plus loin (au $4). Il se propose

de résoudre d’abord (comme pour se faire la main.) un problème analogue, mais bien plus
_ facile; voir le $ 3 qui suit.

S) Dans ce paragraphe Huygens parvient à résoudre le problème plus facile qu’il s’est proposé.

174 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IX: 1688.

A en B fpelende laet de kans van € waerdt fijn x; foo is die van A of B

d—x ve Eétrl.95
waerdt 3 te

als À wint van B {oo heeft C een kans tot o te weten, Héte fende. cegen A. en
een kans tot y dat is 90 = L ftellende y voor de waerde van de! kans van (og als hÿ

tegen À gewonnen hebbende moet fpelen tegen B.
foo is y gelijck 1 kans tot 39 winnende C tegen Ben 1 kans tot 2 C tegen B ver-

liefende. Ergoy > eee ftellende z voor de waerde van de kans van C in
dit geval. DCR e
als À wint tegen B, foo heeft A 1 kans tot 34 winnende At teen! C en I kans tot

z verliefende A tegen C, dat is es ; als À wint tegen B foai is oock. B in kans

z waerdt *).

- Traduction :

Lorfque A et B jouent la chance de C vaille x, alors celle de A ou B'vaut ei
Si À gagne de B, C a une chance à o, à favoir quand il perd contre À, et une à fee
qui vaut 5 , fi nous appelons y la valeur de la chance de sd tn 4 us contre

À et qu’il doit jouer contre B. "84 q.Al st: À 1e
Par fuite y équivaut à 1 chance à 39, fi C gagne contre Bet1 si xz + fi d perd
342 __

contre B. On a donc y 2% appelant z la valeur de la chance de C dans ce cas. :

Si À gagne contre B, Aa 1 nine à 34, lorfque A gagne contre C, et 1 chance à 2,
3 ne
à : |

lorfque À perd contre C; ce qui vaut =— A aisé ges la chance de B vaut
Vi 080 CE 4
‘ion, ré 6. silo Y'Ety

:
NOTE

également 4e

S \ TENTE

*) Puisque B se trouve alors exactement dans la même position où était. C LoRquisat éteinbitur À
posée égale à 2.

2) C'est-à-dire s’il gagne.

3) C’est-à-dire au début du jeu. | tou: ‘up brods'b actoconé

+) Les chances des trois joueurs À, us. à d'obtenis l'enjeu 3d valent ds respectivement au mp

mencement du jeu: 59) 14 et 4, et leurs avantages ou désavantages Çau’ on. trouve …

ôtant de la valeur de ces chances la mise 7): —. < re et ? Le problème est donc résolu.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE 1x. 1688. 175

1
ru

a Ergo À winnende tegens B foo fijn haer drijen kanffen | + es 2) 20 34

+2
y4+3d+ 3x 0 6d; y+32 00 3d; y x 3d— 3x fedy = hoc ergo 5 34— 32
34+2 0 6d—62. Ergo 54 D Z.

A tegen B fpelende heeft 1 kans tot y want sé dan tegen C moet fpelen *) en
rs, 3d— x
2 2

1 kans tot z, dat is want dat was de kans van A 5).

32 3d—x—2 00 3d— 32; x 00 22; fed x 20 Ÿa. Ergo a 20 94)

y is de waerde der kans van die d’eene gewonnen hebbende tegen den anderen
moet fpelen.

z is de waerde der kans van die tegen d’een gewonnen hebbende, tegens den
_anderen verlieft.

IN

»

| Traduction: -
Rene ee À +. : Ée
Si donc A gagne contre B les chances des trois joueurs feront LE 4 de 00 34°
ALT 4 7
He

+ si+s Ra 20 6 y 32 00 3d3 y 20 3d— 3z mais y 20 A ——cequi eft dore Sn 3d—32.

34 + 3 50 6d—6z. Par conféquent ÿd 202.

Ha jouant contre eBa a une chance à y puisqu'il doit jouer # contre C ?) et 1 chance

n 8; ce qui vaut es F 2 die , car telle était la chance de A 3).

y 20 3d—x zx D Lu 3Z3 X 90 2 Mais z 90 ad Donc s 20544).
FAURE dt la valeur de la chance de celui qui és LAS contre Fun des joueurs doit

| jouer contre l’autre.
1 8 z eft la valeur de la chance de celui qui ayant nn contre l’un Li contre l’autre.

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE IX. 1688.

176

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177

VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK, APPENDICE IX. 1688

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= TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE
#0 1655 À 1659. |

= PROBLÈMES ET THÉORÈMES D’ARITHMÉTIQUE, DE STÉRÉOMÉTRIE
ET DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. ÉQUATION DE PELL.
| RECTIFICATION DE LA PARABOLE ET QUADRATURES DES SURFACES
co URBES DES CONOÏDES PARABOLIQUE , ELLIPTIQUE ET HYPERBOLIQUE.
DIVERSES. QUADRATURES. Cuarures DES SOLIDES DE

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Avertifflement.

Aperçu général des travaux mathématiques de 1655 à 1659.

Les années 1655— 1659 ont été fertiles, pour Huygens, en recherches mathé-
matiques de genres très différents. Parmi les travaux qui datent de cette période
on en trouve qui fe rapportent à la théorie des nombres et furtout à l’équation dite
de Pell *); d’autres contiennent la re&tification de la parabole et la quadrature des
furfaces courbes des conoïdes parabolique, elliptique et hyperbolique ?), ou la
difcuflion d’un certain nombre de courbes diverfes, de leur quadrature, de la
cubature de leurs furfaces de révolution et de divers centres de gravité qui fe
préfentent dans leur étude 3); d’autres encore traitent, à l’occafion des pro-
blèmes fur la cycloïde propofés par Pafcal, des propriétés de cette courbe #) et
d’une application cyclométrique de l’une de ces propriétés 5). Il y en a de très

4) Voir la Pièce N°. III (p. 212—224) avec les Appendices I (p.225—288) et II (p. 229).

?) Voir les Pièces N°. VI (p.234—270) et N°. X (p. 314—346).

3) Voir la Pièce N°. VIII (p.273 —282) qui traite des paraboles et hyperboles de divers ordres,
représentées par les équations y°—#x? et x*y? — #, avec les Appendices I (p.283—287)et il
(p.288—293); la Pièce N°.1X (p.294—313) qui traite de la conchoïde, de la cissoïde, du
folium de Descartes et de quelques autres courbes moins célèbres , et enfin la Pièce N°. XVI
qui se rapporte à la quadratice de Dinostrate (p. 407).

4) Voir la Pièce N°. XI (p. 347—376) avec l’Appendice (p. 377—378).

5) Voir la Pièce N°. XIII (p. 381—383).

184 AVERTISSEMENT.

importants qui expofent et appliquent la théorie des développées et des courbes
parallèles *) et d’autres plus élémentaires qui donnent la folution d’un problème,
ou bien la démonftration d’un théorème, d’arithmétique ?), de planimétrie 3),
de ftéréométrie #) ou de géométrie analytique 5).

[1 ne femble pas néceffaire d’analyfer ici toutes ces Pièces. Nous nous borne-
rons donc à parler des principales. D’ailleurs pour les autres les notes que nous
y avons ajoutées fuffiront pour en faire connaître la genèfe et la portée.

Difons encore que beaucoup des réfultats les plus importants trouvés par
Huygens pendant l’époque qui nous occupe ont été publiés par lui dans fon
»Horologium ofcillatorium”” de 1673; mais fans démonftrations et fans faire con-
naître aucunement la manière dont ils furent obtenus. Or, les Pièces qui fuivent
fourniflent les démonftrations qui manquent dans cet ouvrage, et jettent une vive
lumière fur les méthodes employées par Huygens pour découvrir les réfultats
qu’il y énonce.

Recherches fur la théorie des nombres. Équation dite ,
de Peil

Huygens n’a été que rarement fous l’influence du charme que la théorie des
nombres a exercé fur tant de mathématiciens célèbres. On peut même dire que
s’il s’eft occupé quelquefois de cette théorie, c'était un peu malgré lui.

Ainfi, en mai 1656, Huygens écrit à Mylon &), qui lui fait parvenir deux pro-
blèmes de Fermat fur les nombres, que ces problèmes ,, font tout a fait beaux dans
le gendre, et mal aifez à refoudre,” qu’,,au moins ils me femblent tels a nog qn

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:

1) Voirla Pièce N°. XV (p. 387—405) et l’Appendice CP: 406).

?) Voir la Pièce N°.XIV (p. 384—386),où Huygens s’occupe d’un problème d'arithmétique
publié par Eversdyck.

3) Voir dansla Pièce N°. I (p. 208—209) la solution d’un problème élémentaire sur le triangle,
proposé par Johan de Witt; dans la Pièce N°. VII (p.271—272) celle d’un cas particulier,
proposé par Pascal, du eroblème de décrire un cercle qui coupe trois cercles donnés sous des
angles donnés; enfin dans la Pièce N°, V Cp. 232—233) une démonstration du théorème de
Pythagore qui “diffère de toutes les démonstrations connues en 1914, date où elle fut publiée
dans l’ouvrage cité dans la note 1 de la p. 232.

4) Voir la Pièce N°. XII (p. 379—380), où Huygens donne la démonstration d’un théorème
de Wallis sur le volume d’un tronc de pyramide ou de cône.

5) Voir la Pièce N°.II (p.210—211) qui traite du problème de Pappus pour notes lignes,

et la Pièce N°. IV (p.230—231) de nature très élémentaire, qui analyse l'équation carté-
sienne de la ligne droite et du cercle.

AVERTISSEMENT. 185

ne me fuis gueres exercè dans les queftions des nombres, parce que j'ay toujours
pris plus de plaifir à celles de Geometrie. Toutefois j'effayeray encore fi j'en puis
devenir maïftre”. Deux années plus tard , en feptembre 1658, il s'exprime bien
plus fortement dans une lettre x Wallis en difant qu’il ne comprend pas qu’on
s'occupe avec tant d’animation de ces fortes de problèmes auxquels on ne devrait
confacrer ,,fes bonnes heures” que lorf. que les queftions importantes comme on en
trouve tant dans la géométrie viendraient à manquer 7), Et Huygens a perfévéré
_ longtemps dans cette attitude #). C’eft feulement vers la fin de fa vie qu’il com-
munique à Leibniz un jugement plus favorable lorfqu'il lui écrit»): ,,Dans la
recherche des nombres, le plus utile feroit de s’arrefter aux Theoremes dont il y
en a des beaux et qui peuvent fervir dans des rencontres”. :

Quel eft donc le motif qui a pouffé Huygens en 1657 et 1658 à s'occuper plus
activement de problèmes fur les nombres? Il nous le révèle dans une de fes
lettres *°), où l’on lit: ,, Je n’adjoufteray rien touchant le traitè de Monfieur
Frenicle **) fi non que je fuis marry de n’avoir pas fceu, auparavant que de veoir
la folution de ces problemes, que Monfieur de Fermat la jugeoit de telle impor-
tance. Car encore que je ne me fois jamais guere appliquè aux queftions purement
arithmetiques je n’aurais pas laiffè d'entreprendre celles cy, afin de meriter s’il
m'euft eftè poflible l’eftime de ce grand homme” :*).

5) Voir la p. 426 du T. I.
7) ,Nesciveram equidem de Problematisillis Arithmeticis tantis animis inter vos decertari. Quin
- imo idem de ijs sentiebam quod te quoque sæpius expressisse video , non debere bonas horas
talibus impendi nisi cum potiora deessent , quæ sane in geometricis oferuntur plurima’”
_ (p.211 du T. IN).
#) Voir encore une lettre du 31 août 1662 où on lit (p.215 du T. IV). ,,Les questions que vous
_ m'avez envoiees ne meritent pas qu’on s’y amuse n’estant aucunement belles ny utiles a rien.
cela vient de quelque arithmeticien et non pas d’un Geometre”. Il est vrai que les questions,
qu’on trouve à la p. 211 du T. IV , n’avaient pas beaucoup d'importance.
9) Voir la lettre du 16 novembre 1691, p. 190 du T. X.
1°) Voir la lettre du 7 mars 1658, p. 146 du T. II.
1) Il s’agit d’un petit traité de Frenicle, mentionné plusieurs fois dans le »Commercium episto-
licum”” de Wallis (voir les pp. 802, 807, 821 et 832 du ,, Volumen alterum”, cité dans la
note 10, p.9 du présent Tome) et qui semble perdu. D’après Cantor, p. 784 du T. Il des
»Vorlesungen über Geschichte der Mathematik”, édition de 1900, il fut imprimé à Paris en
1657 et portait le titre ,Solutio duorum problematum circa numeros cubos et quadratos quæ
tanquam insolubilia Universis Europæ Mathematicis a ciarissimo viro D. Fermat sunt pro-
posita et a D. B[ernard] F{renicle] D[e] B[essy] inventa”. L
1?) On trouve un jugement plus réservé de Huygens sur Fermat dans une lettre du 4 octo à
1658 à Van Schooten (p.235 du T.II) où Huygens s’associe à l'opinion exprimée sur lu
_par van Schooten et Descartes (voir les p. 221—222 du T. II).

24

186 AVERTISSEMENT.

Ajoutons qu’une fois lancé dans cette voie, qui n’était pas de celles qu’il préfé-
rait fuivre mais où fes relations avec les géomètres français de fon époque
l’avaient pouffé, il n’a pas manqué de faire des remarques ingénieufes fur
l'équation de Pell, d'inventer un bel algorithme pour trouver le réfidu de la
divifion d’un grand nombre p.e. par le nombre 7 *) et d’indiquer de nouveaux
caraétères pour reconnaître fi un nombre donné eft un non-carré ?).

Déjà en 1646 le père Merfenne tâcha, mais avec peu de fuccès, d’intéreffer
le jeune Huygens, âgé alors de dix-fept ans, aux problèmes fur les nombres 3).

En 1656, après fon premier féjour à Paris 4), l'influence des mathématiciens
français commence à fe faire fentir. Il croit être agréable à Mylon en lui man-
dant 5) que van Schooten lui a ,monitrè une reigle de Monfieur des Cartes $)
pour trouver des nombres qu’on appelle amicabiles”. Il s’eft lui-même appliqué
à cette recherche et il veut favoir fi Mylon a quelque règle femblable 7).

Nous ne favons pas quels étaient ces deux problèmes de Fermat envoyés enmai
1656 dont il fut queftion plus haut *). Ce ne fut qu'en mars de l'année fuivante

Du

1) Voir les p. 218—224 et comparez la méthode de Pascal décrite dans la note 1 de la p. 220.

?) Voir les pp. 217,218, 220—223 et 229.

3) Voir les lettres de Mersenne de septembre 1646 (p. 19—20 du T. I), du 8 décembre 1646
(p.46—47) et du 8 janvier 1647 (p.53—54 du même Tome) et la réponse de Huygens
à l’une d'elles du 23 décembre 1646 (p. 557—558 du T.II). On trouve les premières
recherches, peu importantes, de Huygens sur des questions de nombres aux pp. 9, 45 et
259—260 du T. XI. Elles datent de 1646 et de 1650.

4) Voir sur ce séjour les p. 3—4 du présent Tome.

$) Voir sa lettre du 15 mars 1656, p. 391 du T.I.

5) On trouve cette règle aux p. 423—424 de l'ouvrage de van Schooten méntionné à la p. s du
présent Tome.

7) Voyez la réponse de Mylon et la règle qui raté aux pp. 400 et 405—406 du T. I
et consultez encore la p. 438 du même Tome. Ajoutons que les deux règles ne diffèrent pas
essentiellement puisqu'on a (3.2°—1) (6. spi + (3.2%—1) + (6. 2"—1) [Frenicle] =
= 18.22#—71 [Descartes].

#) Voir le dernier alinéa de la p. 184. Il serait intéressant de connaître ces problèmes. Huygens
écrit encore à leur propos à de Carcavy (p. 428 du T. [) qu'ils ,sont de bien difficile
recherche” et qu’il douterait ,,presque s’il y auroit moyen de trouver d’autres tels nombres
autrement que par hazard, si l’on ne m’asseuroit que Monsieur de Fermat en a des regles
certaines, lesquelles je croy pourtant estre de cette sorte, qu’il faille premierement chercher

AVERTISSEMENT, 187

que Huygens reçut le célèbre problème qui a occupé tant de mathématiciens Le
favoir celui de trouver des nombres entiers fatif faifant à l'équation 4° + 1 —?,
où 4 eft un nombre entier donné; équation à laquelle on a aflocié bien à tort le
nom de Pell :°).

Voici les réfulcats obtenus par Huygens dans fes recherches fur cette équation:
1°. il montra que chaque folution de l’une des équations 44° — 1 = y°; au —
—2—9%*; au? + 2 —y* en amène une autre de l'équation en queftion **);
2° il remarqua qu’il en eft de même pour chaque folution d’une équation 44° +
+ k—Y?, pourvu que # fatiffaffe à une certaine condition **); 3°. il indiqua
une folution dans les cas particuliers où 4 = p° + 1 , ou p° + 2 *#); 4°. ilmontra
qu'ayant trouvé une folution quelconque de l’équation de Pell on en peut déduire
une infinité d’autres 4).

On voit donc, qu’excepté dans les cas particuliers prémentionnés, Huygens
n’avait d’autre moyen, pour trouver une folution d’une équation de Pell donnée,
que d’effayer diverfes valeurs de # l’une après l’autre afin d’examiner fi elles fatis-
faifaient à l’équation de Pell elle-même ou à l’une des équations auxiliaires. Il eft
vrai que, dans cette befogne, les caractères qu’il avait trouvés *) pour recon-
naître très vite dans un grand nombre de cas qu’un nombre donné eft un non-
-carré, lui pouvaient être utiles; mais cela n’empéchait pas que fa méthode ne fût
très laborieufe et ne püût pas fervir dans les cas fréquents **) où la plus petite

quelque nombre a l’avanture, comme dans les reigles qu'on a donnè pour les nombres par-
faits et amicables.”
Ou bien étaient-ce après tout les deux problèmes du premier défi de Fermat aux mathéma-
ticiens du 3 janvier 1657? Voir les p. 12—13 de notre T.IT, ou les p. 332—333 du T. II des
»Œuvres de Fermat”, citées dans la note 1 de la p. 3 du présent Tome.

9) Comparez la note 5 de la p. 213.

1) Voir p. e. la p. 777 de l'ouvrage de Cantor cité dans la note 9 de la p. 21.

1) Voir les pp.2146t215..

12) On doit prendre pour cette condition que k soit un facteur de 2wr (et non de 2° comme

Huygens l'indique). En effet, soient v, et », des nombres entiers qui satisfont à l'équation

2u,v
au? + k = y?, il sera satisfait à l'équation au° +1 = y® par les valeurs # — me) A y =
2 3
= F1. Comparez la note 1 de la p.214.

13) Voir la p.215.

14) Voir la p. 215—216.

13) Comparez la note 2.

16) Comparez la table de Frenicle aux p. 30—32 du T.II.

188 AVERTISSEMENT.

folution eftun nombre aflez grand. Sans doute Fermat et Frenicle poffédaient des
méthodes plus puiffantes, mais ils ont eu le tort de ne pas les faire connaître *).

Or, ayant reçu, en feptembre 1658, le ,,Commercium epiftolicum” de
Wallis *), Huygens y trouva une méthode due à Brounker qui conduit au but
avec füreté, même dans les cas les plus compliqués, comme p. e. dans celui de
a = 109, où la plus petite folution égale 15140424455100 3).

Quoique cette méthode foit encore loin de l’élégance et de la perfection
obtenues plus tard dans cette matière par les mathématiciens modernes 4), on
comprend que Huygens, après en avoir éprouvé l'efficacité, ne manqua pas de
témoigner à Wallis de fon admiration pour cette invention, tout en y appor-
tant, bien à raifon, cette reftriétion: qu’il n’en refulte pas, comme Wallis le pré-
rendait, que chaque équation de Pell doit admettre une folution ?).

Rectification de la parabole et quadrature des furfaces des
conoïdes parabolique, elliptique et hyperbolique. É..

Les problèmes de la re@ification de la parabole et de la quadrature de la fur:
face du conoïde parabolique étaient préfents dans les efprits des mathématiciens
au temps où Huygens commença fa carrière fcientifique. 53

En 1646 déjà, lorfqu’il était âgé de 17 ans, il rencontra dans les ,,Cogitata
phyfico-mathematica” de Merfenne 5) une faufle quadrature de la furface du
conoïde parabolique °).

De même, en 1656, Huygens reconnut la fauffeté de la reétification de la para-
bole, propofée par Hobbes 7).

1) Fermat n’a donné sur sa méthode qu’une indication vague qu’on trouve à la p. 460 du F.
Quant à Frenicle, Wallis nous dit expressément (p. 832 du ,, Volumenalterum”?, cité dans la
note 10 de la p. 9) que dans le traité mentionné dans la note 11 de la p.185, Freniclene
révéla pas sa méthode , quoiqu’on y trouvât Cvoir la P- 821 du ,, Volumen alterum””) la table
citée dans la note précédente qu'il È prolongea jusqu’au pombee 150.

?) Voir la p. 211 du T. II.

3) Voir sur cette méthode les p. 227—298.

4) Voir p. e. les p. 600—602 du T.I de l’,Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften
mit Einschluss ihrer Anwendungen, Leipzig, Teubner, 1900— 1904”. |

5) Voir la p. 99 de l'ouvrage de 1644, cité dans ia note 2 dela p. 24 du T. I.

5) Voir la minute d’une lettre à Mersenne, p. 34 du T. I.

7) Consultez les pp. 392 et 440 du T. I.

AVERTISSEMENT. 189

- Ainfi l’on gti end 9 que, lois: le 27 oëtobre an il trouva la folutioi des
dbut problèmes pour autant qu’elle étaic poffible, favoir leur réduétion refpeétive-
ment à la quadrature de l’hyperbole et à celle du cercle, il fic fortir de fa plume
le fameux ,,eÜpyxz” #) dont il avaic coutume de marquer dans fes manufcrics les
endroits où il venait d’expofer une découverte i importante. Enfuite il fe mic à
rédiger à la mode archimédienne les démonitrations des théorèmes qu'il avait
trouvés ?) ; fans doute avec l’intention de les faire paraître dans un nouveau traité
géométrique du genre de ceux qu’il avait déjà publiés. Vers le même temps il
communiqua à de Slufe *°) er à van Schooten #*) les réfulrats de fa quadrature
de la furface du conoïde parabolique pour quelques cas particuliers, fans toutefois
leur faire connaître ni fa méthode, ni la folution du cas général. |
De la lettre qu’il avait reçue, van Schooten donna leéture à van Heuraet *).
Huygens nous affure ‘3), et il n’y a pas lieu d’en douter, que ce fut cetre
lecture qui infpira à van Heuraet fon article ,,De cranfmutatione curvarum
linéarum in reétas”” +), où , en trois pages, il expofe une méthode générale pour
réduire la reétification d’une courbe à la quadrature d’une autre et l’applique à la
rééification de 14 parabole cubique et à la réduétion de celle de la rer ordi-
naire à la quadrature de l’hyperbole.

. À la fuite de cette communication, van Heuraet fic bientôt parvenir à Huygens
fa folurion à lui du problème de la quadrature de la furface du conoïde parabo-
lique 5). Elle correfpond à celle de Huygens pour le fond, mais en diffère
beaucoup par la forme *). Or, Huygens avait obtenu fon réfuülrat d'une manière
” een moitié ge rique moitié géométrique, fe bafant fur une propriété

AS

0 ON 139: U LI 104.S lsniitnos SU ;

| 8) Voir les p. 2 ab du présent Tome et surtout Hé À # 1 de la a +34 où Le qu ét la daté
| découverte furent inscrits.

Dia «tp à dde Sluse du 2 avé 657 p. 8o dù T:H, où l'on lit:,Cirea sanibolns
ante paucos dies duobus novis, ut mihi quidem videntur ac preclaris inventis potitus sum,
quibus conscribendis summo studio nunc incumbo”. On trouve le résultat de ce travail aux
p. 237 —270 du présent Tome, gisaret tà Die

19) Voir sa lettre du 20 déc. 1657 , p. 104 du T. IL

11) Voir sa lettre du 28 déc. 1657, p. 112—113 du T. Il. des &t 9h

12) Voir la lettre de Van Schooten à Huygens du 4 février 1658, p. 1 égisi 30 o da F. IL

13) Voir la p. 72 de l'édition originale de l”,,Horologium oscillatorium"" :

14) L'article parut dans l'édition de 16 59 dela SRRAENENS Descartes par van Schooten ; voir
lesp.518—520. +5 rss 17

15) Voir la p.131 du T. IT.

16) Comparez la note 6 de la p. 265 et la note 5 de la p. 315:

190 AVERTISSEMENT.

de la fuite des nombres carrés impairs 1, 9, 25, etc., et, en fin de compte,
fur la cubature du conoïde hyperbolique obtenue déjà par Archimède ”». Il
n’était pas probable que van Heuraet eût fuivi la même voie. Il fallait donc qu’il
en exiftât une autre plus directe et Huygens ne tarda pas à la découvrir; en la
fuivant il retrouva le réfultat de van Heuraet dans la forme même dans laquelle
celui-ci l’avait énoncé *). De plus, il aperçut que la méthode qu’il venait de
trouver pouvait s'appliquer également à la quadrature des furfaces des conoïdes
hyperboliques et elliptiques. |
En effet, la nouvelle méthode apprenait à réduire la quadrature de la furface
de révolution engendrée par une courbe méridienne donnée à la quadrature d’une
courbe plane. Lorfque la première courbe était une parabole, la courbe adjointe
l’était également 3); lorfqu’elle était une hyperbole ou une ellipfe l’adjointe
était, dans le premier cas une hyperbole #), dans le fecond, felon les circonftances,
une hyperbole 5) ou une ellipfe °). Cela fignifiait qu’on pouvait réduire la déter-
mination du rayon d’un cercle dont l'aire eft égale à cellé de la furface-d’un
conoïde hyperbolique ou elliptique, ou bien à la quadrature de l’hyperboletet;
par conféquent, aufli à la reétification de la parabole , ou bien à la quadrature du
cercle. C’était là une invention importante qui valait la peine d’être pourfuivieren
détail. Et, en effet, Huygens réuflit bientôt à crouver des conftructions ‘très
élégantes pour le rayon de ce cercle d’aire égale 7): : 4 na: és notre
Évidemment ces nouvelles découvertes méritaient d’être inférées dans lé
traité que Huygens avait projeté. Mais une difficulté fe préfenta. Jufqu’ici,en
rédigeant fes ouvrages géométriques, Huygens avait roujours fuivi ferupuleufe- .
ment dans fes démonitrations la méthode des anciens de laquelle il donne, dans
une annotation de 1659 *), une analyfe, remarquable par fa généralité. Or,
pour appliquer cette méthode on devait circonfcrire aux grandeurs en queftion
(longueurs, aires ou volumes) d’autres qui ne les furpaffent que d’une quantité

1) Voir la note 4 de la p. 235 et la note 2 de la p. 236.

?) Voir la p. 314.

3) Voir le ÿ 1 de la pièce N.° X, p. 314.

4) Voirle 2,p. 315—316.

5) VoirleS 3, p.317—319:

5) Voir le$ 4, p. 320—324. Le cas intermédiaire est celui où la courbe méridienne est un
cercle auquel cas la courbe adjointe est formée par deux droîtes parallèles. :

7) Voir les pp. 319, 323 et 336.

8) Voir le premier alinéa de la p. 338.

iii Es EU LS RS

ME
| NÉ

AVERTISSEMENT. 191

Et rt pp,
o

aufli petite qu’on le veut, et on devait prouver rigoureufement qu’il en eft ainfi

en partant de postulats bien définis?) Par des artifices fouvent très ingénieux 1),
Huygens avait réuffi jufqu’ à préfent à fatisfaire à ces exigences, mais il pééveiqale
que pour les réfultats nouvellement obtenus cela demanderait un travail très
pénible et d’une valeur douteufe. Il fe décida donc à une forte de compromis **) ;
c’eft-à-dire il réfolut de fe férvir quelquefois des ,,indivifibles” :*), fe hubsiet
en ce cas à fournir non pas une démontitration rigoureufe, mais feulement ,,le fon-
dement d’une telle démontftration, de forte qu’apres l’avoir examiné ceux qui s’y
connaiffent ne fauraient douter de la poffibilité d’une démonftration rigoureufe”.
Toutefois il ne changera pas les parties qu’il a déjà rédigées ‘3), Elles pourront
»fervir de preuve et en quelque forte d'exemple pour montrer que les autres
parties auraient pu être arrangées de la même façon *#)”.

HIT Spve ss

9) Dans ses recherches sur les longueurs des lignes courbes et les aires des surfaces courbes,
b Huygens se sert constamment des postulats d’Archimède sur les courbes qui ont les mêmes
Se points terminaux , et les surfaces qui se terminent à un même contour. On trouve ces postu-
lats dans les notes 5 des pp. 237 et 255. Certes, les mathématiciens modernes n’acceptent pas
volontiers des postulats si compliqués. Ils les réduisent à de plus simples. Mais on n’en
admire pas moins ce qu’ Archimède et d’autres ont bâti sur ces fondements.
7°) Voir par exemple le ,,Lemme IL,” p. 247 où Huygens démontre que les segments successifs
. GHA, etc. de l'Hyperbole de la Fig.9 deviennent de plus en plus petits à mesure qu’on
_ s'éloigne du sommet A. FRE MENT |
+ M0) Voirie p: 337,
_1#) On peut consulter sur l’opinion de Huygens concernant la méthode des indivisibles de
J Cavalieri les pp. 131,561, 132et 133 du T.I.
13) Outre les p. 237—270, qui traitent de la rectification de la parabole et de la quadrature de
la surface du conoïde parabolique, Huygens avait probablement en vue les parties les plus
_ élaborées de la Pièce N°. VIIT et de ses deux Appendices (p. 273—293) qui traitent des
_ paraboles et des hyperboles de divers degrés.
1#) Voici, en entier, la traduction de l’annotation latine de la p. 337, d’où nous avons cité ces
_ passages: , Quelquefois par les indivisibles. Mais on se trompe, lorsqu’on veut faire passer
leur emploi pour une démonstration. D'ailleurs, pour convaincre ceux qui s’y connaissent il
revient presque au même de donner une démonstration formelle ou bien le fondement d’une
telle démonstration, de sorte, qu'après l’avoir examiné, ils ne sauraient douter de la possi-
_ bilité d’une démonstration rigoureuse. J'avoue, il est vrai, que c’est aussi à la façon de
donner à cette dernière une forme convenable afin qu’elle soit claire, élégante, et plus appro-
priée que toute autre, qu’on reconnaît la science et la sagacité de l’auteur, comme dans
toutes les œuvres d’Archimède. Néanmoins, ce qui vient en premier lieu , et ce qui importe
surtout, c'est la manière même dont l’invention a été obtenue. C’est cette connaissance qui
réjouit le plus et qu’on demande aux savants. Il semble donc préférable de suivre la méthode
” par laquelle elle est aperçue le plus vite et le plus clairement, et comme posée devant les
yeux. Nous nous épargnons ainsi du travail en écrivant, et les autres en lisant; il faut consi-

192 . AVERTISSEMENT,

Conformément à ces intentions Huygens rédigea la partie du traité projeté qui
fe rapporte à l’étude détaillée des courbes adjointes de la parabole, de l’hyperbole
et de l’ellipfe*). Enfuite il ceffa de s’en occuper; probablement parce que la
première ardeur de l'invention était paflfée et qu'il était attiré par d’autres
travaux *). Enfin, en 1673, il fe contenta de donner dans fon ,,Horologium ofcil-
latorium” 5» les principaux réfulrats qu’il avait obtenus, fans y joindre de
démonftrations; ce qu’il jugea alors d’autant moins néceffaire que Wallis avait
publié dans fes ,,Traétatus duo” de 1659, les quadratures de furfaces courbes de
conoïdes avec les déduétions 4).

Nous n’avons pas encore parlé de la deuxième Partie (p. 324—334) de la
Pièce N.° X; elle occupe une place à part dans les recherches de Huygens fur la
quadrature des furfaces des conoïdes hyperboliques et elliptiques.

Soit, afin d'en montrer la portée, 4, la hauteur, S, l'aire de la furface courbe
d’un conoïde elliptique découpé d’un fphéroïde aplati dont 24, eft le plus grand
axe et 2, le plus petit, qui eft l’axe de révolution; foit de plus 4, la hauteur d’un

dérer, en effet, que les savants finiront par ne plus trouver le temps de prendre connaissance
de la grande quantité des inventions des Géomètres (quantité qui va en croissant de jour en
jour et qui semble dans cet âge de science devoir prendre des développements immenses) si les
auteurs continuent à se servir de la méthode prolixe et rigoureuse des anciens.

Dans les parties précédentes, qui furent déjà rédigées autrefois, nous avons pourtant con-
servé cette méthode; elles peuvent servir de preuve et en quelque sorte d'exemple pour
montrer que les autres parties auraient pu être arrangées de la même façon”.

Il est intérressant de comparer cette annotation de Huygens à la préface du ,, Traité de la
Méthode” d’Archimède, découvert en 1906 par Heiberg; voir les p.426—431 du Vol. 2 de
l'ouvrage: , Archimedis Opera omnia iterum edidit J. L. Heïberg, 1910—1913, Lipsiæ,
Teubner.

!) Voir les p. 338 —346.

2) Dans la même année 1658 Huygens publia son ,, Horologium”” et prépara le ,,Systema Satur-
nium””. Comparez encore sa lettre à Kinner à Lôwenthurn du 30 octobre 1659 (p. 503 du
T. IL) et celle à Léopoldo de Medicis du 19 novembre 1667 (p.162 du T. VI).

3) Consultez les p. 73—79 de l'édition originale.

+) Voir l'ouvrage cité dans la note 3 de la p.518 du T. IL. On trouve les quadratures en
question aux pp.555—556 et 558—550 du ,, Volumen primum” des ,, Opera mathematica”
de Wallis, ,Oxoniæ, 1695. E Theatro Shellonla Remarquons que la méthode de
Wallis est beaucoup plus compliquée que celle des courbes adjoïntes, suivie par Hnyapns,
et que ses résultats sont formulés tout autrement que ceux de Huygens.

4

AVERTISSEMENT. x 193

conoïde hyperbolique, S, l’aire de fa furface courbe appartenant à un hyperbo-
loïde dont 24, eft l’axe réel et de révolution, et 2b, l’axe imaginaire.

:Pofons encore x, =, —h,; c2—=42-bh2; x, =4,+h,; c2=a2 + b2.
On a alors:

ans 408, er [er Sn ar mn br, Ge EIRE ET,

der © b? 1 biCci + &)
Sr are + le) One es)
RES LA LUE Pr ab,

- Si l'on prend la fomme S, + $S, de ces expreflions, il eft évident que dans cer-
tains cas les termes logarithmiques peuvent difparaître, de forte que l’expreflion
pourS, + S$, devient purement algébrique.

x

Or, dans la Partie qui nous occupe, Huy-
gens a réuffi à découvrir un de ces cas par
des raifonnements géométriques. Pour y
parvenir , il fuppofe en premier lieu que la
courbe méridienne LOTM 5) du fphéroïde
aplati, de révolution autour de OM, et
celle HGB du conoïde hyperbolique, de
révolution autour de TK, poflèdent la
même courbe adjointe RXT.

Dans nos notations cela conduit aux

relations:
2 2
Se 45 2 — i,
c: 16

et l’on remarquera que ces relations amè-

F : a,b2:. a2b
à nent l’égalité des coefficients red et D
+ } 1 2

| des termes logarithmiques dans les expreflions pour $, et S,..

Enfuite Huygens emploie une conftruétion que nous allons expliquer. Conti-

F

5) La figure à côté correspond à la Fig. 8, p.324, de Huygens; mais nous y avons ajouté la
ligne XT” et la ligne L’S'K'T" qui se termine au point T’ de l’hyperbole TR et qui coupe l'el-
_ lipse LL'OT au point K’.

35

194 AVERTISSEMENT.

dérons à cet effet le conoïde correfpondant
dE au fegment OL'K'O. Sa furface courbe eft
tas égale à l’efpace mixtiligne OXAT'S'O mul-
tiplié par 27. De même la furface courbe
du conoïde hyperbolique engendré par

0 SE HGBK eft égale à l’efpace KRXABK mul-
7 tiplié également par 27. Or, le premier de

# À, ces efpaces eft égal à un trapèze moins le
fegment hyperbolique XAT'X, et le fecond

EN à un trapèze plus le fegment RXAR. On

peut donc, lorque ces fegments font égaux,
conftruire avec la dt et le compas une

TAN à ligne p, telle que à eft égal à la fomme

des efpaces OXAT'S'O et KRXABK, et
cette ligne conftituera alors le rayon d’un
cercle dont l’aire eft égale à la fomme des aires des deux furfaces courbes
conoïdales.

Tout dépend ainfi de la conftruétion de la corde AR “+ à partant du point
donné A, découpe de l’hyperbole TT'AXR un fegment ARXA égal au fegment
donné T'AXT"; conftruétion que Huygens apprend à exécuter à la p. 327 :).

C’eft là en principe la découverte de Huygens; mais il refte à dire 1° qu’il fe
borne au cas du demi-fphéroïde LOTL, 2° qu’il remplace vers la fin ce demi-
-fphéroïde par un fphéroïde entier dont les axes font à ceux du demi-fphéroïde
comme 1 àp//2 *), 3° qu’il s’occupe furtout du cas prrpene où les points | X
et À de la préfente figure coïncident 3).

7) Voir le ,,Problema [” de la p. 327. La construction est basée sur une propriété remarquable
de l’hyperbole qui semble un peu oubliée aujourd’hui maïs qui était connue à Grégoire de
St. Vincent, comme cela résulte de la Prop. CXXIIL, p. 593 , de son , Opus geometricum?#
ouvrage cité dans la note 6, p.53 du T.I. Toutefois on cherchera vainement dans cet .
ouvrage la démonstration de cette propriété, sur laquelle on peut consulter la note 7 de la
P. 326.

?) Voir la Fig. 13 de la p. 330.

3) Ce cas est traité dans le $ 2 de la deuxième Partie de la Pièce N°. X (p. 329 —334). Dans ce
cas la construction se simplifie notablement.

#) Voir plus haut à la p. 193.

5) Voir les p. 76—77 de l'édition originale,

AVERTISSEMENT. 195

Ce cas exige BS — OX, c’eft-à-dire 4, = FL. Combinée avec 4, — “ et

F 45 :
avec 4, — =? +), cette relation nous donne:
#3 u} E

a+ b4 at as
2 D = __ 1. L = — ——
à H 4, +03; SO" td ne PT Tan 2
ch. 1 cï " 1
ou bien :
+ 4 LL
aibrc? + 05 = act,

ou enfin :

AE ee DU rues,

Dec cette derniere équation on déduit bi = a4 — 42b2; ce ce qui donne #? —
| ançuel + L/3)e2.
.LSi l’on écrit cette dernière équation fous la forme: 7% =( — — +5 5 5)4,,

elle nous dit que le ,,latus reétum” de l’ellipfe LOTM Cd Fr à ét LT)
eft le plus grand fegment de cet axe divifé en extrême et moyenne raifon; réful-
at dont Huygens ne manqua pas de faire mention dans 2 eau ofcilla-
corium” 5).

Ajoutons encore, avant de pafler à d’autres fujets, que déjà le 15 février
1658 °), Huygens donna à de Slufe un aperçu de fes nouvelles découvertes, y
comprife celle que nous venons d’expliquer. Il fit fuivre cet aperçu le 26 février 7)
par une defcription des construétions qui fervent à la quadrature des fphéroïdes
avec la recommandation de ne pas les montrer à d’autres perfonnes. Toutefois,
l’année fuivante, il réfolut de faire ,,connaître partout” fon théorème fur la
rectification de la parabole #). Il le fit, en effet, en y joignant fes inventions fur
la quadrature des furfaces des conoïdes et fphéroïdes, en janvier et février 1659,
à de Carcavy, à Wallis, à Pafcal, à van Schooten et à Boulliau ?) et, encore,
en feptembre et octobre 1659, à Grégoire de St. Vincent et à Kinner à Lüwen-

6) Voir la p.134 du T. IH.

7) Voir la p. 141 du T. II.

8) Comparez sa lettre à de Sluse du 14 janvier 1659, p. 313 du T. I.
9) Voir les pp. 316, 330, 341, 344 et 366 du T. IT.

196 AVERTISSEMENT,

churn *). Évidemment Huygens croyait avoir trouvé ainfi le moyen le plus efficace
de fe réferver la priorité de fes découvertes, en attendant qu’il aurait le loifir de les
publier. Auffi fait-il un appel, dans l”,,Horologium ofcillatorium” =), à fa corref-
pondance avec de Slufe, Pafcal, Wallis et d’autres pour conftater cette priorité.

Nous avons déjà vu quel a été l’effet de la communication à Wallis 3). Pafcal
loua beaucoup les inventions de Huygens dans une lettre à de Carcavy #) et dans
la ,, Lettre de A. Dettonville a Monfieur Hugguens de Zulichem” 5) qu’il publia
en février 1659. En même temps il fit parvenir à Huygens une efquiffe de fa
méthode pour la folution du cas du conoïde parabolique, en y ajoutant que les
cas du conoïde hyperbolique et des fphéroïdes lui femblaient bien difficiles;
ainfy” pourfuivit-il ,,ie n’y penferay pas feulement car ie fuis perfuadé qu’il y a
pluftot du blame que de l’honneur a accquerir en trauaillant fur les ouurages
d’autruy et principalement quand ils font traittez par des perfonnes excellentes
comme Monfieur Hugguens” °).

À Fermat Huygens avait feulement fait demander par l’incermédiaire de
de Carcavy?) fi fa méthode s’étendait à trouver la dimenfion des furfaces courbes
des conoïdes et des fphéroïdes. Fermat répondit affirmativement et afin que
Huygens n’en pût douter il donna quelques indications fur les réfultats, affurant
qu’il les avait obtenus fans connaître ceux de Huygens *). Il ajouta qu’il avait
trouvé de même la quadrature de la furface courbe engendrée par la révolution
d’une parabole autour de fon appliquée ?); favoir qu’elle fe réduit à la quadra-
ture de l’hyperbole.

1) Voir les pp. 485 et 500 — 503 du T. II.

?) Voir les p. 72—73 de l’édition originale.

3) Voir le premier alinea de la p. 192.

+) Voir la p. 348 du T. Il où la p. 182 du T. 9 des , Œuvres de Blaise Pascal publiées suivant
l’ordre chronologique avec documents complémentilren introductions et notes par Léon
Brunschvigg et Pierre Boutroux, Paris, Hachette, 14 vol., 1908—1914”. On y lit: »Pour
ces autres problemes touchant la dimension des surfaces des conoides Je les admire au dela
de tout ce que ie puis vous dire, ce sont certainement d’admirablement belles choses”.

5) Voir lesp. 396—397 du T. II, ou la p. 189 du T. 9 des, Œuvres” de Pascal. Ils agit de
l'ouvrage cité sous la lettre P dans la note 32 de la p. 307 du” Er

5) Voir les p. 349—350 du T. II ou bien les p. 183—186 du T. 9 des »Œuvres” de Pascal.

7) Probablement dans la lettre de 4 septembre 1659, dont nous ne possédons que le sommaire;
voir la p. 474 du T. II.

8) Voir les p.539—540 du T. II.

?) Comme p. e: la parabole ABC de la Fig. 7 de la p. 244 autour de la corde AC.

és n n t ie ht AE

AVERTISSEMENT, 197

—

+ À ce propos Huygens écrivit à de Carcavy ‘°) qu’il croyait bien que ,,Monfieur
de Fermat n’avoit veu” aucune de fes propofitions ,,puis qu’il l’aflure” , mais que
d’autres peut eftre. feraient plus incredules, fi en les donnant au public il n’al-
legue celuy a qui il les aie fait veoir auparavant. La mefure de la fuperficie du
conoide que fait la parabole autour de l’appliquée laquelle il promet en fuppo-
fant la quadrature de l’hyperbole fera quelque chofe de nouveau fi elle eft vraye”.

- En réponfe de Carcavy raflura Huygens fur les intentions de Fermat ‘*) et
lui fit parvenir ?*) de la part de celui-ci le réfultat de la quadrature en queftion,

laquelle futtrouvée ,,fubtile”’ par Huygens qui pria de Carcavy d’exhorter Fermat
à publier {a méthode fi elle était nouvelle De

ne A #2 € :
PA: A LOME) pr ff srè : 16)%

Recherches fur En sidi bu Lie et Hobbit de divers
degrés, fur la conchoïde, la ciffoïde et fur d’autres courbes.
Tangentes, quadratures, cubatures des folides de révolution,
sr mn ptit 159 £ Ti LUE
Si t 65 00 ,
= Nous ne dirons que peu de mots à propos des péqiar qu’on trouve dans les
Pièces N°. VIIL et N°. IX *+).

Dans la ,,Præfatio” du ,,Traétatus mechanicus” de Merfenne :5) Huygens avait
rencontré un grand nombre de réfultats concernant les tangentes et lesquadra-
tures des courbes y4—kx?, les cubatures des folides de révolution, engendrés par
leurs fegments, et les centres de gravité de ces fegments 1) er de ces folides;
mais tout cela fans démonftrations ni déduétions. Ces refultats étaient dus,
comme Merfenne l’affure, à deux favants qu’il ne nomme pas, mais dont l’un
suit probablement Roberval et l’autre certainement Fermat 7).

| Or; dans la Pièce N°. VIIT, Huygens s'applique à verifier et à étendre ces

SRE

19) Voir sa lettre rat 26 février 1660 à la p.27 du T. IL,
11) Voir la lettre du 6 mars 1660 à la p. 38 du T. I.
12)Voir les pp. 85 et88 du T IL.
13) Voir sa lettre du 15 uit 1660 p. 97 du T. Il. La abadrstare est, en effet, très compliquée.
14) Voir les p.273 —313-
15) Voir l'ouvrage de 88 que nous avons scité dans Ja note 6 de la p.111 du T, M:
16) Aux ças où 4 est impair le contour de. ces segments: était complété à l’aide de la courbe
symétrique par rapport à l’axe des x (rer ke). voir p. e. la Fig.2 de Huygens de
la p. 274.
17). Comparez les p. 195—198 du T. I des , Œuvres de Fermat” citées dans la note 1, p. 3
… du présent Tome. | te

198 AVERTISSEMENT.

réfultats *), et aufli à en donner des démonftrations ,,Euclideo more” *). I]
commence, à cet effet, par déterminer les tangentes des courbes prémentionnées
qu’il appelle ,,paraboloïdes.” Enfuite il emploie d’une manière ingénieufe les
propriétés de ces tangentes pour obtenir les quadratures $) et les:cubatures cher-
chées dont il fait déduire enfin la fituation des centres de gravité. Il réfume fes
réfultats en fix règles +) dont les trois premières correfpondent exaétement aux
règles générales empruntées par Merfenne à Fermat qui, à ce ” il pratpies sept
aufi en poffeflion des autres règles 5).

Après donc avoir trouvé à fa fatisfaétion les règles pour les ,,paraboloïdes”,
Huygens s’aperçut que fes raifonnements étaient applicables avec'peu de modi-
fications aux ,,hyperboloïdes”, favoir aux courbes x/y% = #. Il étudia donc ces
courbes et s’occupa furtout de ce qui les diftingue des ,,paraboloïdes’?, c’eft-à-
-dire des efpaces qui s'étendent jufqu’à l’infini entre les courbes se
asymptotes ‘). | |

Ajoutons encore que Huygens mentionne fes recherches furles sparaboloïdes”

et les ,hyperboloïdes” dans l’,,Horologium ofcillatorium”’, p.90 de l'édition
LOT AMOR

* #

originale. ie

« LA
"16 LU

“

Les travaux de la Pièce N°. IX écwèti pour " plupart leur origine " la
correfpondance aflidue qui eut lieu entre Huygens et de Slufe dans les années
1657 et 1658. Ils peuvent fervir à CRIE Here Pr dans les parte: es
Huygens à fon ami. ji |

1) De sa lettre à Mersenne du 23 décembre 1646 (p. 557 du T. IL) il résulte qu’alors Huygens
avait déjà pris connaissance de la ,,Præfatio” et trouvé une partie des résultats dont nous
traitons ici; mais il ne nous est rien resté de ce travail de jeunesse. Comparez les p. 4—5 de
notre T. XI.

+) Voir,p. 115 du T.2, sa lettre à de Sluse du 3 janvier 1658 , où on lit: ;,Sed et quadraturas
omnium, et solidorum ex conversionibus ipsarum ortorum ad eytivtos relationem eodem
Euclideo more deduxi, earumque omnium regularum quæ apud Mersennium in as
Mechanicorum leguntur scripsi demonstrationem”.

3) On peut comparer, quant aux quadratures, la méthode de démonstration de Hayieés du

»Theorema Il” (p.285—287) à celle de Fermat, très différente, qui fut publiée en 1679,
comme œuvre posthume, dans ses ,, Varia opera mathematica”, ouvrage cité dans la note 1
de la p. 326 de notre T. I; voir les p. 255—9266 du T. I des | Œuvrés de es mention
nées dans la note 17 de la p. 197.

+) Voir les p. 280—282.

5) Mersenne ne donne pas les résultats qui correspondent à ces dernières Pr il dit seule-

ment que le savant en question les avait obtenus. On ne les trouve pas non plus dans la lettre

nd at A giga or né M M

5

AVERTISSEMENT. 199

D'abord’) les deux correfpondants s'occupent des ,,perles de de Slufe”,
favoir des courbes dont les équations font comprifes dans l'équation générale
y=kx (ax). Ils les complètent, fi c’eft néceffaire, par leurs symétriques #)
y=— kx!(a—x), afin d'obtenir des boucles fermées dont ils déterminent les
tangentes, les points d’inflexion, les quadratures et les centres de gravité, comme
aufli les cubatures de leurs folides de révolution. Enfuite c’eft le tour de la con-
choïde ?) et de la ciffoïde °). Quelquefois d’autres mathématiciens, van
Schooten **), Hudde **), van Heuraec #), Wallis *#) ec Mylon *$), participent
à la difcuffion de ces mêmes fujets.

Ce qui intérefle beaucoup Huygens et de Slufe, ce font ces efpaces dont nous
avons déja parlé à propos des ,,hyperboloïdes”, qui s'étendent à l’infini entre les
courbes et leurs afymptotes et dont toutefois les aires, ou les volumes des folides
de révolution, font parfois finis *%), C’eft de Slufe qui donne à cet intérêt l’expref-
fion la plus pittorefque lorfqu’il fe vante de pouvoir donner la mefure d’un vafe

de poids médiocre mais que, cependant, le plus grand glouton ne pour-
rait vider *7).

.… de Fermat à Cavalieri où Mersenne avait puisé ses renseignements; voir les pages mention-
nées dans la note 17 de la. p. 197.

! Quant à l’autre savant dont les travaux sont mentionnés par Mersenne, il s'était borné
au cas à — 13 mais, sous cette réserve, ses résultats s'étendent aux quatre premières règles de
Huygens et à la construction des tangentes. .

5) Voir l’Appendice IL, p. 288—293; Fermat aussi, au lieu indiqué dans la note 3, donne la
quadrature de ces ,hyperboloïdes”.

7) Voir les $$ 1 et 5 de la Pièce N°. IX , pp. 294—300 et 303—305.

8) Voir p. e. la Fig. 1 dela p. 294.

9) Voirle $6, p. 306—309.

19) Voir le $ 7, p. 309—312.

11) Voir les pp. 62, 73—75; 89,94—95 et 353 du T. Il.

12) Voir les p.97—101 du T.IL.

13) Voir les pp. 96—97 et 116 du T. IL.

14) Voir les pp. 298—304 et 358—359 du T. Il.

15) Voir les pp. 337— 338 et 374 du T.IT.

16) Voir, outre les pages du Tome présent citées dans les notes 9 et 10, les pp. 164,168et212
du T. IL. Nous relevons en particulier les deux manières ingénieuses dont Huygens démontre
que l’aire de l’espace comprise entre la conchoïde et son asymptote est de grandeurinfinie;
voir les pp. 306 et 308—309.

17) Voir les p. 167—168 du T.If, où l’on lit: »dici enim vix potest quam inuentis tuis delec-
tatus sim, sed eo maxime quo spatium inter Asymptoton et Cissoidem (quando ita vocari
jubes) meam, dimensus es. Non quod infinito spatio æquale finitum inveneris, (hoc enim
jam sæpe factum est) sed quod ex inventis tuo meoque simul compositis, et centrum graui-
tatis et cylindroidis illius vascul) mensura, levj operà deducatur, vasculi inquam , pondere

200 AVERTISSEMENT.

Remarquons encore l’importance que Huygens et de Slufe, et furtout ce der-
nier, attachent aux réduétions à la quadrature du cercle ou de l’hyperbole.
Chaque problème dont la folution amènerait en même temps une de fes quadra:
tures eft appelé par de Slufe une ,,&ræywyWw” ; et les nombreufes quadratures et
cubatures de ce genre qui fe préfentent dans fa correfpondance avec Huygens, il
les confidère principalement comme des ,,éræyuryés” plus où moins inté-
reffantes *). ta

ecberetes fur les propriétés géométriques de la SoredR

C'était le père Merfenne qui,comme fur tant d’autres fujets, noi à Huygens,
en 1646, les premiers renfeignements *) en partie inexaéts 3) fur des travaux
exiftants concernant la cycloïde; mais ces communications ne femblent pas avoir
donné lieu du côté du jeune Huygens à des recherches originales.

Ïl en fut autrement, lorfque , douze années plus tard, Boulliau lui envoya 4) les
deux lettres circulaires dans lefquelles Pafcal, sous * pfeudonyme Dettonville,
proposa ,à tous les géomètres de l’univers” les problèmes fuivants: Trou-
ver l’aire d’un demi-fegment cycloïdal
EBF 5) et la fituation de fon centre de
gravité, les volumes des folides engen-
drés par la révolution de ce fegment
autour de BF et autour de EF, ainfi que

non magni, quod interim helluo nullus ebibat.” Voici l'explication de ce passage: De Sluse
avait donné le volume du solide engendré par la révolution de l’espace cissoïdal AR QDA
de la Fig. 22 de la p. 310 autour de l’asymptote DQ (voir sa lettre du: 14 mars 1658;
p.151—152 du T.Il, où il trouve ce volume égal à celui du solide engendré par la rotation
du demi-cercle AGC de la figure de la p. 151 autour de sa tangente en A, puisqu'on a
AL X LK = ML X LC). Huygens de son côté lui communiqua dans une lettre du 19 avril
1658 (p. 164 du T.IT) la quadrature de ce même espace. De ces données on pouvait donc, à
l’aide du théorème de Guldin, déduire la distance du centre de gravité à la droite DQ:
Appliquant ensuite de nouveau le théorème de Guldin, on pouvait évaluer le volume , de
grandeur finie, du solide engendré par la révolution de l'espace en question mpbsstenlcis pare
AX. Or, c’est ce dernier solide qui forme la paroi duv ase de de Sluse.

Voir encore les p.238—239 du T. IV où Huygens décritune courbe à l’aide de laquelle
on peut obtenir un autre vase possédant la même propriété.

7) Voir la p. 107 du T. II où de Sluse préfère l’éäraywÿ#y concernant la surface courbe du
conoïde parabolique, réduite par Huygens à la quadrature du cercle, à toutes les siennes qui
se rapportent à des aires planes; voir aussi les pp. 122, 132, 134,135; 140,144, 149,151
et 154 du même Tome. |

AVERTISSEMENT, 201

les centres de gravité de ces folides ec aufli des folides partiels qu’on obtient en
les coupant par un plan paffant par leur axe de révolution.

Pafcal, d’ailleurs, n’exigeait pas que tous les calculs fuffent exécutés; il fe
contenterait, écrivit-il, de chaque folution qui établirait, foit à Ja manière
des anciens, foit par la méthode des indivifibles, comment on pourrait déter-
miner toutes les chofes demandées. Toutefois il réclamait la démonftration com-
plète, ou le calcul complet, dans les cas particuliers où le point F fe confond
avec le point D, ou avec le centre du cercle générateur BGD. Les prix feraient
décernés à ceux qui, avant le rer oétobre 1658, auraient réfolu les queftions
propofées ©). |

_ Enfuite dans fa feconde lettre circulaire il avertit qu'il fuffirait de calculer la
fituation du centre de gravité du folide engendré par une demi-révolution de
l’efpace ABD autour de la bafe AD 7).

Huygens, ayant pris connaiffance de ces problèmes, ne tarda pas à fe mettre à
l'œuvre. I trouva d’abord l'aire BEF dans les deux cas particuliers fignalés par
Pafcal 7: Enfuite il détermina l’aire du fegment EBO dans le cas général ?) et

Va

+) Voir ses lettres du 13 octobre 1646 (p. 559 du T. I) et du 8 janvier 1647 (p. 52 du T. TL).

3) L’indication de la situation du centre de gravité de l’espace de la cycloïde entière fut déjà
corrigée sur place dans la note 2 de la p.52 du T.I. L'expression qu’on trouve à la même
page pour le volume du premier solide doit se rapporter au solide obtenu par la rotation
autour de la tangente au sommet, et non pas à celui qu’on obtient (comme il y est dit) par
la rotation autour de la base,

Ces deux données provenaient de Torricelli. Il les avait communiquées à Mersenne dans
la forme exacte, puisqu’on les trouve dans cette forme aux dernières deux pages des ,,Ad
lectorem monita” qui précèdent l’,Universæ Geometriæ Synopsis” dans l’ouvrage de Mer-
senne, cité dans la note 2 de la p. 34 du T. I. Quant à l’expression pour le volume engendré
par la révolution de la cycloïde autour de son axe, elle est juste. Mersenne la devait à
Roberval (voir à ce propos les p. 193—194 du T. 8 des ,, Œuvres de Blaise Pascal”, citées

_ dans la note 1 de la p. 196 du Tome présent). Comme on fe verra plus loin (p. 204-205),
cette cubature, trouvée par Roberval, est équivalente à l’un des problèmes que Huygens
ne savait pas résondré avant d’avoir pris connaissance des méthodes de Pascal,

4) Voir ses lettres du 28 juin et du 16 juillet 1658, pp. 186 et 196 du T. II.

S) Nous empruntons la figuré à celle de Huygens de la p. 347 avec addition des lignes
BGet FO,

6) Voir les p. 187—189 du T. IL.

7) Voir les p. 196—197 du T. II.

8) Voir les $$ 1—3, p. 347—349.

9) Voir le 6 4, p. 349—350.

26

202 AVERTISSEMENT.

découvrit à cette occafion un cas remarquable où ce fegment eft carrable fans
fuppofer la quadrature du cercle *).
Enfin il trouva, dans les deux cas par-
ticuliers, la diftance du centre de

EO et en déduifit le volume du folide
engendré par la révolürion autour de

cette bafe =).

Il put mander, à Boulliau, le 25 juillet 1658, qu’il avait obtenu ces réfils
rats 3). [l ajouta qu'ayant manqué le refte, il ne pouvait afpirer au prix pro:
pofé par l’auteur; d’ailleurs les problèmes lui ,,femblent fi difficiles pour la
plufpart, qu’il doubte fort fi pe mefme qui les a propofez les pt tous
refoudre”. SATA ET

Toutefois ces problèmes et furtout celui fignalé en particulier dans ds Gris

circulaire, ne lui laiffaient pas de repos. Il reprit donc ce dernier problème et il

réufit, en effet, par des artifices des plus ingénieux à déterminer la’ diftance du

centre de gravité du folide en queftion au plan ABD #), de forte que pour con-

naître complètement la fituation du centre de gravité demandé il ne lui manqua
plus que la diftance au plan décrit par BD 5). Il communiqua à Bouiliau ®) ce

réfultat qui était faufTé par des erreurs de calcul 7), en dontenuenonraete
croyait à peine »que tous les dits problemes eftoyent poifibles”.

*) Voir les p. 350—3$51 et voici l’explication de ce cas particulier: Posant EM = r (voir la
figure du texte), LEML = y, on trouve pour l’aire BEF : »° Le e — cos era
E sin 29 |. Dans le cas où cosg = — cette FERA se rai àr° (sin p — ra sin | 24) =

; ÿY F3
HV 3, et l’on vérifie facilement que dans ce cas le demi-segment EBF pr égal au triple

du ts BGF. C’est le cas découvert par Huygens à [aide de considérations y à

métriques.

2) Voir le $ 5, p. 353—356; au $ 6, p.356—357, Huygens. traite encore avec succès 1e cas
d’un segment quelconque EBO.

3) Voir les p. 200—201 du T.II.

gravité du fegment EBO à fa:bafe

AVERTISSEMENT, 203

En janvier 1659 les recherches de Huygens fur la cycloïde reçurent une nou-
velle impulfion. Pafcal lui avait fait parvenir fon ,,Hiftoria cycloidis” *), Ily
mentionne la reétification de la cycloïde par Wren et propofe quelques nou-
veaux problèmes relatifs au centre de gravité d’un arc cycloïdal, comme EBO,
et aux dimenfions et centres de gravité des furfaces engendrées par la révolution
d’un tel arc autour de fa flèche ou de fa corde ?). Huygens admira beaucoup l’in-
vention de. Wren ‘°), quoiqu'il ne fût pas encore fi fa rectification s’appliquait à
un arc quelconque — ce qui était bien le cas ‘*) — ou feulement à la cycloïde
entière, Il réuflit bientôt à retrouver le réfultat de Wren ‘*) et à réfoudre le
premier des nouveaux problèmes, favoir celui de déterminer le centre de gravité
de l’arc EBO 3). Il fut agréablement furpris *#) par la fimplicité du réfultat,
indiquant que le centre de gravité de cet arc divife toujours la flèche BF dans la
raifon de 2 à 1. |

Toutes ces dernières recherches partaient de la connaiffance de la tangente à
la cycloïde, qui, en tout point E, eft parallèle à la corde BG. Huygens avait
rencontré cette propriété dans l’édition de van Schooten de la ,,Geometria”
de Defcartes ‘5), mais il n’était pas entièrement content de la manière dont
elle y eft déduite, Il s’appliqua donc à en donner une nouvelle démonftration *)
bafée fur le poftulat qu’une droite qui paffe par un des points d’une courbe

4) Voir les $$ x et 2 de la Deuxième Partie de la Pièce N° XI, p. 358 —362.
$) Comme il le manda plus tard à Pascal, il ne pouvait trouver cette dernière distance ,,fauté de
sçavoir le centre de gravitè de certaines pieces de cylindre”; voir sa lettre du 5 février 1659,
p. 341 du T. II.
5 Dans une lettre du 19 septembre 1658 ; voir la p. 220 du T. II.
7) Voir sur ces erreurs et leurs corrections la dernière ligne de la p. 362 et la note 1 de
cette page.
8) Consultez les pp. 310 et 312 du T.IL. Il s’agit de l’ouvrage cité dans la note 2 de la p. 276
du T. II.
9) Voir pour plus de détails la note 5 de la p. 363.
1°) Voir la p. 330 du T. II.
12) Voir la p. 360 du T. II et la note 4 de la p. 367.
12) Voir les $$ 1 et 2 de la Troisième Partie de la Pièce N°. XI, p. 363-—367.
13) Voir les $$ 3 et 4, p. 368—373.
14) Voir le deuxième alinéa de la p. 373.
15) Voir la note 3 de la p. 374.
19) Voir la Quatrième Partie de la Pièce N°. XI, p. 374—375.

204 AVERTISSEMENT.

eft tangente à cette courbe lorfque les points de la courbe qui fe trouvent de
part et d’autre du point confidéré et dans fon voifinage, font fitués du même côté
de la droite; poftulat qu’il emploie fouvent dans ces fortes de démonftrations :).

Quoique Pafcal tâchât de faire parvenir à Huygens auflitôt qu’il lui für poflible?)
la célèbre ,,Lettre de A. Dettonville à Monfieur de Carcavy fuivie de traités de
géométrie” 3), publiée en décembre 1658, Huygens ne la reçut que le 8 mai
1659 +). Il y trouva, du moins en principe, la folution de tous les problèmes
propofés. En effet, di la lettre elle-même et dans les traités qui l’accom-
pagnent, Pafcal fait fe procurer, pour le cas fpécial de la cycloïde, prefque
toutes les reffources, nommément l'intégration par parties, dont difpofe aujour-
d’hui le mathématicien moderne. Par fuite ,fes méthodes font plus générales et
plus puiffantes que celles de Huygens, qui pour chaque nouveau problème devait
chercher de nouveaux artifices; mais, comme Huygens s'exprime 5) ,,il faut
avouer que c’eft un labyrinthe lors que l’on veut faire la conftruétion de quelque
probleme, et pour cela je voudrois qu’il euft partout pris feulement un cas le plus
facile pour en donner le calcul tout du long et non feulement le dernier facit, où
bien un exemple a chaque Theoreme”. C’eft pourquoi Huygens choifit DOS
appliquer la méthode de Pafcal, deux cas particuliers de l’un des problèmes qu’il
n’avait pas pu réfoudre auparavant. Il envoya fa folution du cas le plus compliqué
à de Carcavy *), le priant de lui dire s’il avait ,,bien fupputè””. Quant à la folution
de l’autre cas, nous la reproduifons dans la Cinquième Partie de la Pièce N°. XI,
p. 376 7). Par l'application du théorème de Guldin on en déduit facilement la

*) Comparez les pp. 273—276, 284—0285, 375 et 397—398.

?) Voir sur les causes du retard les pp. 310, 320, 364, 374, 376, 378, 370, 381, 383, ae 390
et 396 du T.II.

3) Voir dans les , Œuvres de Blaise Pascal”, publiées pi Brunschvicg et Boutroux, les
p. 325—384 du T.8 et les p. 1—133 du T. 9.

#) Voir la p. 402 du T. II. in

5) Voir sa lettre à Carcavy du 22 mai 1659, p.411 du T. IL. On peut encore consulter sur l’opi-
nion de Huygens concernant l’ouvrage de Pascal les pp. 416, 418, 435 et 474.

$) Voir la p. 411 du T. II.

7) Voir encore, aux p. 377 —378, l’Appendice daté de 1691, où Huygens s'occupe du même
cas, pour le traiter avec la méthode exposée par Wallis dans le traité ,, De cycloïde” dont nous
allons parler.

AVERTISSEMENT. 205

cubature trouvée par Roberval *) déjà avant 1646 et mentionnée par nous dans
la note 3 de la p. 201. Encore en août 1693, Huygens témoigna à de la Hire de
fon admiration pour cette invention de Roberval ?).

Ajoutons que vers le commencement de mars 1660 Huygens reçut *) le traité
»De cycloide” de Wallis 1‘), où celui-ci réfoud les problèmes de Pafcal à l’aide
des méthodes de l’,,Arithmetica infinitorum”” **), Wallis s’y plaint violemment des
procédés de Pafcal. Dans la polémique qui s’enfuivit, Huygens, fans y prendre
une part aétive , fervit d’intermédiaire entre Wallis et de Carcavy ‘3).

Théorie des développées et des courbes parallèles.

À propos des recherches fur la cycloïde, dont nous
venons de traiter, nous avons dû conftater une certaine
infériorité des méthodes de Huygens, comparées à celles
de Pafcal et de Wallis. Par fes travaux fur la théorie des
8. “D développées, Huygens a pris, pour ainfi dire, une revanche
éclatante. En effet, en développant cette théorie, il a
ajouté à l’analyfe des courbes planes un chapitre intéreffant
et beau dont la priorité lui appartient fans conteftation.

Il faut en chercher l’origine dans l'emploi des petits arcs
BA et CD :#) que Huygens appliqua en 1658 à fes hor-
loges à pendule afin de rendre la période des ofcillations
indépendante de leur largeur. Il eft clair que ces arcs font

(e

8) Les travaux de Roberval sur la cycloïde ne parurent qu'après
son décès dans les , Divers ouvrages de Mathématique et de Phy-
O sique” de 1693; voir les p. 246—278 de l’ouvrage cité dans la note

1 de la p. 91 de notre T. IX.
9) Voir la p. 486 du T. X.
19°) Voir la p. 56 du T. II.

11) Voir l'ouvrage cité dans la note 3 de la p. 518 du T. II.

12) Voir l'ouvrage cité dans la note 2 de la p. 340 du T. I. Il fut reproduit aux p. 355—478 du
»Volumen primum” des ,Opera mathematica” de Wallis.

13) Voir les pp. 56—58, 86—87, 96,97et1 26—127 du T.IIL. Cette partie de la Correspon-
dance de Huygens a été pleinement utilisée par les éditeurs des ,Œuvres de Blaise Pascal”
dans leur introduction au ,Recit de l'examen et du jugement des écrits envoyés pour les
prix” de Pascal (voir les p. 233—240 du T. 8 de ces »Œuvres”).

“4) Nous empruntons la figure à la lettre de Huygens à Petit du 1 novembre 1658; voir la p. 271
du T. II.

206 AVERTISSEMENT.

avec la courbe décrite par la maffe pesante dans la relation
d’une développée à fa développante.

D'abord c'était à l’expérience que Huygens demanda |
,de quelle maniere et combien” il devait les plier pour
efgaler entre eux les coups des plus larges jufqu’aux plus
menus”. Il y réuflit fi bien avec ,,deux Horologes descette
façon, qu’en trois jours il n’y euft jamais entre elles la diffe-
rence d’autant de fecondes: quoyque cependant” il en
changeât ,fouvent les poids, les rendant plus ou moins
pefants” :).

C’est au 1 décembre 1659 *) que Huygens découvrit le
tautochronifme de la cycloïde, et déjà Le 6 décembre il put
écrire à van Schooten 3) qu’il avait trouvé ces jours ce
qu’il n’avait jamais efpéré de connaître , c’eft-à-dire la
forme exacte qu’il faut donner aux arcs AB, CD afin d’éga-
lifer abfolument les ofcillations. Cette invention lui fembla
la plus heureufe de toutes celles qui fe foient jamais pré-
fentées à lui 4).

Ayant trouvé une méthode générale pour déterminer
la développée d’une courbe donnée, Huygens l’appliqua non feulement à la
cycloïde 5), mais aufli aux coniques et aux paraboles et hyperboles de divers
degrés. Dans la Pièce N°. XV nous avons reproduit fes recherches de 1659
fur les développées de l’ellipfe et de l’hyperbole ®). Elles nous apprennent
comment Huygens a obtenu les réfultats qui font mentionnés dans l’,,Horolo-
gium ofcillatorium”” fans qu’on y trouve leur déduétion 7).

Nous faifons fuivre dans la même Pièce la théorie générale des développées
telle qu’elle fut inventée par Huygens dans cette même année *). L’expoñition

*) Voir la lettre citée dans la note précédente,

?) C’est la date annotée sur une feuille séparée où Huygens expose sa découverte.

3) Voir la p.522 du T. II,

+) Voir encore sur la nouvelle invention ses lettres de janvier 1660 à Tacquet, Chapelain et
Boulliau (pp. 3, 12 et 13 du ,T. III). Dès janvier 1660 Huygens se proposait de la faire
paraître dans une seconde édition de son ,,Horologium” (voir lespp.13,25, 44,et57 du
T. UD); plus tard il la destinait à son , Horologium oscillatorium?”? qui parut en 1673 rai les
p. 10—11 de l’édition originale).

AVERTISSEMENT. 207

or um” 9). Elle en diffère pes en ce qu’elle eft accompagnée de con-
| id fur les courbes parallèles et équidiftantes, qui manquent entièrement

#

PN Re TER) Ra 4 : « P $ , : :

24 L dEtr: HIT TE Li: € : LA Sms 1 der mat * & 4 7:

re NI MEL E AMIS S -+ 2% , MATE + EAU : Le: 4 | * } ; #
Fe e

Voir sur l'application à cette courbe la note 1 de la P. 404 et see pe RÉ de l'édition

al l,Horologium oscillatorium”. EE A: +
S p. 387—397-
'rop. X de la ;,Pars tertia”, ÿ À st de l'édition originale.

tx

) La Pièce: est stnprimtée à la p. 178 du!
TXL.

*) Il s’agit du célèbre Pensionnaire de Hollande et
duT.l.

3) En effet, si du point À on abaisse sur l'hypoténuse B
a on a BD — BF—DF=—BF—FC—2.

wi

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1655. 209

aa sbx + VE [0 ]4g.AC
L a[dditur ].

aa + 2bx + ——= ue z L2]49.AB |
240 sas

xx 70 É [20 ]q.BC

11.4
FE D aa bb

Conftructio 4).

Sint BE et EK fing.æ 20 4, invicemque ad reétos angulos
et junétâ BK defcribatur fupra ipfam femicirculus BEK.
accipiatur KL 2 Z et ducatur LB, denique ex centro

ucatur ME fecans LB in C, fitque CA perpend. BE.
ico txiang. CAB effe qui quærebatur.

Demonftr. s) Ex conttr. enim reétangulum eft ABAC.
Sed et latera BA et AC æquari fimul ipfi BE, perfpicuum
eft. Itaque oftendere tantum opus eft ft diffe Nas feg-
| mentorum bafis ; BD, (defcriptâ nimirum circumf.a CG radio AC) æqualem
effe datæ KL. ioduc) ACinN. Dr KL ut BC ad CM et ar BK ad BC
ut KLad CM, fed BE ad BK ut CM ad CN: Ergo ex æquali in prop. pertur-
bata 5) erit BE ad BC ut KL ad CNh .e. GB. Sed ut EB ad BC ita quoque DB
_ ad BG. Ergo DB 2 KL. q.er:dem... |, \,

36 TRES HV : Hi} af!

a La construction 6 deg va. Rs FA successivement East, Bi ha het à,
bi BL? (ae — = B): me 2 )= BK* (a°): Ba = rs vo Er. tandis que la somme

AADAN TR), € ANR # DA
d _11.des côtés de l'angle droit 4 triangle ne us 16 pes dons fondée, en effet, sur
* #roPanalysequiprécédes 0101 2501 at 22 0nhe0
_ $)1l s’agit maintenant Le intiées tué une démonstration synthétique ak mode des anciens la
construction déduite à l’aide de l'analyse. 1
6) Consultez da note 22 de la p. 304 du T. XI. Pour les duantités #, FA c de cette note on doit
1 prendreici BE, BK et BC, et pour les quantités 7, e, f: KL, CM et CN.

27

Qn£ AROI .QRÔI À BEI EG 2RAVIE ARUOITAMINTAM xUaVAI

A CORTE

2% FAT ES À 40

nié RTE h

à t

RC 2e

‘gg

lequel je ras
| avec les nr

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1656. 211

ducantur pofitione datis lineis *) parallelæ 4, in uno et eodem pe: fefe

interfecantes 5). Et inveniatur locus punéti € 4) , ex quo in eifdem angulis datis

duétæ faciant idem quod hic præfcribicur. Erit locus punéti € in duabus reétis eZ,

FG quibus fciendum eft afymptotas hyperbolarum hic parallelas effe debere.

Et conftat punéta 4. A, B,N,O effe in ipfis hyperbolis. Oportet igitur fic ordi-
nare afymptotas diétis lineis parallelas ut LN fit æqu. OK et RA æqu. BQ.

Sit PR % x; PN % #3 PO > D; PA % c; PB % 4. Ratio RP ad PK data eft.
Sic ut 4 ad p. Similiter ratio LP ad PQ data eft quæ fit ut 7 ad 4.

aa + ab—dq—cq
Pr:

nv 2 —

l'hyperbole qui passent par les points À, B, N et O. Cette remarque donna lieu à une corres-
pondance entre Huygens et van Schooten, qu’on trouve aux pp. 460—462, 466—470 et
519—524 du T. I, C’est à cette occasion que Huygens composa la présente Pièce.

Outre cette construction on trouve sur la même feuille des calculs et des figures qui ont
servi à préparer la lettre à van Schooten du 6 décembre 1656, p. 519—524 du T. IL. I n’a
pas semblé nécessaire de les reproduire.

2) C'est-à-dire les quatre lignes AO, BN, AB et NO.
8) Voir la petite figure à gauche de la grande:
4) Voir la lettre ç (difficilement lisible) de la petite figure.

IT.
1657 °).

$ 1.
Numero dato invenire quadratum cui additus [ummam faciat quadratum.

a, num. dat. xx quadr. quæfitum.

a + xx 50 yy quadratum effeétum.

a © yy—xx. Quod fi itaque y et x tales aÎfumantur ut additi æquent #, diffe-
rentia vero fcilicet y —x æquetur unitati; multiplicando fimul fummam ipforum
y—+xet differentiam y—x produétum erit yy — xx ipfi 4 æquale. eftque yy —xx
differentia duorum quadratorum. Quare fic affumpti numeri propofitum efficient.
Sit 4 2 19. Iraque 10 et 9 erunt y etx nam additi faciunt 19. differunt vero unitate.

81 qu.9; 19 % &, 100 qu.10. | |

Quoties autem 4 primus numerus datur, apparet non nifi unum inveniri pofle
quadratum idque ex præfcripta ratione, quod ipfi additum faciat quadratum quia
alias deberet 4 habere partes aliquotas x + y et x—y 3).

Aliter.

Sie a + x 00 a ++ aa + 0; EE co à.

a + xx 0 xx — 2bx + bb; x … .

1) La Pièce, que nous avons divisée en paragraphes, est empruntée aux p. 255—272 du Ma-
nuscrit N°. 12.

?) Voir la p. 217.

3) Lisez : y—%.

+) Il est bien étrange que Huygens n’ait pas remarqué que cette impossibilité se rencontre chez
tous les nombres qui se composent du produit de 2 par un nombre impair mais chez aucun
autre nombre > 1 à l’exception du nombre 4. En effet, tous les autres nombres peuvent être
décomposés en deux facteurs inégaux p et 4 (p > 4) qui sont tous les deux pairs, ou tous les
deux impairs; dans ces casles équations x +y—p,y—x=—7 amènent une solution du pro-
blème en nombres entiers.

nn

Saoa/i

dE qu
De

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 213

Hic oportet 4— bb dividi poffe per 24 quod quidem femper continget fi fuma-
tur à 5 1, numerufque 4 datus fuerit impar. at quoties par datus eft, oportet
experiendo quærere. ut fi datus fit 12. fit à 5 6, erit bb — 4 > 24, qui divi- ’
ditur per 22 5 12, et fit2. Ergo hujus quadr. 4 addicum ad 12 facit 16 qui eft
quadratus.

Multi autem numerorum parium faciunt quæftionem impoflibilem, velut
6,10;*) quia enim quadrata ex 3 et 4 differunc 7.rio fequicur fi numeri majus
fumantur quam 3 et 4, unitate differentes, eorum quadrata majoris intervallum
quam 7 ac proinde quam 6 habitura et fi non unitate differant fed majori numero,
adhuc majus quadratorum fore intervallum. Fruftra igitur # major fumetur quam 4.

Quin imo neceffe eft 22 non fit major 4. Dato enim 7 numero pari etiam # necef-
fario par eft affumendus ut bb — 4 dividi poflit per 24 parem. Sed bb, quadratum
à numero pari dividitur per 24. Si igitur et bb — 4 dividetur per 2h ; etiam reli-
quum 4 dividi poterit per 2; ideoque 22 non debet major effe quam 4.

$ 2.

Cur omms numerus primus addita vel dempta unitate dividitur per 6,
item per 4? exceptis 2 et 3.

Quoniam omnis primus numerus eft impar fequitur five addita five ablata uni-
tate fieri parem, ideoque dividi per 2. Sed et impar numerus primus exiftens per
3 divifus relinquit 1 vel 2 neceffario. itaque fi relinquat 1, demptâ 1 metierur eum
3, fin relinquat 2, addita unitate rurfus 3 ipfum metietur. fit igitur addendo vel
auferendo unitatem ut 2 et 3 ipfum metiatur., Quare et 6 qui fit ex 2 et 3 ipfum
metietur.

Porro omnis impar numerus per 4 divifus relinquit 1 vel 3. Ideoque fi relinquat
1, demptâ 1 metietur ipfum 4. fi vero relinquat 3, additâ 1 rurfus ipfum
metietur 4.

$ 3.

Si numerus non quadratus in quadratum ducatur produétus quadratus non erit.
Addita autem unitate fieri poteft quadratus. Itaque Fermattius hoc problema pro-
pofuit 5): dato numero non quadrato invenire quadratum per quem multiplicatus,
_addit4 ad produËlum unitate, fiat denuo quaäratus.

5) Voir le second défi de Fermat aux mathématiciens, p. 334—335 du T. II des Œuvres de Fer-
mat, cités dans la note: de la p. 3 du présent Tome, ou bien le fragment de lettre de Fermat à
Frenicle de Bessy (p. 11 de notre T. Il) duquel Huygens reçut la copie par l'intermédiaire

_ de Mylon avec sa lettre du 2 mars 1657. L'équation diophantine 4w° + 1 =+*, qui cor-
respond au problème proposé par Fermat, est connue sous le nom d’équation de Pell. Elle

214 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

Sit datus non quadratus 4. fit FD FDA TITI TL QU FL

ax XYY DO ZXXX + 222%

223
LOT poirts

ayy — 22

hunc oportet effe numerum integrum quod fiet fi 4yy—22 % 1, hoc eff, fi
ayy — 1 0 22. Idem etiam continget fi 4yy —2z fuerit % 2, hoc eft 4yy —2 90 22.
Experiendo igitur inveniendum eft quadratum yy quod in 4 duétum demptä 1 vel
2 relinquat quadratum.

Quod fi fuperius quadratum formatum fuiffet ab x — 1 inventa fuiffet æquatio

227
X D 2 — 4)

Ubi fi 22 — 4yy x 1, hoc eft 4yy + 1 22 rurfus quæftio refoluta eft. Sed
hic ad ipfum primum quæfitum devenimus ut fit nempe 4yy + 1 æquale quadrato.
Si vero 22 — 4yy © 2, rurfus integrum numerum x inveniemus. Hoc eft fi
ayy + 2 00 22. Quod fi 22z per 2z2—#4yy vel per 4yy—zz tantummodo dividi
poflit erit rurfus x numerus integer *).

Aliter.

Si 4xx R°) 2x eflet quadratus is propofitum efficeret, nam duétus in 4, fit
aaxx R 24x qui addità 1 facit z2xx R 24x + 1 qui eft quadr. Sit ergo

ZX X
axx 2% D ——
3)

donna lieu à des recherches nombreuses dont on trouve la liste dans la note 30 de lap. 599 du
T.I, 2 de l”,Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften” ; où l’on rencontre entre
autres les noms d’Euler, de Lagrange et de Gauss.
*) Remarquons toutefois que pour avoir une solution en nombres entiers de l’équation 44° +-
+ 1 = y? il ne suflit pas que » = x + 1 soit un nombre entier, il en doit être de même de
292

u=® = + pr SEE Considérons, par exemple, l’équation 184? + 1 =° et supposons

Li 2 Li Li Li
Y=1,2—= 3. On trouve alors x = 2, = 3, mais # — 2. En effet, pour faire réussir l’arti-

fice employé ici par Huygens, il faut et il suflit que 47° — 2° ,ou 2° — 4y°?, soit un facteur de
2yz. En ce cas # est un nombre entier, et, par conséquent, y aussi.
?) Le signe Q représente chez Huygens notre +.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657 215

ns —g—— a nmnerrmtretne

4ÿyX — 22x D À 2yy

Ergo x "07 ve) 28 =
ay — 22

22— AY

Confideratis itaque fimul hac et antecedenti æquatione huc deventum effe
liquet, ut quærendus fit numerus quadratus qui fi in datum numerum dueatur
produétumque ab aliquo quadrato auferatur, vel hoc ab illo, refiduum metiatur
alterutrius diétorum quadratorum duplum. Quotiens enim erit x.

Quoties autem datus numerus aliquem quadratum unitate fuperat vel ab
eodem unitate deficit fumendus efty % 1,et zx quadratum ifti quadrato æquale ,ut
ira fiat ap 22 vel 2z-— 4yy © 1, unde fecundum Prigrer modum 3) fit x 20 222,

ideoque “E 2 422 4).

Ex. a à numerus 5 fuperat unitate quadratum 4. ergo fumatur zz 5 4. Ergo
has À à
22

81 quadratum.
Sic numerus 3 unitate minor eft quadrato 4 quare rurfus fitzz 20 4, Eritque

2 427 D 16. 16 eft quadratus qui duétus in 5 facit 80 cui addita 1 , eflicit

ee D 16. 16 quadratus duétus in 3 facit 48 cui fi addatur 1 fiunt 49 quadratus.

Quoties vero datus numerus, quadratum aliquem binario fuperat, vel binario
minor eft eodem quadrato: fumendum rurfus eft quadr. 22 ifti quadrato æquale,
et y 1,ut fiat 4yy—2z vel 2z— 4yy © 2. Unde fecundum priorem rurfus

modum 3) fit x 5 zx, ideoque _u 20 22 $).

Ex. gr. 11 binario fuperat quadr. 9. Ergo 9 eftzz, qui duétus in 11 facit 99,
cui additâ 1 fiunt 100 quadratus.

Item 7 binario minor quam 9, duétus in 9 facit 63, cui fi apponatur 1 , fiunt 64
quadr..numerus.

Quôties itaque numerus datus quadratum numerum unitate vel binario excedit
vel alterutro horum à quadrato deficit facile problema folvitur per ea quæ jam
dicta funt. Sciendumque quod uno reperto quadrato qui propofitum eficiat infiniti
alij idem facientes inveniri poflint, Si enim inventus quadratus vocetur yy. Ergo

3) Voir la p. 214.

4) Cette solution particulière de Huygens peut être déduite en remarquant que lespression
Cp? +1) X 4p° +1 représente un nombre carré. Si l’on a, par conséquent, 4=p° +1,
2p =u sera une solution de l'équation 44° + 1 =?

5) On peut faire dépendre cette solution de la remarque que (p° + 2) p° + 1 est un carré.

216 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1656 À 1659. 1657.

quia 4yy -+ 1 æquatur quadrato quod vocetur 22, erit 23 — #yy 0 1. Et fecun-

dum priorem methodum “ape 20 x numerus integer quia fcil. divifor eft uni-

tas, itaque x 90 222, et Nu D 422yy. Sed 22 eft s 4yy + 1. Ergo 4zzyy 50

2 444 + 4yy, quod quadratum duétum in #, addita ad produétum unitate rurfus
quadratum efficiet. Quoniam autem fit 4474 + 4yy ex duétu 4yy + 1 in 4yy, hinc
talis exiftit regula.

Quadratum inventum (qui nimirum propoficum efficit) duc
in datum numerum, producto adde unitatem, fummam duc
in quadruplum éjufdem quadrati inventi, prodibirque aliud
quadratum quæftioni fatisfaciens. Et fimili ratione ex hoc
rurfus aliud invenitur, atque ita alia quot libuerit*).

Exempl. gr. Quoniam inventum eft quadratum 16 quod duélum in 3, affumpta
ad produétum unitate facit quadratum 49. ducatur ergo 49 in 64 quadruplum
fcilicet 16, fit 3136 quadratus neceffario quem dico propofito convenire. Nam
duétus in 3 facit 9408 , cui additä 1 fit 9409 quadratus à radice 97.

Datus fit numerus 13, qui vocetur 4.

2 dipl | ont F
Ergo fecundum primam regulam *), quia x 20 y 2 fit y 50 5.2 20 183).

992025; 4)) 203253; 2200 324; AY) —2Z 01;

XX) F2),
22% 90 X. CTSO 422YY 0 4223 90 32400
quadr. quæf. oi Sn, eft 180. al e+ 5)
32400 4 D 421200
uva3 1 Adde
421201

1) Soit, en effet, , une solution de l’équation 4° + 1 —»° et soit 44,° + 1=#,?. Onaalors
a(qu°v,) +1 (4v. 4), Hi (arte nil Par suite 24,v, est une autre solution de
la même équation pour laquelle solution: »— 2v,°*—1. Il résulte de la lettre de Huygens à
Wallis du 6 septembre 1658 (p.212 de notre T. 11) que Huygens avait communique à Mylon
cette méthode ,,çquomodo uno quadrato invento innumeri alij reperiantur””, de même que sa
méthode précédente pour trouver des solutions en nombres entiers de l'équation de Pell.

?) Celle de la p. 214.

3) On ne voit pas comment Huygens a obtenu ces valeurs de y et de z qui satisfont à l’équation
13Yÿ—22—1 et qui conduisent à la solution 2yz=— 180 de l’équation 134° + 1 —=Y°. D’ail-
leurs le résultat du calcul, c’est-à-dire la solution # — 180 de l’équation 134° + 1 —=#",
pouvait être connu à Huygens par la communication de Frenicle (p. 30 du T. II) que Mylon
lui avait fait parvenir avec sa lettre du 18 mai 1657 (p. 29 du T. IF).

Ajoutons encore à ce propos que les nombres y et z doivent se trouver souvent, l’un ou
2yz

aÿ —23

l’autre , ou tous les deux, parmi les facteurs de # — ee

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE Er 69s À 1659. 1657. 217

4.35) 4.3 a.61
9.3 LAS Y.3805
z.5 Z.19 z.29718
ayy —2x 20 2 ayy— 22 D 2 ayy— ZX 20 1
quadr.quæf, eft quadr. quæf. à qu. quæf. à rad. 2yz

à radice 15 20 y2. rad: 209 % yz [(2x29718x 3805) x61 +1 =
[i5°x3+1—06°] [209°x3 +1=362*] —=(2x 29718 x 29718 + 1)°]

4.21 4.21
Ji 03
Z 90 9 Z 20 14
JE R3 . 2 — 433 D 7
x D 54 x 2 56
quadr. quæf. à rad. 12 quadr. quæf. à rad. 12

[r2®xo2r +1 =55*] [i2®xo1 +1 —=55]

$ 4.
1657.

© Numerum aliquem non quadratum elfe ut nofcatur.

Si ultima litera fuerit 2, 3: 7, ru per 5 non præcedente 2 numerus non erit
quadratus. + :. HE 118

Item fi definat per 1, 4,9, hbsttagut impari; vel per 6 precedente pari, non
erit quadratus, vel per 25 non præcedente 2, 6 aut o.

Item fi definat per imparem maitirudinem nullarum. vel per multitudinem o
parem quidem sed præcedentibus qui arguerent numerum non quadratum fi nullæ
adeffent cifræ.

Hæc Mersennus fere $). Quod fequitur noftrum.

#) Nous avons reproduit ici l'algorithme dont Huygens s’est servi pour l'extraction de la racine
carrée du nombre 421201.
$) Dans les petits calculs qui suivent Huygens déduit à l’aide de l’une ou de l’autre des règles qu'il

: À 222 222 s Û
vient de trouver quelques solutions { x — ou é = de l'équation n°
AYÿ—2% 22—4Y) 3

+ 1= 7°. On retrouve les trois dernières dans la communication de Frenicle, citée dans
la note 3. Les deux premières nes/y trouvent pas parce que Frenicle s’est toujours borné à
donner une seule solution pour chaque valeur de. Nous avons ajouté à la fin de chaque
calcul la solution à laquelle on est conduit.

5) Huygens fait allusion au passage suivant, qu'on trouve à la p.181 des ,,Novarum obser-
vationum physico-mathematicarum F. Marini Mersenni Minimi, Tomus III. Parisiis,

28

218 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

Numerus qui rejectis novenaris, (ut fieri folet inexamine
additionis) non relinquit 1, 4, 7 aut o non erit quadratus.

Quia enim ut fiat quadratus idem eft multiplicatus numérus ac multiplicandus;
neceffe autem eft ut uterque fimul horum rejectis novenaris relinquat 1, 2,3,4,
5, 6, 7, 8, vel o; sequitur productum quoque multiplicationis, hoc eft ipfum
quadratum numerum, abjectis novenarijs tantum relinquere debere quantum
quadratum alicujus harum fimplicium notarum, rejeétis itidem fi opus fit nove-
narijs, nam alias conftat multiplicationem non reéte fe habere. atqui quadratum
alicujus fimplicium notarum rejeéto quoties poteft novenario relinquit 1,4,0aut
7. Ergo omnis quoque quadratus numerus abjeétis TT relinquie ir, 457
aut o, quod erat demontftr.

Numerus qui rejectis novenaris non relinquit 1, 8 velo
non erit cubus.

Proprietas illa infignis novenari in examinandis omnium fpecierum fuppu-
tationibus (nam etfi nonnulli examina iftiufmodi rejiciant, magnam tamen utili-
tatem habent, quod certos faciant, vitiofum effe calculum, quoties numeri non
refpondent) non aliunde eft quam quod 9 proximus eft 10,cum denariâ pro-
greffione numeri fcribantur; quod facile effet oftendere. Si itaque alia progreflione
numeri fcriberentur, alterius numeri nec amplius novenary illa effet proprietas.
Veluti fi non ultra feptem fimplices charaéteres adhibere placuerit, adeorme
fecundi loci numerus oétuplum:faciat primi, et tertij loci numerus otuplum
fecundi, &c. jam feptenarij eadem prærogativa erit ut examen per ipfum poflit
infticui, ficut alias per 9 folet: Foret autemrfecundum hanc oétonariam pro-

greffionem pro 8 fcribendum 10, pro 9, 11, pro 20, 24, &c. quod facile eft intelli-

gere. Quod fi vero dati quivis numeri fecundum denarium progreffum fcripti;
continuo ad oétonarium reduci poffent, prodeffet hoc ad alterum inftituendum
examen cujusvis arithmeticæ operationis, pofteaquam jam per 9 experti effemus:
juvaretque præterea in quadratis numeris difcernendis, de qua re modo egimus.
Verum reduétio illa expeditè fieri non potest; fed tabulam: primo conftruere
necefle eflet; rum deinde molefta atque infolita additio peragenda. Hoc incom-
modo evitando aliud compendium inveni, tabellà nimirum conditâ quæ oftendat

Sumptibus Antonii Bertier, MDCXLVIL”: ,,Cüm autem scirevolueris an numerus sit qua-
dfatus, vide num desinat per hos numeros, 1 , 4, præeunte numero pari; vel per 6, impari
præcedente; vel per 25, cum 0,2, aut 6 antecedentibus, vel denique per oo præeuntequa-
drato, hi si quidem numeri sunt quadratorum indices: vt non quadratorum 2,3,7,8,vel5,
nisi præeat 2”. Évidemment l’omission du 9 après les nombres r et 4 est due à l’imprimeur.

TT ET De

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 219

de fingulis denarijs, centenarijs, millenarijs, &e., quantum quifque relinquat
feptenarijs abjeétis, five per 7 divifus, cujus tabellæ conftruendam rationem
primd , deinde ufum exponam.

10 9 8 D 18 5 4:74 2 I

ei EE 3 I SUV OARAR IC LS 4 LE
ES D mir er CE UE AURAS RE
di fre Sd: Bad Bobbobe 5 rtf bn ES Us
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CS he. De ds: où Ve doi. Get, 20 0 dl ee LOS OS DE pe 5
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6 2 3 1 6 SD ES CEE CE 1 |8
salé) s |: basdabhél.:2.l

Charaéteres fupernè infcripti denotant ordines numerorum fecundum denarium
progreffum fcriptorum. Scilicet qui fub 2 in columna habentur ad denarium per-
tinent, qui fub 3, ad centenarium, &c. Qui autem ad latus adfcripti funt charac-
teres indicant ad quotum denarium , centenarium, millenariumve &c. pertineant,
qui in eo tranverfo ordine continentur. [taque in columna fub 1 , continentur
ij numeri quibus numeri fimplices feu primi ordinis excedunt feptenarium nec in
his nifi duo maximi 8, 9 feptenarium excedunt. [n columna fub 2, continentur 1j
quibus denarij five odi ordinis numeri feptenarium vel feptenarios excedunt.
Primi nempe denarij exceffus eft 3, fecundi five numeri 20 exceffus fupra fepte-
narios eft 6, atque ita de cæteris. qui quidem facile inveniuntur. Nam cum com-
pertum fit primum denarium excedere per 3, ut hinc fciam quid exceffus fecundi
denarij, multiplico ipfum 3 per 2 in columna laterali fitque 6, quod in concurfu
utriufque ordinis colloco.

Rurfus ut tertij denarij exceffum fupra feptenarios invenio multiplico 3 laterale
in idem 3 exceflum fc. primi denarij fiuntque 9 quæ rejeéto feptenario relinquunt
2, quod fimiliter in concurfu ordinum colloco. Et fic tota columna fub 2 confe-
quenter perficitur.

Rurfus ut primi centenarij exceffus habeatur five primus numerus in columna
fub 3,duco eundem rurfus exceffum denarij 3, in feipfum, fiunt 9, et rejeéto fepte-
nario, 2, qui eft exceflus primi centenarij quæfitus. Nam cum denarij exceffus

220 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

fit 3, neceffe eft eum qui fic ex du@tu denar:ij in fe ipfum, hoc eft primam cente-
narium excedere (colleétis in unum omnibus charaéteribus cum per oétonarium
progreffum fcriptus erit) quantum 3 in 3 duétum , feptenarium excedit ; quoniam
videlicet eadem tunc feptenarij proprietas eft quæ folet alias effe novenarij in
multiplicatione. Cognito autem exceflu primi centenarij 2, ut habeatur exc.
fecundi centenarij ducendum eft rurfus 2 laterale in ipfum exceffum 2 fig pro
quæfito exceffu. atque ira porro columna hæc ac deinceps tota tabella repletur,
eftque animadvercendum poftquam fupremus columnæ numerus idem contigerit
cum aliquo fupremorum columnæ alicujus præcedentis, quod ex inde eædem
columnæ in ijfdem numeris revertantur, adeo ut defcribere tantum fit opus. ut hic
in 7a columna fieri cœpit.

Dato itaque numero aliquo fecundum vulgarem denariam progreffionem fcripto
velut 853824, fi fcire velim quid reli@turus fit abjectis feprenarijs fi ad oétonariam
progreflionem reducatur , fcribo, fub 8 quod fextum locum occupat, $, quia hoc
invenio in concurfu columnæ fub 6 et tranfverfi ordinis cui adfcriptum eft 8. Et
conftat fane, fi numerum 800000 totum per oétonarium progreffum exprimerem,
rejeétis poftea feptenarijs fuperfuturum 5: ex conftruétione nimirum tabellæ.
Rurfus fimili ratione invenio pro charaétere fecundo numeri dati qui eft 5, fcri-
bendum effe 6, quod fub diéto charactere 5 repono: atque ita de cæteris omnibus,
ut datus numerus cum fubfcripto fit.

853824
564264

Hic jam fubfcriptus rejectis feptenarijs tantundem reliéturus eft , atque integer
numerus datus fi ad oétonarium progreffum reduétus effet; relinquit autem 6,
idque patet ea fimplici notarum additione rejeéto quoties opus eft 7nario *),

Poffunt itaque numeri ex multiplicatione vel alia operatione arithmetica orti
hac ratione immutari ut inde, per feptenarium, examen eodem modo inftituatur
ficut folet per 9. Quanquam etiam abfque ulla immutatione idem examen inftitui
poteft, fed tunc per 7 dividendum eft: veluti in multiplicatione, primum uterque
numerus qui fefe invicem mulriplicant per 7 dividendus eft, et reliquum ab
utroque in fe invicem ducendum et videndum quis fit exceflus produéti huüjus fupra
7.9 cum quo idem effe debet exceffus produ&ti muliplicationis per 7 divifi. Unde
conftat omnem numerum quadratum five hoc modo five præcedenti per 7 exami-
natum relinquere debere 1, 2, 4 aut o *). Quod eodem modo demonftratur ficuti

1) Cette méthode de Huygens pour déterminer le résidu de la division par 7 ressemble beaucoup
à celle de Pascal exposée dans l’ouvrage ,, De numeris multiplicibus”, qu’il présenta en 1654
à l’Académie Parisienne mais qui ne fut publié qu’en 1665 avec le ,, Traité du triangle arith-
métique” (voir les p. 313—339 du T. 3 des , Œuvres de Blaise Pascal”, citées dans la note

4 de la p. 196).
Toutefois les méthodes de Huygens et de Pascal diffèrent en ce que Pascal ne se sert que

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 221
fupra de examine per 9 oftenfum eft, nempe quod illic quadrati numeri relinquant
femper 1,4,7 auto.

Faéto itaque examine per 9, fi non deprehendatur non quadratus, neque ex
finalibus notis agnofcatur, deinceps per 7 explorandus eft, Sed antea potius per
11, quoniam expedita eft magis operatio, ut jam oftendemus.

Tabella fequens indicat quo exceflu quilibet denarius, centenarius, mille-
narius &c. fuperet undenarios , eftque eâdem methodo defcripta, qua præcedens
ad feptenarios pertinens. Hujus autem ufu non indigebimus, fed eo tantum pro-
ponitur ut demonftrentur proprietates quædam numeri 11. Nota r fignificat 10.

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AE a A A dE À
Buts sk 6. L%æ: E:-6: LG
Bibe#\ 7: bed #78
8 als la | S' 18
g2Pe ah gp a nb gi

Apparet autem numeros in columnis alternatim reverti eofdem, quod necef-
fario contingere ex conftruétionis ratione manifeftum eft. Dato itaque numero
aliquo fecundum confuetum denarij progreffum fcripto fi velim ipfum reducere
ad alios charaéteres, ita ut examen per 11 ex colleétione fimplici notarum peragi
queat, (fit verbi gr. numerus datus 255481) liquet omnibus locis imparibus, à
dextra incipiendo, nempe primo, tertio, quinto &c., eofdem charaéteres haberi
quos ex tabella fubftituere oporteret; locis autem paribus illos fore fubitituendos

quibus quifque datorum charaéterum ab 11 deficit. Veluti quia fecundo loco
habetur 8, fubitituetur 3, et fic de ceteris. Hoc cum conftet, nihil opus effe

de la première ligne du Tableau de la p. 219, de sorte que pour trouver le résidu septénaire
du nombre 853824 le calcul se fait comme il suit: 8 X 545 X4+3X6+8X 2+2Xx
X3+4X1=104;1X2+4X1—=6.

2) Comparez l’Appendice II à cette Pièce, p. 229 du présent Tome.

222 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

video ut datus numerus in alios characteres tranfcribatur, fed tantum ut primd ex
notis locorum imparium undenarius rejiciatur quoties poteft (hic ne femel quidem
poteft fed fiunt 10 ex fimplici additione notarum 1,4, 5,) deinde ex notis loco-
rum parium undenarius fimiliter quoties poteft rejiciatur, (fit hic exceflus 4),
atque pofterior hic exceffus a priore auferatur , qui quidem fi minor eft augendus
eft undenario; reliquum enim fore quo totus numerus datus undenarios füperat
five id quod fupererit cum per 11 dividetur. fit autem hic 6. Et hic quidem exa-
mandi modus expeditus eft fere æque ac qui per 9 folet ufurpari. Utique fi hoc
quoque obfervetur in additione fimplici notarum et quoties fupra 19 afcenderis,
veluti ad 17, &é , auferas tantum finiftram notam à dextra nota velut hic à à 7 fit
6; unde fcias exceffum ipfius 17 fupra 11 effe 6. nam hoc facilius cogitatione fit
quam fi ex 17 demas 11. |

Porro ut quadratos numeros hoc examine exploremus fciendum eft omnem
quadratum per 11 divifum relinquere neceffario, o, 1,3,4, 5 aut 9 adeoque fi
per examen inveniatur exceflus, 2,6,7, 8 aut 10, non erit quadratus numerus.
Cujus ratio eadem eft quam fupra de quadratis per 9 explorandis dedimus, vel
in univerfum hæc erit, quod quoties numeri duo figillatim per aliquem numerum
dividuntur, atque utriufque refidua, in fe invicem ducuntur , ejus produéti excef-
fus fupra eundem illum diviforem idem erit cum exceffu qui haberur fi produétum
duorum ab initio diétorum numerorum per eundem quoque diviforem dividatur.

Sint propofiti numeri 4 et b, et fumatur divifor c. Et divifo 4 per c fiat quotiens
d et refiduum e. Rurfus divifo à per c fiat f quotiens et refiduum g. Eft igitur
dc+e o a et fc+g > b. Quare 4b produétum numerorum erit 2 dfcc + deg +
+ fce + eg. Quo divifo per c apparet refiduum fieri eg, (omnibus reliquis parti-
bus per c divifionem recipientibus), quod idem eft cum refiduo produ@i duorum
refiduorum e et g per c divifi. quod erat demonttr. *)

Ex hoc theoremate proprietas undenarij quæ ex præc. tabella colligitur demon-
ftrari poteft quod nimirum quilibet numerus unum characterem
habens, cum fequente pari numero cifrarum, per 11 divifus
tantundem relinquat, atque ipfe characterinitialis unitates
denotat. Ut fi 700 per 11 dividatur relinquetur 7, fi 40000 , relinquetur 4, &c.
Numerus autem unum charaéterem habens cum adjeétis cifris imparibus, fi per 11
dividatur, tantum relinquet quantum charaéter initialis ab 11 deficit. Ut fi 3000
vel 30 per 11 dividas fupererit 11—3 hoc eft 8.

Tentato examine per 8, inveni id ad tres extremos characteres tantum pertinere

quia 1000 per 8 divifum nihil relinquit, ideoque etiam omnes numeri quitres

1) On rencontre à la p. 337 du Manuscrit D une démonstration analogue du même théorème,
laquelle doit avoir été écrite vers 1673. Il ne nous semble pas nécessaire de la reproduire.

M en 2 à D on D

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 223

plurefve cifras adjeétas habent. Tres ergo poftremi charaéteres omnis quadrati
numeri fi per 8 dividantur debent relinquere 1,4 auto}. Ex tabella autem ad
ottonarium comparata inveni #), quadratos numeros quorum extrema eft 9 fic :
finire debere nempe | # 69 } m fignif. numerum imparem,

m 29
P 49 {| p numerum parem.
? 89
quorum autem extremo eft 1 fic finire debere | #7 21
m 61
P 41
p 81

?) Comparez l’Appendice II à cette Pièce, p. 229 du présent Tome.

3) Les résultats qui suivent sont incomplets. Huygens aurait dû ajouter aux deux colonnes
suivantes respectivement p 09 et p O1 , puisque p. e. 53° — 2809 et 51*—2601. Voici com-
ment on peut arriver aux résultats complets: Remarquons d’abord que le résidu de la division
par 4 ou par 8 de tout nombre carré impair est égal à l’unité. Il en doit donc être de même
pour le nombre formé dans le cas de 4 par les derniers deux et dans celui de 8 par les derniers
trois chiffres. On en peut conclure que le nombre formé par les derniers trois chiffres doit
prendre l’une ou l’autre des formes: 1002 + 84 + 1 ou 100 + 84 +5 et que dans le
premier cas (celui de 87 + 1 —o1, 09, 41, 49, 81 ou 89) le chiffre des centaines doit être
pair et dans le second (celui de 83 + 5 —921, 29, 61, 69) impair, puisqu’autrement le
résidu de la division par 8 ne serait pas égal à 1 mais à 5.

4321
0101010
o|4|21|1
olol4}l2
ol416/3

lololo|4
lolalols
lolol4lé

ol4l67

ololo|ol
ol4lel1

VO © " OÙ Un BR ww

On peut admettre que des raisonnements analogues à ceux qui précèdent
ont été suggérés à Huygens par la considération attentive du tableau pour les
résidus de la division par 8, qu’on trouve ici à côté. Alors l’omission de la
première ligne, qui manque dans les tableaux des pp. 219 et 221 , explique-
rait le résultat incomplet de Huygens. En effet, prenant 1 pour le dernier
chiffre, le tableau apprend qu’on peut combiner ce chiffre avec o, 2, 4, 6 et 8
comme avant-dernier chiffre, mais que dans le premier, le troisième et le
cinquième de ces cas le chiffre des centaines doit être pair et dans les autres
impair. Or, c’est précisément le premier cas, dépendant de la première ligne
du tableau , qui à été omis par Huygens.

Dans quel but Huygens cherchait-il tant d’artifices pour reconnaître si
un nombre donné peut être un carré? Il nous semble que ce but n’est
pas difficile à deviner, vu les recherches qui précèdent. Il s’agissait proba-
blement de trouver par tâtonnements des solutions de l’équation de Pell
au® + 1 = y?, ou bien des équations, comme p.e. 4ÿ° — 1 = 2°, ou 47° +
+ 2 —z°, de la résolution desquelles Huygens avait fait dépendre celle de
l'équation de Pell; voir la p.214 du présent Tome.

Ajoutons que, nonobstant tous ces artifices, la méthode de Huygens

pour résoudre l'équation de Pell reste extrêmement laborieuse, comme il en convient lui-
méme dans sa lettre à van Schooten du 21 avril 1657 (p. 27 du T. Il). Fermat et Frenicle

224 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À ne

e sena rer dagér sont sina) pt gage aie
412231 ei La tA PRE me f 38
sa OES ETS PETER # aus CROSS ms
7929645 slt à * A j'ation sale» her:
5286430 En diiaues
5286430
2643215
10572860
1089615162665

RUSSE RS

Fato examine per gtium fi convenire numeri inveniantur , erunt 9 part
reéto calculo, 1 pars pro vitiofo. Faéto Se de per 1 che erunt 11 partes
reéto, una pro vitiofo. " Œ* bise

_ Peradto” vero tum per 9m tum per 1 : EL, xan
tur, erunt 99 PRIE pro Fato culs una pro a Er v

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15 à
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en SH sans pra de bite er ont tenues

une qui permit d’arriver à une solution même dans les cas K
posés par Frenicle, comme p. e. le cas z = 109. Voir sur cette
1658 dans le ,Commercium epistolicum”, le $ 3 de l’Appendice

{} ra] 2 (1 Mit F2 PAT IEE
a KE Non FE LANG GACOET SSII HR 44 Ge
) SET TOOSTENE SATIENNE ts DOME
3
;
“ar #
; À
LEA LE k
4 L
«Ys: n
HR

| APPENDICE 1 À LA PIÈCE N°, I).

mai SAIT 0 SHAEONT RAR mit L Fa BTE
| Res fu AE, a” LE ae D 2 FR pl ER ra#f:
munie) ntp vai surgit a 6:

D nul: gite h THIS 2 1 f FR

ternriqf ose anis signe ei + &i ru di an 30 fes de titi À De ol

= fuppofitio M. rd mRouhoEéé dés:

D 7 AT COMTE bord" unreun roshoi

4

À ÉtLs
20 mm one Et \ de à = sbilist niv)

__ 4nxx += ae Rép l es
nn — . TO nn—onxx + xt

Nasa EE ‘AaBManeenitiA on été certes à
; Ir : Wallis en 1658 (voir la note 3 dela
ortent aux solutions qu’on y trouve du problème de
: voir les p. 213—217 du présent Tome). Huygens
D cité à Wallis du 6 ne 1658,

lle ve à la pts
ME bre” et EN note 10

226 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

Oportet effe num. integrum ——
n—XX

s ar +
—DX ——"!)
nTT —Ss

*

f2?°).

a. hoc eft fi numerus 7 talis fit ut quadratum proximè majus unitate ipfum
fuperet velut fi 7 2 3 vel 8 vel 15 &c.

hic 4 © 1 erit quadratorum quæfitorum unüs, quia differentia inter quadratum
illud proximum et # in qu. aliquod fcil. 1. cum fit r, metietur reétangulum e
radicibus utriufque quadrati.

B. hoc eff fi num. # talis fit ut qu. proximé majus amplius quam unitare ipfum #

fuperet. |
y. ante enim tranfiri hoc modo nequit. amplius autem expeétandum non eft,

fiquidem quæritur 1 pro differentia.

ca+V/ nd°+b
5 D 4

d. quia fcilicet

5) Il s’agit donc de choisir les nombré$s et r de manière que 2sr soit divisible par #7 —55,
25r , À
auquel cas 4 = = — représentera une solution en nombres entiers de l’équation ##°? +

+ i1—71?, Dès ce moment Huygens doit s'être aperçu de l'identité de la méthode de
Brouncker avec la sienne telle qu’on la trouve exposée au début du $ 3 à la p. 214, où une
2y2
ayy—22
p.212 du T.IT, où on lit: , Ego canonem tantum inveneram eundem fere quem pagina 57”

(p. 789 du ,, Volumen alterum””) ,,et alibi adducis”.

?) L’annotation qui suit se rapporte entreautres à une méthode exposée par Wallis à la p.63 du
»Commercium” (p. 792 du,, Volumenalterum”). Posant »—6? — 3, Wallis en déduit 14°? —
= (ca — à) — & + 2acd — ba’ et il remarque que le nombre 4 sera une solution de l’équa-
tion au? + 1 —Y? toutes les fois qu’on aura: 9? — oucd+- ba? = 1, c'est-à-dire, 4 —

solution de l’équation 44° + 1 — »? est obtenue de la forme de 5 de . Voirla
q z

_ Cdt Aa a À Après quoi Wallis continue: ,His positis. Ut cognoscatur 7, quæren-

dum erit... quis quadratus ductus in numerum datum, assumpto numero, faciatquadratum ;
(ut nempe 1’#4°? + 2 sit numerus rationalis integer). Quod quamvis videatur nihilo facilius
reperiri posse quam quod primum petebatur; tamen hinc magnum futurum operæ compen-
dium, certum est, quia Z...minor semper erit quam #...adeoque citius eo pervenietur ubi
habebitur defectus 2, quam ubi defectus 1.” , etc.

see at nt ni à te og

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 227

; S3°).
Problema Fermatij.

Datus eft numerus aliquis non quadratus ut 5. oportet invenire quadratum qui
in 5 duétus, addita 1 faciat quadr.

Methodus Brounkeri +). 544 + 1 % 444 + 4ab + bb
aa + 1 2 44b + bb 5)
82>a>4bs)

aDa4ab+c

16bb + bc + ce + 1 50 16bb + 4ch + bb
abc + cc + 1 bb
5c>b>ac7)
- bo 4c + d

3) Dans ce paragraphe Huygens examine une méthode exposée à la p. 71 du ,Commercium?
(p.797 du, Volumenalterum””). Afin de s’assurer si elle est exacte et expéditive, il l’applique
_ à un autre exemple que celui choisi par Wallis, c’est-à-dire à l'équation 54? + 1 —+°.
4) La méthode qui suit doit en effet être attribuée à Brouncker. Il est vrai que Huygens dans sa
_ lettre à Wallis du 6septembre 1658 (p.211 du T.Il) l'appelle: ,,tuanean Illustri. Brounkeri,
neque enim satis certo id significas, methodus pagina 71 exposita”; mais Wallis lui répond
(p. 297 du T.II),,. . . Methodum illam quæ pagina 71. occurrit, quæ est Hlustris Brounckeri
magis quam mea Cquod data me satis innuisse putaveram) licet eam mihi deinceps reli-
_ queret exponendam”.
5) En posant ==1,4—=4, on ‘obtient une première solution de l'équation sui;
mais Huygens suppose À > 1 et par suite 44 > 4ab, ce qui fournit la limite inférieure de
_ l'inégalité qui suit.
qe Il.eût été plus conforme à la méthode ss Brouncker d'écrire : 5b>a > 4b. Voici, en effet,
_ l’artifice par lequel Brouncker obtient les limites. Pour 4 = 4h on a 4° + 1— 166° +1<
< 4ab + b° = 16h? +-b°; pour 4—= 5h on a au contraire 4° +-1—254°+ 1 > 4ab “|
as b—921h?, On en peut conclure que s’il y a une valeur entière et positive de # qui satis-
… fait à l'équation 4° +- 1 — 44h - b° , elle doit être située entre 4 et 54, l’autre racine de
_ cette équation étant négative.
7) La limite inférieure se trouve en remarquant que nécessairement 4bc < bb.

228 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1650. 1658

17e 4cd + 1 50 160€ + 8cd + dd
CC + 1 20 4Cd + dd
C2 44
1644 + 1 > 1744
ft Di '),cæ04,b%017,4%072,aa[0] 5184, 54 +1 [oo Ja59et
Lushéiet 161 [Aer ASE 25921 bon.
14 | Te qu 8 nastabeng nor upils earste Bo ess Cl
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4 RQ: 34 (ia ire

Nas qi Er
tel À HER QE)
ri “

_nière équation est satisfitee en ponaiélti l’inconnue égale ar inité, oi!
ne er qu ’il existe une solution en nombres n as

SCoosthakr él", p. 8 LE Croik les p. 804—805 du
+-1=%°,0ù la solution la plus simple # — 151404 51c
ration de 29 équations. Elle fut donc louée à juste titre par
Wallis ie la p. 211 du T.Il):,,Præ cæteris mihi aise tee

tuta, nequaquam scis quam diu cond ele “tibi de tr ()
obtineas, ideoque nec omnino certus esse potes an unquam eo
inquis pagina 82, differentiæ b, c, d, &c. numeri integri et contir
tandem ad unitatem deveniri necesse est. at revera ex tua ta
integri coque illud supponere videris quod erat demonstrandum”. asian) pain

APPENDICE II À LA PIÈCE N°. IN).

[1657].

Tout nombre apres 2 eft ternaire + o ou + 1 ou + 2
donc tout nombre quarrè apres l’unité eft tern. + o ou + 1 ou + 1
Tout nombre apres 3 eft quaternaire + o ou +- 1 ou + 2 ou + 3
donc tout nombre quarrè apres 1 eft quat.e + o ou +- 1 ou + o ou +1
donc tout nombre cube apres 1 eft quat.e + o ou + 1 où + o ou — 1
Tout nombre apres 6 eft feptenaire + oou<+ 1.2. 3. 4. 5 6
dong tout nombre quarrè apres 4 eft feptenaire + oou<+ 1.4 2 2 4 1

donc tout nombre cube après 1 eft fepten. + o. Li 1.+I—1.—1
Tout nombre apres 7 eft oëtonaire + o. 1. 2. 3. 4. 5. 6.7

donc tout n. quarrè apres 4 eft otonaire + 0. 1. 4. 1.0. 1.4.1

donc tout n. cube apres 1 eft oétonaire + 0. 1. 0. 3.0. $. 0.7

c’eft a dire eft oétonaire ou octonaire plus un impair.
Tout nombre apres 8 eft novenaire +o. 1. 2. 4, 6.7: 0

2, 3.4.
donc tout n. quarrè apres 4 eft novenaire + o. 1. 4.0.7. 7.0.4. 1
donç tout n. cube apres 1 eft novenaire + 0. 1.—1.0.1.— 1.0. 1.— 1.5)

De tout quarrè les 3 derniers caracteres font un nombre oétonaire, ou oétonaire
+ 1 Où + 4.

De cout cube les 3 derniers caraéteres font un oétonaire ou un oétonaire +- un
impair.

Si l’on divife deux nombres par un autre nombre chacun apart, et que l’on
multiplie les deux refidus enfemble, ce produit, ou (s’il peut eftre encore divifè
par le mefme nombre) le refidu, fera egal au refidu qui fe fait quand on divife le
produit des deux premiers nombres, par le mefme qu’on a pris pour divifeur.

ITR

*) L’Appendice, qui contient des recherches analogues à celles du $ 4 de la Pièce N°. III , est
empruntée à une feuille détachée. II a probablement précédé cette Pièce. Voir les notes 2 des
pp. 221 et 223 du présent Tome.

3) Vers 1690 Huygens s’est occupé du même sujet, puisqu’on trouve à la p.714 du Manuscrit G
les trois théorèmes suivants qui y sont déduits de la même manière que dans cet Appendice:
»Omnis quadratus numerus rejeétis 9, relinquit o vel 1 vel 4 vel 7. Omnis cubus

rejeétis 9 relinquit o, 1 aut 8. Omnis cubocubus rejectis 9, relinquit o aut 1”.

IV
[1657].

Confiruëtio locorum planorum , cum punËtum ef} ad lineam rettam.

Pofito x pro diftantia feu linea à certo punéto fumpta, et y pro linea quæ à cer-

mino prioris ad certum angulum eduéta eft, cum fi reperiatur æquatio hujufmodi

ax
J Dee?)

erit locus punéti ad lineam reétam quæ hoc modo invenitur. Si habeatur + e,
ponenda eft à punéto unde fumpta fuit x, in dato angulo, linea ipfi eæqualis atque
in eandem partem verfus quam fumpta fuit y. at in partem contrariam fi habea-
tur — €.

Porro ex punéto unde x fumpta fuit, capiatur in eadem red, et verfus eandem
partem in quam tenditx, recta æqualis p. ‘aie hujus termino in dat angulo ftatua-

tur recta æqualis 4, quæ, fi habeatur + Æ , fumenda eft eo verfus quo fumpta

; : ax
eft y; at in partem contrariam cum habetur — q Inde ducatur quæ cum A

mis hifce duabus triangulum conftituat. tan-
demque ultimo duétæ parallela agatur à ter-
mino ejus quæ fuit ipfi e æqualis fumpta. Hæc
erit locus quæfitus.

fit y 20 + e— T3). <

1) La Pièce occupe les p. 273275 du Manuscrit N°. 19.
2) Les gros points indiquent qu’on peut appliquer à volonté le signe H ou le signe —
3) Voir la figure à côté qui donne la construction de la droite qui correspond à cette équation.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 231

Confiruëio loci plani cum punélum ef? ad circuli circumf.

Si habeatur æquatio in qua reperiatur inter quantitates ipfi yy æquales — xx;
nullus autem terminus ubi xy. fuerintque x et y fibi mutuo ad reétos angulos erit
neceffario punéti quæfiti locus ad circumferentiam cireuli. Ut fi fit æquatio

yy © 2by + bb — aa + cc + 24ax + dx — xx.

Ut autem conftruatur, redigenda eft primum folito more #) ad hanc y >
D b+|/2bb—aa+cc+oax + dx —xx. Vel pofito 2bb — 44 + cc D pp et

24 + d 5 qad hanc, y 0 b.|/pp+qx—xx.
Apparet jam, quod fi quantitatibus quæ in |/” continentur addatur rurfufque

adimatur 34» fiet y 20 N/D 3399 + gx — xx eruntque quantitates
eædem quæ prius. Eft autem — 211 + gx —xx quadratum à radice 4 — %. abla-

tum à quantitate pp +- 114: Ergo hinc inventum eft, quoties habetur y 3.2.

*]// pp + gx — xx, conftruétionem hoc modo exequendam.
Nimirum à punéto unde x fumpta eft 5) fumatur in eadem linea 4 inque par-

tem candem, fi in }/ habeatur + gx: fed in contrariam fi habeatur — gx.
Super hujus lineæ terminum ftatuatur perpendicularis æqualis b, in eandem
partem quo fumpta fuit y, fi habeatur +2; at in contrariam fi habeatur — 4.
Terminus perpendicularis erit quæfitæ circumferentiæ centrum; femidiameter

vero\/ pp + 3

_

4) Voir p. e. la p. 15 du T. XI.
5) C’est-à-dire : l’origine des coordonnées.

pa mie ne alé ave ds

Vo.

[1657].

Aug. 1657.
Demonftratio mea Propos.is 47 lib. 1 Euclidis.

F Efto triangulum reétangulum ABC reétum
habens angulum ABC. Dico quadratum ex
AC æquale effe quadratis ex AB, etex BC
/ @ fimul fumptis.

3 Defcribatur enim fuper AC quadratum
. ADEC; fuper AB vero et BC quadrata AH,
CF. Et producatur IA ufque in L ut fit AL
æqualis AÏ, et jungatur LC, fimiliter produ-
catur CG in K, ut fit CK æqualis CG, et
C jungatur KA; et ducantur etiam KE, KD,
: et per K agatur MN parallela AC.
Quoniam itaque anguli ABC, CBF , uter-
à que reéti funt, reéta linea eft FBA : eftque
ipfi parallela GK. Quamobrem cum inter
cafdem parallelas fint quadratum GB et trian-
gulum CAK, habeantque bafes GC, CK æquales, erit trianguli CAK duplum
quadratum GB. Sed et rectangulum ‘AN, duplum eft ejufdem trianguli AKC,

? E

* ?) La Pièce occupe la p. 47 du Manuscrit K. Une tradu&ion hollandaise fut publiée par J. Ver-
sluys aux p.25—26 de l’ouvrage ,Zes en negentig bewijzen voor het theorema van Pytha-
goras, verzameld en gerangschikt door J. Versluys, Amsterdam, 1914, A. Versluys.” Comme
M. Versluys le fait remarquer, il est bien curieux que parmi les démonstrations nombreuses
du théorème de Pythagore, qu’on a inventées plus tôt ou plus tard , aucune n’est identique
avec celle de Huygens.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 233

cum fint inter eafdem parallelas AC, MN, habeantque bafin eandem AC. Igitur
rectangulum AN æquale eft quadrato GB. Supereft ut oftendatur reétangulum
DN æquale quadrato AH. Quoniam itaque angulus uterque ACE, BCK retus
eft, ablato communi angulo ACK, fiet KCE æqualis angulo BCA, verum et
utrumque latus EC, CK æquale eft utrique AC, CB, fingula nimirum fingulis.
Ergo et reliquum latus KE æquale erit reliquo AB, et angulus KEC æqualis
angulo BAC *). Quare et ablato angulo KEC ab angulo reéto DEC ; angulo vero
BAC ab angulo reéto BAL, relinquentur anguli inter fe æquales KED , LAC.
Sed oftenfa eft KE æqualis AB, hoc eft ipfi AL:et ED æqualis eft ipfi AC.
Itaque cum triangulum KED, duo latera habet æqualia duobus lateribus trianguli
LAC, et angulum KED æqualem angulo LAC, erunt hæc triangula inter fe
æqualia.Eft autem trianguli KDE duplum reétangulum DN, cum eandem
habeant bafin DE et eandem altitudinem; trianguli vero LAC duplum eft qua-
dratum AH cum fint inter eafdem parallelas HC , IL conftituta, et bafes æquales
habeant LA, AI. Itaque necefle eft retangulum DN æquari quadrato AH.
Sed et reétangulum MC æquale oftenfum eft quadrato CF. Ergo apparet qua-
dratum totum DC æquari utrique fimul quadrato CF, AH; quod erat demonftr.

?) I s’agit en vérité de la quatrième (et non pas de la huitième) Proposition du premier Livre
des ,,Elementa” d’Euclide: ,Si duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant ,
vtrumque vtrique; habeant vero & angulum angulo æqualem sub æqualibus rectis lineis
contentum: Et basim basi æqualem habebunt: eritque triangulum triangulo æquale; ac
reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt, vterque vtrique, sub quibus æqualia latera
subtenduntur.” (Clavius, ed. 1507, p. 41.)

39

*) 8. primi ”).

és
PTE
: 3 LES SR
\ [ )
L2 e
\ _ -: ms : F
k LR AUTE x à 'RATEMÉL: ITA
1687. RE ef cs usR 66 EU
. Fe L L 5 As £ Hits re #4 3#

[Réduëtion de la #hBcbio de la parabole à la quadrature de rhyperole a de
la quadrature de la ge à du conoïde parabolique à celle du ataue L a

| [PREMIÈRE PARTIE *). ]

Fig. 1]
a
1 4 9 16 25 36 49 64 81
LR LS
8 16 4: 32.
ce dl. Ah Le
| 5
= te
2
9 AE a à
72
2} PA GS
L sn

1) La Pièce que nous avons divisée en trois Parties, a été DR ie pp. té etat du
livret du frère Philips que nous avons mentionné dans la note 4 pe 217 gs sr et: dns
ques feuilles détachées. FETES

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE +085 À 1659: 1657: 235

Sit LF parab. axis LM. tangens FK. Sit hijperb. BD æqualium RARE reéti
et cranfv.i et fit AB dimidium lat. cranfv.i ficut autem KF ad FM, five ut HF ad
HG ita fit ED ad AB. vel quod eodem redit #), ficut KM ad MF i ita fit AE ad
AB, Et compleatur [7] EC. Erit nifi fallor, circumferentia parabolæ LF ad
reétam FK , ut fpatium BDEA ad [7 ACDE #). Poteft fumi quævis hiperbola,
dummodo fiat, de five CA ad AB ut KF ad FM 5).

2) Cette première Partie, qui occupe la p. 39 du livret, expose les découvertes faites le
27 octobre 1657. Elle ne donne aucune indication directe sur la manière dont ces décou-
vertes ont été obtenues; mais consultez à ce propos les notes 4 de cette page et 2 de lasuivante.

3) On a, en effet, KF°: FM° — ED* : AB°; donc (KF°—FM®?) : FM°—(ED2—AB°) : AB;
c’est-à-dire, en appliquant une propriété connue de l'hyperbole équilatère, MK? : FM? —
— AE° : AB?, ou bien MK : FM = AE : AB.

+) La figure que nous avons reproduite en tête de cette ,, Première Partie”, contient plusieurs
lignes énigmatiques qui, peut-être, se rapportent en partie à des tentatives qui n’ont pas
abouti au but désiré. Toutefois il ne nous semble pas impossible de reconstruire à peu près
à l’aide de la ,, Deuxième Partie” qui constitue une démonstration en règle du résultat
obtenu, et de quelques autres indications, les raisonnements qui ont guidé Huygens. Dans
leur exposition nous nous servirons librement des notations modernes.

Son point de départ, indiqué par la suite de nombres qu’on trouve à côté de la figure,
était sans doute la remarque que dans la parabole x° — py, où les x sont comptés dans la
direction de la tangente au sommet L, les accroissements successifs des y pour des valeurs
4, 34, 54, 74, etc. de x sont proportionnels aux nombres 1,2, 3, 4, etc. On peut appliquer
cette remarque à la fig. 3 de la p.239 quisuit. Dans cette figure les ordonnées à gauche du
sommet B correspondent aux nombres 1, 4, 9, 16,25, 36, 49 de la suite prémentionnée
et les différences NF — GH = ND, OE — NF — OC — DN, etc. entre la troisième et
la première ordonnée, la cinquième et la troisième, etc. aux nombres 8, 16, 24, etc. Or,
puisque ces derniers nombres sont proportionnels aux abscisses des points de contact des tan-
gentes successives DG, CD, etc, menées à la parabole AEKFB, on est évidemment conduit à
une relation représentée par la formule As = y/1 + #°x°. Ax, d’où l’on peut conclure que
les éléments successifs de la circonférence de la parabole sont proportionnels aux ordonnées
d’une hyperbole y? = 4°(1 + #°x°). C’est la conclusion à laquelle Huygens arrive au Théo-
rème V ,p. 243.

Dès lors il est évident que la rectification de la parabole se réduit à la quadrature de l’hy-
perbole; mais si dans une telle hyperbole la première ordonnée AB [Fig. 1] prend la
grandeur #, il faut que la dernière DE ou de soit égale à 4ÿ/1 + k°x?, où y 1 + #°x2
représente le rapport de As à Ax pour le point F de la parabole. On a donc, comme le texte
l'indique, de (ou DE, ou CA) : AB = FK : FM. Or, de même que les éléments de la para-
bole, qui correspondent à des accroïssements égaux Ax, sont proportionnels aux ordonnées
hyperboliques 41/1 + #?x°, ceux de la tangente FK correspondant aux mêmes accroisse-
ments Ax sont dans le même rapport à la dernière ordonnée de (ou DE), d’où il résulte
que le rapport de la longueur de la parabole à celle de la tangente FK doit être le même que
celui de l’aire hyperbolique BdeA (ou BDEA) au rectangle Ad (ou AD).

5) En effet , dans la démonstration qui va suivre, et dans les énoncés donnés à diverses occasions

236 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

dato ergo centro gr. in hijperbola, inveniri poterit reéta periferiæ parabolicæ
æqualis *).

videtur conoiïdis parab.i fuperficies ad circulum redigi poffe *). Datà parabo-
licæ lineæ longitudine Hyperbolam quadrare *).

de sa rectification de la parabole, Huygens n’emploie plus l’hyperbole équilatère BD mais
une autre hyperbole , comme Bd , de forme arbitraire.

On trouve ces énoncés aux , Theoremata VIII et IX”, pp. 249 et 253 du présent Tome,
aux pp. 344, 435, Soi et 502 du T.II et à la ,, Prop. IX” de la ,,Pars tertia” de l”,Horo-

_logium oscillatorium”, p.77 de l'édition originale. Remarquons que Huygens y remplace

souvent la proportion CA : AB — KF: FM par leségalités CA — 2KF; AB— 2FM.

Ajoutons qu’on retrouve l'énoncé de l’,Horologium oscillatorium”” sans modification
essentielle à la p.95 du Manuscrit B, qui doit dater de 1662, et de même à la p. 38 du Manuscrit
N°. 13, où Huygens à une époque inconnue (probablement vers 1667) résuma les décou-
vertes principales qu’il avait faites jusqu’à cette époque.

1) Comparez le , Theorema VI” des ,, Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli ,
ex dato portionum gravitatis centro”, p. 305 du T. XI, et l’avant-dernier alinéa de la démon-
stration du ,,Theorema IX”, p. 253 du présent Tome. ”

2) Afin d’expliquer de quelle manière Huygens a pu arriver à cette conclusion, nous commen-
çons par faire observer que, comme nous l’avons vu dans la note 4 de la p. 235, les éléments
de la parabole LF (Fig. 1) sont aux éléments correspondants de la tangente KF comme les
ordonnées de l’hyperbole Bd sont à la longueur constante AC , où, si l’on veut, comme les
rectangles élémentaires qui représentent approximativement les accroïssements de l’aire hyper-
bolique ABde sont à ceux qui constituent le rectangle Ce. Or, il est évident qu’en faisant
tourner ces figures élémentaires, ceux de la parabole et de la tangente autour de KM, et ceux
de l’hyperbole et du rectangle autour de AC, l'égalité des rapports est conservée, c’est-à-dire
que les éléments de la surface courbe du conoïde parabolique, sont aux éléments de la sur-
face conique, décrite par KF, comme les éléments du volume engendré par l’aire hyper-
bolique ABde sont à ceux du cylindre décrit par le rectangle Ce. En outre, les éléments
successifs de la surface conique sont entre eux dans la même proportion que les éléments
correpondants du volume du cylindre Ad.

À l’aide de ces considérations Huygens a pu parvenir (comme nous l’expliquons plus loin
dans la note 8 de la p. 261) au Théorème XIII, p. 250, d’après lequel le volume engendré par

-le rectangle Ad est au volume engendré par la figure ABde comme la surface conique KF

est à la surface courbe du conoïde MLF. La quadrature de cette dernière surface dépend
dès lors de la cubature du solide engendré par la révolution de la figure ABde. Or , le volume
de ce dernier solide est égal à celui du cylindre engendré par le rectangle ACde, diminué
du volume du conoïde hyperbolique BCd; mais la détermination de ce dernier volume
avait été réduite par Archimède (voir la note 4 de la p. 263) à la cubature du cône derévo-
lution, c’est-à-dire à la quadrature du cercle. (3

Quant aux résultats obtenus par ces considérations on les trouve aux ,, Theoremata XV —
—XVIF”? (p. 264—267) et aux ,Problemata I et IL” (p.267—270) qui contiennent la
réduction de la quadrature de la surface du conoïde à la quadrature du cercle avec les
conséquences que Huygens en a tirées et les problèmes qu’il y a rattachés.

Sur la manière dont Huygens a publié ces résultats ou les a faits connaître à ses
correpondants on peut consulter les notes 1 de la p. 264, 4 de la p. 266 et 10 dela p. 267.

3) Comparez le dernier alinéa de la p. 253.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 237

[DEUXIÈME PARTIE *).]

[Derinrrio I.]

(Fig. 2.] Si circa parabolam

ab axe æqualiter fec-

' ANAL Key Ha ram defcriptum fuerit
rectangulum AEFC ean-
dem cum parabole ba-
fin eandemquealtitudi-
nem habens, Dividatur
autemlatus rectanguli
EF quod parabolam in
vertice contingit in
partes æquales quotli-
bet EG, GH, HK, KB,
BL, &c. numero pares.
Et ducantur ab omni-
busdivifionumpuncetis

À

2

rectæ parabolæ occurrentes, et axi parallelæ GM, HN, KO,

&c. atque per fingula occurfus puncta ducantur rectæ para-
bolam tangentes uti et a terminis bafeos A,C. hæ omnes fibi
invicem occurrentes, una Cum parte quadam tangentisin ver-
ticem, conftituent circa parabolen lineam quandam inflexam,
quæ vocetur ordinatè circumfcripta.

Hanc autem majorem efle liquet longitudine parabolæ cui circumfcripta eft,
quum enim utriufque idem fint termini AÀ,C; fintque in eafdem partes cavæ,
neceffe eft comprehendentem comprehenfa majorem effe, hoc enim et ab Archi-
mede in libris de Sphæra et Cylindro 5) fumptum fuit.

9 Cette partie traite, suivant la méthode des anciens, dela réduction de la rectification de la para-
bole à la quadrature de l’hyperbole. Elle est empruntée aux p. 47—60 du livret de Philips,
et ensuite à des feuilles détachées; voir la note 2 de la 248.

Nous avons introduit une division du texte en ,,Definitiones”, ,Lemmata” et ,Theore-
mata”, telle que Huygens l’aurait apportée s’il avait publié la Pièce, comme c’était sans
doute son intention, quoiqu'il n’y ait pas donné suite; consultez à ce propos sa lettre à
Kinner à Lüwenthurn, p. 503 de notre T. II.

5) Voici le postulat en question qu’on trouve au début de l’ouvrage mentionné: ,,Linearum
eosdem terminos habentium rectam minimam esse. Aliarum uero quæ in plano fuerint , si

=

238 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

[THEoREMA I. ]

Defcriptâ circa parabolen lineâ ordinatè, fi ab omnibus
flexionis punctis ducantur axi parallelæ quæ occurrant lateri
circonfcripti rectanguli ut funt PT, VQ [Fig. 2.], divident
hæ fegmenta prius facta EG, GH etc. bifariam.

[Fig. 2.] Conneétantur enim rectâ

H "re lineâ duo quævis inter fe

st à 5 g Œ proxima contaétuum punéta,
ut M, N, et occurrat reétæ
MN produéta VQin Z.i itaque,
quoniam ex punéto Q duæ
eduétæ funt parabolam con-
tingentes in MN, bifariam
dividetur MN raétus conjun-
gens in Z per 3o.oi. Con. 3:
quamobrem et GHin V bifa-
riam dividetur, cum tres hæ
ce MG, NH, ZV He iniee fe
parallelæ. Similirer ratione.
liquet etiam fegmentum KB

F)

axi proximum à tang. RS bifariam dividi in S.

2

LÉ À 0: 1 ds 4 Ci
Let 4 À À

['THEOREMA da He
Si circa parabolen ab axe fuo eo divifam linea or-
dinatè circumfcripta fuerit, et à fingulis punctis quibus

RÉ GO i: Di, SD6ST
eosdem habuerint terminos, eas inæquales esse, Vbi autem ambæ in easdem partes cauæ
fuerint, ut uel altera tota comprendatur ab altera, vel altera earum ab alterius superficie, &
recta eosdem cum illa terminos habente contineatur : uel quidpiam ipsius contineatur, quid-
piam uero habeat commune cum altera, & comprensam esse minorem” (voir la p. 2 de
l'édition de Bâle, citée dans la note 3, p. 274 du T. XI, ou les p. 9—11 du T. pee l'édition

de Heïberg, citée dns la note 2, p. 50 du T. XI).
1) I s’agit de la , Prop. XXX du ,,Lib. Il” des ,Conicorum libri quattuor” * d'Apollonius. Voir
la p.55 verso de l’édition de Coma dite citée dans la note 4 de la p. 6 de notre T. I où l’on
lit: ,Si coni sectionem, uel circuli circumferentiam duæ rectæ lineæ contingentes in unun

punctum conueniant : déswicter : quæ ab eo puncto ducitur, lineam tactus coniungentem
bifariam secabit.”

di.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 239

inflexa eft ad parabolam rectæ ducantur axi parallelæ eæ
omnes inter fe æquales erunt.

[Fi Sit enim parabolæ ABC linca
8. 3-] ft
circumfcripta ordinatè, et ab in-
© M_N D de flexionis angulis C, D, G, &c.
H | du&æ fin CE, DF, GH &c. axi
parallelæ, dico has omnes fibi
F æquales effci.
K Producantur namque binæ quæ-
vis ipfarum fibi proximæ ut EC,
DF, donec occurrunt ei quæ tan-
£ git parabolam in vertice, in O
| et N.
Producatur item MK, quæ
À € definit punétum conta@tus reétæ
CD, et occurrat re&tæ EF in L.
Quoniam igicur per præced. lineæ DN, CO bifariam fecant æqualia fegménta
tangentis in vertice; Erunt quoque hôtum dimidia NM, MO æqualia quare et
EL æqualis LF. ER autem LK diameter parabolæ per cujus terminum duéta eft
tangens CD. Ergo per 5.2i Con. ?) erunt CD , EF parallelæ. ac proinde paralle-

lJogrammum erit CDFE, ideoque æqualia inter fe , oppofita ipfius latera, CE,

DF.. Eodem modo demonftrabitur DF effe æqualis GH, atque ita continuè
procedendo omnes tandem à punétis flexionum eduétæ inter fe æquales effe
oftendemus.

[THrorEMA III. ]

Data parabola ab axe fuo æqualiter divifa, poteft circa
eam linea ordinatè defcribi, quæ fupercft parabolæ exceffu
qui fit minor quavis propofita linea.

Sir enim data Parabola qualis diéta eft ABC , lineaque propoñita D [Fig. 4.1.
Sumatur in axe parabolæ à vertice B intervallum BE, quod fit duplum lineæ D.

?) Voir la note 32, p. 108 du T. XI.

240 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

Et ducatur ordinatim applicata EV. Defcripto itaque circa parabolen reétangulo
AQRC eandem bafin eandemque cum ipfa altitudinem habente, poteft ipfius
latus QR, quod parabolam contingit in vertice, in partes dividi æquales numero

pares ita ut fingulæ earum fint

[Fig 4.] minores rectà VE. Sit faétum igi-
D tur, fitque partium una BF. Et ex
Fk?L & punétis divifionum duétis lineis axi

parallelis, quæ parabolæ occur-
rant, circumfcribatur per occur-
fus punéta linea inflexa ordinatè
AHGKL, dico eam fuperare para-
bolam minori exceffu quam fit linea
D. Ducantur enim ab omnibus
flexionum pun&tis lineæ axi paralle-
læ et parabolæ occurrentes ut funt
HM, GN, KO, LP. Punétaque
À: € fingula occurfus cum proximis fibi
jungantur rectis PO, ON, NM
ab extremis vero quæ bafñi proxima funt M et S ducantur reétæ ad terminos bafeos
MA, SC. Eft igitur infcripta quoque hoc modo linea A MNOPSC intra para-
bolam , eofdem cum illa terminos habens inque eandem parte cava, quæ proinde
comprehendente curva minor erit. Quia autem ficut in præc. oftenfum fuit ®),
MN eft æqualis HG , et NO æqualis GK atque ita unaquæ pars infcriptæ æqualis
parti circumfcriptæ fibi parallelæ ufque ab M ad S; Erit proinde tota pars
infcriptæ MNOPS æqualis parti circumfcriptæ HGKBLT. at verd duæ HM,
MA fimul majores funt HA, fimiliterque duæ fimul TS, SC majores TC; itaque
apparet totam Jineam infcriptam parabolæ unà cum duabus MH, ST majorem
effe tota circumfcripta. Quare multo magis parabola una cum duabus MH, ST
excedet quoque circumfcriptum fibi ordinatè. Si igitur oftendatur duas MH, ST
fimul minores effe data D; patebit minorem efle exceflunr ordinatè circumfceriptæ
fupra parabolam, quam eft diéta D linea. Illud autem hinc liquebit, lineæ HM,
ST fingulæ æquantur ipfi KO. Hæc vero quarta pars eft FI; cum fit FI ad KO
ut quadratum FB ad qu. BK, fitque FB dupla ipfius BK. Igitur duæ fimul HM,;
ST æquantur dimidiæ FI. Eft autem FI minor quam BE, quoniam FB minor
quam VE. Ergo duæ fimul HM, ST minores erunt dimidiàâ BE hoc eft datâ D.
quod demonitr. fupererat. 2

[Lemma [.]

Si fuerit feries quadratorum quorum latera eadem propor-
tione crefcant qua numeri ab unitate impares, eorum excef-

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 241

fus, quo unumquodque fibi proximum fuperat crefcent fecun-
dum fimplicem numerorum ab unitate feriem*).

[Fig. s] Sint in reéta AF fumptæ quotcunque AB, AC,
AD, AE, AF &c. quarum inter fe ratio eadem fit
g Auam numerorum 1, 3, 5,7; 9 &c. Sintque quadrata
ab ipfis defcripta BM, CN, DO, EP, FR. Sunt
igicur exceffus quadratorum gnomones B&GMNHC ,
# K CHNOKD , DKOPLE, ELPRQF , quos oftenden-
dum eft inter fefe effe ficut numeri deinceps abunitate
N / 1,2, 3,4, &c. Ducatur ex A diameter communis
Def omnium quadratorum AQ , fumptâque CM 3) BG,
agatur MS diétæ diametro parallela. Erunt igitur
AS © D £ FF omnes hæ inter fe æquales MH, NK, OL,SQ, et
fingulæ ipfi BC , quia fumpta fuit MC > GB hoc eft
AB, eratque tota CH % AC. Sunt autem et BC, CD, DE, EF inter fefe æquales.
quare æquales quoque erunt MN, NO, OS, et fingulæ ipfi GH. Fit igitur
trapezio BGHC fimile et æquale trapez. CMND. Hoc autem trapez. duplum eft
Ai GMH, (quoniam HM dupla eft MC) ac proinde æquale / 77° MHKN.
Ergo et CMND trapez. æquale erit parallelogr®. MHKN. Itaque trapez. CHKD
duplum eft trapezy CMND ideoque et trapeziÿ BGHC. Ideoque et gnomon
CKN +) duplus gnomonis BHM. Rurfus trapez. DNOE quia eft fimile et æquale
trapez.° CHKD , erit duplum quoque trapez. BGHC. /__7 vero KO ipfi trapez.
BGHC æquale eft, cum fit æquale /__7° HN. Ergo totum trapez. DKLE erit
criplum trapezij BGHC. Quare et gnomon DLO triplus gnomonis BHM. Simili
ratione quoniam trapez. EOSF fit fimile et æquale trapezio DKLE , eritillud
quoque triplum trapezij BGHC. at / 7 LS ipfi trapezio BGHC æquale eft. Ergo
totum trapez. ELQF quadruplum erit trapezij BGHC, et gnomon EQP qua-
druplus propterea gnomonis BHM. Itaque oftenfum eft gnomones omnes dein-
ceps crescere fecundum rationem numerorum 1, 2, 3, 4. Et patet eandem
progreffionem continuatum iri, quotcunque demum quadrata exponantur.

R

@P

SN

[THEeoREMA IV.]

Circa parabolam BAC [Fig.6], æqualitrer ab axe divifam,
linea ordinatè BEDIKF circumfcripta fic cujus partes bafi

1) Voir la démonstration du théorème précédent.

2) Comparez la suite numérique qu’on trouve à la p.234 à côté de la Fig. 1.

3) On remarquera le double emploi dans la figure et dans le texte des lettres M, N et O.
4) Notation abrégée pour CDKONHC.

31

242 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

proxime EB, FC ultra bafin producancur ut fiant fui ipfius
duplæ. Et ducantur ab omnibus flexionis punctis, item a
cerminis duarum ul-

[Fle-.69) tra bafin produc-

L M NE Ac tarum, rectæ axi
parallelæ quæ occur-

rant parabolæ in
vertice tangenti,
fintque HL, EM, DN,
FT). Et notetur ex-
ceffus quibus una-
quæque harum a fibi
proxima fuperatur,
ut fit EO exceffus
EM fupra DN; HP
exceffus HL fupra
EM. Dico feriem
linearum quarum

prima fit DN reliquæ vero deinceps exceffus omnes dicti OE,
PH, eadem ratione crefcere qua numeri ab unitate crefcunt.
Hoc eftipfius DN duplam effe EO,triplam vero HP; atque ira
deinceps fi pluribus angulis fuerit ordinate circumfcripta.

Produétis enim ME, ND, ut parabolæ occurrant inS , et R, duétaque itidem
IQ axi parallela. Conftat ex præc.?) ipfi IQ æquales efle fingulas DR, ES, HB #).
Conftat etiam lineas AI, AN, AM, AL crefcere fecundum rationem numerorum
imparium ab unitate 1, 3, 5, 7. Sicut autem harum inter fe quadrata ita funt
longitudine IQ, NR, MS, LB. Itaque harum exceflus qua unaquæque harum
à fequente fuperatur erunt ficuti numeri ab unitate 1,2, 3,4, &ec. +). Exceflus
autem quo fuperatur [IQ àb NR eft ND, cum fit DR æqualis IQ ; Et exceflus qua
NR fuperatur àb MS eft OE, quum fit NR æqualis utrifque fimul MO, ES.
Similiterque exceflus quo MS fuperatur àb LB eft PH, quoniam MS æqualis eft
duabus fimul LP, HS 5). Ergo ND, OE, PH, crefcent fecundum rationem
numerorum ab unitate 1,92,93,4000 "Ouod erat dem.

7) La lettre T est mal placée dans la figure, il faut la transporter vers la droîte au pied de la
perpendiculaire qui part du point F.

?) Voir le theorême IT, p. 238—9230.

3) Ici et dans ce qui suit B indique le point le plus bas au côté gauche de la figure et non pas le
point B qui se trouve entre H et E.

4) D’après le lemme qui précède.

5) Lisez : HB.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 243

[THeoreMma V.]

ane Are cu ab axe déderaneé divifa ABC ,ficircacamlinea

ordinate Le nt hujufque partes quæ parabolam adter-
minos bafis contingunt ut KA,
producantur ultra bafin ut fianc

.. fuiipfius duplæ.

“1 Exponatur autem et hijperbo-

| | les portio DEF cjufmodi, in qua
anfur fe diameter HE juncta dimidio
Qu. 91 M lateris tranfverfi EI, ad dimi-
[ dium latus tranfverfum EI ean-
demrationemhabent quamrecta

AY parabolam intermino bafeos

g” "he \| contingensaxique occurrens,ad
NF ipfius bafeos dimidium AG. Et
menait, 05 a RO sue féper bafi porcionis hÿperbolæ

cs . parallelogrammum conftituatur
i __ OF cujus latus bafi oppofitum
HELap 6 9 soc Ep LA ÉrA pefcentrum fectionis Itranfeat,
100 A4 bu NM.) 2 reliqua vero br
FL TT T \F 1] fint diametro por-

| tionis parallela. Et

dividatur latus [_]
te quod per centrum
fectioniseft, in par-

tes totidem ac divi-
| + fum fuit latus [Ti
: Sato _ | circa parabolen de-
y fcripti cum linea
ordinatè circumfcri-
c beretur. Ducantur-
que a punctis divifio-
num rectæ diametro

À F parail PS, QT,RF,
‘5 quæ hyperbolæ occurrant, Dico lineam OD ad rellanas fin
ul: las PS, QT, IE, &c. cadem proportione réferri qua et VK ad
gulas rectas El LM, MN, &ec fi utrobique eadem in

244 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

ordine fumantur. nam quod harum multitudo eadem fit atque
illarum, ex conftructione manifeftum eft.

Ducantur omnibus circumfcriptæ flexionum punétis KLMN &c. reétæ axi

parallelæ itemque à terminis duarum
quæ ultra bafin produétæ fuere; occurrant
tangenti parabolam in vertice, in punétis
A, ©, Z, &c im KX, LT, &c.
ipfi BA parallelæ ab ijfdem flexionum
punétis eduétæ. Oftendemus igitur primo,
quod AK ) ad KE ficut. in hyperbola
eft DO ad SP. Sit SA ordinatim ad dia-
metrum applicata, et producatur dia-
meter ufque in £, ut fit EZ æqualis lateri
cranfverfo *).

Quoniam igitur crefcunt lineæ ZL, YK,
XV fecundum rationem numerorum ab
unitate 1,2, 3, &c. 3), Eademque ratione
crefcunt lineæ IQ, IP,10; Eric VX ad
KY ficut OI ad PI, funr enim in ordine
cdot. Itaque et qu. VX

| ad qu.KY ut qu.OI ad
qu.PI, hoc eft ut qu.DH

ad qu.$SA, hoc eft.ut
CA£HE +) ad[_JEAE.
per Con. 5). Eft autem
CM 2HE æquale qu°.
, IH— qu.iE. Similirer-
que [_J£AE 9 qu.IA—
— qu.iE. Itraque eft
qu.VX ad qu.KY ficut

| CFig. 7.]
PRNTE
| | |
£
Tv. r 1Y
6 +
? À F
A (cy Le re M N
L
+ K
" p
/ V
r) Lisez: VK,

IA—qu°.IE. Et permu-
rando qu. VX ad qu. IH =
— q.iE ut qu.KY: #4 qu.

À qu.IH—qu°.1E. ad_ qu.

?) On a donc 12 IE; si Huygens a pris LE plus courte que LE, c’est Parce que la ligne mn se

trouvait tout près du bord de la feuille.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 245

IA—qu.IE. Porro quoniam ex datis eft ficut JA ad AG, hoc eft ficut VK adKX
ita HI ad LE ; eric quoque ficut qu. VK ad qu. KX ita qu.HI ad qu.IE. quare et per
converfionem rationis erit qu.VK ad exceffum qu.VK fupra qu.KX, hoc eft ad
qu.VX ficuc qu.HI ad qu.HI—qu.IE. Et ls ut qu. VK ad qu. HI ficut
qu. VX ad qua, Hi qu’. IE.

Sicut. autem qu. VX ad qu.HI— qu IE item oftendimus effe qu.KY ad
qu.IA—qu.IE, Ergo et qu.VK ad qu.Hi ficut qu.KY ad qu.IA—qu.iE. Verum ut
qu.VK ad qu.HI ita eft qu.KX ad qu.IE. (nam modo diximus effe qu.VK ad
qu.KX ut qu.HI ad qu.iE). Ergo et qu.KY ad qu.IA—qu.iE ut qu.KX ad
qu.iE. Et permutando qu.KY ad qu.KX five ad qu.YL ut qu.IA—qu.IE ad
_ quIiE. Itaque et componendo erit ficut duo fi mul, qu.KY et qu.YL hoc eft
ficut qu.KL ad qu.YL ita qu. IA ad qu.iE. Sed ut qu.YL five qu.KX ad qu.KV,
itareft qu.IE ad qu.iH, ut fupra patuit. Ergo ex æquali erit qu.KL ad qu. KV
ficut qu. [A ad qu.IH, hoc eft ficut qu.PS eft ad qu.OD. Et convertendo. Quamob-
rem et linea OD erit ad SP ficut VK ad KL.

Eodem modo oftendimus quod VK ad LM ficut DO ad TQ. Sed et quod VK
ad MN ficut DO ad IE manifeftum fiet hac ratione. Eft enim MN æqualis ipfi
KX. Sicut autem VK ad KX hoc eft ut YA ad AG ita pofitum fuit effe HI five
_ DO ad IE. Quare et VK ad MN fiéut DO ad IE. Iraque conftat lineam
OD ad da él he 2! us a ratione referri qua et DO . fingulas SP,
ets EI ÿ DE
more Fi s 1ÉBr LT s :? 1
bte DE s AA fit CHI U ON NIUE Dé PIRE LT AA DA

LEE Ex :
Mur 1 | [Dermirio IL]
bons: USE (+ |. TRE SR PS conte mail

dE

48 Data hé portione, fi és bafi ipfius [_] deferi-
batur ita ut latus [_] quod. bafi oppofitum eft tranfeat per
centrum, fectionis reliqua vero diametro. parallela.fint voce-
Là ejufmo di “r ad centrumterminatum, pars vero ejufdem

DRE HAE SES portione. remanet, vocetur fpatium

SNL roiterf] POCHES ETS

fuit

3) Voir le Théorème IV , p. 241—242.
4) C'est-à-dire le rectangle dont les côtés sont égaux à ZHet HE.

5) s'agit de la Prop.21 du Livre 1 des ré «ee TR Ru voir la note 12, p. 300
strt duT. ».4 PR 4 F FA

6 Lisez : di: VK ad: senti KL: LM; MN.

246 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

Et fi dividatur hujus[ Jilatus
[Fig. 8.] quod per centr. fectionis tranf-
ja I soi 21 Ç itin partes æquales quotlibet,
PU F L { numero pari,aganturque à divi-
/.# fionum punctis rectæ diametro
! A parallæ quæ portioni occur-
4 h rant. Circa has autem pari ip-
fis alticudine parallelogramma
nur defcribantur,lateribus diame-
A tro portions parallelis bafes
| | | vero fegmentis rectæ[NM,MO,
N Fo re R &c.] *) æquales habentia et a
lineis [FM, GO, BE, &c.] *) bifa-
riam divifas. Figura ex his [Jis compofitaæet ex duobus dimi-
diæ horum latitudinis [_]Jis [ut ANHK] dicatur ordinarvè cinca
fpatium refiduum conftituta. j CSA A |

s bb OCLHEMER Re

6 tres Ie CEA

[Tacorema VI.] Jui" UAR Ba où

| | brio

Data autem hyperbolæ Dortiène fi Cm eicircumfcribatur

ad centrum terminatum et figura ordinatè circa fpatium

refid. porro defcribatur. Dico hanc ipfo fpatio refiduo ma-
jorem effe.

Jungantur enim [Fig. 8] re@is lineis punéta [A ,F,G, B,H, &c. |. Quoniam
igicur æquales et parallelæ inter fe funt AK, IF, necele eft fier æqualia quoque
A2LKA, LIF, ideoque æquale effe trapezium ’AFMN utrique fimul [_J°AH,
HF, Eadem ratione trapezium FGOM æquale erit duobus [JSFP, PG. Et
trapez. GBEO, [TJSGQ, QB, atque ita de cæteris. Unde patet fguram
ex omnibus trapezijs compofitam AFGBHCRN æquari figuræ ex [Ti ordi-
natè circumfcriptæ. Dicta vera figura ex trapezijs compofita major eft fpatio
refiduo, quoniam ipfum continet atque infuper fegmenta quædam ipfius portionis.
Ergo et figura ex [is ordinacè circumfcripta major erit diéto refiduo fpatio.quod
erat oftend.

*) Ici Huygens indiqua par des points qu’il y avait encore quelquechose ajouter. ‘Aussi à
côté de la figure avec les lettres que nous avons reproduite, il y en à une autrey présque
identique, sans lettres. C’est de celle-ci sans doute qu’il s'est servi pendant la rédaction de
cette définition; celle avec les lettres étant donc postérieure à cette rédaction. : :

in bé 5e

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 247

[Lemma IT ?).]

Si hyperbolæ CAB occurrant rec-
tæ quotvis parallelæ, et æquali-
bus intervallis à feinvicem dis-
tantes in punctis C,A,G,K,B
fuéritque earum una EA diame-
ter fectionis. Jungantur autem
rectis lineis duo quæque fibi
vicina occurfuum puncta, dico,
fegmentorum hyperbolæ hifce
lineisabfcifforum, maximaeffe
quæ diametro adjacent AG, AC.
Reliqua vero eo quæque minora
quo ulterius ab his abfuerinct.

Jungatur enim AK. eique occurrat produéta IG 5) in F. dividet autem ipfam
bifariam propter æqualem parallelarum linearum diftantiam. ducatur ad centrum
fectionis reéta FE, feçans hyperbolen in H, fecabit enim ipfam quia centrum E
extra fectionem eft, punétum vero F intra. Et erit FH diameter portionis AHKA,
ipfam proinde in duo æqualia fecabit. quia autem reta FE tota inter parallelas
EA, GE fira eft, fequitur interfeétionem H contingere inter G et A. Itraque
fruftum FHA pas erit frufti FGA. Unde quum reéta FH dividat fegmentum
AGKF in duo æqualia, apparet FG ipfum dividere inæqualiter, ita ut majus fit
fpatium FGA quam FGK. Verum triangula hifce fpatijs infcripta FGA , FGK
inter fe æqualia funt. [gicur refiduum fegmentum GA majus efle neceffe eft refiduo
fegmento GK. Eodem modo oftendetur fegmentum GK majus éffe fegmento KB
atque ita unumquodque eo quod proxime fubfequitur. Quare conftat propofitum.

[TaeoremaA VII.]

Data hijperbolæ portione, defcriptoque circa eam [_7}° ad
centrum terminato, dico circa fpatium refiduum figuram

2) Comme l’état du manuscrit le prouve, le , Lemma IT” fut rédigé après le Théorème VIT, le
* besoin d’un tel lemme s’étant fait sentir pendant la rédaction de la démonstration de ce
théorème. |
3) La lettre I manque dans la figure ; on la retrouve toutefois dans une autre figure qui est moins
complète sous d’autres respects. La ligne IG est la parallèle à l’axe AE, qui passe par G.

248 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

ordinatèdefcribi poffe quæ fuperet fpatium refi duum minori
exceffu quam fit propofitum quodvis fpatium.

[Fig. 10.] Detur enim portio [ABCDA]
L Lo itemque fpatium [X]. Et circum-
€ fcripto [_]° ad centrum terminato

ducatur tangens portionem in ver-
tice B reéta EF, Eique alia agatur
E7 parallela HG, ita ut comprehenfum
C2 EG fit duplum fpatij X. Secet
autem HGreétadiametrum portionis
in L, hijperbolen vero in K. Poteft
g: 3 R, jam itaque figura ordinate circa fpa-
| tium refiduum conftitui ita ut bafes
fingulæ CJorum ex quibus ipfa componitur fint minores reétà LK. Sit igicurfac-
tum et jungantur bina quæque punéta in hyperbola quibus latera diétorum []0rum
bifariam fecantur reétis lineis [CN, NO, OB] &c. Cum igitur fegmentum hyper-
bolæ vertici proximum BO fit minus triangulo BOM; triangulum BOM minus
quam dimidium [_JiML; (nam quia BM minor eft ordinatim applicatâ LK,, etiam
MO minor erit quam BL. ideoque A" BOM minus quam dimidium [7] MB).
Erit proinde et diétum fegmentum BO omnind minus quam 4 [77 ML. Reliqua
vero fegmenta hijperbolæ quæ ab eadem parte diametri funt ON, NC ;fingula
minora cum fint fegmento BO, per [ Lemma præcedens], rotidem vero} MP,
PF æquentur fingula [77° ML; Erunt proinde omnia fimul fegmenta hæc BO,
ON, NC, minora 1[7 J° BG. Eadem vero ratione, et ea quæ ad alteram parcèm
diametri funt fegmenta, minora probabuntur 3 £ CT BH. Itaque omnia fimul feg-
menta ab hyperbolæ portione abfciffa minora erunt dimidio [=] EG, hoceft minora
fpatio dato X. [deoque fi fpatio refiduo diéta segm.2 addantur compoficum minus
erit quam hoc ipfum fpatium + X. Atqui diéta fegmenta addita fpaciorefiduo,
æquant figuram ordinatè circa fpatium refiduum ex [_]is circumfcriptam, fieut
in præc. demonftratione *) oftenfum fuit. Ergo figura ordinatè circumfcripta
minor erit diéto fpatio una cum fpatio X. Unde manifeftum eft exceffum quo figura
ordinate circumfcripta fuperat idem fpatium à rectis AQ, QR, RC et hijperbola
CBA comprehenfum, minorem effe ipfo X fpatio. Quare conftat propof.?).

+ G
H
2 M F

*) Voir la démonstration du ,Theorema VI”, p. 246.

?) Ici finit la partie que nous avons empruntée au livret de Philips. Le reste se trouve sur des
feuilles détachées dont la première portelenuméro 5. En effet, la démonstration du ,,Lemma L[”°
qui, comme nous l’avons dit dans la note 2 de la p.247, se trouve dans le livret à la suite du

-#Theorema VIT”, estsuivie par les mots: ,,Reliqua in folio. Incipiuntpag. 5.signo. .”,
accompagnés d’un signe de renvoi qu’on retrouve sur la feuille prémentionnée, wo

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 249

[Taezorema VIII. ]

Si fuerit Parabola ab axe æqualiter divifa, itemque Hijper-
bolæ portio, ita comparatæ, ut quam rationem habent duo

[Fig. 11.]
ÿ

fimul latera trianguli ifo-
fcelis communem cum
portione parabolica bafin
et duplam altitudinem ha-
bente ad ipfam bafin, ean-
dem habent hijperbolæ por-
tionis diameter [ HE] juncta
1 lateris tranfverfi ad di-
midium latus tranfverfum.
Et defcribatur circa hy-
perboles portionem rec-
tangulum ad centrum fec-
tionis terminatum. ÉErit
ficut dicta duo latera
trianguli circa parabolam
defcripti ad parabolæ lon-
gitudinem, ita [2] circa
hijperbolen defcriptum ad
partem fui quæ dempta hy-
perboles portione relin-
quitur3).. |

Efto parabola ABC qualem dixi-
mus, fitque fupra bafin ipfius AC
defcriptum À AGC axemfive alti-
tudinem. parabolæ duplam habens
unde fiet ut latera GA, GC para-
bolam contingant.

Porro et hyperboles portio fit
DEF cujus diameter EH, dimidium
vero lateris reûi +) EI. Sirtque HI
ad IE ficut duo fimul latera GA,GC

3) Comparez le premier alinéa de la Première Partie, p.235.

4) Lisez : lateris transversi.

250 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

ad bafin AC. Defcribaturque circa hyperboles portionem reétangulum ad cen-
crum feétionisterminatum FK. Dicoitaqueeffe ficut duo latera AG, GC ad longitu-

[Fig. 11.]
ÿ)

dinem parabolæ ABC, ita [=] FK
ad fpatium refiduum DKVFED.
_ Si enim diétæ rationes æquales
effe negentur. Ergo ficut [7] ad
fpatium DKVFED ita erunt diéta
duo latera five linea AGC ad
lineam aliquam vel majorem vel
minorem parabola ABC. Sit primo,
fi fieri poteft, linea X major para-
bola ad quam AGC eandem dica-
tur habere rationem quam [77]
ad |. Poteft itaque circa para-
bolam linea ordinatè defcribi ita
ut exceffus quo defcripta fuperat
parabolam minor fit exceffu quo
X parabola fuperat "). Efto
defcripta ejufmodi linea ordinate
ANOZEC. Ergo ipfa minor erit
quam linea X. Dividatur deinde
Ci latus KV in tot partes æqua-
les quot fuere in reéta parabolam
in vertice contingente ad circum-
fcribendam lineam ordinatè. Et
a punétis fectionum ducantur ad
hyperbolam reétæ axi parallelæ,
et fecundum has figura ordinatè
circa hyperbolen defcribatur, cu-
jus extrema [} quæ dimidiam
cæterorum latitudinem habent,
altitudine vero æquant [77] FK,
fint QK, YV. Et reliqua etiam
CR ad hanc altitudinem produ-

cantur, À punétis vero quibus linea ordinate circum parabolem defcripta inflexa

7) D’après le ,,Theorema IT”, p. 230.

*) Cette Proposition n’a pas été formulée explicitement, maïs elle résulte presque immédiate-

ment du ,,Theorema L”, p. 238.
3) Voir la p. 243.
4) Voir la lettre peu lisible à droite de la lettre H.

FF RS Le un cn

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 251

eft ducantur reétæ axi parall. ut OP quæ quidem in linea AGC partes æquales
intercipient quarumque fingulæ ut NP duplæ erunt ad NA, uti conftat ex
Propi:7312).

Quoniam igitur per [ Theorema V] 3) dupla reétæ NA ad NO , et reliquas fingu-
las lineæ cireumfcr.* partes eadem ratione refertur, qua DK ad ML et reliquarum
unamquamque quæ [Jo'um altitudines definiunt. Ut autem DK ad ML et fingulas
reliquas diétarum linearum, ita duplum [77] QK ad CISR,, et reliquorum unum-
quodque quæ fecundum illas defcripta funt [+ Ergo ficut dupla NA hoc eft
ficut NP ad NO ita duplum [[JQK, hoc eft, [7] QR ad [7 SR. Et ficut PW ad
OZ ita [7] AT ad Ç_J@r. Er ficut WG A ad ZE ira [JTE #) ad [_]T ®. atque
ita porro, ficut fingulæ partes lineæ AGC, ad partes fingulas lineæ ordinarè cir-
cumfcriptæ, quæ inter eafdem fecum parallelas continentur, ita (7? fingula altitu-
dinem DK habentia ad ea quæ eafdem cum ipfis bafes habent. nam ipfa quoque
AN prout eft pars lineæ AGC ad feipfam prout eft pars lineæ ordinate circum-
fcriptæ, ita fe habet ut{_]QK pars [_] DV ad feipfum prout eft pars fig.® ordinate
circumfcriptæ. Sunt itaque quædam magnitudines lineæ AN, NP, PW, WGA,
&c., partes AGC, aliæque totidem numero [_} QK, QR, AT, TE &c. com-
ponentes [_]DV quarum binæ quæque eandem inter fe rationem tenent; funt
enim utrobique omnes inter fe æquales præter duas extremas quæ reliquarum funt
fubduplæ. Referuntur autem di@tæ lineæ fingulæ ad alias lineas quæ conftituunt
lincam ordinatè circumfcriptam. Itemque referuntur [7 diéta ijfdem proportio-
nalibus ad alia [772 quæ conftituunt figuram ordinatè circumfriptam. Quare omnes
. fimul lineæ AN, NP, PW, WGA, &c. hoc eft linea AGC fefe habebunt ad omnes
AN, NO, OZ, ZE &c. hoc eft ad lineam quæ parabolæ ordinate cireumfcripta eft,
ficut omnia [_FQK,QR, AT, TE &c. hoc eft [_]DV ad omnia fimul QK, SR,
OF, T® &c. hoc eft ad figuram ordinatè defcriptam circa portionem hyperboles*).

$) Il s’agit de la deuxième Proposition de l'ouvrage d’Archimède ,,De conoïdibus et sphæroidi-
bus”. Voici cette proposition: ,,Si fuerint quotcumque numero sumptæ magnitudines,
itemque totidem aliæ numero ponantur magnitudines, hoc pacto, ut quamcunque unaqua-
que prius sumptarum ad suam proximam habuerit proportionem, eandem unaquæque
posterius sumptarum ad suam eodem ordine proximam seruet , quæecunque fuerint illæ pro-
portiones, item prius sumptæ magnitudines ad quasdam alias, totidem numero magnitu-
dines omnes, aut earum aliquas, quibuscumque proportionibus referantur: sumptæ quoque
. posterius magnitudines ad quasdam alias totidem, eodem ordine & eisdem proportionibus
sint relatæ: erit tunc, ut magnitudines prius sumptæ omnes, habeant ad eas magnitu-
dines omnes ad quas dicta ratione comparantur , eandem proportionem, quam magnitudines
posterius sumptæ omnes habuerint, ad omnes illas magnitudines ad quas fuerint similiter
comparatæ” (p. 61—62 de l'édition de Bâle; Heïberg, T.I. p. 290— 291, où cette propo-
sition porte le numéro 1). ne
Afin d'expliquer la portée de cette proposition, supposons qu’on ait une première suite de
grandeurs 4,,4,, ...,4 (les parties AN, NP , etc. de la ligne brisée AGC), une deuxième

*) Arch. 2 de
Conoid. *),

252 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

Ratio autem [[JiDV ad diétam figuram circumfcriptam minor eft quamejusdem
CiDV ad fpatium DKVFED, quoniam figura circumfcripta major éft fpatio
DKVFED"). Ergo etlineæ AGC ad lineam circa parabolam ordinatè defcriptam,
minor erit ratio quam [Ji DV ad fpatium DKVFED, Quamautem rationem habet
CJDV ad fpatium diétum, eam pofitum fuit habere linea AGC ad lineam X. Ergo
ratio lineæ AGC ad eam quæ ordinatè circa Parabolen defcripta eft minor erit
quam ejusdem AGC ad X. Quamobrem ordinatè circumferipta major erit quam
X. Eadem vero minor antea quam X oftenfa elt. quod fiéri non poteft. Itaque non
eft ficut [DV ad fpatium DKVFED ita linea AGC ad majorem aliquam quam
fit parabola ABC. |

Sed neque ad minorem. Nam fi dicatur effe, ut [[JDV ad fpatium DKVFED
ita linea AGC ad minorem aliquam quam fit parabola ABC. Ergo ficutlinea AGC
ad parab. ipfam ABC ita erit [JD V ad fpatium quoddam majus fpatio DKVFED.
Efto id fpatium in quo d. Quoniam igitur fpatium in quo d majus eft fpatio
DKVFED poteft circa fpatium DKVFED defcribi figura ordinatè quæ fit minor
fpatio d ?). Defcripta itaque intelligatur. Et ex quot [is compofita eft cotidem
partibus conftans linea ordinatè circa parabolam defcribatur. (

Ergo fimiliter ut prius oftenditur lineam AGC ad ordinate circumfcriptam para-
bolæ eandem rationem habere, quam[JDV ad figuram circa fpatium DKVFED
ordinate circumfcriptam. Ratio autem lineæ AGC ad ordinate circa par. defcrip-
tam minor eft quam ejusdem AGC ad ipfam parab. ABC. Ergo et ratio Ç[JiDV
ad figuram ordinate defcriptam circa fpat. DKV FED minor erit quam lineæ AGC
ad parab.ABC. Sicut autem linea AGC ad par.ABC ita erat [JD V ad dfpatium.
Ergo [[JiDV minor erit ratio ad figuram ordinate circa fpatium DKVFED
defcriptam, quam ad fpatium Ÿ. Ideoque diéta figura fpatio Ÿ major erit. Sed
eadem minor quoque diéta fuit. Quod fieri nequit. Ergo neque major eft ratio
TJDV ad fpat. refid. DKVFED quam lineæ AGC ad parab. ABC. At nèque
minorem effe demonftratum eft. Ergo eadem erit. Quod erat demonttr.

b,, b,,...b, (les rectangles DIT, QR, AT, etc.), une troisième «,, c,...0, (les côtés
AN, NO, etc. de la figure circonscrite à la parabole), une quatrième Z,, 4, ,...4, (les
rectangles DIT,SR , OT , etc.) et qu’il existe entre les termes de ces suites les relations
suivantes :

tu Di bat Pace 1 Dn3

2

CAE AA

dit tin te sb, id, ; à 35.5 4n°Cn—= bn? An;

alors la proposition nous apprend qu’on 2:

11 42 n n

Za, : Zcy = Eb, : Ed.
I 1 I 1

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. - 253

[THeoreMaA IX.]

liréen pofitiss) fi ducatur LN quæ hijperbolen in vertice
contingat. Dico longitudinem
[Fig. 12.] parab. ABC effe ad bafin AC,
k ficut fpatium refiduum DKVFED
x: ad [_JmLV.

lo | Quia enim oftenfum fuit lineam parab.
ABC effe ad lineam AGC ficut fpatium
DKVFED ad [JDV. Eft autem linea
AGC ad bafin AC ficut HI ad IE, hoc
“eft, ut [JDV ad [JLV. Erit proinde ex
L £ N_ æquo ficut parab.ABC ad bafin AC, ita

fpatium DKVFED ad [[JLV quod erat
dem.

Unde manifeftum eft, fi portioni
hyperboles DEF æquale abfciffum fuerit
PA a À — v. LeDO, duétä PQ parallelà bafi DF,

- quæ fecet diametrum in R; fore RI ad EI
ficut parab. ABC ad bafin AC.

Manifeftum item, fi fuerit EI, quæ inter verticem hyperbolæ et centrum fec-
tionis intercipitur, > bafi AC, et IH > duabus fimul AG, GC; Et fumatur
longitudini parabolæ ABC æqualis reéta IR. tunc duétà PQ per R punétum paral-
lela bañi DF, effici [[JPF > portioni hyperbolæ DEF. Vel contra fi [JPF,
portioni DEF æquale abfciflum fuerit, re&tam RI, æqualem fore longitudini
parabolæ ABC.

Quomodo autem dato gravitatis centro portionis hyperbolicæ DEF, inveniatur
[7] portioni æquale, manifeftum eft ex ijs quæ de hyperbolæ quadratura antehac
edidimus #). Nempe fi O fuerit diétum gravicatis centrum, et ficut IO ad tertiam
partem rectæ quæ æqualis fit diametro HE et duplæ ET, ita fiat EH ad RH. Erit
[_1DQ, per R punétum abfciffum, æquale portioni hyperboles DEF,

Ergo conftat, fi de tribus hifce unum aliquod datum fuerit nimirum longitudo
lineæ parabolicæ; vel centrum gravitatis hyperbolæ portionis; vel reétilineum
hijperbolæ portionis æquale; Etiam duo reliqua data effe.

+) D’après le , Theorema VI”, p. 246.
2) Voir le ,Theorema VIT”, p. 247.
3) Voir le théorème précédent, p. 249.
#) Voir la note 1 de la p. 236.

254 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

[TROISIÈME PARTIE *).]

['THEOREMA X.]

Data parabola ABC æqualiter ab
axe BD divifa, poffibile efc ipfi
lineam ordinatè circumfcribere®),
ut circumductis utrifque circa ma-
nentem parabolæ axem, fiat excef-
fus quo fuperficies ex linea cir-
cumfcripta genita fuperat conoidis
parabolici ABC fuperficiem, minor
fpatio quovis propofito.

Fiat enim cylindrus HC eandem cum
conoide ABC bafin habens, cujus cylindri
fuperficies fine bafibus minor fit propofito fpatio, hoc enim fieri pofle perfpicuum
eft. Sit autem di@i cylindri latus AH. Et fumatur in axe parabolæ a vertice B,
intervallum BE quadruplum ipfius AH. Et-applicetur ordinatim EF. Porro
defcripto circa parabolam [TJ ARSC eandem cum ipfa bafin altitudinemque
habente, dividatur ipfius latus RS in partes æquales numero pares, ita ut fingulæ
pfarum veluti BG, minores fint reéta EF. Et ex punétis divifionum duétis lineis
axi parallelis quæ parabolæ occurrant, circumfcribatur per occurfus punéta linea
inflexa ordinatè AMPNTXC. Dico hanc una cum parabola ABC circa BD cir-
cumduétam, fuperficiem defcribere quæ conoidis ape fuperficiem excedat
minori quam propofi icum eft fpatio.

Ducantur enim a fingulis lineæ circumfcriptæ Pen punétis rectæ axi
parallelæ quæ parabolæ occurrant, ML, PQ, NO, TV, &c. et jungantur LQ,
QO, OV, &c. quæ lineæ æquales et parallelæ erunt fingulis circumfcriptæ parti-
bus MP, PN,NT, &c., ut fupra dem, 3). Sint autem et LK , YZ parallelæ ipfis
MA, XC; quibus proinde et æquales erunt; fientque infuper AK, CZ, æquales
ipfis ML, XY. Jungantur denique AL, CY, KZ, quarum quidem KZ parallela

1) Cette Troisième Partie contient la réduction, rédigée selon la mode des anciens, de la qua-
drature de la surface courbe du conoïde parabolique à la quadrature du cercle. Elle est
empruntée à des feuilles détachées qui font suite à celles mentionnées dans la note 2 de
la p. 248.

?) Voir la ,Definitio [”, p. 237.

TRAVAUX MAT RÉRNTIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 355

erit AC , quoniam ML, XY inter fe æquales Fes per [Theorema II 4#)], denique
et AK, CZ.

Itraque fi circa axem BD omnia circumvolvi intelligantur, apparet luperficiem ? à
circumfcripta ordinatè linea AMPNTXC genitam æqualem effe ei quæ fit ab
inflexa KLQOVYZ, cum fingulæ hujus lineæ partes cum fingulis illius partibus
et magnitudine et fitu ad axem conveniant. Hac autem fuperficie ex KL. QOVYZ
major eft fuperficies ab inflexa KALQOVYCZ, cum eofdem utraque in plano
terminos habent, circumferentiam nimirum circuli quem defcribit in circum-
lationem punctum K 5). Ergo fuperficies ab inflexa KALQOVYCZ major quo-
que erit ea quæ fit ab ordinate circumfcr.4 AMPNTXC. Illa vero fuperficies
compofita eft ex fuperficie quæ fit ex AK latere cylindri AZ, et ex fuperficie
genita ab inflexa ALQOVYC. Ergo hæ duæ fuperficies majores quoque erunt ea
quæ fit ab ordinate circumfcripta. Ideoque multo magis fuperficies à latere AK
una cum fuperficie conoidis ABC, major erit ea quæ fit ab ordinatè circum-
fcripta. Eft enim fuperficies conoïdis ABC major fuperficie genita ab inflexa
ALQOVYC, quum ipfam comprehendat, eofdemque in plano habeat terminos.
Minor igitur eft exceffus fuperficiei ex ordinate circumfcripta genitæ fupra
conoidis fuperficiem, quam eft fuperficies à latere cylindri AK. Hæc autem fuper-
ficies propofito fpatio adhuc minor eft. Ergo fieri poffe conftat id quod afferuimus.
Quod autem minor fit fuperficies à latere AK effecta fpatio propofito fic oftende-
mus. AK æqualis eft, uti jam ante dié&tum fuit, ipfñi ML. hæc vero ipfi NO per
[Theorema IT #)]. Eft autem NO æqualis 2 GI quum fint inter fe NO, GI, ficut
quadrata NB, GB. Sed GI minor eft quam BE quoniam et BG minor, ex contftr.,
quam EF. [taque NO minor erit quam + BE. Quare et AK minor erit quam ? BE,
hoc eft quam AH. Superficies autem quæ fit ex converfione AH circa axem AD),
hoc eft fuperficies cylindri HC abfque bafibus, minor erit fpatio propofito. Ergo
omnino quoque, fuperficies ex AK in circumverfione effeéta minor erit fpatio
propofito.

3) Voir la démonstration du Theorème II, p. 239.

+) Voir la p. 238.

5) Voici le postulat d’Archimède qui fait suite à celui mentionné dans la note 5 de la p. 237:

»Similiter autem & superficierum eosdem terminos habentium, si in plano terminos habue-

rint, minimam esse planam. Aliarum vero superficierum, et eosdem terminos habentium,
si in plano terminos habeant, eas esse inæquales: ubi autem ambæ in partes easdeim cauæ
fuerint, & uel altera tota contineatur ab altera, aut alteram earum ab altera superficie,
& plana eosdem terminos cum illa habente: aut eius partem quidem comprendi constet,
partem vero communem habere, & comprensam esse comprendente minorem””. (Voir la
p. 2 de l'édition de Bâle, ou la p. 11 du T. I de l’édition de Heiberg).

6) Lisez : BD.

256 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

[Lemma AIT *).]

[Fig. 14. Sunto [_}* duo AB, CD, bafes æquales et
A EH ___Kk contiguas habentia EB, BD, fitque [JiAB
4 altitudo major quam [_JiCD. Et ducatur
LINE _lm AG recta, quæ conjungat extrema utriusque

[7 JfFaréra!
es Le D Dico fi circa latus GD (JiCD, tanquam

axem, vel circa aliam quamcunque, ut KL,

ipfi GD æquidifrantem, atque ad partes [_JiCD fumptam,

circumverfio fieri intelligatur majus fore folidum quod à

CJisAF?), CD efficitur quam quod à trapezio AGDE.

Sit enim primo circa GD faéta converfio, conveniantque produétæ AF, DG in

H. Igitur converfione AIGHA conus, [7]i vero HC converfione cylindrus oritur

quorum cum eadem fit alticudo HG; bafis vero coni quadrupla fit bafeos cylindri,
(eft enim circulus femid.°HA quadruplus circuli à femid. HF) minor proinde
cono cylindrus erit. Nam fi bafis coni tripla duntaxat fuiffet bafeos cylindri fuiffent
conus cylindrufque inter fe æquales. Itaque fi uterque feorfim auferatur à cylindro
qui fit converfione [[JIHE circa axem eundem HD, majus erit folidum quod
relinquitur demto cylindro ab HC[_J° effecto, hoc eft folidum ex converfi ione
[7 AB, CD, quam quod relinquitur demto cono qui fit à A°GHA, hoc ef, ap
folidum ex converfione trapezij AGDE.

lam verd circa KL tanquam axem converfio faéta intelligatur, cui occurrant
produétæ AG, CG, AF, in pun@tis N, M, K.

Quia. igitur conus efficitur converfione AiNKA, qui ad conum fimilem à
A°NMG produétum, triplicatam habet rationem ejus quam AK ad GM, hoc eft

eandem quam cubus à latere AK ad cubum à latere GM. Erit per converfionem

rationis, conus ab NKA A°, ad folidum à trapezio MGAK, ut cubus ex AK ad
differentiam cuborum ex AK et ex GM. Verum cylindrus à [_J°KC converfione,
ad conum ab NKA triangulo eft ficut folidum ex qu.FK et tripla linea AH, ad
cubum ex AK; quoniam cylindrus diétus ad diétum conum compoñitam habet
rationem ex ratione qu.FK ad qu.KA, et ratione triple KM ad KN, five triplæ
AH ad AK. Igitur ex æquo erit cylindrus à [77J° KC ad folidum ex converfione
trapezij MGAK , ficut folidum ex qu°.FK et tripla AF, ad differentiam cuborum

1) Ce , Lemma” fut rédigé après le Théorème XI, pendant la démonstration dobare le besoin
Put tel ,Lemma” s'était fait sentir.

?) Lisez : AB.

3) Posant AF — FH —7,HK —=9%,ona, en effet, FK? —(4+5) = (20 + Ds + & —
—= AK X KH + FH°.

4) Puisqu’on a (24 + D)3 — B3 — (24 + D)b X 3 X 24 4-(24ÿ.

8) C'est-à-dire 34° X 24 <T (24).

aie E

1
:

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1667: 257

ex AK er ex GM five HK. eft autem folid. ex qu.FK in 3AH 20 (olidis à à dite
quæ fiunt duétis [TJ AKH et qu.FH in 3AH; nam qu.FK % [[J°AKH una
cum qu.FH3). Differentia vero cuborum ex AK et HK æqualis eft folido ex
CTAKH in 3AH una cum cubo ex AH#). Ergo cijlind. à [[JKC ad folidum
à crapezio MGAK ut folida duo quæ fiunt duétis (77? AKH et qu.°FH in 3AH, ad
folidum ex [7] AKH in 3AH una cum cubo ex AH. Sunt autem duo illa folida
duobus hifce minora, quoniam minus eft folidum ex qu.FH in 3AH, hoc eft
folid.m ex 3qu°.FH in AH, cubo ex AH 5). Igitur minor quoque erit cylindrus
ex converfione [Ji KC, folido quod fit ex convers. trapezij MGAK. Communis
auferatur cylindrus qui fit ex conv. [_]i KG. Ergo minus eft folidum à [7] HC
quam quod à A°GHA, Ideoque fi utrumque horum feorfim auferatur ab eo folido
quod fit converfione [[JHE majus effe liquer folidum refiduum ex converf.
Cr" AB, CD LS sine fit à trapezio AGDE, quod erat dem.

CTARGREMT XI. ]

Data portione hyperbolæ ABC cujus
diam. fit bafi ad rectros angulos. Sirec-
tang. ei circumfcribatur ad centrum ter-
minatum AR, cet figura ordinatè circa
fpatium refiduum ABCRNA ficutfupra
præfcriptum fuit5),manente vero diam.
DE omnia cireumvertantur. Dico foli-
duum ex converfione figuræ ordinartè
circumfcriptæ, majus effe folidoquod
ex converfione fpati refidui oritur.

: Jungantur enim punéta quæque bina quibus bafes reétangulorum figuræ cir-
cumfcr.æ fecant hyperbolam , reétis AF, FG, GB, BT, &c. Eritigitur linea
quædam inflexa hoc modo intra hijp. portionem defcripta. Jam vero fi omnia
circa diam. DE circumvolui intelligantur orietur folidum ex converfione fpatij
rectilinei à diéta inflexa et reétis AN, NR , RC comprehenfi, quod folidum majus
eric eo quod fit à fpatio refiduo ABCRNA, quum hoc illius partem effe apparear.
Eftaurem folidum ex converfione ütriufque[_]i KN, FH majus quam quod fit con-
verfione trapezij AFMN , quoniam diéta [}2 fibi mutuo conjunéta bafes habent
æquales, et latera parallela axi DE 7). Similiter et folidum ex converfione utriuf-
que [Ti FP, GP , majus eft eo quod fit converfione trapezij FGOM. Et folidum
ex Convértione mu utriufque GQ, BQ, majus eo quod fit a trapezio GBEO.
Itaque cotum fimul folidum quod oritur ex converfione figuræ ordinatim ex [is

5) Consultez le deuxième alinéa de la ,,Definitio Il”, p. 246.
7) Voir le ,,Lemma II[”, qui précède.

‘ 33

258 TRAVAUX -MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657..

circumfcriptæ majus eric folido quod fit ex converfione figuræ ex omnibus diétis

crapezijs compofitæ. Sed hoc folidum majus effe diétum eft, eo quod fit ex con-
verfione fpatij refidui ABCRNA. Ergo omnino quoque folidit id quod ex figura
ordinatè cireumfcripta eflicitur, majus erit eo quod fit ex diéti refidui fpatij
circumvolutione. quod erat oftend.

[TaroreMmaA XII. ]

lifdem pofitis *), dico folidum ex converfione figuræ ordi-
natè circumfcriptæ, excepto €o quod fit rectangulo extremo
. AH minus effe eo folido à ds fita fpatio

A ta refiduo ABCR.
N Producantur enim reliquorum [7 Jorum bafes VI,
# L KX, ZY, quæ ab hyperbola bifariam dividentur,
ROUTE et VI quidem occurrat ipfi AN in T. KX ipfi FMin
1 . S; ZY ipfi GO in L. Itraque exiftit figura quædam
R {patio refiduo ABCRNAinfcriptaex [is æqualem
Nnprert latitudinem habentibus FN, GM, BO, &c. cujus

proinde folidum ex converfione circa axem DE
genitum, minus eft eo quod fit à fpatio refiduo ABCRNA. Atqui diéto folido a
CS FN, GM, BO genito minus effe probatur, id quod fit à [_Jis VH, KP,
BQ. hoc eft folidum ex figura ordinatè circumfcripta, excepto quod fit à [_}° AH.
Nam folidum quod fit a [JVH minus eft eo quod fit à [_J° FN, quum [=J# qui-
dem hæc inter fe fint æqualia alterum vero altero minus diftet ab axe DE. Et
eadem rationc folidum quod fit à [77] KP minus eft co quod à [2]° GM. Ac tan-
dem illud quoque quod fit à [_J° BQ minus apparet effe eo quod à [7] BO.
Itaque folidum effeétum à figura ordinarè circumferipta citra [7 AH, cum fit
minus folido quod fit à [is FN, GM, BO multo minuserit eo quod' à fpañio
refiduo ABCRAN efficitur. Quod erat dem.

Itaque folidum a tota figura ordinatè circa fpatium refiduum ABCRNA
defcripta minori exceffu fuperat folidum ab ipfo fpatio refiduo ortum, quam fit
id folidum quod fit ab extremo reétangulo AH. Unde manifeftum eft. poffe
figuram ordinatè defcribi circa ABCRNA fpatium, ita ut folidum à diéta figura
genitum exuperet illud quod à fpario ABCRNA producitur, exceffu minore
quam fit folidum quodvis datum. Poteft enim ex tot [is figura cireumferipta
conftitui, ut extremum [7] AH quodque ab.eo eflicitur folidum fit quamlibet
exiguum.

1) Consultez le théorème précédent, p.257.

PE PE

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 259

nette nio ris: 3 E

AURA U [Lemma IV.
MmRonodis quad ob: ff;
Si coni recti duo æquales bafes haben-
‘tes BC, FG fecentur planis AD, EH, bafi
ipforum æquidiftantibus, fuerintque et
qui è fectionibus fiunc circuli [AD,EH]
æquales. Eam rationem inter fe tenebunt
fuperficies fruftorum inter, bafes et
fecantia plana interceptæ, quam earun-
dem fuperficierum latera [AB,EF].

_ ÿ Efto enim fuperficiei conicæ dé cujudlacus AB, , æqualis
circulus radio K defcripeus. Superficiei vero cujus
latus EF ui circulus à radio L. us
_ Jraque quadratum ex K æquatur []° fub AB et dimidii$ BC, AD *quadra- * #ch.1. De
“ir vero ex Læquatur [J° fub EF et dimidijs FG , EH. Eft aucem illud [7 ad Ÿ”272 # Cor
hoc [jm ficut AB ad EF , quia dimidia BC, AD æquales funt dimidijs FG, EH.
Ergo et quadratum ex K ad qu.ex EF 5) erit ficut AB ad EF. Sicut autem qu.
ex K ad qu. ex L ita eft circulus à femidiamecro K ad circulum à femidiametro L.
Ergo et circulus ille ad hunc erit ut AB ad EF. Circulus autem à femid.K
æqualis pofitus fuit fuperficiei conicæ cujus latus AB. Et circulus qui fit femid.
EF #), æqualis fuperficiei conicæ cujus latus EF, Ergo et fuperficies illa ad hanc
erit ut AB ad EF. Quod er. dem.

ti Hoi

LES [THeorema XIIT.]
Tr portent: fi manente axe GBa [Fig. 18], parabola
| ABC. fimul cum AAGC circumvolvatur, ita ex illa conoides

. je à.

M à 3 PRE à
2)Ils’agit de la Prop. 16 du Livre 1 de l'ouvrage mentionné: ,,Si conus æquicruris secetur
"superficie plana, quæ quidem superficies basi ipsius coni sit æquedistans : ea coni superficies,
ÿ quæ à secante & à base concluditur , ei cireulo æqualis esse probatur, cuius circuli semidia-
meter sit media secundum proportionem inter latus superficiei conicæ, eius scilicet quæ
inter basim & secantem continetur, et inter lineam æqualem duabus semidiametris simul
junctis duorum circulorum , eorum scilicet qui in base & secante notantur” (p. 17 del’édition
_ de Bâle; Heiberg, I, p. 76—79).
3) Lisez : qu. ex L.
4) Lisez : semid. L.
5) Consultez le ,Theorema VIIL”, p. sg En effet, à l'exception de la position inverse du rec-
tangle KF, la présente figure et celle qui se rapporte au , Théorema VIII” se correspondent
ligne par ligne et lettre par lettre, Il résulte donc de l'expression nlisdem positis”’ que dans

260 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659: 1657.

parabolicum ex hoc vero conus oriatur. Êt manente itemaxe

IEH, circumvolvatur hyperbolæ portio DEF fimul cum [_}°

| DV,utexilla conoides hyperbolicum,

[Fig. 18.] ex hocfiat cylindrus. Dico quamratio-

nem habet cylindrus DV ad partem fui

refiduam demto conoide DEF, eandem

habere fuperficiem convexam coni

AGC ad fuperficiem convexam conoi-
dis parabolici ABC.

Nam fi hoc verum effe negetur, Ergo ficut cylin-
drus DV ad partem fui reliquam dempto conoïide
DEF, ita erit fuperficies conica AGC ad majo-
rem vel ad minorem quam fit fuperficies convexa
conoidis ABC.

a
FUTTT V. Efto primum ad majorem, quæ fit circulus circa
2 lo diametrum X. Quoniam igitur cireulus circa X
ÿ major ponitur fuperficie ABC conoïdis, poterit
N per [ Theorema X ]') circa parabolam ABC, linea
SENTE € g+ inflexa ordinatè defcribi quæ fimul cum parabola

circumyoluta circa axem BQ, efliciat fuperficiem
minorem circulo circa-X diametrum, Efto defcripta itaque cjufmodi linea quæ fit
ANOZEC,. Et circa fpatium refiduum ab hijperboles portione DKVFED figura
item ordinate defcribatur , totidem [is conftans quot partibus linea ANOZEC,
eo modo quo in prop. præced. *). Et omnia fimiliter conftruéta fint. Manentibus
autem axibus GBQ, HET cunéta converti intelligantur. Quoniam igitur linearum
GW ,WP,PN, NA 3) unaquæque ad fibi proximam eadem ratione refertur qua
unaquæque harum IF, IR, IT, IK ad fibi proximam. Etiam quadrata illarum inter
fe eandem rationem confequenter fervabunt, quam harum inter fe quadrata. Sieut
autem quadrata inter fe linearum GW, GP, GN, GA ita fe habent fuperficies
conicæ quarum hæ lineæ latera exiftunt, et ficut quadrata inter fe reétarum IF, IR,
IT, IK ita fe habent bafes cylindrorum ac proinde ipfi quoque cylindri, qui fiunt
converfione [_Jorum TH, RH,1IH, KH. Ergo illæ fuperficies conicæ , unaquæ-
que ad fibi proximam eadem ratione referentur, qua cylindrorum iftorum quisque

une rédaction antérieure et provisoire les Théorèmes VIII et XIEI se suivaient immédiate-
ment; puis les besoins de la démonstration ont nécessité l’intercalation d’autres CEE
Comparez encore à ce propos les notes 2 de la p. 260 et 6 de la p. 261.

1) Voir la p.254.

?) Ils’agit ici sans doute du ,;,Theorema VIIT”. Voir:la note 5 de la p.259.

3) Lisez: GW,GP,GN, GA.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 261

ad proxime fequentem. Ideoque et minima diétarum fuperficierum et exceflus
quibus unaquæ ipfarum a fequente fuperatur, confequenter eandem rationem
inter fe obtinebunt quam minimus diétorum cylindrorum et exceflus quibus unuf-
quifque ipforum à fequente fuperatur. Sunt igitur magnitudines quædam fuper-
ficies genitæ ex converfione linearum GW , WP, PN, NA, itemque aliæ magni-
tudines rotidem numero, nimirum folida orta ex converfione [Jerum TH, TA #),
AT, ID, quarum binæ quæque eandem inter fe rationem fervant. Singulæ autem
diétarum fuperficierum ad alias quafdam fuperficies referuntur; videlicet fuper-
ficies à latere GW ad circulum à femidiametro BZ. et fuperficies à latere WP ad
eam quæ fit a latere ZO. et quæ à latere PN ad eam quæ ab ON, Et quæ ab NA
prout eft pars fuperficiei coni AGC ad feipfam refertur prout eft pars fuperfciei
à linea ordinatè circumfcripta genitæ. Et ijfdem quoque proportionibus fingula
diétorum folidorum ad alia quædam folida referuntur. Eft enim ficut fuperficies
conica à latere GW ad circulum à femid. BZ, hoc eft ficut linea GW ad BZ*, “15 Arch. 1. de
hoc eft ficur HI ad LE per ea quæ præced. prop.e oftenfa ©); ita cylindrus ex con- Ÿ/*’* 7
verfione [Ji HF ad cylindrum ex converfione [Ji Er. Et ficut fuperficies
conica à latere WP ad fuperficiem conicam à latere ZO , hoc eft , ut linea WP ad
ZO*, hoc eft ut AR #) ad @R ita folidum à [_}° AT in converfione faétum ad foli- +... wjus?).
dum à [_J@T. nam ec hæc folida alticudinum fuarum rationem fequi perfpicuum
eft. Eademque ratione ficut conica fuperficies à latere PN in converfione efFeéta
ad eam quæ fit à latere ON, ita folidum à [[J°ATI ad folidum à reétang.SR. Et
ficut fuperficies conica à latere NA ad feipfam ita folidum à [77° DIT ad feipfum.
_ Ergo ficut omnes fimul fuperficies conicæ a lateribus GW, WP, PN, NA in con-
verfione faétæ , ad omnes faétas à lateribus BZ, ZO , ON, NA , hoc eft ficut tota
fuperficies conica AGC ad fuperficiem totam a linea ordinatè circumfcripta geni-
tam, ita erunt omnia fimul folida converfione [Jorum HT, TA, AIT, HD pro-
dué&ta, ad omnia fimul folida ex converfione [TJorumET ,r@, RS, ID *), hoc
eft, ita cylindrus DV ad folidum ex converfione figuræ ordinate defcriptæ circa

ue Je a

#) La lettre A manque dans la figure 18 ; mais on la retrouve dans la figure 1 1 du théorème VIII,
p.250. Elle doit être placée à droite du point Q.
5) Voici cette proposition d’Archimède: ,Cuiuslibet coni æquicruris superficies ad basim suam ,
eandem habet proportionem, quàm latus ipsius coni habet ad lineam eductam à centro basis
_ coni ad ejusdem circumferentiam” (p. 17 de l’édition de Bâle, Heiberg I, p. 76—77).
s) Il s’agit toujours du ,,Theorema VIIL”; voir la p. 251 où l’on lit: ,sicut singulæ partes lineæ
LA ; AGC , ad partes singulas lineæ ordinatè circumscriptæ, quæ inter easdem secum parallelas
continentur, îta ©" singula altitudinem DK habentia ad ea quæ easdem cum ipsis bases
habent”; c’est-à-dire les rectangles TE, TO, RS, TD.
7) Il s’agit du ,,Lemma IV”, p. 259.
8) 11 s’agit cette fois encore d’une application de la proposition d’Archimède mentionnée dans
Ja note 5 de la p.251. Ici les 4 sont les surfaces décrites par les lignes GW, WP, etc.; les 2
des solides décrits par les rectangles TH, TA ,etc.; les c les surfaces décrites par les lignes
BZ, ZO, etc. ; les Z les solides décrits par les rectangles ET ; OT, etc.

262 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

fpatium refiduum DEFVKD. Ratio autem cylindri DV ad diétum folidum ex
figura ordinatè circumfcripta genitum minor eft ratione ejufdem cylindri DV ad
partem fui quæ relinquitur dempto conoïde DEF.

LFie. 18.) quoniam folidum ex figura ordinatè circumfcripta

, ‘ majus eft di@ta parte refidua *). Ergo et fuperficiei

conicæ AGC ad fuperficiem à linea ANOZB ordi-
natè circa parabolam defcripta , minor erit ratio
quam cylindri DV ad partem fui refiduam dempto
conoide DEF. Huic autem éadem pofita fuit ratio
fuperficiei conicæ AGC ad circulum circa X dia-
metrum. Ergo fuperficiei conicæ AGC ad fuper-
ficiem à linea ANOZB, minor erit ratio, quam
ejufdem conicæ fuperficiei AGC ad circulum cirea
X. Quare major erit fuperficies à linea ANOZB

æ circulo circa X. Eadem vero minor hoc circulo

FER IT NV fuperius diéta fuit. quod fieri non potett. Itaque

Ÿ £ non eft ficut cylindrus DV ad partem fui quæ
C remanet demto conoïide DEF, ita fuperficies
N conica AGC ad majorem aliquam quam fit fuper-

D H Y+ ficies ABC conoïidis parabolici. |

Sed neque ad minorem. Nam fi dicatur efle
ut cylindrus DV ad diétam partem refiduam , ita fuperfic. conica AGC ad mino-
remaliquam fuperficiem quam fit conoidis ABC, Ergo quoque ficut fuperf. conica
AGC ad ipfam fuperf, conoidis ABC, ita eric cylindrus DV ad folidum quod-
dam majus diéta parte refidua. Efto id folidum in quo d. Ergo quia folidum
d majus eft parte cylindri DV refidua poft ablatum conoides DEF, five folido
quod oritur ex converfione fpatij DEFVKD; conftar circa fpatium DEFVKD
figuram ordinatè ex [is defcribi poffe, quæ fimul circumlata, folidum efficiat
quod minus fit folido d *). Defcripta itaque intelligatur ejufmodi figura; et ex
quot [_Jisipfa compofita erit, ex totidem reétis conftans linea ordinarè circa para-
bolam ABC itidem defcripta fit. Similiter itaque ut prius, oftendemus fuperfi-
ciem conicam AGC ad fuperficiem genitam à linea ordinatè parabolæ circum-
fcripta, eandem habere rationem quam cylindrus DV ad folidum ex figura
ordinate circa fpatium DEFVKD defcripta. Eft autem minor ratio fuperficiei
conicæ AGC, ad fuperficiem, à linea ordinatè circumfcripta, ortam, quam
ejufdem fuperficiei conicæ AGC ad fuperficiem conoiïdis parabolici ABC 5).

+) Voir le Théorème XI, p. 257.
2) Voir le dernier alinéa du Théorème XII, p. 258.
3) Puisque, d’après le postulat d’Archimède mentionné dans la note 5 de la p. 255 , la surface
a par la figure rectiligne circonscrite à la parabole, excède celle du conoïde para-
olique.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 263

Br et ratio cylindri DV, ad folidum quod fit ex converfione figuræ ordinacè
circa fpatium DEFVKD defcripræ, minor erit ea quam fuperficies conica AGC
habet ad fuperficiem conoidis ABC. Huic autem rationi eadem pofita fuit ratio
cylindri DV ad folidum W. Ergo cylindrus DV ad folidum à diéta figura ordinatè
defcripta genitum minorem habebit rationem quam éylindrus idem DV ad foli-
dum d. Quare folidum à figura ordinate circumferipta majus erit folido d. Sed
ec minus antea diétum fuit. Quod effe nequit.
hello neque erit cylindrus DV ad partem fui refiduam demto conoide DEF,
ita fuperf. conica AGC ad minorem aliquam quam fit fuperf. conoïdis parabolici
ABC. Sed neque ad majorem , ut modo oftendimus. Ergo reliquum eft, ur ficut
cylindrus DV ad diétam fui partem reliquam ita fit f1 uperf. conica AGC ad fuperf.
conoïdis parabolici ang: ses erat demonttr,

PET EONTS D

[THeorema XIV.]

CFig. 19.] Efto hyperbolæ portio ABC, cujus axis
BD fit bafi ad angulos rectos. latus autem
tranfverfum fit BH; centram fectionis E.
et defcribatur fuper eadem bafi []m ad
centrum terminatum FC. Et manente axe
ED, dictum [_}J" unä cum portione ABC
circumvertatur. Dico cylindrum FC ex con-
verfione [Ji genitum, ad partem fui refi-
duam, dempto conoide ABC, eam habere
rationem quam linea tripla ED ad æqualem
_utrique fimul et duplæ ED, et ei lineæ;
quæ fefe habeat ad EB ficut BH ad HD.

Mai

_ Producatur enim latus tranfverfum BH ad I ut HI fit æqualis EH vel EB

_ ét ficut HD ad DI ita fit BD ad DN. Quoniam igitur conoides hyperb. ABC
ad conum eandem bafin et alcitudinem cum ipfo habentem, eam habet rationem
_ quam ID sd DH *, hoc eft quam ND ad DB. diétus autem conus ad cylindrum

NOT ri

ER HAE F£

4) 11 s'agit de la Prop. 27: ,Quælibet portio conoidalis obtusianguli” [conoïde hyperbolique]
nabscisa plano super axem erecto, habet ad conum, qui eandem basim & axem cum por-
_ tione teneat eundem , eam proportionem, quam habet utraque simul linea quæ sit æqualis axi
… portionis, et ea quæ sit tripla lineæ ad axem adiectæ , ad lineam his utrisque æqualem, axi
portionis & lineæ duplæ, ad lineam axi adiectam” (p. 84 de l’édition de Bâle, Heiberg I,
p.416—417, où elle porte le numéro 25). La ,,linea axi adjecta” d’ Archimède est repré-
_ sentée dans la fig. 19 par la ligne BE, c’est- àdire par le demi-axe transverse de l’hyper-
… bole ABC.

* Archim, de
Conoid. *).

264 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

FC, eft ficut BD ad triplam DE. Erit propterea ex æquo, conoides ABC ad
cylindrum FC, ficut ND ad triplam DE. Et invertendo, et per converfionem

rhgs rationis, cylindrus FC ad partem fui quæ dempto ABC
conoide remanet, ficut tripla DE ad exceffum triplæ DE
fupra DN, hoc eft, ad duplam DE una cum NE.
Reliquum eft igitur ut oftendatur, effe NE ad EB ficut
BH ad HD. quod fiet hoc modo. HD eft ad DI ficuc
BD ad DN; quare et permutando HD ad DB ut DI ad
DN , et per converfionem rationis DH ad HB ur DI ad
IN. Et permutando rurfus et invertendo ID ad DHut
NI ad HB, five IE. Et dividendo IH ad HD ut NE ad
EI. Et permutando et invertendo denique NE ad HI
five ad BE, ut ET five BH ad HD. “add demonftrandum
A ? € fupererat.

[ THEOREMA XV.]

Si in eadem bafi confiftant conoïidis portio parabolici ec
conus rectus, fitque hujus altitudo ad illius altiveudinem
dupla; fuperficies coni ad fuperficiem conoidis, utrâque fine
bafi fumptâ, eam habebit rationem, quam latus ceoni criplum
ad idem latus duplum junctum ei lineæ quæ fit ad diame-
trum bafeos, ficut eadem diameter ad ambitum trianguli per

axem coni').

LFig. 20.] Efto conoiïdes parabolicum ABC , et in eadem bafi conus AGC
(4 reétus, cujus dupla fit alcicudo. Et utroque per axem feéto, fiat
SF fe&io conoidis parabola ABC; feétio vero coni AMAGC. Et ficut
hujus trianguli ambitus ad bafin AC ita fit AC ad lineam s.
Oftendendum eft igitur, fuperficiem coni AGC fine bafi, effe ad
AT © fuperficiem ABC conoïdis, itidem fine baf, ficut cripla AG ad
, duplam AG unà cum linea s.

v Sit hyperbolæ portio DEF cujus axis EH fit bafi ad ang. reétos,
A # dimidium vero latus rectum *) EI fit zAC et tota IH > AG. Et
H defcripto circa portionem [_Jle DV aû centrum feétionis I termi-

*) C’est sous cette forme que la quadrature de la surface du conoïde parabolique fut commu-
niquée à Gregorius à St. Vincentio le 30 octobre 1659; voir la p. 502 du T. II,

?) Lisez: lateris transversi.

3) Comparez le ,, Theorema XIV ,” p. 263.

#) Voir le ,Theorema XII ;” p. 259—260. Dans la figure de ce théorème le conoïde hyper-

Re RO NE

dt DATHAMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 265

0, incelligatur, manente axe HI, et portio et [7] DV circumvolvi. Itaque
drus DV ex converfione [Ji ortus ad partem fui quæ remanet dempto hyper-
onoide DEF eam habebit rationem quam tripla HI ad duplam HI junétam
uæ fit ad EI ficut 2EI ad utramque fimul HI, IE 3), five permutando,
2EI ut EI ad duas fimul HI, IE. Eft autem HI © AG, et EI © AQ.
diétus cylind. ad dictum refiduum eam quoque habebit rationem, quam
AG habet ad 2AG una cum ca linea quæ fit ad 2AQ hoc eft ad AC , ficut
ad utramque fimul AQ, AG, five ut AC ad ambitum AÏAGC. Hæc vero
. . Ergo cylindr. DV ad partem fui reliquam dempto conoide DEF, eam
one quam 3AG ad 2AG una cum s linea. Sicut autem diétus cylindrus
diétum refiduum ita eft fuperficies coni AGC fine baf ad fuperficiem conoidis
arabolici ABC fine bafi +). Ergo et hæ fuperficies eam inter fe rationem feryanc
ft 3AG ad 2 AG una cum s linea. Quod erat oftend.
nifeftum eft fuperficiem coni AGC ad fuperficiem conoïidis ABC,
fumpta, minorem femper rationem habere quam fefquialteram 5).

_[Tasorema XVI]

no à Dbraugifei: cujus axis ad bafin rectus fit, fuper-
os convexa ad bafin eam habet rationem
_quam inter fe habent lineæ rectæ, quarum
prior compofita fit ex duobus lateribus
| Éamguit ifofcelis, bafin habentis diame-
trum circuli qui conoidis bafis eft, altitu-
; PETER vero conoidis duplam, et ex ea linea
\ quæ fit ad bafin dicti trianguli ficut bafis
eadem ad totius dicti trianguli ambitum:
- altera vero linea dictæ bafeos fit fesquial-
tera®).

qui ‘a été construit de manière qu’on a 2 AG: AC—HI:IE (voir le ,Theo-
VILLE” p. 249). Il est donc évident que le conoïde hyperbolique de la figure présente
titue un cas particulier de celui du Theorème XIII.
est-à-dire plus petit que le rapport 3 : 2.
sant donc GC—4, DC = r on trouve 2r?: (4 + r°) pour la ligne s qu'on doit ajouter à
, par suite, pour la surface du conoïde parabolique o(a® + ar tr')ra: 3(a +r).
duisant plutôt, au lieu de 4 et r, la hauteur BD — # du conoïde et le le paramètre p
bole y®— 2px ona r=V2ph;a=V2hCoh+p);s—4ph: (V24C24 +2) +
JET) (W F1C2 + p) — v'2ph): h, et l’on obtient pour la surface du conoïde la
34

266 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

[Fig. 21.] Quia enim fuperficies conoidis ABC ad fuperficiem
ÿ coni AGC eam oftenfa eft habere rationem quam dupla
AG junéta lineæ s ad cripla AG *) : Eft autem fuper-

la | ficies coni AGC ad circulum bafeos AC, ut AG latus
15 Archim. 1.

de Sphæra *).

ad AD femidiametrum bafeos*, hoc est ut tripla AG
ad triplam AD, feu fefquialteram AC. Erit proinde ex
æquo, fuperficies conoidis ABC ad circulum bafeos AC
ut dupla AG junéta ipfi s ad fefquialteram AC quod
D erat dem.

[TaroremA XVII.]

lifdem pofitiss), fi fuerit latus AG [Fig. 21] ad bafeos
femidiametrum AD ficut numerus ad numerum; dico et fuper-
ficiem conoidis convexam ABC ad bafin fuam fore ut nume-
rus ad numerum#).

. Quia enim GA commenfurabilis AD (6.10 Elem.) 5) erit et componendo
utraque fimul GA, AD commenfurabilis AD (per 16.10 Eucl.)%); ficut autem
utraque GA et AD ad AD, hoc eft ficut ambitus trianguli AGC ad AC ita eft
AC ad s. Ergo et s ipfi AC commenf. erit (11.10)7), ac proinde ipfis quoque AD
et AG, ut et duplæ AG (12.10) *). Quare componendo rurfus erit dupla AG
unacum s commenfurabilis ipfi s (16.10) %), ac proindeipfi AD, uti et triplæ AD
(12.10)°). Sicut autem dupla AG una cum s ad triplam AD five fefquialteram
AC, ita eft fuperficies conoïdis convexa ABC ad circulumbafeos AC (per præc. ).
Ergo illa quoque fuperficies huic circulo commenfurabilis eft (11.10)7) ac
proinde ad ipfum rationem habebit quam numerus ad numerum (s.10)°). Quod
erat oftendendum. |

formule = [C24+-p) V'pC24 + p) — p°], qu’on peut vérifier aisément par les méthodes

modernes et qui est conforme à celle communiquée, en janvier 1658, par van Heuraet
à van Schooten (voir la p.131 du T.Il), où l’on doit remplacer, afin d’y introduire nos
notations, à par # et #, le ,,latus rectum” de la parabole, par 2p. Consultez encore à ce
propos le dernier alinéa de la p. 189 de l'Avertissement.

*) Voir le Théorème XV , qui précède,

?) Il s’agit de la Prop. 15 du Livre 1 ; voir la note 5 de la p. 261.

3) Voir le Théorème XVI, qui précède.

4) C’est le Théorème que Huygens a choisi pour le communiquer, avec les deux premiers des
exemples qui suivent, à de Sluse (voir la lettre du 20 déc. 1657, p.104 du T. ID) età
van Schooten (lettre du 28 déc. 1657, p. 112—113 du T. IL), afin de leur montrer qu'ilavait
trouvé la quadrature de la surface conoïde sans leur faire connaître le résultat précisqu'ilavait
obtenu et qu’il voulait réserver encore. On retrouve tous les trois exemples dans la lettre

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. . 267

2 48e xs fuerit AG dupla AD, eric fuperficiei conoidis convexæ ABC ad bafin ea
_ ratio quæ quatuordecim ad novem.
EE à MSRAG-ripla AD, erit diéta fuperficierum ratio ut 13 ad 6.
| _ Si AG quadrupla AD, erit fuperficierum ratio quæ 14 ad 5. quæ exempli
+0 Donne But. 5

[ProBLEMA I.]

Ris donotde parabolico, invenirecirculum conoidis fuper-

4 16e '

\

Efto datum conoides parabolicum ABC,

I cujus axis BD: Et oporteat fuperfciei
| conoidis convexæ ABC æqualem circulum
m\ invenire. Secetur conoides plano per axem,
unde exiftat parabola ABC, Et producatur

axis et fit ED dupla BD. Jun@tisque AE,

EC , ducatur AF quæ bifariam dividat angu-

KI lum EAD, occurratque axi in F, unde
L | ducatur FG parall. EA. Deinde efto H
linea æqualis utrique fimul AE et GD.
Trienti vero diametri bafeos AC fit æqualis

reéta L. Et inter utramque H et L media

sorius à st. Vincentio du 30 octobre 1659 (voir la p. 502 du T. IL) et dans l’,Horolo-
Oscillatorium” ; »Prop. IX” de la ,,Pars tertia””, p. 74 de l’édition originale.
agit de la rh 6 du Livre 10 des Éléments d’Euclide, p. 215 de ve de 1607 de

Due à

ie »Si duæ in: commensurabiles componantur; & tota magnitudo vtrique ipsarum

commensurabilis erit. Quod si tota magnitudo vni ipsarum commensurabilis fuerit; & quæ
pio magnitudines commensurabiles erunt” (Clavius, p. 235).

Cr) I s'agit de la Proposition: ,Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, prima vero

_ secundæ fuerit commensurabilis; & tertia quartæ commensurabilis erit. Et si prima secundæ

fuerit incommensurabilis : & tertis quartæ incommensurabilis erit” (Clavius, p. 225). Cette

proposition porte chez Clavius le numéro 10; mais, comme Clavius le fait remarquer à la

p. 230, elle fut numérotée 1 1 dans des éditions qui précédaient la sienne.

ÿ, 8) ,Que eidem magnitudini sunt commensurabiles, inter se sunt commensurabiles” (Clavius,

| p.230).

9) ,Commensurabiles magnitudines inter se rationem habent, quam numerus ad numerum””?

| Mprmal 214).

n retrouve cette construction (avec les exemples mentionnés dans la note 4) à la p. 40 du
Pncrit N°. 13 dont il est question dans le dernier alinéa de la note 5 de la p. 23 5,et de
lie. sous une forme légèrement modifiée, dans |’, Horologium Oscillatorium””, après la
»Prop. IX” de la ,,Pars tertia”, p. 73—74 de l'édition originale.

268 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

proport. fumatur K. dico circulum à femidiametro K æqualem effe fuperficiei
conoidis convexæ ABC.

Quia enim bifariam dividitur angulus

Le TE EAD à reéta AF, Erit ut EA ad AD ita EF

€ | ad FD. Et compon.° ut utraque fimul EA,

AD ad AD ita ED ad DF. Ut autem ED

H ad DPF ita eft AD ad DG. Ergo ut utraque

fimul EA, AD ad AD ita erit AD ad DG.

£ Et l'umptis tam antecedentium quam con-

fequentium duplis, ficut ambitus AiAEC

de LK ad AC ita AC ad duplam DG *). Quam-

obrem ficut dupla AË una cum dupla DG

| ad fefquialteram ipfius AC, vel fumptis

utriufque dimidijs ut AE una cum DG, hoc
eft ut H, ad fefquialteram ipfius AD, ita
erit fuperficies conoidis ABC ad circulum bafeos AC *). Ratio autem quam habet
H ad fefquialteram AD, componitur ex rationibus H ad AD, et AD ad fefquial-
teram AD; quarum hæc eadem eft quæ rectæ L ad AD; nam cum L fit fubtripla
AC erit cadem fubfefquialtera AD. Igitur et ratio quam habe$ fuperficies conoidis
ABC ad circulum bafeos AC, cadem erit compofitæ ex rationibus H ad AD'et L
ad AD, ac proinde eadem quæ [Ji ab H et L contenti hoc eft qui.K ad quad.
AD. Sicut autem quadr. ex K ad qu.AD, ita eft circulus radio K defcriptus ad
circulum bafeos cujus femid. DA. Ergo eadem erit ratio fuperficiei conoïdis ABC
ad circulum bafeos AC, quæ circuli à K femid. ad eundem circulum AC. Ac
proinde diéta conoidis fuperficies æqualis erit circulo cujus K eft femidiameter.
Quod erat dem.

À ÿ D "ec

1) La ligne DG est donc la moitié de la lignes, dont il est question dans les trois théorèmes
précédents.
?) Par le ,Theorema XVI”, p. 265.
3) On ne retrouve ce problème ni dans la correspondance de Huygens, ni dans l’,Horologium
oscillatorium”. Afin de le résoudre posons MK [Fig. 23]= x, KN — A, et soit s la ligne
+ auxiliaire des Théorèmes XV (p. 264)et XVI(p.265). On a alors d’après le Théorème XVI:

(2x +s):3A— B?:A7,oùs—02A°:(x—+A)
De la première équation on déduit:

2
s—3? — 2x —=93C— 0x.

La substitution de cette valeur de s dans la seconde équation, amène harpe qua-
dratique:

2x? — (3C — 2A) x + 2 A? — 3AC —0,

pour la racine positive de laquelle on trouve:

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 269

[Pro8Lema IL.]
4 épi citculié &douts inæqualibus, conoides parabolicum
us re bafis fit circulus minor, fuperficies vero con-

Sunto dati circuli à femidiametris A et
B. quorum A minor B major. Et oporteat
facere quod proponitur. Sit duabus A,

B tertia proportionalis [C]. Et fumatur

DE 0%. cui adjungatur in direétum

EF EN Sitque EG % EF, Et exceffui

\£L quo nd. DF fuperat qu. À fit æquale qu.
12 ex DP. Deindetriang. extruatur ifofceles
M | en KL. 20 duplæ À, crura vero KM, ML fingula æ utrique
mu GD, DP. Er du@ti ad mediam bafin reéta MN, dividatur ea bifariam in O,
arabola defcribatur verticem habens O pünétum ; axem ON, bafin vero KL.
ente axe ON circumverti intelligatur. Quod igitur bañis conoidis inde
anifeftum#). Dico: autem convexam conoidis f Rens KOL % cir-
eidi Bb i5i0no ris
enim gülécsinni! ex À ni eft differente qu.orum DF, DP, ac proinde
duplo [J° DPF + qu° PF *, hoc eft ei [7° quod füb PF et æquali
que FD, DP continetur: Erit proinde ut utraque fimul FD, DP ad A ita A
Ë S : Eft a autem utraque fimul FD, DP æqualis utrique fimul MK , KN; quia

. x— rie ts aa L 4vGC — LA) F24AC — 16À°
_ ouplutôt:
x=3c_la4\/(Sc+ TA) — a (où C=B:A)
4 2 4 2 ;

_ Or, on apercevra facilement que la construction, qui va suivre, ne fait que reproduire les
opérations indiquées par cette expression algébrique.

) Cette phrase inachevée fut intercalée après coup.

5) Lisez: 4.2 et consultez la p. 300 du T. XI, où la quatrième proposition du second livre des
1 -d'Euclide est EEE xs Let manière tout à fait analogue, La proposition s’y

itée dans la note 14.

t ici de la »Prop.” 17 du Libre” 6, où “ai li. si tres.rectæ lineæ sint proportionales:

sub extremis comprehenditur reétañguluin éaualé est ei, quod à media describitur,

quadrato. Et si sub extremis comprehensum rectangulum æquale sit ei, quod à media

… describitur, quadrato: [llæ tres rectæ lineæ proportionales erunt” (Clavius p. 568).

270 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

FG > NK, et duæ fimul GD, DP æquales KM. A veroipfi KN æqualis eft.
Ergo, ficut utraque fimul MK, KN ad KN ita eft KN ad FP. ideoque ut

| [Fig. 23] MK + FP ad 3KN ita eft fuperficies con-

7: M vexa conoidis KOL ad circulum bafeos
KL, uti ex fuperioridemonftratione perspi-

cuum eft'). Porro quoniam DE + 3C

erit dupla DE sc. Sed dupla DE >

» DG+DF, rit æqualiter fe exce-
dant hæ tres DG, DE, DF. Itaque DG +

M - +DF ÀC. Sed DG + DF 20 MK +

+ PF quoniam ex conftr. DG + DP % MK. Itraque MK + FP > sc. Unde

eandem quoque rationem habebit MK + FP ad 3KN quam © 3 3C ad 3 3KN, Ropel

quam C ad KN five ad A. Quam autem habet C ad À eam héber cities femid.
B ad circulum à femid.A, hoc eft ad circulum bafeos KL. Ergout MK + FP |

ad SKNi ica eric circul. à femid.B ad circulum bafeos KL. Atqui eandem quoque

rationem habere oftendimus fuperficiem convexam conoidis ABC ad eundem

bafeos circulum KL. Ergo æquales inter fe neceffe eft circulum à hr: Re et
diétam conoïdis fuperficiem.

2 à D
7) Lorsqu'on remplace les notations de la Fig. 21 F4 266) par celles dès présente ati où
trouve, en effet, que les deux surfaces sont, d’après le Théorème XVE, p. 265 > dans le rap-

port de [2MK + KL? : 2(MK +KN)] à° 3KL, ou bien de 2MK+2FPà ns c'est- à-dire
de MK +-FP à ÈNK.

LL
« ;
GE reûi +4 i 4 ABC TA
F4 \é
nm 4 2
ERT mu "À f 1 É ue ee WE: 4 . { :

N? tr oh si Bt 3j) ru

VII.

FR rs …. CatreBa H G , invenire circulum BDS qui
et ee juper data rebla arcum capacem anguli dati.

CD » 4; AB % 6; CG æc; AH > Z;
\ 6 2 es data LB vel ce ad LK ut

nr DAY 19. Si

LE 14 FAT. F. # dé 1
4 pes LE ID | cer
3% LK Es ke NH: n MG; rh » AN.

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téiate re ul sh C@rE
+ ne. es #2 À

Bee PU

ru ARTS -

| ou + de Her:
st Li

ERÉAUONTE

p.35 du ivre du frère Philips a que nous avons mentionné dans

ému: scoormpègnt: la lettre ja de Sluse à Huygens du
mn ue PrvNEs du 2 novembre à la p. 80 du

LS

279 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

—0oe1v”. vaa—cc—+ dd—bb—ee+2ax—92bx + ee

2617 D — pp +4qx À
fiet quadrata æquatio *).

1) Probablement Pascal avait en vue une solution plus géométrique. En eff, il écrivit à Fer- re
mat, le 29 juillet 1654: ,De même j'ai résolu le problème. . .et celui-ci: : Detrois cercles,
trois points , trois lignes, [trois] quelconques étant donnés, trouver un cercle qui, touchant les
cercles et les points, laisse sur les lignes un arc capable d'un angle dinné. ai résolu € ces pro-
blèmes p/ainement, n "employant dans la construction que des cercles et des lignes droites;
mais dans la démonstration, je me sers de lieux solides, de paraboles ou hyperboles: Je
prétends néanmoins qu attendu que la construction est plane, ma solution est : plane et
doit «passer pour telle” Sr la 12 208 du T. IL de Focrrage cité dans la note 1 de la p. 3 du
présent Tome).

Quant à la solution de de Sluse, à laquelle il fait allusion dans la iététe pre dansla
note 3 de la p. 271, elle se basait prohablemenlt sur une analyse analogue à celle de Huygens.
On en trouve l’application à un cas particulier numérique dans une Pièce quiaccompagneune
lettre de de Sluse à Brunetti; voir les p. 241 —247 du T. VIIdes »Eavres de Blaise Pas FAR
eitées dans la note 4 de la p. 196

D'ailleurs le problème est un cas particulier de celui-ci: Décrire une à iront
coupe trois cercles donnés sous des angles donnés. Ce dernier problème est également plan.
On en trouve une solution moderne par M.G. Tarry à la p. 290 du ,, Traité de géometrie
par Rouché et de Comberousse”, Paris, Gauthier-Villars, édition. de 1891, première
Partie. Fiedler en élabora une autre p. 169—172 de son ouvrage: ,C'yklographie oder Com
struction der Aufgaben über Kreise und Kugel und elementare Geometrie der Kreis-und

. Kugelsysteme”, Leipzig , 1882. Steiner annonça, en 18:26, dans son traité ,,Einige geome-
trische Betrachtungen”, qu’il possédait une solution du problème qu’il n’a pas publiée (voir
la p. 20 du T.I de l'ouvrage: , Jacob Steiner’s gesammelte Werke” Berlin, G. Reimer, 1881).

3) La Pièce est empruntée aux p.7—14 du Manuscrit N°, 13. Nous l’avons éviter

Rue Vi De } jf ÿ
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+4 Fr 5 a MERE MARTEL 2 #74 À ke F4 FA tr

"EMI UE lé HS |
a 5 et fi Emilia curvarum alioris gradus. Item ratio [olido-
sie Es centrorurm gravitatis inventio G parts folidi[que.

$r3).

Las eft Parabole. CA 5% AD. Dico CB effetangentem

je Lbe$ 1466 AI [àd} AL fut] BD [ad] LK +).

N BDfiveFL [ad]LK [ut] qu.FL ad qu.LH.

F1 -2k ‘fed FL ad LK major quam qu. FL ad qu.LG, quia
A 1 AR h 0 ). Eft enim ut DC ad CA ita BD five QA
\ adAR,h.e. FK ad KG. Ergo qu. - ad qu.LH major
«ue FL° ad qu.LG. Ergo LH minor quam LG.

punétum G Extra parabolam. Exdem ratione

à Von B6C. MORE ,

‘È . er Et
7e ‘ Fe #
,] Ars “: 1 per AVE #4 |
# SAR : FORTE, Fi-b6 pen ce id

du premier paragraphe. et une partie de celui du second ont servi d'Avéot-
e.que nous reproduisons dans l’Appendice I, p. 283— 287.
es, résultas obtenus dans cette Pièce et dans l’Appendice II (p. 288—293)

nnés Pr à la dernière page de la ,Pars terria” de son »Horologium
am” (p. 90 de l'édition originale)
paragraphe contient la D à Eee L de la tangente à la parabole ordinaire et aux para-
ace degrés. Il a servi cheat à la première partie (jusqu’au » Theorema Il”)
ppendice I, p. 283—285.

. portion et les raisonnements qui suivent s’appliquent également aux gro ensembles
F,G, H, K.,' n: dont:les uns se trouvent au-dessus et les autresau-dessous de la
. de / É à DOM EN ti

minis GG ëk sé Léa en question peut alors s’écrire pour la 1
rT > (a—5ÿ? et pour l’autre ligne KGHFL: Fear GED

“ 5 . facile d’en vérifier l'exactitude.

35

27} TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

[Fig. 2.]

KE STE _—

Kÿ4YT r

FTSÈRK L

t-
FEYXVK =

Sit Curva AB [Fig. 2 | ejus naturæ, ut ficut DA ad AL
ita fit cubus BD ad cubum HL. Fiat CD tripla DA. dico
CB effe tangentem in B.

Ratio FL (BD) ad LK [5 ratione] DA [ad] AL [>]
cripla rat.is BD five FL ad LH. Sed ratio FL ad LK major

quam criplicata rac.is FL ad LG : quia FG D FK :). nam

CA ad AD five BQ ut AR ad RQ, h. e. ut KGad GF.
Ergo ratio FL ad LE major quam FL ad LG. Ergo
LH minor quam LG. &c.

Sit DA3 ad AL3 ut BD4 ad HL4,

Sit CD ad DA ut 4 ad 3. Dico CB effe tan-
gentem in B. -

Ratio FL [ad] LK fefquitertia eft rationis
FL ad LH?). Eft enim cub.FL ad cub.LkK ut
qq.FL ad qq.LH. ex hypoth. Atqui ratio FL
ad LK major eft quam fefquitertia rationis FL
ad LG: quia KF ad FG ut4 ad 3* 3). NamKF
ad FG ut AQ (BD) ad QR, hoc eft ut CD ad
DA (BQ).

Ergo ratio FL ad LH major ratione FL ad
LG. Ergo LH minor quam LG. &c.

*Lemma. Sit KF at FÉÉrEeRE linea-
rum FL, LK et FG ŸFK. dico ratio-

nem FL ad LK effe majorem quam
fefquitertiam rationis FL ad LG.

Sint enim inter LK, LF tres mediæ proportionales LV, LX, LY. Ergo etiam
continuè proportionales erunt KV, VX, XY, VF. Et KV harum minima, ac

4

Ë Lo 6 is as 4 Ca
) Lesinégalités se réduisent ici (pour FL—4,FG—2) a: # > CES DL et A NET CH

. TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1653 À 1659. 1657. 275

nor qua À FK if quare ratio FL ad LG minor ratione FL ad LV.

m ratio FL ad LV, triplicata rationis FL ad LY. Ideoque ratio FL
eadem quæ cubi FL ad cub.LY. Ratio vero FL ad LK eft quadrupla
FL ad LY; ac proinde eadem quæ qq. iFL ad qq.m LY. Ergo quum
qq. FL ad qq. LY fit fefquitertia rationis quam habet cub.FL ad cub.LY.
ratio FL ad LK fefquitertia rationis FL ad LV. fed ratione FL
nor eft ratio FL ad me Ergo ratio FL ad LK major quam fefquitertia
ad LG. quod erat prop.
| 'L ad LK quadrupla eft rationis ME sd LV: Rabio autem
cripla eft rationis FL ad LK. _Ergo ratio cubi FL ad cub.
quadruple hoc eft duodecupla rationis FL ad LY. Rurfus ratio
pla ed FL ad LY. Ratio autem qq.iFL ad qq.m LV eftqua-
nis FL ad LV. Ergo ratio qq.iFL ad qq." LV eft quadrupla triplæ,
ecupla rationis FL ad LY. Itaque eadem eft ratio qq.iFL ad qq." LV
ad sl Sed ratione a iFL ad qq.LV minor eft ratio qg.iFL

rares asset. quæ confideratur in abfciflis ab axe, que hic
ebet eme ail ad re 2 hoc eft AQ ad QR , hoc eft CB ad BR , ac

des ensembles de pin G,H,K,L. On a évidemment dans les deux
+ "0 0 QE $.

a”, ti suit. ra

on KV << £ KF n’est rusble que pour l’ensemble qu’on trouve papa figure prin-

E Le

lessus de la ligne BD; pour l'autre ensemble on aKV vs LRF; ce qui n'empêche
Mniiiston que Huygens fait suivre ne soit véritable ts les deux cas; voir la

na dans le ape des deux ensembles , qu’on trouve au-dessous de la figure prin-
KV S KG =5KF, dans le second : KV < KG et, par suite, dans tous les deux:

est él d’ailleurs que ces méthodes de démonstration géométrique peuvent
également aux cas de la parabole propre et de la parabole cubique, qui précèdent.

276 TRAVAUX MATHÉMATHIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

proinde ita CD ad DA , ut fiat CB tangens in B. Vel fimplicius fic. Si ratio BD ad
HL quadrupla æquatur triplæ rationi DA ad AL, debet “is CD ad DA ut 4 ad d3
Et fic de cæteris.

(Fig. 4] Sit AHB parabola cujus diameter AQ,
9 ,__ contingens in vertice AD :).
À Confiderentur autem BD, HL tanquam
ordinatim applicatæ, Ergo quia BD ad HL
proportio dupla eft proportionis DA ad LA.
ES hoc eft quia ficut BD’ ad HL: ita DA’ad
LA?, debebiteffe CD ad DA ut 1 ado ,ut
fiat BC contingens in B.

Hoc autem modo curvas difponi ad qua-

L draturam non eft neceffe, fed ad invenien-
dum folidum ex converfione circa tangentem

in vertice. unde centrum gravitatis innotefcit *).

$23).

AD [Fig. 5] eft tangens in À. Dico trilineum BHAD effe ad
fpatium BHAQ ut dimidia DB ad BQ#).

Si enim non, Ergo trilineum BHAD, vel ad fpatium majus vel minus iplo

BHAQ eric ut dimidia DB ad BQ. rn AU
Efto primum ad majus, quod fit X fpatium. Poteft ergo figura cireumferibi

ex [JS quæ fit minor fpatio X 5). fa@tum fit igitur. Ergo trilineum BHAD

*) Dans ce qui suit la règle générale que Huygens vient de trouver est vérifiée dans le cas de la
parabole ordinaire, la tangente au sommet étant considérée cette fois comme l’axe des
abscisses.

?) Cette annotation fut ajoutée à une date postérieure à la rédaction de la présente Pièce. On
verra, en effet, que les quadratures qui vont suivre sont fondées bien certainement sur la
Broshiété de la bugeute que Huygens vient de déduire.

3) Quadrature des paraboles de divers degrés et cubature de leurs solides de révolution.

+) La figure représente une courbe paraboloïde quelconque y*= £x? (où B est l’origine et BQ
l’axe des x), pourvu seulement qu’on ait # > b. ‘4

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1656. 1657. 277

ad omnia [7] circumfcripta
majorem babebit rationem
quam ad fpatium X , hoc eft

quam DB ad BQ. Et du-

cantur tangentes ex H, M,
T. Ergo hæ dividunt BD
in partes æquales, et toti-
dem quot funt in BQ °).
Et fingulæ partes BD ad
fingulas ipfius BQ eandem
habent rationem quam DB
ad BQ. Triangulum itaque

BHE eft ad ([_]LG ut 5 EB

mat, à RARE 1 [Fig. 5.]

ad BG hoc eft ut DB ad

BQ. Quare trilineum BHE
ad C]LG pue ratio-

nem habebit quam — © DB ad

OQ-

e
<h Simiier re@tilineum nn EAHMF ES fit minus triangulo paf in PE

$ :

ébe 1

E EL omnia Ts gpm iieo BHE ad omnia fimul [7] circumfcripta mino-
m habebunt rationem quam + L BD ad BQ. Quare figura BHAD quæ illis omni-

bus minor eft, ad omnia + circumfcripta multo minorem habebit rationem

2. 5 Comparez le , Theorema [” des ,,Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli,
_ ex dato portionum gravitatis centro” , p.289 du T. XI. Évidemment la méthode de démon-
stration employée au lieu cité s’applique également à la présente figure.

5) Puisqu’il résulte des propriétés de la tangente, déduites dans le paragraphe précédent, que
les segments BE, BF, etc. sont proportionnels aux segments BG, BO , etc.

278 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

Jam fi fieri poteft fit fpatium
ru X minus fpatio BHAQ :)
ad quod fpatium X eam
rationem habeat fparium

BHAD quam - BD ad BQ.

Ergo poteft infcribi figura
ex [is quæ fit major fpatio
X. Sit faétumigitur. Ergo
fpatium BHAD ad omnia’
in{cripta [__] minorem habe-
bit rationem quam ad X,

hoc eft quam . BD ad BQ.

Ducantur rurfus tangen-

tes &c.
Habet igitur AEKF ad
C7] HO majorem rationem

quam 5 FE ad GO, hoc eft

Q, e

quam = BD ad BQ. Simi-
liter majorem habebit AFVS ad [77 MR. Et A SZD ad [77] TQ. Ergo omnia
fimul /\° ad omnia fimul infcripta [_] majorem habebunt rationem quam =B D
ad BQ. diâtis autem triangulis majus eft fpatium BHAD. Ergo hoc ad omnia
infcripta [__J*multo majorem habebit rationem quam -DB ad BQ. Sed mino-

rem habere antea oftenfum fuit. Quod abfurdum eft. Ergo &c.

1) Ici Huygens annota en marge ,,hoc primum””. Évidemment cette indication se rapporteà
la rédaction définitive du Traité que Huygens se proposait d’écrire sur ces matières. Toute-
fois l'indication n’a pas été suivie dans la nouvelle rédaction que nous reproduisons dans
l’'Appendice I; voir la p. 286 de cet Appendice.

?) La figure représente le cas où 4 < dans l’équation y* = #x? de la courbe paraboloïde ; com-
parez la note 4 de la p. 276.

3) Puisqu’il y a évidemment entre le solide décrit par le triligne élémentaire DATS [Fig. 5 Jet le

cylindre décrit par le rectangle AR le rapport de 7 DS à RQ.

4) Il s’agit des Courbes représentées par l'équation y*x? — #, 4 et h entiers et positifs.
5) On trouvera ces recherches dans l’Appendice II, p. 288—293.

be A UT

CLR si

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 279

[Fig. 6-]

convenit præcedens demonftr.° etiam huic

| Ér. Amhé }. figuræ [Fig. 6] *).

Haud abfimili modo oftendemus folidum
ex converfione fpatij DBA [Fig. 5] circa
axem DB ad folidum ex converfione fpatij

| A | BAQ effe ut DB ad BQ :).

/

han de Co. S Ménicaten genere , fpatijfque , inter ipfas
id interjeétis, inveni; quæ fimili atque hæc ratione demonftrantur *).

À CFie. 8.]

Simodo curva BA fic ejuf-
modi, ut, duct tangente ad
punctum “quodwis ipfiusut À,
g eadem fit femper ratio DB
_ad BQ, quadraturafpatij BAQ,
et folidi ex converfione circa
axem BQ ratio ad cylindrum
@ inveniri poterit.

No Sie. DQ > 4, BQ > #5). Quia igi-
mr BA pi ro ne ut— = DB in “ ad BQ(2), vel in oda

t done toujours des courbes y* = #x? , appelées paraboloïdes par Huygens dans les cas
a et b sont des nombres entiers et positifs.

280 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

Ergo ex æquo in perturbata *), erit [7] IQ ad fpat. BAQ ut 54 + =b

[ad] NA hoc eft utz+bada. 12 Regula.

CFig. 7.] CFig. 8.] Rurfus quia folidum ex tril. DBA
d folid. ex BAQut=DB(=4—"p
ad folid. e Qu : G à )

\z ad BQ (6), vel in ads se [ad] »

Erit componendo (vel in 2d2 fig. inver-
tendo ét per converf. rationis, et rur-
© fus invertendo) conus ex DAQ ad

; folid. ex BAQ ut 3 +2 ad b. Sed

cylindrus ex IQ eft ad conum ex DAQ ut BQ ad - ë DQ hoc à ut bad se Ergo
ex æquo in perturb. *) Erit cylindrus ex IQ ad folidum ex BAQut
36 30 ad 24 hoc eft ut 42+92b ad 4. 22Regula.

Converfo fieri intelligitur circa axem BQ.

In lineis autem Paraboloidibus, femper eft DQ commenfurabilis BQ. Itraque in
his pro 4 fumenda eft exponens poteftatis quæ confideratur inordinatim applicatis.
Pro à exponens poteftatis quæ confideratur in abfciflis ad verticem.

Ex. gratia in curva fuperiori ?) ubi ordinatim applicatarum ratio quadrupla
æqualis ponebatur rationi triplicatæ abfciffarum ad verticem, erit 720 4. b 90 3.
Itaque fi BA fuerit curva ejufmodi; erit ratio [_JIQ ad fpétiurm BAQ ut 4 ++
ad 4, hoc eft ut 7 ad 4.

Cylindrus vero ex IQ ad folidum ex BAQ in converfione, ut 4 + 2h ad #, hoc
eft ut 5 ad 2. In prima nimirum figura, At in da, ubi tangens in vertice pro axe
eft. Eric DQ five 4 & 3. BQ five # 5 4. Unde [_JIQ ad fpatium BAQut 442
ad 4, hoc eft ut 7 ad 3. ut neceffe erat 3).

Cylindrus vero ex ÎQ ad folidum ex BAQ ut 4 + 2h ad 4, hoc eft ut.11 ad 3.

1) On peut consulter sur cette expression la note 22 de la p. 304 du T. XI.

2) Voir la p. 274.

3) Voir la première phrase du deuxième alinéa de la p. 281.

4) Détermination des centres de gravité des paraboles de divers degrés et de leurs solides de
révolution.

5) On n’en trouve rien dans ce qui suit. La relation est, d’ailleurs, une conséquence immédiate
du théorème de Guldin, à propos duquel Huygens écrivit à de Sluze, le 3 septembre 1657:

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 281

Jiue per conv. rationis cylind. ex IQ ad folid. ex BAI, ut 4 + 2b [ad] 24. hoc
_ eftutirad8.

__ Norandum quod fi in 14 et oda figura [Fig. 7 et 8] eadem fuerit linea curva
_ quamquam diverfo pofitu : quod a et b invicem quantitatem permutent. Sicut
ee in propofito exemplo, in prima fig. fuerat 4 % 4.4 > 3. In fecunda vero fig. fit

a 3.b%0 4. Unde cum Cylindrus ex IQ ad fol. ex BAI, fit ut 4 + 24 [ad]
ob dicemus proinde in 1 fig. cylindrum ex 1Q (converfione
| facta circa BI) ad fol. ex BAQ effe ut +24 ad 24 hoc eft propoñito
| exemplo uti11ad8. 32Regula.

REED

Centrum gravitatis plani ABC ex his fic nunc inquiremus. Sit O centrum
| grav. plani ABC. P vero centr. -8r. C7 1e, divifä BQ bifariam in P. Sit BO x.

BP autem eft 2

_ Ratio boirt: ex IQ circa axem BI, ad folidum ex ABQ, vel cylindri ex IC
ad folidum ex ABC, componitur ex ratione [Ji IC ad fpatium ABC, et ex
_ ratione BP ad BO:ut “poftea oftendemus 5).

le ‘Jraque ratio b+ 24 ad 24 L æqualis compofita ex rationibus "ss +4 [ad] 47)
Gr FR —b.. [ad] x

bb + o4b
b+oa

vitatis vero centrum buis: theorema quoddam quod apud Guldinum reperi
AT”? at est-à-dire : sans pres) “sed tamen verissimum”” (p. 51 du T. IT). Peut-

ab

D x. rare x à BQ D bD = — Lo DE 73

fit OQ >

_. l’annotation suivante: , Theorema Guldini ipsius p. 147. Quantitas rotanda in viam
is ducta producit potestatem rotundam uno gradu altiorem potestate sive quan-
titate rotata. Hujus demonstrationem nullam habet sed inductione probat tantummodo,
dens sua cum aliorum inventis convenire. Verum est utique quod proponit, et non
difficile demonstratu. Lemma addit hunc habens sensum. Quod Potestas Rotunda quævis ad
aliam ejusdem generis, compositam habeat rationem, ex ratione potestatum rotandarum et
_ ratione radiorum rotationis. quod ex theoremate consequitur. Radius autem rotationis est
Part recta ex centro grav.” potestatis rotandæ ad axem rotationis perpendicularis. Via item rota-
_ tionis est circumferentia à dicto gravitatis centro in conversione descripta”. Comparez le
pré ber secundus” de l'ouvrage cité dans la note 3 de la p. 153 du T. I; mais remarquons que
Fe 188 » Libri secundus, tertius et quartus” parurent en 1640 et 1641, et non pas en 1650 et
1651 comme la note citée le donne.
6 Voir la ,,3* Regula”.
: 4) Voirla,,1. Reguta” > Pe 280.

36

282 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659.1657.

Ergo BO ad OQ ut # +bad 4, hoc est ut [TIC ad fpar. ABC.
42 Regula.

Hinc rurfus invenimus rationem cylindri ex converfione [77]; 1€ circa axem
AC, ad folidum ex fpatio ABC circa eundem axem. Hæc enim ratio componitur
denuo ex ratione [7] IC: ad fpatium ABC er ex EE QP ad QO. hoc eft ex

“ratione a + à [ad] ze QP (29) [ad] QO = Vive 19 +a Rle,que

compofita ratio erit eadem quæ 44 RAT ad 44, hoc eft

a + 3p +22 ad 4. 52 Regula. hoc eft, in curva fuperiori :) 77 ad 32, in

bits vero 15 ad 8.

Porro ad centrum gravitatis inveniendum in folido ABC. Invenienda eft pri-
mum curva ejufmodi, in qua ordinatim applicatæ fefe habeant ficut quadrata

(Fig. 0.] ordinatim applicatarum in curva
ABC*).

DQ 4, BQ % #; irem KL=04,
DE D EE

Efto inventa fitque curva EFG.
igitur neceffe eft [7] HG ad fpa-
tium EFG eandem habere rationem
quam cylindrusIC ad folidum ABC.
ÿ hoc eft quam # + 2h ad 43). Sed
A C2] HG ad fpatium EFG eam quo-
que habet rationem quam # + # ad 4 (per reg. 1.) 4), quandoquidem hujus generis
curva eft EFG. Igitur quia 4 + # ad 4 ut 4 + 2h ad 4. Erit # 50 2h. Unde curva
EFG jam notæ eft proprietatis. plani autem EFG centrum gr.s eadem proportione
fecare neceffe eft axem FL, qua centrum gr. folidi ABC axem BQ. Sed FS eft
ad SL ut # + # ad #, hoc eft ut 7 + 2h ad 4. Ergo et BO ad OQut 74 9b
ad 4. Regula 6.4. Unde conftat effe BO ad OQ ut cylindrus IC ad fol. ABC.

it

?) C'est-à-dire pour laquelle 7 = 4, b = 3; voir la deuxième courbe de la p. 274.

?) La méthode que Huygens va suivre apprend donc à réduire la détermination du centre de
gravité du solide de révolution , décrit par un segment de la courbe y — f(x) autour de l’axe
des abscisses, à la détermination du centre de gravité du segment correspondant de la courbe
= [f(x) 7°.

3) Voir la ,,2.4 Regula”, p. 280.

4) Voir la p. 280.

Se be D D

Re x

+si ETS linearum FL,KL quæ eft
L KF dividatur in partes quotcunque æquales
punctis T, S, G; Ratio FL ad LT rationis FL
ad LT (æpius multiplex erit quam linea FK
_lineæ FT?). Eademque ratio FL ad LK ratio-
4 FL ad LS fæpius. multiplex quam linea
.FK lineæ FS. Et Rasionés FL ad LG, jy em
ae her HE! #35 k

s Lu ngus “ag, at Ps à dus feuilles NES on retrouve, dans
che je ‘ e partie c des matières traitées dans la Pièce N°. VIIL.
ma elf

P+
8 des divisions du segment FK , on a alors, se Huygens % démontrers ,

cé respectivement par ! les Fig. 1et 2, a (Cr . Afin que les
t les conclusions que Huygens en tire dans le Theorema” qui
lonc c donner à la phrase précédente une interprétation con-
pt dans le cas de la Fig. 2, où LK > FL, cette phrase semble
“ie <( °

se FRS elle exige que dans la relation LK =

le résultat d'ate sic.
néralement, Plepoint terminal de la pr es nivisions du segment FK,onauraalors

La). c ’est-à-dire, posant F L 4. ET ee = b, ‘dans le cas de la Lg a)
fr: 4 nb) et faq l'autre cas CG) 14 Ep a):

284 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

erunt, differentiæ FY , YX, XV, VK. patetque proinde

[Fig 1] ratione FL ad LT minorem fore quam FL ad LY :). At-
Frsié. E qui ratio FL ad LK toties multipla eft rationis FL ad LY
tx xvk _,r quoties linea FK multipla eft FT. Ergo eadem ratio FL ad
RRQ LK rationis FL ad LT fepius multipla erit — linea FK
[Mg2] lineæ FT *).
KESTT _____H Similiter cum ratio FL ad LS minor fit ratione FL ad
KIT __,r LX. ratio autem FL ad LKtoties multipla fit rationis FL ad

LX quoties linea FK lineæ FX. Erit ratio FL ad LK
rationis FL ad LS fæpius multipla quamlinea FK lineæ FS.
Similiterque oftendetur rationem FL ad LK fæpius multiplicem effe rationis
FL ad LG quam linea FK lineæ FG.

THEoREMA [1I.]

Si a puncto in paraboloiïide recta ad axem ordinatimappli-
cetur etaccipiaturinaxe, à puncto ubi applicata ei occurrie,
recta verticem verfus; quæ ad partem axis interceptaminter
applicatam et verticem fefe habeat ut exponens poteftatis
quæ in ea paraboloide confideratur in ordinatim applicatis
ad exponentem poteftatis quæ confideratur in abfciffis ad.
veérticem, Recta quæ ducitur a termind lineæ in axe acceptæ
ad punctum in paraboloide ab initio fumtum, paraboloidem
in puncto illo continget.

CFig. 3] Sit paraboloidis AB, cujus axis AD, vertex
A. Sitque cjus naturæ ut quadratoquadrata ordi-
natim applicatarum BD, HL, fint inter fe ut cubi
abfciffarum ad verticem DA, LA 3).

Dico fi fumatur in axe DC quæ fit ad DA ut 4
ad 3 (quoniam nempe hi funt exponentes qu.qu.
et cubi) et ducatur reéta CB, eam tangere para-
boloiden in B. Sumto enim in reéta CB punéto
quolibet alio G, oftendemus id cadere extra para-
boloiïden AB.

Sit GL +) reétæ BD parallela , et occurrat axi in

F

x) Puisque, évidemment , dans le cas de la première figure FY > FT et dans celui dei seconde
FT CET: par conséquent pour les deux figures, LT > LY. ;
2) Lisez 7 Eu LK> Les

3) idée + va ed choisir un cas particulier mais on verra facilement que la méthode de

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 285

L; reétæ vero BF axi parallelæin F , et paraboloidi in H. Ei vero quæ conjungit
- } B, in K. Et compleatur reétang. ADBQ, cujus latus AQ fecet reéta

Eft ergo ut CD ad DA ita CB ad BR et AQ ad QR et KF ad FG, nimirum
ut 4ad 3. Ac proinde ratio FL ad LK fæpius multipla rationis FL ad LG quam
FK multipla eft FG 5). Id eft, ratio FL ad LK major quam fefquitertia rationis
_ ELad LG. Atqui ratio FL five BD ad LK five DA ad AL eft fefquitertia rationis
BD feu FL ad LH. Ergo ratio FL ad LG minor quam FL ad LH, Ideoque LG
major quam LH. Unde patet totam lineam CB, præter punétum B, cadere extra
paraboloidem. quod erat dem.

THeoReMa [II].

CRE [Fig. 4.19)

Paraboloidis cujufvis por-
tio ad triangulum eandem
cum ipfa bafin habentem,
latera vero rectas quæ por-
tionemadterminosbafis con-
tingunt, eam habet rationem
quam portionis axis ad dimi-
diam compofitæ ex eodemaxe
et axe dicti trianguli.

Sit Paraboloïdis portio reéta ABC,
cujus axis vel axi perpendicularis
reéta BQ 7); vertex B; bafis AC;
tangentes vero in terminis bafis reétæ

cC

__ démonstration s'applique également au cas plus général de l’énoncé du théorème, pourvu
seulement que les ordonnées soient élevées à une plus haute puissance que les abscisses;
voir pour un exemple du cas contraire, où les raisonnements ont besoin de quelques modifi-
_ cations faciles à apporter, la Fig. 4 de la p. 276.

#) Voir les deux droites GL indiquées dans la figure. Les raisonnements qui suivent s’appli-
| quent également à toutes les deux.

Consultez la note 7 de la p. 283. | ae j°
À propos de cette figure Huygens annota en marge: ,, [1 faut retrancher la moitiè BC”.
Probablement Huygens a-t-il aperçu que dans le cas où 4 est impair la partie BC n’appar-
tient pas à la courbe y* = #x? (y= MO, x = BO).

7) Au lieu de cette phrase on lisait primitivement: ,,cujus axis BQ”. Probablement Huygens
a-t-il remarqué plus tard que dans le cas où # est impair et # pair , la ligne BL est le véritable
.… axe de la courbe. Toutefois iln’a pas apporté dans la suite les changements que cette constata-

tion aurait dû entraîner.

286 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

CFig. 4.19) AD, CD, convenientes cum axe in D.

- Dico portionem ABQ effe ad triang.

ADQ, ut BQ ad femiffem lineæ æqua-
lis duabus DQ, QB *).

Hoc autem patebit fi oftenderimus

trilineum BHAD, curvâ BA et re&tis

AD, DB éomfrehenfum, effe ad femi-

portionem BAQ , ut = BD ad BQ *).
Erit enim, componendo, triangulum
DAQ ad femiportionem ABQ ut : DB

una cum BQ five ut = DQ cum =BQ

ad BQ. et convertendo.
Quod fi igitur crilineum BAD ad

femiport. ABQ noneft ut DB ad BQ, |

Ergo hanc rationem habebit ad fpatium quod vel majus erit vel minus femi-
portione ABQ. Habeat primé ad majus, quod dicitur X 3). Itaque cum fpa-
tium X fit majus quam BAQ, poterit huic figura cireumfcribi ordinatim ex
reétangulis æque altis ut funt IQ, PR, &c. quæ fit minor fpatio X. Faétum id
intelligatur; itaque trilineum BAD ad omnia ifta reétangula majorem rationem

habebit quam ad fpatium X, hoc eft , quam = ZDB ad BQ. Ducantur tangentes

paraboloidem ad punéta T, M, H, in quibus si diétorum rectangulorum ipfam
fecant, nimirum reétæ TS, MF, HE; Ergo hæ dividunt BD in partes æquales
inter: fe , ac totidem numero quo funt ln axe BQ latera diétorum reétangulorum.
Et fingulæ partes ipfius BD ad fingulas axis BQ eandem habent rationem quam DB

ad BQ. Triangulum itaque BHE eft ad reétang. LG ut = EB ad BG, hoc eff, ut
-DB ad BQ. Quare trilineum BHE ad idem reétang.LG minoremrationem habebit

quam = DB ad BG #). Similiter fpatium EHMPF, quum fit minus triangulo bafin
FE habenti et altitudinem MO , minorem rationem habebit ad reétang.NO quam

1) Comparez les dernières lignes de la p. 279.

7) Comparez le $ 2, p. 276.

3) Voir la note 1 de la p.278. Dans ce qui va suivre la rédaction plus primitive des pp. 277 et
278,est suivie de très près, à l’exception du dernier alinéa, où la rédaction est un peu in
complète dans la présente Pièce.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 287

à FE ad GO, five quam : DB ad BQ. Idemque verum eft de ratione fpatiorum

_cæterorum FMTS, STAD, ad reétang.2 PR, IQ. Ergo omnia prædiéta fpatia
unà cum trilineo BHE, hoc eft crilineum torum BAD ad omnia fimul reétang.2

: circumfcripea minorem rationem habebit quam =DB ad BQ. Sed et majorem
ere diétum fuit, quod eft abfurdum. Ergo trilineum BAD ad femiport.BAQ
| habet majorem rationem quama BD ad DQ #).

Jam fi fieri poteft habeat do. fitque proinde sup aliquod X minus
femiportione BAQ, ad quod fe habeat trilineum BAD ut = BD adDQ 5). Cum
: fpatium X fit minus femiportione BAQ, poterit ei infcribi figura ordinatim

reétangulis æque altis quæ fit major fpatio X. Sit igicur faétum, ac funto ea
€tangula HO, MR, TQ. Ergo trilineum BAD ad hæc refang. minorem
em habebit quam ad fpatium X, hoc eft minorem quam =BD ad BQ.

ucantur rurfus tangentes curvam ad punéta quibus HAT infcriptorum
orum jpfi occurrunt, quæ fint HE, MF, TS, quæ itaque dividunt re&tam DBin
s æquales , et totidem numero quot funt in axe BQ , et fingulæ partes DB ad
as BQ eandem habent rationem quam DB ad BQ. Singulæ vero tangentes
uétæ occurrant fibi pu in punétis K, V, Z. Itaque vien EKF ad) HO

m “habet rationem quam = FE ad GO, hoc eft quam-BD ad BQ. Ac fimi-

ajo rem habebit triang, FVS ad [7 MR, ettriang. SZD àad[_JTQ. Ergo
ve bts diéta vs omnia re reéang 4 s xË ds habebunt ratio-

\

juve encore sur la même feuille une figure entièrement analogue à la Fig. 6 de la p.279,

| mai rque : %»Convenit præcedens demonftratio etiam huic figuræ. Often-
emus autem utrobique fimili ratione folidum ex converfione spatij trilinei
__ DBA circà axem DB ad folidum ex converfione fpatij BAQ circa BQ effe ut
DB ad BQ” (voir la note 3 de la p. 278). Enfin on y lit une annotation au crayon :
denda quadratura Hyperboloidum” (voir l’Appendice II qui suit).

APPENDICE II À LA PIÈCE N°. VIN.

[1657]:
$1°).
xbya 5 ab +420 45. fit p + 205. P major g. QO D Êx ex regula tang. 3).

QO Co) [adj QA (y) [ur] OL ( pe a LP O1.
oLÇE) |

ss
ee > APLO(SE ; y 0 Re
‘ 2pqe
IC DE
É (ss)4as.
X?—4 D Copqee) pace)r
(ss )1as
Hs Vs

F) Cet Appendice, que nous empruntons à la même feuille où se trouve la première partie de
l’Appendicel, contient les recherches de Huygens sur la quadrature des hyperboles de divers
degrés. Nous Tavons divisé en paragraphes.

2) Ce paragraphe se rapporte au cas général d’une hyperbole de degré quelconque. Probable-
ment Huygens y veut démontrer que l’aire du triangle LPO s'approche indéfiniment de
zéro lorsque le point de contact A s’éloigne indéfiniment vers le côté droit; c’est-à-dire il se

:

ñ

ñ

|

À
ÿ

Æ

ne

:

#

g
!
É
we

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 289

PLE ad AEO ut 4 ad 1 5)
PLO ad AOE ut 3 ad 1 feu 9 ad 3
fed PLO ad AQO ut 9 ad 1
PLO ad AQE ut 9 ad 4°)
\ fed PLO ad LA ut 9 ad 47)
Ergo LA >» AQE *).

Dico PLE effe ad AOE ut 4 ad 1. hoc eft PLO ad AOE ut 3 ad r. hoc eft
famta LO > 310 , dico effe @PO ad @PL ut PLE ad AOE.

propose de faire voir qu’on peut donner une telle valeur à LQ = x, que l’aire de ce triangle
prend une valeur ee aussi petite qu’on le veut. C’est du moins ce qui résulte immédiatement
de la dernière formule de ce paragraphe.

3) 11 peut s’agir ici d’une application de la règle du Theorema I de la p. 284 au cas analogue des
hyperboles de divers degrés, auquel cas le point L de la présente figure remplace le point A
de la figure 3 de la p. 284; toutefois il résulte de la première ligne du $ 2 qui suit que Huy-
gens était déjà en possession de la ,,Regula”’ qu’il communiqua à de Witt dans sa lettre du
25 février 1663; voir la p.315 du T.IV. Il s’agit donc plutôt d’une application de cette
dernière ,,Regula”.

+) Dans ce paragraphe Huygens esquisse une méthode qui conduit à la quadrature des hyper-
boles de divers degrés. Il se borne à cet effet à la considération du casp—=2,q9=—1.

5) Puisque les triangles élémentaires (comme PZX) qui composent l'aire de la figure mixti-
ligne PAHNP sont à ceux (comme ZOS) qui constituent l’aire de la figure OAHEO comme
4 à 1 (PA étant égal à 2AO), Huygens en a pu conclure que ces figures elles-mêmes sont dans
ce même rapport. Passant ensuite à la limite en supposant que le point H s’éloigne à l'infini
il en déduit que PLEAP (où E représente cette fois un point à l'infini) est à OAEO comme
4 à 1,et que, par suite, PLEAP—OAEO (c’est-à-dire PLO) est à OAEO comme 3 à 1.

5) Puisque AQE est la somme de AOE et AQO.

7) Voir l'expression obtenue au $ 1 pour APLO, dans laquelleonaicis—3,p—2,q—=1.

8) La méthode est applicable au cas général, auquel cas Huygens aurait pu écrire :

PLE ad AOE ut p2 ad 92

PLO ad AOE utp2— 492 ad 92 seu 5? ad
sed PLO ad AQO ut s2 ad g2

PLO ad AQE ut s2 ad 2e

sed PLO ad LA ut s2 ad 2pg
Ergo LA ad AQE utp—g ad;

résultat identique à celui qu’on obtient par l’analyse moderne.
Toutefois la méthode suivie par Huygens présuppose que l’aire AQEA (E à l'infini) pos-

37

290 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

an
PAHN'[ad] AHEO [ut] 4 [ad] r *).
dem.dum pofle AEQ 3) Lie

Mer produci ut qualibet data quanti-
tate minus deficiat a magnitudine
CiLA.
poffe duci tangentem NHE, ut
fiac criang. NEL dato quovis fpatio
minimo +). Intelligatur quafi in infi-
V nitum fpatia æqualia
OS, SG, GE &c. pro-
N A gredientur et tangen-.
af "T j MH tes a fingulis punétis.
RL rare SG £ APEV majus quam
_ 4£OZ. fed aAMEXmi- |
nus quam 4ESR.

Omnia trilinea ut AST L. poffunt fieri minora dato quovis f patio. nam minora
quam AoT' 5). quæ omnia minora quam [7] AY 7). |

fupp. xxy 20 43.
dem.dum #) æquale dato quolibet minimo A

2

ce a°
xy 2 ee minimum datum. y 2 T° XD 4; xD

me: € Ê a
«799? 90 4°?; AY 00 €; YO 3 5 2? ducinx'°; xe'8 204? 50 x'°y9; x Do:

sède une valeur finie; comme on le voit facilement en l'appliquant au cas p < 4. Huygens
paraît s’en être aperçu, car dans les deux paragraphes qui suivent, où il prépare une démon-
stration archimédienne, il s’occupe surtout de montrer la valeur finie des aires qui devaient
entrer dans cette démonstration qu’il ne semble jamais avoir achevée.

*) Consultez sur la portée de ce paragraphe le dernier alinéa de la note précédente.

2) Voir la première phrase de la note 5 de la p. 2809.

3) Il s’agit de la figure mixtiligne AHEQA.

4) Voir leS 1, p. 288.

5) T est le point de contact de la tangente VTS.

6) Voir la très petite lettre o à l’angle supérieur du côté droit du Ai peu

7) Voir la lettre Y , entre Q et O , qui indique un point de la droite LE.

de TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 291

CERTA Et | ti à , “. i
x FA! hits RAT. SU FC RULES TS 1 “ÿvterria
US re ! > cer tre

QU tre L

"a 15 D)

d va ue +e ai fi + 84% ses TE

+. 4h à. 1 © Mar AEBV [ad] rt ht ad re),

Me Hi FT 1. AABC oa(AVY)").
"IFR em ECD c (EYP)
k 0 (YHX)

: ; FR Prin 5; OT.
ii + 0e porel demonitrari 4 + c [ad] b+ c Fe
he month he D. 4[ad] r 7)
MT de eme Inc On
Mo : atout
4 for iron) ie sd

Anno4 « ot Lt ML Let #44 20 se Brgo edâtur 3).

“RAT |: ET Rite

az | La 4. 20 C4
fe 3 d'A lea rerif Ho 4 3 à À
Ê eh " re RE re L
ù" : de at _ Theorema géo note poteft.
Lo, | from EYP #5 LAAVY AY HX.
| F4 >. RON à.
| M 2 ê à
; _?
4 : a
| 7

EL que l'airé d du Née LA: s basis indéfiniment de zéro lorsque le

s'éloigne sur la courbe vers le côté droit.
re donne la quadrature du triligne ECDCE et la valeur limite de l’aire comprise
mptot Fr op et ie courbe EDP prolongée à l'infini.
Fa Ré 289. On a dans le cas général AEPV : EPXH = pif
ns: quer que les relations qui suivent sont valables aussi bien dans le cas où les

Re aires 1 EYP, YHX que dans le cas où
ntent les aires ABC , ECD et FOR: Tu
première ligne duS 3e

; al on peut calculer Les aires des triangles AVY et YHX , la D à du

Li

292 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

dico ubicunque fumatur P, fpatium EHQP effe minus tertiâ parte trian-
guli AHN.
Sit VPX tangens, nempe ut XQ fit fubdupla ad QN *). Jam fpatium EYP æqua-

ture \AVY ee AVXN?). Sed fpat. YHQP eft minus quam 3 VXN 2). cum
fic pars hujus trianguli. Ergo EY P eft minus quam SAVY—YHQP. ErgoEYP +
+ YHQP, hoc eft EHQP minus eft quam 3 AAVY.Ergo omnino EHQP minus

Du quam L/ANH. Ergo fpEHQPeftinera

- énicahi magnitudinem quantumcntone
À PQ procul diftans ab N fumatur.

At fi ponatur fpatium quoddam minus

quam tertia pars AiAHN , dico eoufque

fumi poffe PQ, ut fpatium EHQP æ
majus fpatio pofito.

Sit fpat. KLM 3) æ/\AHN. Exdeur :

fpat.K minus fpatio KLM. dico &c.
dividatur differentia in duo fpatia æqua-
lia L et M. Et fumatur P cam procul ut

fiat AVNX minus quam ri patij L#), unde

uns _
ee *
K
/

F4
2

||

xx

triligne EYP peut être considérée comme e trouvée. Or, puisque la méthode suivie peut étre
appliquée sans aucune difficulté au cas général, il en est de même Las ce cas.
En effet, on trouve facilement dans ce dernier cas:

tri EVP=1" AVY— 2" vux = @+0) lrOi—,Y exp) ya)
FR P?—4° 2pq (P—4) (ka) —Vo%r)

où x,,),etx,,Y, représentent respectivement les coordonnées des points E et P.
1) Comparez la première ligne du $ 2, p. 289.
2) Lisez : YHX.
3) Lisez:K + L + M et voyez la figure à gauche de la sue icinaitee

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 293

+. 3 AVNX minus erit fpatio L. Ergo cum EYP +SAiVNX $)æquatur L A'AYV, |
. EYP + fpatio L majus quam - 3 AAYV, Eft autem fpatium es omnino
minus fpatio L vel M, quippe “. AiVNX. Ergo EYP + L + M majus quam
3 L'AYV + VYHN, eoque omnino majus net 2VYHN hoc eftquam

ZAÏANEH. Sed fpar. K+L+M Line «6 ES 3 AN. Ergo EYP majuseft fpatio
K. quod erat demonftr.m 5). $

FRS LES AT SA n "&" = Vo
fa M TR, AT De RES CE

eg
Le

&
œ—-

Ar FA 15 Œ Œt sx Cr VC Fe ps TUE

CEA LA TT à.
Sec Mec (is

rt is # | jé £E: à. | EX | |
el p Hs ha p.288 et la note 2 de cette p. 288. CUS si D |
$ : YHX; ; mais puisque YHX < VNX, la conclusion qui suit n’en est pas moins valable.

Lau n peut done conclure que Fa EHPQ s'approche indéfiniment, lorsque le Les s'éloigne
vers la droite, ( de la valeur - — A ANH Çou, dans le cas général, de la valeur", À AN H);
<a Ans Es dt tte. Sa À P F7?

valeur qu’ eee pa jen Or A ANH — = EE un (d’après le 1,p. 288),

io RE) æ l'aire EHPQ est ‘égale à T2 CLJEN. En ajoutant à cette

2p
aire 2 CJEN du triangle EKH, qu’ on Fr en abaissant du point E une per-
jai re BK sur Rio retouse see facilement le résultat formulé dans la note 8

> Lt :

MN AMEN

[1657—1658.]
[Recherches de 1657 et 1658 [ur quelques lignes courbes. |
Ç 1 1),
[1657].

Linea AGHB ejus naturæ ut GC fit ad HD, ficut folid. ex quadrato AC in
retam CB, ad folidum ex quadr. AD in DB ?). ;

(Fig. 1.] GC ce; HD >; A8 0% AE ol
je ED x CE > &
AC 2 =a—b

qu." AC > loa— ab + bb
1 CR
I
CB 5° LAS
CIT SJ

L, Hoi
8 a act + abb te .

NÉ 13%
+ Laab—ab LE
sise se se qu sil à yndafse |

A Paru nl AC CB er lanbfe DS

1) Ce paragraphe est emprunté aux pp. 2—5 et 62 du tee dé frère Philips, té bu Vons
mentionné dans la note 4, p.217 du T, XII. Huygens s’y occupe, à propos d’une lett
de Sluse du 14 août 1657 (voir la p. 47 du T. II), de la quadrature, du centre ii grav

2 QI 7 € LR

de :

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 295

q.m AD = 44 + ab + bb
4 m.
DB ! 40 -
2

I I I
84° dd jaab . Sabb

2 T oab= abb-bs
4

: 1 i 1
AD:.BD g°* + 1 —4bb—bs

Jam fi GC duétum in [7] 4, hoc eft cap, fit 0 AC: in CB et HD in [7],
hoc eft d4p, © AD* in DB: Eric ut c ad Zita

I 1 I I I I ,
PORN D [ad] g°° + Pal oi b3

I I I
34° + se valid 3

ge—abl 2% cap + dap
aa—bb
— 2 c+d

de la tangente au contour et de la forme générale de la boucle incluse entre les courbes
apy= + x*(a—x). On peut consulter sur les questions traitées dans ce paragraphe et sur les
solutions que Hudde et van Heuraet en ont données les pp. 47, 52, 58, 62, 73—75;,
80,91,94—101,111,112,114,115et116 du T. II.

2) Dans ce qui suit il s’agit de la quadrature de la boucle en question. Voici,en notations modernes,

: la méthode suivie par Huygens: Soit AE —EB — —a , CE= ED =». Si l’on considère sépa-

rémentles parties de la moitié supérieure de la boucle à gauche et à droite de la ligne SE, ilest

évident que l’aire de cette moitié est égale à Ï # [ 162) + f (re - 5)| db,où f(x) —
0

Loa—bb

% ,
=), Or, puisque 1) + f Get) — , la quadrature en question

se réduit à la quadrature bien connue de la demi-parabole SELS , où ES — F LS = La.

296 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

[Fig. 1.]

Sit ut p ad Laita = aad-% » ES. Ea erit
© 2 4P

x 2RE. quoniam hic É evanefcit. defcribatur

parabola vertice E axe ES, latere recto p. Ea
cranfibit per angulum L [li AS. Eritque CK ©

ad . Eft autem CN. Ergo KN
Laa—bb 1 un
D » GC + HD. Ergo totum fpa-

tium AGHB 5 dimidiæ parab.LES. He fer re
quitertium AiLES five * A'ARB Die

5 soi.

Laxx — 33

REC a) [ad] conne
g44
8
I 2XX 2X$
AXX — X$ D NS TS

du 3 septembre . voir les p.5o—51 du T.II. nt les avait trouvés le jun
où il reçut la lettre de de Sluse mentionnée dans la note 1 delap.294
4) Dans ce Le suit Huygens détermine À ia de la courbe AGRHB dans le cas pa

où ER — FE c’est-à-dire, où 3 = —4

3) Le résultat est exact, puisque - —— (ia 8) représente le moment de l'atré. ARBA

port à l’axe BS et 2 G45) cette aire elle-même; mais on ne voit pas de quelle mani ; ce

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 297

Le AR ALT ES
TE tome

" BM > BN
BY [ad] BA uc2 ads \
| »” Y centr. grav. 3)
té À

Inventio tangentis.

LRDEUE [heGRig-3-3 ) EAU | : ©: AB æ #; AE w b; EF > y; GE > x.

‘4 AF b—y; BF 4—b+y.
Q.AF.BF (abb— 2aby —b3 + 3bby)+) [ad].
#3 Q.AE.EB (4b6—b5) [ut GF] (x 3) [ad] GE x
“hE. abbx— 2abxy — Lx + 3bbxy © abbx —

| 4 Wubesiol FF og es 2abx 5 b5— abb
Bee A œ ; b3— bb La Lob
HT sa a 3 |
y £ = ?

tte sl 55

résultat a été obtenu. En Le Pnedectibn de la figure ferait supposer que les deux rec-

tangles à droite, qui semblent faire équilibre avec la boucle si l’on considère le plan de la

figure comme mobile autour de l’axe BS, y ont joué un certain rôle; mais dans sa lettre à de

| Sluse Huygens dit expressément (voir la p. 51 du T.I1) qu’il s’est servi du théorème de

#4 Guidin ; auquel cas ila dû déterminer le volume du solide de révolution formé par la boucle
tournant autour de l'axe SB. Or, nous n avons trouvé cette cubature nulle part dans les

… manuscrits de Huygens.

_ 4) Noussupprimons quelques calculs. Comme on le voit, Hoyt néglige ici, et dans la suite,

- les termes qui contiennent y* et y5. En effet, avec cette e simplification il applique la
méthode de Fermat décrite à la p.20 du T.XL

38

298 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À PT

[Fig: 3.] Sit ER œ-AE ce) Le et ut GO! JE
RE Gr) ira fit BE Ca—5) Tad) EG

AM > b; MHy; Ms ox; AB; AH by; Het. y

qMAH.BH (abb + 24by—b3—3bby)?) [ad] q. "AM. ab Et :
SH (x—7) ad SMCx) Hd à

3bb— 24abx > abb—b3
ab— bb
Si: MO > JAM. BO (35—4) [ad] OM Ge) CB ,

À

x D

.# en
€ ag à 4
“: bb © oab— pee

» ob abGh © 20 4 non delendt

frere Ron Pos

5 Fe construetion est rique à Lisa indiquée re Huygens dans re à

vi sodu TH. , | 10 HE stef ab tds

2) Comparez la note 4 de la p. ou Vide

3) Par ce petit calcul, qu'il avait biffé par mégarde, Huyge

_ point de contact E de la tangente qui passe par le sommet A‘detn
portons à la Fig. 3, il est évident qu’on doit avoir dans ce cas Q

G;

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 299

BS (£a) [ad] SF (x) [ut] BD (y) [ad] CD (827),
Xÿ © 4py; x D 4p quand{o] fc. BF tangic in B °).

sr bb bb — 4ab
J 20b + F pe PTT 44y + 244

24 — 30 — 39
— 6bby + 124by — Gaay © Baby — 8aay — 12bby + 124by

sal

bb 50 Xab — lu
3 3

b > 3 % AM °). K punétum flexus contrari

AD [Fig. 5] w 34°), AB w 4, CL 4, BE > BF 4. [BA > BC.]?)

#) Dans ce qui va suivre Huygens se propose de déterminer la tangente au sommet B de la
boucle.

5) C’est-à-dire en négligeant les termes contenant : y° ety3; comparez la note 4 de la p. 297.
Comparez toujours la p. so du T. II.

"3 Huygens va s’occuper de la détermination du point d'inflexion qui existe évidemment entre

les points À et E. À cet effet il calcule la distance BG (voirle point G au côté gauche de la

Fig. 3) qui doit être un minimum dans le cas où C coïncide avec le point d’inflexion.

Or, afin de trouver la valeur de AM= (Fig. 4), qui correspond au minimum de l’expression

2bb—44b+ 244

24 — 3b

_ modification qu xl y avait apportée, sur laquelle on peut consulter le $ 5 de la p. 48 du

Tome cité; c’est-à-dire il pose (2) = = f(# + y), en omettant dans l'équation qui en résulte
les termes de valeur finie, qui se détruisent mutuellement , et de même lestermes qui con-
tiennent y? et y5.

8) Dans ce qui suit Huygens donne la quadrature du segment AGKHLCA , où la courbe ne
diffère pas essentiellement de celle de la Fig. 1. En effet, la proportion qui va suivre montre
que la courbe AGKHLD satisfait à la définition formulée dans les premières lignes du $ 1
_ Cp. 294). Afin d’identifier entièrement les deux courbes, il suflit de représenter la ligne AB.
de la Fig. 1 par 34, au lieu de #, et de supposer 7 = 442: 3p.

» Le point K est donc le point d’inflexion de la courbe, puisqu’on a AB — mi De même, le

, il emploie la méthode de Fermat décrite à la p.19 du T. XI, avec la

… point L est le point de la plus grande largeur de la boucle, puisque AC — AD.

300 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

[Fig. &.] ACq.CD (445) [ad] AEq. ED (243 + 3aab—bs)
[ut] CL (4) [ad] EH
443 [ad AFq. FD] (245— 32ab + b3) [ur]
4 [ad] FG
Ergo 843 [ad] 443 Cut] 24 [ad] 4. Ergo FG +
+ EG *) > 4. Ergo portio AGHLCA >» AACL

F2.

EBD [Fig.7] eft hiperbola Æqualium
A HN @ D laterum,axis BC, BO arbitraria. OK paral-
lela et æqualis EC. Curva KLL ejus naturæ
ut qu.HL fit æquale [7° HGF. Slufius con-
cemplandam propofuit #).

BC > 4; BO>E;, cHlrr.s); HO,CF x;

CFig. 7.] GF y ï
/ MS (c + 0 Ca] SG (x) [ut] SG (x) Fa] eo
H x
K F sB9) (Te ———)0a—y . ile.
: 7
NE aps
HG mir ea ae
& F TC 4 C PAPER 2° a+ geter

I I
[GF >] a+ ge] lcota Sue
ab—ac + bc — {cc xx+al/. —b)/ . +cl/.(x)CIHGF
fac b®)eri CT HGF [ao] aa + ac—#x 9) NN

1) Lisez : EH. :
?) Par cette figure Huygens indique la manière dont il ROUE déterminer l’ “re d'in elbel, 5
comme AFELCA, limité par la courbe, une ordonnée quelconque LC et l’axe AC. En effet,
en supposant GB — BH, il est facile de constater que la somme de FG et de EH est égale au

double de KB diminué d’une quantité proportionnelle au carré de BH. Parsuite le doublede

l'aire en question est égal au rectangle qui a pour côtés la ligne AC et le double de KB, dimi-

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 301

$ 3 °°).
[Fig. 8.] 25 Sept. 1657.

Proprietas curvæ AC , ut, fumptâ AB ad arbitrium,
erettâque perpendiculari BC quæ curvæ occurrat in C;
fiat cubus ex AB + cubo ex BC æqualis folido ex AB,
(S BC, AG.

A L mn Du&ti AH ut / HAG fr = recti, fit AH diameter

lineæ, ita ut omnes quæ ipfam ad angulos reétos fecant,
bifariam ipfæ fecentur. Quæritur itaque hujufmodi ordinatim applicata EC quæ
maxima fit omnium.
Si fumatur AF % BC , erit perp. FE vicifim > BA. Si itaque CE eft maxima,
etiam BF debebit effe maxima; eft autem BF > AB — BC.

nué d’une airé parabolique indiquée dans la figure. Cette dernière aire disparaît dans le cas
de ia Fig. 5, ou le point K est le point d’inflexion de la courbe.

C’est bien à cette invention que Huygens fait allusion, lorsqu'il écrit à van Schooten dans
une lettre du 23 novembre 1657 (p. 91 du T.Il):,,Cæterum id quod Slusius submonet posse
ostendi secundum quam rationem curvæ suæ spatium dividatur ab ea quæ axem bifariam
dividit, et ab alijs; adeo verum experior, ut in universum, qualitercunque sectum fuerit
spatium curvæ suæ à recta linea, partium inter se ratio exhiberi queat”.

3) Ce paragraphe est emprunté à la p. 11 du livret de Philips. Huygens y considère une courbe
qui lui avait été proposée par de Sluse; voir les pp. 52, 55, 57, 66,69, 70, 79, 88 et 94
du T. II, où l’on trouve des renseignements sur l’origine de cette courbe que de Sluse avait
rencontrée chez les anciens.

+) Voir sa lettre du 4 septembre 1657, p. 52 du T. II.

$) Il s’agit de la ligne MB de la figure, M étant le sommet de l’autre branche de l’hyper-
bole EBD.

5) D’après une propriété bien connue de l’hyperbole équilatère.

7) Nous supprimons quelques calculs.

8) Huygens procède ici à la considération du cas particulier à propos duquel il écrivit à de
Sluse, le 7 septembre 1657 (p. 55 du T.Il): ,,In contemplatione lineæ curvæ quam anti-
quis notam fuisse asseris frustra aliquantum temporis insumpsi, neque adhuc ullam insignem
ejus proprietatem deprehendere potui, nisi quod uno casu in circulum perfectum evadit”.

9) On trouve encore à la p. 13 du livret de Philips une épure très précise du cas du cercle
(a + c« = b) et quelques petits calculs inachevés.

1) Il s’agit dans ce paragraphe, emprunté aux p. 26—27 du livret de Philips, de la détermi-
nation de la plus grande largeur de la boucle qui appartient au folium de Descartes. Sans
doute cette recherche fut entreprise à propos de la lecture des ,,Exercitationum mathemati-
carum Libri quinque” de van Schooten (voir les pp. 50 et 52 du présent Tome) qui venaient
de paraître. En effet, aux pp. 493 et 497—499 de cet ouvrage van Schooten a reproduit la
solution de Hudde du même problème. Hudde y emploie sa méthode pour trouver les maxima
et minima; méthode qu’il n’exposa que deux années plus tard dans la seconde édition de la
»Geometria Renati Descartes opera Fr. a Schooten” (voir la note 5, p. 360 du T.I1). Parcon-
séquent, Huygens vérifie ici à l’aide de la méthode de Fermat le résultat obtenu par Hudde,

302 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657.

AG #eft sas jai hs 9x9 + au à y3cub.AB
—!3xxy + 3yyx — y5 cub.BC AF

2x5 + 6yyx 20 #xx—n#yy folid.AB, BC , AG.

nxx—92x3!) XX ON2X —2X$—OXXZ, | |
x 20 x+2
DR 6x-hn NE RÉ LL se }

[Fig. 8.] GNnXXZ — 12X32 DO I2NX KR — Lite à PER — ee AU

12XX 90 fn | * ‘Le x

sde
A

nxx—92x3 onxz—OXXZ 3)
Éx-t A2 6z

Énxxz— 19x3% 00 197XX2— 90% NAT — ONXXZ |

_— 6x% 90 —18xx + #1

12X% 90 #9 Ra ré sie du » a
$4+). nt ANA va
Ée 4 me D EE [aa CM
u7 6.4
€ : xx [MG]
* LAN hi

1 ! [cM:+MG: vJe arr 20 y [CG
N À y Lau repré

3
maxima de la fraction 7 D me À cet effet Huygens pique la moe

avons mentionnée dans la note 7 de la p. 299.

2) Le résultat s'accorde avec celui obtenu par Hudde, qui trouve F° à
point À au point où l’axe AH de la boucle est coupé par la droite RCI Aou

cartes et Fermat se sont occupés en 1638 du même D eneee ott
ce süjet avec Mersenne n’était encore accessible ni à Hudde ni à Huygens, pr 1

|
TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 303

É | $ 5 *).

À 1658.

.… Curva ACB ejus naturæ ut pofita AB % 4. AD % y. DC 50 x, fiat 4y3 — y4 >
20 aaxx , = xx. Hanc Slufius dicebat ad circumfcriptum [_J]BG ficut

circulus ad quadratum circumfcriptum $). Quod
CFig. 10.] falfum effe docebimus.

ee Sit AB partium 10. AE five GF 6 et ducatur
AF. Ergo trapezium AFHB ad [BG ut 7 ad
10 quæ multo minor eft ratio quam circuli ad
circumfcr. quadratum 7). Atqui trapezio AFHB

adhuc minus oftendemus effe fpatium à curva

AOCB comprehenfum *). Ergo hujus fpatij ad
CIBG multo minor erit ratio quam circuli ad cir-
cumfcr. quadratum.

qui contient la solution de Descartes (voir les p. 313—317 du T. II de l’édition d’Adam et
_ Tannery des , Œuvres de Descartes”), ne parut qu’en 1667 dans le troisième volume de
l'édition de Clerselier des ,, Lettres de Descartes”; tandis que la solution de Fermat, où une
faute de calcul s’est glissée, ne fut publiée qu’en 1894, pp. 169—171 et 174—175 du T.II
_ de l'édition de Tannery et Henry des , Œuvres de Fermat”.
3) Consultez sur cette nouvelle modification de la méthode de Fermat la note 3 de la p. 76
du T. XII.

#) Déduction de l'équation de la ,,parabola virtualis” de Gregorius à St. Vincentio, dont on
trouve la description à la p. 842 de l’,Opus Geometricum” cité dans la note 6 de la p. 53 du
T.I. C'était de Sluse qui avait dirigé l'attention de Huygens sur cette courbe dans sa lettre
du 4 septembre 1657, p. 52 du T.II. Le 12 octobre Huygens lui répondit (p. 67 du T. II)

_ qu'il n'avait pu deviner ce que de Sluse avait trouvé de remarquable à propos de cette

- courbe; après quoi de Sluse l’avertit (p.70 du T.IL) qu’il en avait découvert la quadra-

. ture, et que l’aire de la demi-boucle CLIA est égale aux deux troisièmes du rectangle cir-

conscrit (ce qui est exact). Enfin, dans sa lettre du 7 décembre 1657 (p.94 du T. II),

Huygens complimenta de Sluse sur ce résultat et promit d’essayer s’il pourrait y arriver à son

tour. Ajoutons que nous n’avons rien trouvé sur cette quadrature dans les Manuscrits de

Huygens.

5) Dans ce paragraphe, emprunté à une feuille détachée, Huygens s’occupe à propos de sa cor-

respondance avec de Sluse de la quadrature de la boucle formée par la courbe #2x2 =

lon Mme A

5) Voir, à la p.135 du T.II, la lettre du 19 février 1658 de de Sluse à Huygens. On peut
encore consulter sur cette question les pp. 122, 124, 132, 134, 140, 144 €t 149—150
du T. Il et surtout les p. 150—151 et 154 de ce Tome, où l’on trouve expliquée la véritable
pensée de de Sluse qu’il avait mal exprimée dans sa lettre du 19 février.

7) Puisqu’on a x : 4 — 7 : 8,91...

8) Comparez la note 3 de la p. 304.

304 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

| 3 4
Fig. 10.] 7. es

a

3} 4) ts) 20 O0; 34ÿ5 © 4ÿ*; 3a D 9. Ergo fi

AD “ AB fit DC maxima prets

27 SUPREME EE PAT . .
ati 4 440 XX; VZ aa DV) 344%
D x .. So ; ù

qu.AZ (yy) [ad] qu.ZO TP 7) [ut] 44 [ad] #y— 37; non minor quam

4 ad 1 *). ch Î FA
AE L APE

qu. [ <r | ee ad qu. nu Ge & [ut] 9216 [ad] s70p4 1. A
4 ad 1 3). ail

Lu 83 EE ay —yt 2 x* hac LH circa axem KL + +.

Le Li »V/ 43-73 xx cumvoluta dicit folidum ab ea
x genitum effe ad cylindrum à
À #4 [°LO in eadem circulatione faétum, ut cireulus |
ad circumfcr. quadratum #). see

BST

| 1) Huygens se Fist ici de déterminer la valeur de y qui correspond au maximum de l'expres- À
3 “

ionË —X, Il applique à cet effet une méthode publiée en 1659 par Hudde CP. s1odela e
FEES se VIT ou

FF édition de la ,Geometria à Renato Descartes” de van Schooten) dans son ,Epistola |
secunda de maximis et minimis”. Toutefois cette méthode avait déjà été trouvée aupara-

vant par Huygens, comme il l’assure dans sa lettre à Wallis, du 9 juin 1659 L 417 fa te :

2) Puisque la valeur maxima de 7y — yy est égale à nd El È

FROM LE 1H
3) On a donc toujours 27 < 4 d’où il suit que le point O, qui décrit la bone sue
_ partout en dessous de la ligne AF. ina vérdrapnnt tit Me
#) Voir toujours la p. 135 du T II. 7 de

$) Sur ce point Huygens et de Sluse sont d’accord; voir les pp. 149 et151 far T. FE

5) Ce résultat fut communiqué à de Sluse dans une lettre du 22 mars 1658; Voirla puis
du T. Il.

PL

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 305

[Fig. 12.] ay3—y+ 00 aaxx Hujus curvæ fpatium ad []BG
yl/4y—yy ax eft ut folidum præcedens ad cylin-
drum. (quod et Slufium puto vo-
luiffe) 5). Ergo et fpatium hoc erit ad [7] BG ut circu-
lus ad circumfcr. quadratum quod falfum eft.
Sed defcriprto fuper AB femicirculo [Fig. 131:
invenio hunc duplum effe fpatiy ACBA °).

Eft enim AFq. ad FEq.ut yy ad xx fiveŸ 2
hoc eft ut 74 ad 4y— y, duétis omnibus in 44: hoc
eft ut qu.AB ad qu.FK. Ergo AF ad FE ut AB ad
FK. Sit BD > AF. Ergo eadem rarione AD ad DC
ut AB ad DH feu FK. Quare componendo erit AF +-
+ AD ad FE + DC ut AB ad FK. Sed eft AF +
+ AD % AB, quia AF > DB.

Ergo, AB ad FE + DC ut AB ad FK. Quamob-

rem erit FE + DC > FK. Unde colligo fpatium torum AECB effe % qua-
dranti GSKA. |

[Fig-14]). Si 7) AP PB fit PO > 48. Et AOQ tan-
IN *
1 a”, | | gens in © #). GQ >» 2GA. AK > >AB; KM 5%

A LR TP KE B EX
7 "

Ergo qu.GR w A\GAQ. Ergo [_JBG ad trapez. AQNB five CIRN ut AB

ad BR hoc eft ut 1 ad 1 — PL proportionem dico majorem quam qua-

drati ad circ. infcriptum. eft enim major quam 1 ad 1 — À hoc eft quam 16 ad 11,
{

quæ major quam 15 ad 11 ?).

7) Dans ce qui suit Huygens cherche pour l'aire AOMBA une limite supérieure plus rappro-
chée que celle qu’il avait trouvée à l’aide de la Fig. 10. À cet effet il se sert de la tangente
menée du point À à la courbe AOMB.

8) On trouve, en effet, que la tangente en O passe par le point A.

3) Off retrouve ce calcul dans la lettre à de Sluse du 12 mars 1658 (p. 149— 150 du T. II) où
Huygens ajoute: ,, Atqui circulus ad cireumscriptum quadratum majorem habet quam 11 ad
15, ac ferè eam quam 11 ad 14”.

39

$6 ").

Omnis conchoidis fpatium infinitæ eft magnitudinis. Often-
ditur per afymptotos hyperbolæ *). |

Sphæræ et fpiræs).

[Fig 16] 7DE #) [ad] AAK ur oDB [ad]

KH 5) h. e. ut 2BA [ad] HA vel EO.
| h. e. ut BA ad FG °).
ZZJVE inFG æ ,/\AKin AB. re
% omnia /__/a DEi in FG hoc eft folida
4 n pre ex converfione /=7orum DE % folido

quod fit circa axem AB à quadrante ABP
fufpenfo fecundum centrum gravitatis
fuæ in P 7). Unde duplo utriufque sumto,
À fit folidum à tota conchoide præter fphæ-
ram in ipfo contenta
æquale femifpiræ, qu: fic converf
femicireuli ADQ circa axem AB.
| totum omnino folidum conchoidis of.
nitum æquale fphæræ BS et dimidiæ fpiræ

à femicirculo BPS Hé aus

AL E NÉE

$ tek MEN IEEMIORNE

nc

F Li
HE 1

. : * LA À à
(HISINT. 9H DS tb

1)Ce paragraphe, emprunté à une feuille détachée et à la p. 39 du Manuscrit À, traite de la
quadrature de la conchoïde et de la cubature du solide de agp sus autour de son
asymptote. D SU

?) Voir la figure à côté où nous avons ajouté quelques lettres, celté de Huygens n'en ayant
point. Soit donc A le pôle de la conchoïde, AC son axe, I le poitit à l'infini de l'asymptote
BF ; évidemment on peut placer la seconde asymptote OD de l’hyperbole en sorte que
AD— EF < FG —BC. Mais alors, si l’on fait tourner le rayon vecteur AG autour du pôle,
tous les éléments qui constituent l'aire hyperbolique EIF' sont plus petits que les éléments

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 307

4 | CFig. 17.]

JDE 7 [ad] AAK ut 2VA ad AH vel
ad EO.

ZTJDE in FG 20 AAKi in AV. Hinc folidum
totum conchoïdis æquale fphæræ BS + femifpiræ
à femicirculo BKS, circa axem VD :°).

is non dents de l'aire FIG. Or, Huygens savait que l’aire de la figure comprise entre

__ l’hyperbole et ses asymptotes est de grandeur infinie ; il en est donc de même de l’aire FIG.
Ce résultat fut communiqué à de Sluse dans une lettre du 5 avril 1658, p. 164 du T. II,

_ et à Wallis le 6 septembre 1658 (p.212 du T. II.) Comparez la dernière partie de ce para-
. graphe (p. 308—309), où l’on trouvera une démonstration encore plus élégante du mème

ya théorème. :: 7"

3) Dans la Correspondance pri Huygens et de Sluse le mot ,,spira” signifie une surface ou un
solide de révolution quelconque.

4) Il s’agit ici de trouver le volume du solide engendré par la révolution de la conchoïde
_ NMEC autour de l’asymptote OB dans le cas où AB — BC — DE,

5) La base RM du parallélogramme RMED et celle AK — AB — BC — DE du triangle
peuvent être considérées comme égales; par suite, leurs aires sont dans le rapport du double
_ dela hauteur du parallélogramme à celle du triangle; rapport qu’on peut remplacer par celui
F* de 2AD à AK, ou de 2BD à KH.

FE est le centre de gravité du parallélogramme RMED, qu’on peut considérer dans cette
gere comme situé sur la droite ADE.
ni luygens veut dire que le volume total engendré par la révolution des parallélogrammes en
question autour de l’asymptote OBest égal au volume d’un solide engendré par la révolution
_ autour de l’axe AB d’une figure plane dont l’aire est égale à celle du quart de cercle BAPB et
V _ dont le-centre de gravité se trouve à la distance AP — AB de cet axe.
| ?) C'est à-dire autour de l’asymptote OB; posant AB = BC = #, on trouve donc pour le

ï Prélame du solide tar + 43x72,

1 9) Huygens applique la même méthode au cas où la distance A V du pôle de la conchoïde à son
; asymptote n’est pas égale à la longueur constante VC = DE.

on] Posant AV = 4, VC =}, on trouve donc S Ba al?n?, Ajoutons que Huygens fait allusion
ù à ce résultat lorsqu'il écrit à de Sluse dans sa lettre du 5 avril 1658 que les solides de révo-
_ lution de la conchoïde et de l’hyperbole autour de leurs asymptotes n’excèdent pas une cer-

taine grandeur (voir la p. 164 du T. Il).

308 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

(Fig. 18.]

Si À polus conchoïdis et CV ad VAut 1 cireumfer.« CYX ad
CV :) fie folidum conchoidis duplum fphæræ CX infcriptæ.

A AM TC

AC eft altera Conchoides in qua femper
CD AB. CH ad HA ut GF ad FA, feu HB. 2
nam FA > HB quia AG % CD. unde quoque
HA > FK. Ergo [7] CH in HB > [7] FG

in FK , fiunt enim ejufdem latitudinis hæc rec-
| tangula *). Ergo folidum infinitum conchoïdis
circa BD æquale folido quod fit danse
| ALXK circa axem KE. five BAL circa BD.

Vel fi Conchois ad alceram partem a ï
defcribatur , erit cotum folidum æquale ei quod
fit a femicireulo LBT circa axem BD 3). Hoc
autem phæræ i integræ additum æquatur pur à 7
dimidio, qui fit a femicirculo BLK cirea
T axem BD. 1 Bi

# AC [Fig. 20] #) conchoides. D RE EF .
regula. ;
B punétum in Conchoide. BDH linea. DH 2
L 0 EA. HK parall. DA. ire

| BG eft curva ejufmodi ut femper MG CE
x DN. |
Eam dico effe Ge per punétum B ;

1) On a donc, /: = Ÿ: l; c’est-à-dire 4 = À.

?) Parce que, en effet, lorsque les points F et H se déiieet. on a à chaque instant KF = AH. A
3) Puisque la distance du centre de gravité du demi- cercle LBT à l’axe BD est égale à ( no. î

(où / = AB), on a donc pour le volume en question Qn—4 )an.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 309

[Fig. 20.] defcriptam ad afymptotos PF, PQ. fumptâ
videlicet EP % DK, ec du&tâ PQ parall. DA,

Hanc hyperbolam apparet à B verfus G
totam cadere intra conchoidem. Sed Hyper-
bolam inter et afymptoton infinitæ magnitu-
dinis fpatium interjicitur. Ergo et Conchoïidis
fpatium infinitum erit.

Quod BG fit hyperb. hinc conftat. Quia
MG > DN vel DR, erit RG 50 MD; et
GL % ME. Item MF > DK. Sed ut MF
Ch.e. DK) ad FG, ita GL (five ME) ad ED.

; “ ; Érgo(] DK, DE # [-]FG, GL. idque fem-
per. ergo BG eft hijperb.
$7*).
18 Mart. 1658.
[Fig. 21.] AIGD ef Cifloides. Ergo AC 0 DE; AK © GF;
Ac © de. &c.

trapezij DEFH eadem eft altitudo ac Ali CVA S)
unde illud trap. ad hoc /\.m ut EF + DH ad CV. hoc
eft ut EB + DO ad CQ, hoc eft ut BA + AO ad
AQ; five ut AB+BQ ad QA. hoc eft ut qu.AB +
+ qu.BC ad qu.CA. hoc eft ut ABML + ABCK

+) Ce nouvel arrangement de la démonstration indiquée par
la Fig. 15 (p. 306) doit dater de l’un des derniers mois
de l’année 1658, comme cela résulte de la place qu’il oc-
cupe (p.30 du Manuscrit A). Il nous semble probable qu'il
fut rédigé à l’occasion de la correspondance de Huygens
avec Wallis. Ce qu’on lit dans la lettre à Wallis du 6 sep-
tembre 1658 (p.212 du T.II): ,non videris animadver-
tisse spatium infinitum conchoïdis etiam magnitudine infi-
nitum esse quod ego aliquando me demonstrasse memini”,
doit se rapporter à la remarque qui accompagne la Fig. 15;
mais Huygens aura alors senti le besoin de vérifier la justesse de cette remarque et d’en
rédiger une démonstration formelle.

5) Ce paragraphe, emprunté à quelques feuilles détachées, traite de la quadrature de la cissoïde.

5) Le point V est situé sur la droite CQ, par suite la hauteur du triangle ACV est AQ, qui est
égale à OB, hauteur du trapèze , puisque AC = DE,

310 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

(Fig. 21] ad A\ACK, five CV A. Ergo hinc fequitur /\ BML +
+ ABCK æquari trapez.° DEFH. Et hoc fem-
per: unde colligo fpatium infinitum à curva ATH et
reétis AB, BE comprehenfum æquari quadranti
BAMR +- femicireulo AIB hoc eft triplo femicir-
culo AIB.

Item partem quamlibet abfciflam reéta ex A eduéta,
velut AIDEBA æqualem effe feétori BMR + feg-
mento BkC. hoc eft triplo fegmento CkB + Ps à

/\°CBS *) hoc eft /\° cujus bafis 5 3 arcus CB—CQ,
Sn radius SB. arcus autem BkC femper duplus
eft MR ?). unde data arcus BkC longiadines dabitur
quadratura diétæ partis AIDEBA.

Dato quadrato vel circulo æquali fs se.
[Fig. 22 ] dabitur quadratura circuli. |
Poteft circulus inveniri qui unà cum fpatio ABCX ie
(Fig. 20./ æquatur quadrato dato. #
fi ABCED > femicire. APCMD+ 0e
LH ns)
commune dfératut ABCMD
CMDE > ABCP + AFCP @
CMDE + # hoc eft qu.AC © Fe
2 ABCP + or
auferatur utrinque 2#
d _ APCB 9 2APCX. add. utrique
F. APCX :
ABCX > 3APCX R
femicire. ACD + fpatio ABCPA
6 à æquatur C2 AXLD #) circum-
fcripto. five quadrato circulo AD.
infcripto.

Prusr f, È
Tr & É
sl. d
#
%

1) Écrivons # pour l'aire du triangle

CSB—CSA et # pour celle du segment
e ARS EE CKB, alors le secteur MBR dont l'aire
A 5 ? estle double de celle du secteur CSBLKC

sera representé par 2 —+ 2# et l’espace AIDEBA par 2m + 3n.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 311

Spatium infinitum ABCRRQD eft triplum femicirceuli ACD.
Semper fpatium ABCHD eft triplum fegmenti DZM. nam /\DHO %
% DZA > 2DZS 5).

(Fig: 23:] Oftendendum “) eft fpatium AVLEFBA [Fig. 23]
F æquari feétori BNT + fegmento CXB.

Primo fpatium minus dicatur, fitque exceff. Q. Erit
figura infcripta EHLab&c. multo minor. trapezium
EFGH æquale oftenditur /\lis BCM + BNO ?).
Ejufmodi igicur figura infcribatur, ut fiant omnia
fimul frufta qualia CPM et NRO minora exceflu Q
quo fpatium AVLEFBA fuperari dicitur à feétore
BNT + fegmento CXB (hoc fieri poffe oftendatur ).

Sed hæc frufta omnia trapezijs addita, æquantur
feétori BNT + fegm. CXB. Ergo trapezia una cum
priori exceflu Q majora erunt feétore BNT + fegm.
CXB. Unde trapezia majora ipfo fpatio cui infcripta
funt quod abfurdum.

Si fpatium majus effe dicatur, erit figvrs circum-
fcripta FKLdb&c. multo major. Jam trapezium KG
æquale oftenditur Alis BPQ + BRS.

2) C'est-à-dire en degrés, leurs longitudes étant égales.
3) Puisqu’on a ici, les segments APC et CMD étant égaux, APCMD — 2» + on.

4) Puisque APCBA = 2APCXA. On a donc CIAXLD = semicirc. APCMD +- SABCXA À

d’où ils’ensuit que si l’on saurait carrer l’espace ABCX , ou bien construire un cercle égal
à cet espace, on aurait trouvé la quadrature du cercle.

5) On a trouvé ABCHODA =om—+ 3n; mais DHO = AZD — 2»; par suite, ABCHD = 3» —
3 segm. DZ M.

5) Dans ce qui suit Huygens prépare une démonstration plus archimédienne du résultat qu’il
vient d’obtenir. Ajoutons qu’on trouve encore sur une des feuilles dont nous empruntons le
présent paragraphe une autre rédaction plus détaillée d’une démonstration de ce genre,
qui est également restée inachevée. Nous croyons pouvoir la supprimer, d’autant plus que
l’on rencontre encore deux autres rédactions complètes d’une telle démonstration, envoyées

| respectivement à Wallis et à de Sluse, aux pp. 170—173 et 178—180 du T.I. Ilest vrai
que dans la rédaction que nous supprimons la figure est composée d’une autre manière que
nos Fig. 21 et 22; mais on retrouve cette composition dans la lettre envoyée à de Sluse,
p.178 du T.II.

7) Comparez le deuxième alinéa du $ 7, p. 309.

L

312 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Fig. 24.]
Alia demonftratio)

triangulum KHG > ABC./77KF ad AABC ut 2KL
ad BC, hoc eft ut 2KA ad AB, hoc eft ut 2BH ad BA, hoc
eft ut 2EM ad MA. hoc eft ut 2 qu.EB ad [qu.]BA, hoc
F eft ut 2 ABED ad ABAC :). ergo /—7 KF > 2/\BED.
Ergo trapezium KHFL æ A ABC + 2 ABED. Unde facile
colligitur fpatium AOKHE % parti femicirculi ABSE +
+ 9 fegm.° BES, hoc eft 3 fegmento BES + {lo ABE 5).

$ 8 *).

Sit parabola cujus diameter FA, ec linea MS feétionem
contingat, per M vero ipfi FA æquediftans ducatur MN , et
ipfi MS in feétione ducantur æquidiftantes quælibet BLE, VRX. dico ipfas à
reéta MN bifariam fecari; et quadrata ipfarum VR, BL effe inter fe ficut RM
-ad LM longitudine, ducantur enim ordinatim BA , MQ, LD, EO et conveniat
| EO cum LM in P. et fit parabolæ reétum latus FZ.
[Fig 25] Quia igitur [7] fub FQ et lat. reéto æquale eft qu.° MQ,
_ erit lat. r. ad MQ ut MQ ad QF, et fumptis confequen-
tium duplis, lat.r. ad 2MQ feu 2AN ut MQ ad QS; (eft
enim QS dupla ipfius QF , quia MS parab. contingit) hoc
eft ut BN ad NL. Quare [] fub lat.r. et NL 2[ ©
ANB. [7m autem fub lat.r. et NL five AD et [= ]" fub
lat.r. et DF, utrumque fimul æquatur qu.AB. Ergo et
20 ANR + [la ]r., DF æquabitur qu.° AB; Et

F) Cette démonstration, non moins élégante que celle qu’on trouve au commencement de
ce $ 7, n’a pas été utilisée par Huygens dans sa correspondance.

2) À cause de la similitude de ces deux triangles.

3) Comparez le deuxième alinéa de la p. 310. ë

4) La Pièce qui suit doit dater d’avril ou de mai 1658, d’après la place qu’elle occupe à la
p.19 du Manuscrit A On en trouve une rédaction moins achevée à la p. 16 du même
Manuscrit, laquelle est accompagnée de l’annotation: ,,/’olebat D. de Wit ut ostenderem
de diametris parabole”. Or, dans les premières pages de ses ,, Elementa curvarum linearum”,
ouvrage cité dans la note 1,p. 371 de notre T. II, dont il envoya le manuscrit quelques mois
plus tard à van Schooten, Johan de Witt déduit les propriétés de la parabole, dont il va
être question, en partant de la méthode de génération de cette courbe , qu’il expose dans le
premier chapitre de cet ouvrage. Ajoutons qu’on trouve les démonstrations d’A pollonius de
ces mêmes propriétés aux Theorèmes 46 et 49 du Livre I de ses ,,Coniques””, p. 33 verso et
35 recto de l’édition de 1566 par Commandin citée dans la note 4 de la p. 6 de notre T. I.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 313

ablato utrinque 20 JANB, erit [7] [lat.]r,DF æquale qu.° AN + qu.° NB.
Rurfus quoniam oftenfum eft, 1. r. ad 2MQ hoc eft 2PO ut MQ ad QS , hoc eft
ut EP ad PL five OD; erit [7] fub 1. r. et OD æquale 20 JOPE. Sed [Jf[L.]r.,
OD +0} [l.]r.,OF æquatur [7] {l.]r., DF ; ergo etiam 2[2JOPE + [7
[1.]r., OF five qu.°OË æquabitur [7 [1.]r., DF. Sed 207JOPE + qu.OE
æquatur etiam — per 7.1. Élem. 5) — duobus qu.isEP , et OP. Ergo patet [_]
[1.]r., DF æquari qu.is EP et OP. atqui[_]° eidem [1.]r., DF etiam æqualia
oftenfa funt qu.2 BN et NA. Ergo duo qu.2 EP et OP æqualia duobus BN et
NA. fed qu.m NA æquale qu.° OP. Ergo reliquum etiam qu.BN æquale qu.° EP.
ac proinde BN ipfi EP etiam longicudine æqualis erit, Et, quoniam fimilia funt
/\ BEN, ELP, et latera æqualibus angulis oppofita BN , EP habent æqualia
etiam reliqua latéra æqualibus oppofi ta angulis æqualia habebunt, nimirum BL
ipfi LE. Eadem ratione oftend. etiam VR ipfi RX æqualis. Jam porro ducatur
VT ipfi AB æquidiftans. Quia ergo oftenfum fuit [2] [l]r., DF æquale qu.is

AN et NB, fed idem [7] [1.]r., DF etiam æquale [is [L ]r., QF et [1.]r., QD
quorum [_]{1.]r., QF qu.°QM hic qu.AN æquale eft, patet etiam reliquum [7]
[1.]r., QD feu [1.]r., LM æquari reliquo qu.°NB. Similiter oftenditur qu.VT
æquale [7] [1.]r., RM. Eric itaque qu. VT ad qu.BN ut [_][1.]r., RM ad
C2 [l.]r., LM, hoc eft ut RM ad LM. Sed ut qu.VT ad qu.BN ita qu.VR
ad qu.BL. Ergo &c.

RAR AUDIT IAE

5). Lisez »7.2. Elem.”, puisqu'il s 'agit. de la Prop. 7 du Livre 2 des #»Elementa” d'Euclide.
+ Voici cette proposition: ,,Si recta linea secetur vtcunque; Quod à tota, quodque ab vno
segmentorum, vtraquesimul quadrata, æqualia sunt & illi, quod bis tota, & dicto segmento
comprehenditur, rectangulo, & illi, quod à reliquo segmento fit, quadrato}" (Clavius,
p.181).

40

X ?.
1658.

CRéduëtion de la quadrature de la [urface du conoïde elliptique nat à la
quadrature du cercle, et réduËtion de celle des [ur faces du conoïde elliptique AE dd
et du conoide hyperbolique à la quadrature de l'hyperbole.]

[Première Parrig #2) Lil 259.1 REA

Gr).be M | 11110

BA eft parab. lat, reét. 4.
Superficies ex tangentibus HG , GV &c. ad circu-
lum ex CA femidiam. funt ut omnia {=} fab AC,

HG; SQ, GV ; &c. ad [JACO, five -qu.AC.

CE eft © AD quæ occurrit in A ad angulos reétos.
Et ut AD five EC ad AC ita HG ad LK five NR.
Ergo [7] EC, NR > [7] AC, HG. Ergo ut omnia
CJICE,NR. MQ, WL, &c. hoc eft ut parabolæ
fruftum EXBC (funt enim punéta E, M, &c.ad
parabolam cujus lat. reét. item %. fed vertexinF,

fumpta BF 1° 4) ) ad [77 ACO , ita fuperficies conoïdis BAC ad croire
bafeos CA. Ego ut Gp + 3) V/ 440 Laa — - aa ad 6ab 5).

7) La Pièce, que nous avons divisée en quatre Parties et en paragraphes, a té cinbret ét aux
p.103—113 du Manuscrit A et à quelques feuilles détachées.

?) On trouve cette Première Partie presqu’en entier (voir les notes 4 de la p. 320 et 8 > la
p.323) sur une feuille détachée de quatre pages dont la troisième contient la date du
3 février 1658. Il nous semble probable que toutes les découvertes peer sur ces pages
furent faites pendant cette journée.

3) Ce paragraphe contient l'exposition d’une nouvelle méthode pour la quadrature des surfaces

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 315

[Fig. 2.]

$2°).
In Hyperbola.

Superficies conoidis hyperbolici BA ad circulum bafis
fuæ ut fpatium EXBC ad lqu.AC 7).

[latus reétum % r; latus tranfverfum BF 37; BS
> = BF; BC © x; AD > EC > z.]

I vx
CD LS dur) _.

?

de révolution et son application au conoïde parabolique dont la surface courbe avait été
déterminée auparavant par Huygens; voir la Pièce N°. VI, p. 234—270 du présent Tome.

#) Les calculs qui ont mené à cette conclusion nous sont inconnus; voir pour une démon-
stration en règle le , Theorema [”’ de la Quatrième Partie, p. 338—339.

5) C’est, dans les mêmes notations, la formule communiquée, en janvier 1658, par van Heuraet
à Huygens par l’intermédiaire de van Schooten; voir la p. 131 du T. IL. Comme nous l’avons
vu dans la note 6 de la p. 265, elle ne peut être déduite du résultat obtenu par Huygens en
1657 qu’à l’aide de quelques réductions relativement compliquées. Sans doute Huygens doit
avoir été frappé par cette circonstance, et il en aura conclu que van Heuraet devait posséder
une méthode différente de la sienne. Par conséquent il se sera mis à rechercher cette méthode.

Quantau résultat obtenu cette fois, il est évident qu’il conduit facilement à la formule de van

Heuraet. Posant BC — 2, on a CE — LV Ch + FA Par suite, on trouve pour l’aire para-

bolique FEC : = (b + 49 Le (b +4) , laquelle, diminuée de l’aire BXF — Le ;
donne pour le rapport indiqué:
rai PSN NS PT 7 PRE
| F (B+ a+ ñ a)— a |: ab.
5) Application de la nouvelle méthode à la quadrature du conoïde hyperbolique.
7) Ce résultat est une conséquence immédiate de la méthode indiquée au 1. 11 ne s’agit donc
plus que de déterminer la nature de la courbe XE.
#) Consultez la p. 217 de l’édition de 1649 (ou la p. 245 des éditions de 1659 et de 1683) de la

»Geometria” de Descartes, publiée par van Schooten (voir l’ouvrage cité dans la note 1 de
la p. 218 de notre T.I). Van Schooten y déduit dans ses ,Commentarii” l'expression

de ds ir pour la longueur de la ligne BD. Ajoutons que Descartes avait donné dans le

texte de sa ,, Géométrie” la formule correspondante pour le cas de l’ellipse ; comparez la note 8
de la p. 317.

316 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

gLad] r [ur] CIF CB(ax + xx) [ad] HET TRE qu.CA |

2, r HE + ee ol Æ acD|
+. Fi ë
Fig. 2.] sic ni Te+, qu PE à Fax 5)
Lo gL\aVx
| z major quam dr
] { 1
AGENT
és Pt cr UE |
A2" + ag Gi we Re
; x D —"Q LE LÆ FE Cartefij regula *)
é Le T vertex hyperb. TE. ST fumenda 90 # hoc eft
: 3 £. - | |
” on - Ergo fit BY Dr, et SR media prop.inter de

? Sv,SB ErutRS ad B$ ra fe BS Ps à A Aer

p [ad] +) Fhoc eft] gg [ad] gr +rr (2 2 ls CA J UE ÿ fa pu]

Vrr+2 .. rect. ur TE. Ergo media prop. inter hoc el. cranfv. erit ”

2S0 > |//rg co diam. conjugatæ hyperb. TE. Ergo cum hyperbolæ TE, BA

habeant eandem diam, conjug." habebunt latera reéta reciproce rationem axerum
tranfverforum 5).

27 +3gr > SR *); R eft focus hyperb.BA, OB > SR. RG 1. |

7) La courbe XE est donc une hyperbole, dont Huygens va chercher les dimensions et "
situation par rapport à l’hyperbole BA. re PR
?) Voir les règles pour la résolution des équations quadratiques, formulées par Descartes des
sa ,Géométrie”, p. 375 du T. VI de l’édition d'Adam et Tannery des Œuvres de Descartes.

3) Construction pour trouver le sommet de l'hyperbole TE. On 2, en effet, SY=— (4 T r); He

SB—=—4; doneRS=\/L9 (1+r) (a +r), et par suite : 4 F4 (Ga +r): rs T$

(25)

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 317

[Fig. 3]

$ 37).

[latusreét. 50 r; latus tranfv. BL 50 9; BF 5x;

DC > EF % z.]
TPE L -
—r— = FC?
2 )
1TXS rTXX)
qu. EC Lrr— SR EE
+ q 1e PONT

g[ad]r [ut] gx—xx [ad ]qu.FD RE

4q2z — 114 + grrx —qqrx °)

Fr —qr

XX D

4) La signification de la lettre p nous est restée énigmatique jusqu’à l’instant où nous avons
retrouvé cette notation dans la ,,Géométrie” de Descartes (voir les p. 399—405 du T. VI
de l’édition d’Adam et Tannery). Au lieu cité l'équation générale du second degré est réduite

dans le cas de l’hyperbole à la forme y = Lo + 0x + xx, où les x sont mesurées sur

l’axe imaginaire lorsqu'on a 4wp > 00. Si l’on compare cette équation à celle de la forme
r

CA=)y= | a + Le où r représente le ,,latus rectum” et g le ,,latus transversum” et où

latus transversum
A latus rectum
appliquant ces considérations à l’hyperbole TXE Te le ,,latus transversum”” est égal à
2ST = 9m (où # a une signification entièrement différente de celle qu’elle a dans la fraction

les x sont mesurées sur l’axe réel, on trouve facilement <— £ =

E),. on aura donc, comme dans le texte:

3 br
Le p _ 91 2m tr

m gr+rr latus rectum sf vi
1r += —

PA 5) On retrouve ces résultats, avec une modification légère quant à la déétitipetion du sommet
À T, dans l’,Horologium oscillatorium, Pars Tertia”” après la Prop.[X (p.75 de l'édition origi-
nale) sous l'en-tête: ,Conoidis hyperbolici superficiei curvæ circulum æqualem invenire”.
5) Comparez la note 3.
7) Application de la nouvelle méthode à la quadrature du sphéroïde aplati.
8) Comparez la note 8 de la p. 315. Le cas de l’ellipse est traité à la p. 52 de l'édition de 1649
de la ,Geometria” (p. 46 de celles de 1659 et 1683). Dans l'édition des , Œuvres de Des-
cartes” d’Adam et Tannery on le trouve à la p. 419 du T. VI.
9) Équation de l’hyperbole VEAR.

318 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

Fig. 3. I
(Fig. 3.] ggez—ggrr
s: xx 0 Fr ér + 4x
2 “5 —;qr + qq
pond N À x 0,428") Fr =gr
; K
m [ad] p *) [hoc eft] rr — gr [ad] gg [ut]
£ L lat. cranfv. |[//gr [ad] avr lat. reétum

hyperb.

————

. : q3
Ergo diam. conjugata ARE 5 3).
AE eft hyperb. centrum ejus N. vertex A.

Superficies fphæroïdis dimidij ABO eft ad circ.AO ut fpatium RAVBL ad
qu. AN #).

Sit AP + PN > BV 5 — lat, reët. 5) AGN parab. ut GW fit 20-PW 6).

Erit ut linea parabolica AGN ad è lateris re@i ellipfs ita fuperficies fpheroi-

©) Par cé signe Huygens indique qu’on doit employer, selon les circonstances, le signe + ou
le signe —.

2) Comparez la note 4 de la p. 317. L'emploi de la lettre p s’explique ici d’une manière
analogue. ï

3) Puisque, d’après une règle alors bien connue, ce diamètre est moyen proportionnel entre les
deux ,,latera”.

4) D'après la méthode générale exposée au $ 1, p. 314. La quadrature de la surface sphéroïdale
est donc déjà réduite à celle de l’hyperbole. Or, Huygens entrevoit le moyen de la réduire
de même d’une manière simple et élégante à la rectification de la parabole.

k 1
5) On trouve, en effet, en posant x = o dans l'expression pour 22 (p. 317), BV RE. où r

représente le ,,latus rectum” de l’ellipse ABOL par rapport à l’axe BL.
5) De cette manière la parabole AGN et l’hyperbole VEAR sont dans la relation indiquée dans
AP+ PNY :
AN “AN On peut donc
appliquer ce théorème; mais aussi le ,Theorema IX” (p. 253). Or, d’après ce dernier théo-

rème, On 4:

l'énoncé du ,,Theorema VIII” de la p. 249 puisqu'on a

par. AGN : AN = aire RAVBL : AN X BL,

d'où il résulte, puisqu'on peut remplacer AN par une quantité quelconque pourvu qu’on
le fasse à la fois dans le deuxième et dans le quatrième terme de la proportion :

par. AGN : ag = aire RAVBL : 37 — aire RAVBL:AN° = surf. ABO: cercle AO.

+ DE CR RE Le À pt
REA DNA SERRE ee OR
Je fe cr re rh:
/ L 5 à

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 319

dis dimidij ABO ad circulum AO. Vel fumpta parabola dupla, ut fint AX, XO
fingulæ 0 latus reétum , erit curva AZO ad grareét ficut tota fpheroiïdis fuper-

ficies ad ditum circulum AO.
Applicato fpatio RAVBL ad lineam BL & 7 fit longitudo parabolæ AGN.

applicato vero quadr.° AN ad lin. BL, fit 4 7),

I I +.
NO > BK UV 279) [ad] BN (29) [ur] XA (2r) [ad] AN 047
hinc video mutari poffe conftruétioném ut pro A\°AXO fumatur BKL. et pro— lat.

reéti fumatur 340 "h

CoNSTRUCTI0O.

Sphæroidis lati axis eft BL, feétio per axem ellip-
fis ABOL cujus diam. maxima AO. BD > NO, five
D eft focus.

NV ND. BVL eft parab. axis VN. Sicut linea

parabolica ad 340 ita fuperf. fphæroïdis ad circu-
lum OA.

Circulus cujus femidiam. eft media proport. inter OA et curvam BVL, æqualis
eft fuperficiei fphæroidis ?).

‘ 2

7) C'est-à-dire: ce — long. par. AGN; DE === 3"

8) Voir la ,Constructio” qui suit, où cette modification est apportée.

9) Ce résultat fut communiqué à de Sluse dans une lettre du 26 février 1658 (voir la p. 141 du
T. IL); on le retrouve aussi à la p. 39 du Manuscrit N°. 13 (mentionné dans la note 5 de la
p. 235) et de même dans l’, Horologium oscillatorium”? (p. 75 de l'édition originale) après la
#Prop. IX” de la ,,Pars tertia” sous l’en-tête : ,Sphæroidis lati sive compressi superficiei cir-
culum æqualem invenire”.

320 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

$ 4°).
3 Febr. 1658.

AT 5% g. lat. re&. Ellipfs A[N]T[X] % r. [AB > x; BW *) % z]. Super-
ficies QAZ partis fphæroidis, ad circulum QZ, ut fpatium WFACY ad qu.QB :).

[Fige 5.] Lagrr— gg?
f TEST + gx 50 xx 4)
H A
| K { ne nd M à io
Es 4 ao)/# gr —1T A
PE | & x ab
i m [ad] p [id eft] gr —rr [ad] gg [ut] J/ gr [ad] HE
LA Lie tR
m

AL®)50-r. RG media inter RL, RA , ergo RG

Lag—2ar. Ue RG

+? :
ad RA ita hæc ad RO, ergo RO > V'Æ, % RH % RP.

1) Application de la nouvelle méthode à la quadrature du sphéroïde allongé.

?) BW représente la longueur de la normale au point Q, comptée de ce point jusqu’à l'Inter:
section avec l’axe AT. *

3) Consultez la méthode exposée au $ 1, p. 314.

" Cette équation et les trois lignes qui la suivent ont été copiées d’une autre feuille détachée;
comparez la note 2 de la p.314. La déduction de l’équation se trouve sur la même feuille,
mais nous l’avons supprimée parce qu’elle est entièrement analogue à la ARE de
l'équation correspondante du $ 3, p.318. 4: f2

5) Voir la note 1 de la p. 318.

5) Cette proportion s'explique d’une manière analogue à celle que nous avons PI

dans la note 4 de la p.317. Comparons, à cet effet, la forme générale y = # — Le+

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 321

cri qu. RH si qu. AH utgadr, ideo RH ad HA ut : ad ATS hoc eft ut RA
à RN. Si: ND HRT , et RH Barall, DN. Eft autem D focus ?). |
PROPPENER fpharoidis tro La NAX ad circulum NX ut sé AFNKT ad
Eu se sa

——_———
4

“focus AFNKT in ii [ideft] he 042 [ita]

A#LT , die tERL : Ê
< FE F |
OSIGI Peu OT EME do LEE A rm
+ | ARS + ox — + de l'équation de l’ellipse, obtenue par Descartes (p. 399 du T. VI
bé F | à I 7.
—QF — qqxX
dé l'édition d'à dut et Tännery), aux ue K dns 4 ét y —
SUiTr81 1: hifi 135 Al nr LL, ee ei ; 4 ar FC LA À :

Cra— Pa dans lesquelles l'équation de elipse: NOKMN peut être écrite si l'on

> PE NX | pour axe des x et R ou N° pour origine, et si l’on représente par s’ le, latus
rectum?” par rapport à l'axe NX et par q' la longueur de cet axe. On trouve alors:
11 2140 1 PAC STI \ :

s1xù déc HF Fai ne DE DATE RS UE IEEE à DORE: CDD 2

où 7 '=NX, le petit axe de l’ellipse DANS est égal à ÿ/4r, d'après u une formule bien
connue.

7) D’après la même formule, mentionnée dns la note précédente, on a MO = 2RO— var
# — Var V” FE + |
7x qg—r ; »

#) Dans les trois lignes qui suivent il s’agit de trouver une construction pour RO qui, avec NR,
+ détermine l’ellipse NOXMN dont il s’agit de carrer la partie AFNKTA , afin d'en déduire
la quadrature de la surface du sphéroïde en question.
9) Simplification de la construction de RO—RH. Il suflit donc de dévérrsiner le foyer D de
+ d’ellipse NAXTN ve tirer durer m1 ds RH et ot a sont parallèles respectivement
:àaDNetaRN. 4
19) Comparez le premier alinéa du préierit rester

41

322 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

1 | | 1
PTT sd 1e
qu.NR Gr) [ad] aliud fpatium Von 4 »h[oc] et 2
hoc applica ad OM > Le , fel/vg x OI > =RN.

LUE jam “oe fphæroïdis dimidij NAX ad cir-
[Fig 5]. culum NX ut fpatium AHPVT ad CJM. fit AS
perpend. in RH. Itaque fparium AHPVT æquatur []°
fub RP et HP?) + AS, quarum AS æqualis fupra
oftenfa eft ipfi RN 3). Ergo diéta fuperf. ad diétum
cireulum ut [7] fub PR et HP + NR ad [JIM ., hoc
_ su eft [2 fub RO, five RP, et RN. Undeabjcéta cém-
ei muni altitudine PR, erit dita fuperficiei ad circulum
Li R | ratio ea quæ HP + NR ad NR. Et duplicatis antece-
NI f dentibus erit tota fphæroidis fuperf. ad circulum FU
\@ ut HPV + NX ad NR. HS, [be PARENTS
Ergo conftruétio eft hæc [Fig. 6]. Sphéroidis |
oblongi axis eft AT. feétio per axem Ellipis ANTX,
minor axis NX. ND > RT five D eft focus Ellipfeos.

"| ?
Di

H /

FN j>

\ « 16117 9 À 4, ; a:
1) On a doncsurf. A vai Le .Or, écrivant le dernierterme
3 de re
sous la forme EX V7 ra: on aperçoit que ce terme peut être RE de du pe un

rectangle dont les côtés sont égaux à MO et ENR, pa Fa (ES. par le rectangle M. .

2) Il s’agit de l’arc HP.

3) On rencontre, en effet, dans un coin de la feuille dont nous empruntons cette partie du texte re

le petit calcul qui suit,:
KW Ho
DURE,

sq Rue) [ad]q. AH Cast tee Gn) cas AS -

fra.
IS PR PET FUN Rial ist de

4) Cette TO ER la ligne RH de la Fig. 5 à laquelle elle est égales vor testignes HT
de cette dernière figure. purs 254 of 5h sr AE

5) C’est sous cette dernière forme que Huygens a donné sa quadrature de la vsicfnciiden
roïde allongé à la p. 39 du Manuscrit N°. 13, sur lequel on peut consulter la note 5 de
p.235, et de même dans |’, Horologium oscillatorium’” sous l’en-tête pad ï
superficiei circulum æqualem invenire” (p.74 de l’édition originale). mt

PT SEE

done on à

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 323

TO parallela DN +). TSA eftarcus circuli defcriptus centro
O radio OT. Sicut TSA + NX ad RX, ita fuperficies
fphæroïdis NAXT ad circulum NX.

Vel, fit D focus. fuperque AT arcus AST femidiamerro
x certia proport.i duabus RD, RT.
Vel potius, fit TO tertia prop. duabus RD, RT.

Circulus cujus femidiam. media eft proport. inter RN et
lineam æqualem AST +NX, æquatur fuperf.eifpheroidis 5).

Sphæroidis feétio per axem eft ellipfis [NAXT] $) ejufmodi ut latus tranfv.
[AT] fit fefquitertium lateris re&i. Dico fuperficiem conoidis ad circulum per
centrum cujus diam.[ NX] effe ut triens peripheriæ circuli una cum fua fubtenfa
ad ejufdem fubrenfæ femiffem 7).

H°),F funt foci. five CH % GA. FEHcircumf. centro C.
Semifuperf. fphæroïdis ad maximum circulum CD ut feétor
CFEH cum ACFH ad ACFH ?). vel ut arcus HEF cum
perpendiculari HP ad HP.

. Ergo fi axis fphæroïdis oblongi ad diametrum eam habeat
rat." quam radius circuli ad perpend. quæ ex centro in latus
cadit alicujus polygoni ordinati circulo infcripti, Erit dimidia
fphæroidis fuperf. ad maximum in eo circulum ficut circulus
una cum illo polygono infcripto ad ipfum polygonum.

5) Afin de ne pas multiplier inutilement le nombre des figures nous avons adapté les notations
qui suivent à celles de la Fig. 6.

6
dans le cas général (d’après le premier alinéa de cette Lo À -

surf. sphéroïde : cercle NX = (ES « + Var): Var,

et cette proportion se réduit au cas particulier en sf 0 à celle-ci:
surf. sphéroïde : cercle NX = (Er +y DE :— 1/3

8) Les cinq alinéa’s qui suivent ont été empruntés à une autre feuille détachée; comparez la
note 2 de la p. 314.

3) Ce résultat fut communiqué à de Sluse dans la lettre de Huygens du 26 février 1658 (p.141
du T.II).

7) Dans ce cas, où 4 — FA l’angle DNR égale a. Or, si cet angle est représenté par æ, on a

324 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Fig. 6.] Si [AST]:) fextans peripheriæ erit — fuperficies fphæ-

roidis adcirculum maximum [NX ],ut Birch infcripto
fibi hexagono ad ipfum hexagonum. atqui ita porto, fi i peri-
pheria [ AST ] metiatur circumferentiam.

Ut autem fiat commenfurabilis debet [TA] ad ENX eat
habere rationem quam radius circuli ad perpendicularem
quæ ex centro cadit in latus polygoni alicujus i infcri ti quia
videlicet [AT] ad. [NX ut ce La qe [ND] ad)
eft [OT] ad [OR].

Sive [AST] ME non fit commens. a en
erit femifuperficies fphæroïdis vi circulum LR ut FAR
Ag li cum A[OAT] ad ATOAT]. PE RQERS TRI FA |

rt $ FEAR
HTL'T TI

it fig

[DEux1ÈME PARTIE] di: :

“k È Er ait Fu
gr Vues de > be à DU ses

Dato pin ea MT quovis lato feu
compreffo, potest inveniri con:
des hyperbolicum, veldatohyp |
bolico poteftinveniri fphæro ides
et utriufque fimul fuperficieiin-
veniricirculus æqualiss). Huc per-
tinent quæ hac et proxima pagina conti-
nentur 4). k

SO, ST, OX debent effe proportionales
five OX : 1. reét. s) TX eft ur |
centr. s vertex T°). Ergo data eft. datum mi
ideo hyperbolæ lat. rectum et diam. hi RE
gata ?). | re

Invenienda autem eft ds BG, quæ idem
habeat centrum S et eandem diam." conjuga-

Ge
FE

1) Voir la note 6 de la p. 323. | 100 Put 451 /u 08 DONS
?) Cette partie se rapporte à une nouvelle découverte, faite avant le 15 février 1658 pr la

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 325

tam a hyp. TX. utque, pofito V foco hyp. BG, finc grobôrtionales ST,
SB,S

His enim faétis, ferviet hyperb.TX, tam fuperficiei fphæroïidis dimid, LOT
dimetiendæ quam fuperficiei conoidis hyperbolici BG ®).

Oportet autem ad hoc, duéta BA tangente, ducere ex À reétam AR quæ
abfcindat portionem AXR 2% XAT. quod fieri poffe docetur pag. fequenti ?),

Eoautem faéto, erit fuperf. ex BGH hyperb. ad circulum TL ut fpat. RXABK ad

= qu.ST 1), Superf.autem dimidij fphæroidis TOL ad cireulum TL ut fpatium

TAXOS ad qu.ST #1). Ergo utraque fimul didarum fuperfic.m ad utrumque
fimul fpatium RXABK, TAXOS, hoc eft ad duo: trapezia RABK, XTSO, ut
circulus TL ad —qu.ST. Et permutando. quare duarum fuperfic.m ad cire, TL

data erit ratio.

lettre à de Sluse citée dans la note qui suit). Elle est empruntée à une feuille détachée de
quatre pages. Huygens y établit une relation entre les quadratures des surfaces du sphéroïde
aplati et du conoïde hyperbolique. Consultez à ce propos les p. 192—195 de l’Avertissement.

3) Comparez la lettre à de Sluse du 15 février 1658 (p. 134 du T. Il) où ce théorème est men-
tionné par Huygens. On le retrouve de même à la p. 76 de l'édition originale du ,, Horologium
oscillatorium”.

4) Nous avons reproduit ces considérations dans ce & 1 de la deuxième Partie.

5\ D’après la règle mentionnée dans la note 3 de la p. 318; le, latus rectum” dont il est question
est celui de l’ellipse TOLM par rapport à l’axe OM.

é) Remarquons que cette hyperbole est identique avec l’hyperbole VAR de la Fig. 3 dela p.318

de {a quadrature de laquelle Huygens fait dépendre celle de la surface du sphéroïde en 2.

_ Eneffet, en posant x = 0 dans l’équation de cette dernière hyperbole, on trouvez — r= = VB,

d’où il suit que la ligne VB de la Fig. 3 est identique avec la ligne OX de la présente
figure.

1) En représentant OM (identique avec BL de la Fig. 3 de la p. 318) par g et par r le , latus

rectum” de Pellipse OLMTO par rapport à l’axe OM, on trouve pour ces données, d’après

pr 3
les calculs de la p.318, les expressions © V4 rer
rr—qr L 7—4

”) Comparez le $2 de la Première Partie (p. 315—316), où l’on doit remarquer que le point
R de la Fig. 2 de la p. 316, foyer de l’hyperbole BGA, est identique avec le foyer V de
l’hyperbole BGH de la présente figure.

9) Consultez le ,,Problema L”, p. 327 qui suit.

19) Comparez hi: proportion au début du $ 2 de la Première Partie, p.315, et remarquez qu’on
peut remplacer le deuxième et le quatrième terme respectivement par un cercle quelconque
et par la moitié du carré sur son rayon.

11) Comparez le $ 3 de la Première Partie, à la p. 318.

326 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Fig. 8.] [ST #:);, OS xp; SBæx]
qu. OS qu! sr . . [nd] qu. XQ
Chp) Tue] gl: er. Cm) ad]
Ur. Chyp.] TX Gti sn 5)

mÇult.]
=. tr. ñn vo.

Z q. lat. conj. q. SZ 0 2° sat
q. SB sk, ‘4
q. ST (nn) [ad] q. SB (xx [ut] q- .SB Ga), à

[ad]qu. SVG) s). V focus BG.

4
fit = P 2 ee; X4 90 nnee LE nnXX

M 5 36 6 0008 ue
xx 00 mm + n 4 ps He, “ ; es ve
x me + Vs cv se nn

1) Dans ce qui suit Huygens procède au calcul des données qui déterminent le conoïde “hyper- ï
bolique HB qui convient au sphéroïde LOTM. À cet effet il calcule d’abordle, latusrectum”
de l’hyperbole RXAT afin d’en déduire par la règle mentionnée dans la note 3 de la p.318 :
le demi-diamètre conjugué de cette hyperbole qui est égal; d’après un des résultats '
au 2 de la Première Partie (voir l’avant-dernier alinéa de la p. 3 16), au diamètre senigené 4
de l’hyperbole BGH. Ponte

?) Par construction QS—OX est égal à ST?: OS; voir(p. 324) 1e abiuiene iris
paragraphe. D 0.

3) Voir la , Prop. XXI” du ,, Libr. [”? des , Conicorum libri quattuor” d’Apollonius, cités Méo .
la note 12 de la p. 300 du T. XI, et remarquons que le rectangle sur LQ et FREE
question dans cette proposition , est égal à QS?7—ST?. fe

#) Il s’agit maintenant de calculer SV, où V représente le foyer de déni HGB. Ona a one de
SV?=SZ? + SB?, | Met

5) Comparez (p. 324—325) le troisième alinéa du présent paragraphe. Pa

5) Voir le ,Problema IL”? qui suit. tee RS

7) Puisque la démonstration de Huygens qui va suivre n'est pas complète nous en n donnons ici de
une autre, afin de montrer que la construction élégante qui. précède estlégitime. nr) 004:

Représentons à cet effet par 7’ le demi-diamètre DK, par Z' le demi-diamètre qui u est ai

conjugué, par 4 l'angle DKN, et soit enfin KL = kg’. On trouve si9p Rp PAL ES à
FKE l'expression :

APE E Are qe -

au o TS.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 327

[PRoBLEMA I.]

ABC eft portio hyperb. centr. D. diam.
BG. E eft punctum in hyperb, datum.
Oportet ducere EF, quæ abfcindat por-
tionem EKF > ABC.

.. Confcr. ut DB ad BG ita fit DH ad HE. Er fit
tangens HK9), ec EF parall. HK.

Duéta enim DKL, erit DK ad KL ut DH ad HE,
hoc eft, ut DB ad BG. Ergo portio FKE ABC ut
hic demonftrabitur ?).

Jungatur KB [Fig 10] Et fit BR parall. KN.
KQ paral. AC. Ergo quia NK eft tangens, erunt
proportionales DN, DB, DP, ut in hac pag. fupra

oftenditur *).

Ergo DK ad DO ut DB ad DP. Ergo /\KBO
2 /\KBP ?). Ergo et portio KBQ æ portioni BKR.
Nam hæc confequ. oftendi poteft °).

Sed AFKE ad ARKB ut /\ABC ad AKBQ
quia DL fimiliter divifa in K, O, ac DG in B er P :”),
Ergo A\FKE > AABC. Ergo et portio FKE >
portioni ABC ’?).

orage a k
té < sin () Î V/x?—4? dx, ou bien (en substituant x — 14), 24'b'sin 0 Î VA 17 91.
a!

PU Or, puisque #'2'sin 0 est invariant pour une hyperbole donnée, il est évident que l’aire du
segment d’une telle hyperbole ne dépend que du rapport &— LE et, puisque ce rapport a par

construction la même valeur pour les deux segments, il s’ensuit que leurs aires sont égales.
LENS Consultez encore sur cette propriété del’hyperbole la note 1 de la p. 194 de l'Avertissement.
_ *) Voir le calcul (p. 328—329) à la fin du présent paragraphe. |
_ 2) Puisque, en conséquence de la proportion précédente, la droite OP qui réunit les sommets
de ces triangles est parallèle à leur base commune KB.
19) Cette démonstration nous manque, mais il est évident que la conclusion est légitime. En
… effet, les diamètres KO et BP divisent chacun des segments BKR et KBQ en deux parties
égales. Or, en ajoutant aux triangles égaux OKB et PKB le segment KB on voit queles parties
__ OKBet PKB sont égalesentre elles. | LR
OR Pie de 01 AFKE -KE,:LE : KL;;yDL*—DK° BG
| 1?) Puisqu'on a dans ce cas "ARKE KO "4 OB—KO X D07—DK: — BP X
LWDG=DE BG,,GC_ AABC
: XPDP:= DB: BP PQ AKBQ

e raisonnement manque de précision, mais probablement Huygens s’est assuré de l’exacti-

| DT

328 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Pro8LeMA Il. ]

[Fig 11.]

AB eft hyperb. D centrum. C punctum
datum non extra afymprotos ‘+: CB du-
cenda tangens.

Conftr.° DCA lin. reéta. DC, DA, DF propor-
tionales. AG tangens, FB parall. AG. CB es tangens
quæfita.

Quia enim FB ordin. appl. ad AF s), funtque
proportionales DF, DA, DC. Erit CB tangenss).

[S centrum; OA > 2 AS % g; AM 4, NM on PERS
g+aOM#) g+4-y[ON]

ne a—Y
aj+an [id] ag+a-sa- plu fad] à
42-02) Ep)
AGXX — 204) + AUXX — LAUX) D Ms + aa
7 24YXX — XX) & see
— 244 — 244 D — 2AX — GX A
204 + 244 | 4 ds.
2 0 x RU
24+q ii
SM > —q+4 4)
244 + 244 deect ji F
24 + q de
ï RE Fan .
; SF 17 BE 4) ré
T° 24+q MR #

tude de sa conclusion par des considérations plus ou moins étain sur des paratlél ) |
élémentaires qu’on peut circonscrire ou inscrire aux triangles et segments ‘en question.
En effet, après avoir divisé DL et DG dans un même nombre de parties égales,on peutremar-
quer que, pour des divisions correspondantes, les parallélogrammes élémentaires asus
dans les triangles FKE et ABC sont égaux, puisque les triangles le sont eux-mêmes de
ces parallélogrammes ont des rapports égaux (dépendant du nombre ordinal de la ivis sp
aux parallélogrammes inscrits dans les segments hyperboliques. On en conclut à li s de
ces derniers parallélogrammes, et, par suite, à celle de leurs sommes qui à la limite se con |
fondent avec les segments en question. MAT ‘e

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 329

54 \9
SM( 4 + 4)[nd] SA (2) [ut] SA (2) [ad] SF 1E TE ) bon.
[Fig. 13.]
4 $ 27).
Sphæroides compreffum.
Axis sphæroidis CM #).

LR< É Ut conveniat hyperbola
JE AD Ellipñ AC debent effe
{| prop.ss CB, BA, CD five CD

/

1
eo) S. reét. ?) Ut autem con-

veniat hyperbola AD hyper-
e) E bolæ FGL, debet fumptis

ON BA, BF, BE propor.bus, efle
, » E focus hyperb.FGL *°).

B centr. FD vel CB % .
4 L ? pr Let.

1) Les trois mots qui précèdent ont été ajoutés après coup à une date inconnue.

#) Puisque BF est parallèle au diamètre qui est conjugué à DF.

3) Voirle calcul qui suit où Huygens démontre l’existence de la proportion DF : DA = DA : DC
dans le cas où BC est la tangente à l’hyperbole au point B. La proportion avait d’ailleurs été
indiquée par Apollonius; voir la note 4 de la p. 341, qui suit.

#) Pour déterminer la tangente au point C de l’hyperbole CGA Huygens se propose d’appliquer
la méthode de Fermat exposée à la p. 20 de notre T. XI.

5) On a CM: : GN:—FM:: FN:, mais d’après la ,, Prop. XXI” du ,,Libr. [” des ,Conicorum
libri quattuor” d’Apollonius, citée dans la note 12, p. 300 de notre T.XI, on peut remplacer
le premier de ces rapports par celui de OM X AM à ON X AN.

5 Vérification de la proportion employée dans les démonstrations qui accompagnent les ,,Pro-
blemata” I et II qui précèdent.

_ 7) Dans ce paragraphe Huygens s'occupe du cas spécial où les points À et X de la Fig. 8

(p: 326) coïncident. En effet, ces points sont remplacés dans la présente figure par le point
D et de même les points Q et B par le point F. En ce cas la relation exposée au 1
Cp. 324— 325) se simplifie notablement. Ajoutons que le résultat obtenu dans ce paragraphe
est mentionné aux p. 76—77 de l’édition originale de l’,,Horologium oscillatorium?.
#) On remarquera le double emploi de la lettre C dans la figure. Nous désignerons par C le point

sur l’axe CBM et par C' celui sur l’axe BA.

2) Comparez l’avant-dernier alinéa de la p. 324. CD est donc égal à la moitié du ,,latus rectum”
de l’ellipse ACHM par rapport à l’axe CM.

19) Consultez le dernier alinéa de la p. 324.

11) La ligne FD de la présente figure correspond à la ligne BX de la Fig. 2 dela p 316. Or, on

42

330 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

BA [ad] BF hfoc]efft] BF ad BE *) ut BD ad BO*). Ergo OGE reéta linea :).

DA paral. OF +).
Spatium QDFP x QODRAP quia QDO 5 ODRA % DRAF 5). Spatium
| re&ilin. QODF Ps À QAP
rs quia AODA » /\DAF 5.
Sicut fpatium QDFP (>
; ® QODRAP) ad —-qu.
BA —-bbita fuperf. LGF
2 > F conoidis ad circulum à
’ FA rad.b7).
| Sicut fpar. DRABC ad

—qu.BA 9 —bb ita —
2 ; 2 2
ÿ x: fuperf. fphæroiïdis HCAM
( NS cujus axis CM (vel ita fuper-
- ficies tota fphæroidis KSTI
fumtis BK et BS potentia
fubduplis ad BA et BC)ad

— circ. à rad.b®).
Ergo ficut totum fpat.

QODCBAP ad fuperf. conoidis FL et fphæroidis KS ita bb ad circ. à rad.b.

dns ?

Et permutando fpat. QODCBA P ad bb ut fuperf. conoidis FL + fuperf, fphæ-
roid. KS ad circul. à rad. 2.

trouve la longueur de BX en posant x = o dans l’expression - a pour CD (p. 315),

où r représente le ,,latus rectum” de l’hyperbole AGB qui correspond à l’hyperbole LGF de
la présente figure.

+) Voir la proportion qui précède et remarquons que le point E est donc un point de l'axe VP, qui
est déterminé par cette proportion. On ne sait donc pas d’avance que la droite OE est paral-
lèle à DF, c’est-à-dire perpendiculaire à AP ; mais Huygens va démontrer qu’il en est ainsi.

2) AQ est supposée parallèle à la tangente DC’ au point D. On a donc, d’après la proportion
déduite à la fin duS 1, p. 328—329, BA : BF — BC’: BA — BD : BO. De cette manière
l'égalité des demi-segments ODRAO et FDAF est assurée (comparez la note 7 de la p. 326)
et cette égalité suflit comme on le verra bientôt pour pouvoir remplacer la somme des
figures QDFPQ et CDRABC par celle de deux figures rectilignes.

3) EG qui correspond à la ligne VG de la Fig. 8 (p. 326), était primitivement la perpendicu-
laire élevée sur l’axe de l’hyperbole FGL au foyer E de cette courbe.

4) Puisqu’on a BA : BF — BD : BO.

5) Comparez la note 2.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 331

CB > x; BA bp
x [ad] 2 (rar. BA: BF») [ue] BF (22) ) [ad] BE (2) ":)

BF(Ÿ 2 [ad] FD (x) [ut] BE (É2) [ad] EO (6). Ergo PQ ° 24

BE (a

BA (b)
NT)

: 2b3
GasPr (oral) pr
| .
LFP mrpQ | FD
… (E£-268)AQAP s fpar. QODFP Gb)CTEC.
Gb)CIFC
22 5500 fpat. QODCBAP
CN dr à bs 2
ri "0 Fi »q.BE
ps
3x BF
Le ad]lirfiden]? D pad x Que] En (SE
4 [ad] q. GE mas)"
; 6 . cause du parallélisme des lignes OF et DA. de

7) Comparez le début du dernier alinéa de la p. 325.
"7 Comparez le s: de la Première Partie à la quatrième ligne d’en bas de la p. 318.

Le, BA :BF—p:— F (voir la note suivante) = x. 2.

*°) Puisque BEF — CD est égal à la moitié du ,,latus rectum” de l’ellipse ACHM par rapport à
l'axe CM; voir la note 9 de la p. 329. (
#1) Voir la première ligne de la p.330.
ï 1 Huygens va rechercher sous quelle condition se réalise le cas spécial qui l’occupe dans le
_ présent paragraphe. Quel doit être sit le rapport des axes CB —x et AB— 2 de l’ellipse
__ ACHMA?
_ 13) Voir la ,,Prop. XXI” du Libre, [” des “tbbicokie libri quattuor” d’Apollonius, que nous
venons de mentionner dis la note 3 de la p.326. V est l’autre sommet de l’hyperbole

332 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

x 20 — bbxx + bt; xx > V/ 56-15; HAE
AA

AB (b) [ad] BC (x) [ur] BC (x) [ud] [20] + 1Lr. Ellipfis AC

D V/ 5% "#4
4 2

BA 2 boo — lat. tr. Ellipfis AC. BA divifain N [Fig. 14]

td : ‘ : I
| fecandum extremam et mediam rationem. major pars NA eft— |

/ lat. retum Ellipfis AC.
“ D Hyperbolæ AQ lat. reét. æquale transfv.° *) nimirum 2°).
3
\ ë

F à qu.BA (68) [ad] fpar. QODCBAP (2 — #3)
[ut] cire. à rad. ? [ad] utramque fuperf. 3)
xx [ad] 4bb—2xx [ut] “ [ad]

0) 506-Lotad 50525) Sbbque] = (Ml 4
=Vs--ladls-Vslu] bb [ad] 2V50b 2bV553

Ergo L/20p/50b æ rad. circ. duabus fuperf.bus æqualis. Hæc melius in
adjuncta pagina).

LGF. On a donc VEXEF —(BE + BF)(BE—BF)=— _BE+ BF», De plus, GE, l’ordon-
née de l’hyperbole FGL, qui correspond au foyer E, est la moitié du #latus rectum” de cette
hyperbole. On a donc GE=—DF — CB=x, d’après la note 1 r de la p. 329.
") On a d’après la Prop. XXI d’Apollonius, citée dans la note précédente:
b4 " *
l.tr.hyp.QDA _HAXAF _BF2—BA:_x? GE: Hoi get

LARIRQDA de DFs.. à «1 DFP ose ei 080

“4,

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 333

& "BEo [Pie 13] feéta eft in À fecundum extremam et mediam 5). de ad AE ut
BA ad + = nl reét. ca AC TA ai AP 1. r.Ellipfs AC > _. quæ ante

inventa fuie 2e ar: rh Le

ER S Ai 1 çH

; ‘
ST rt UT ir 0XX

«4 M) de AP

(4 m da ao
Miamatt aibionon as Gti 2XX AQAP
ad: "# be Et tops) fie 81 bbC]FC
= jeries dongle Ce] fpat. Qoncrar Cars + DD) Cut] bb [ad] 4x + 20°)

|
ses eme ‘ Ed] bV/ 508 5h) [ut] bb[ad] 251556

: Ergo ax + 2bb + 2bbh. duc CM + — = qu. HA æquatur radio circuli qui

| ere ralis et fuperficicbus fphæroidis STK et Gide hyp.i FLP.
atur pot ius |/ Che TK + 2 qu.Sl ir

HUIGS rs Les À 16) EI s

ne | Confersn) ! Sit [Fig. 15] datum Pi che Fe cujus ceutrum O,
_ axis SI, diameter TK.
Sumatur BC potentia dupla ad LE Et BA porentia” dupla

Mn PEL w à: 33h

_ 3) Voir le dernier alinéa de la p. 330.
- dd oir (p. 333) la dernière partie du présent paragraphe.

_S) Puisqu'on a BE (& DBAGD= Fix (vs +)

ke .f) Ontrouve, lorsqu'on applique la propriété Font de la division en extrême et moyenne
rais n , BA: 4 AE= BE (Ce + : BA( 5)= BA OEs 7 ,où F représente la moitié du ,,latus

fecturn” de« ipse ACHM par rapport à l’axe ess

4 D Ed la p. 331,1. 7. C’est dans l'emploi de l'expression plus simple © _—. que consiste l’amé-

oration à la quelle Huygens vient de faire allusions
8) Compar z les proportions en bas de la pagé précédente.
LV Puique, par construction, HA=TK. y/2et CM= SI 1-2.
1°) On retrouve cette construction au lieu cité dans la note 7 de la p. 329. Elle n’est valable,
comme 1e Huygens le e fait observer dans l’ »Horologium oscillatorium”, que dans le cas où OK
et OS? : OK [Fig. 15] sont entre elles comme les segments d’une droite divisé en extrême
et moyenne raison.

334 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Fig 15.] ipfius OK. Et fint quatuor hæ
continue proportionales BC,
BA,BF, BE’). et ponatur EP -
DEA. Ecintelligatur conoides ;
hyperbolicum FQN, cujus axis

FP axi adjecta fit FB five _

INT URERTS UNS £

3 | q
Ltr.;=latus vero rectum LÉ 4

2 ‘4
c£ Dico hujus conoidis fuperfi- :
4l ciei una cum fuperficie fphæ-

roidis TK æquare circulum cu-
jus femidiam. poffit quadr. TK
cum duplo qu.° SI.

£f E eft umbilicus hyperb. QFN 3).
Nota quod etiam BC ad BF hoceft
e Fa n lat. reétum hyperb. QF ad latus tranf-
verfum eam habet rationem quam lat. 4
rect. ellipfis SK ad fuum lat. tranfv. TK #4). hoc eft quam major pars ad totam 2

linea divifam &xpoy xæ} éaov Aëryov S).

[TROISIÈME PARTIE ] ©).
3 Feb. 1658.

Sphæræ fuperficiei Archimedes circulum æqualem dedit7), nos fuperficiei
conoidis parabolici *).

1) Les points B, A, F,E, P correspondent aux points homonymes de la Fig. 13 (p: 330),
tandis que BC représente la même longueur dans les deux figures. se. on a, d’après ce

qui précède, BC (x): BA (2)= BA ():BF (Z)= BF er BE 2)
?) Comparez la note 11 de la p. 329.
3) Voir le dernier alinéa de la p. 329.

4) Puisqu’on a BC(x):BF Æ = Ve : TK (2/2), où Ve 2 représente le platus rec-
tum” de l’ellipse STIK par rapport à l’axe TK. pe E C7

ee . de na ÉD CE ro re Lan
TS à ing nd de à dde cd TR pe
LR tb mn me em rés =

Li

b° hi
5) C'est-à-dire ,en extrême et moyenne raison”, puisqu'on a, en effet, x: ue = 3° : =

Cvs—+).: 1; voir la note 5 de la p. 333.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 335

Si vero detur circulus æqualis fuperficiei fphæroidis cujufvis data erit quadra-
eura circuli, et hyperbolæ quadratura. Nam fi fphæroiïdis oblongi fuperficiei cir-
culus æqualis decur, data erit circuli quadratura, ec contra ?). Si autem fuperficiei
conoidis lati circulus æqualis detur, data erit quadratura hyperbolæ, et contra *°).
Data autem hyperbolæ quadratura, datur longitudo lineæ parabolicæ, etcontra ‘*).
Ergo data hic longitudine lineæ parabolicæ datur etiam circulus æqualis fuperficiei
fphæroidis lati. Rurfus, dato circulo qui æqualis fit fuperficiei conoidis hyperbolici,
datur quadratura hyperbolæ **?), ergo et longitudo parabolicæ lineæ; et circulus
æqualis fuperficiei fphæroidis lati. Et contra ex fuperficie fphæroidis lati innotefcit
fuperficies conoïidis hyperbolici. Data autem unius fphæroïdis conoidifve hijper-
bolici fuperficie datur infinitorum aliorum diffimilium; quoniam &c.

dato fphæroide lato poteift conoides hyperbolicum inveniri, vel dato conoide
hyperbolico poteft fphæroid. latum adinveniri et utriufque fimul fuperficiei circu-
lus æqualis effici exactè *).

Sphæroidis omnis oblongi fuperficies æqualis eft circulo, cujus femid. media
proportionalis inter femidiametrum fphæroidis (hoc eft dimidium ejus quæ per
centrum ducitur axi ad angulos reétos) et lineam æqualem utrisque, diametro
fphæroidis et arcui peripheriæ defcriptæ fuper axe fphæroidis, cujus peripheriæ
diameter fit ad diétum axem ut axis ad diftantiam umbilicorum in seélione per
axem ‘{).

Sphæroidis omnis lati fuperficies æqualis eft circulo, cujus femidiam. eft media
proportionalis inter diametrum fphæroïdis et lineam parabolicæ portionis reétam
cujus bafis fic axis fphæroiïdis, alticudo verd æqualis quartæ parti diftantiæ
umbilicorum in feétione per axem *$).

6) Dans cette Partie, empruntée à une feuille détachée, Huygens résume les résultats obtenus
dans les Parties qui précèdent.

7) Voir l'ouvrage ,,De Sphæra et cylindro”, p.1—54 de l'édition de Bâle; Heiberg, I,
P.1—9255.

8) Voir le $ 1 de la Première Partie, p. 314.

9) VoirleS 4, p. 320—324.

19) Voir le $ 3, p. 317—319.

11) Comparez les, Theoremata VIII et IX”, pp. 249 et 253.

13) Voirle 2, p. 315—316.

13) Comparez la Deuxième Partie, p. 324—334. |

14) Comparez le troisième et le quatrième alinéa de la p. 323 et la Fig. 16 qui suit.

15) Comparez la ,Constructio” de la p. 319, et la Fig. 17 qui suit.

336 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Fig. 16.]

DH > CB. H umbilicus. BG parall., HD.
CL media inter CD et DE + AFB.

fuperfic. fphæroidis ad fuperfic. fphæræ infcr.
ut DE + AFB ad 2DE.

PO PT |

Li

H umbilicus. CF — CH. AFB parab.

CL media inter DE et AFB.
fuperficies fphæroïdis ad fuperf. fphæræ
circumfcr. ut AFB ad DE. |
ad fuperf. cylindri circumfcer. ut AFB
ad AB. NT CES

3 Feb. 1658.

1) En 1659 Huygens s’est occupé de nouveau de la quadrature des surfaces des sphéroïdes et des
conoïdes hyperboliques. Évidemment c’était son intention de procéder à la rédaction défini-
tive d’un traité qui devait contenir, avec la rectification de la parabole, ses découvertes sur
ces quadratures, et peut-être encore d’autres inventions géométriques, p.e. la quadrature
des courbes paraboloïdes et hyperboloïdes (voir la Pièce VIIT, p. 273—293). Ainsi la Qua-
trième et dernière Partie de la présente Pièce, qui occupe les p. 103—113 du Manuscrit
A, nous donne en premier lieu un projet de préface, d’où il résulte que Huygens s'était
résolu enfin à s’émanciper en partie de la méthode de démonstration archimédienne. Ensuite
on y trouve dans une forme très achevée la discussion des coniques auxiliaires dont il s’était
servi dans la Première Partie (p.314—324) afin d'obtenir la réductionde la quadrature des
surfaces prémentionnées à celle de l’hyperbole ou du cercle; lesquelles courbes il se proposa,
d’après une annotation qu’on trouve dans le projet de préface, de désigner comme courbes

adjointes (,adjuncta”) aux courbes méridiennes des surfaces à considérer. Sans doute
Huygens a voulu faire suivre après les ,Theoremata 1—1[1” (que nous réproduisons aux

DEN AL ENT. Cu

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 337

[QUATRIÈME PARTIE] *).

Aliqui per indivifibilia. Sed falluntur fi pro demonftratione ea venditent *).
Cæterum ad fidem faciendam apud peritos haud multum intereft, an demonftratio
abfoluta tradatur an fundamentum ejus demonftrationis, quo confpeéto non dubi-
cent demonftrationem perfeétam dari poffe. fateor tamen etiam in hac rite infti-
tuenda ut clara concinna omniumque aptiflima fit, peritiam et ingenium elucere,
uti in Archimedis omnibus operibus. verum et prior et longe præcipua eft inve-
niendi ratio ipfa, hujus cognitio potiflimè deleétat atque a doétis expetitur,
quamobrem magis etiam hæc methodus fequenda videtur qua brevius clariufque
comprehendi et ob oculos poni poteft. Tum verd et noftro labori parcimus in
fcribendo, et aliorum in legendo, quibus vacare tandem amplius non poterit,
ut ingencem multitudinem Geometricorum inventorum quæ augetur in dies
doétoque hoc fæculo in immenfum porro exitura videtur, evolvant, fi quidem
prolixam illam ac perfeétam veterum methodum fcriptores ufurpant.

In præcedentibus tamen hanc retinuimus jam olim ita perfcriptis 5) ut argu-
mento ac quodammodo exemplo fint quo appareat etiam reliqua ad hunc modum
perfici potuiffe 4).

Egregia eft illa et fubiliter reperta veterum ratio demonftr. per infcripta
et circumfcripta ad abfurdum deduétio et certitudine mirabili. Et in illo Geome-
criæ exortu cum novum etiamnum et pene incredibile videretur res tantas tanique
reconditas ex parvis inicijs confirmari, omnino neceffaria.

,

p. 338— 346) les théorèmes principaux sur les quadratures de ces surfaces, avec leurs démon-
strations, mais ce dessein n’a pas été exécuté, et lors de la publication ,en 1673, de son
»Horologium oscillatorium”, il y a renoncé définitivement en se résolvant à donner ces
théorèmes sans aucune démonstration.

2) On peut consulter quant à l’opinion de Huygens sur la méthode des indivisibles de Cavalleri
les pp. 132—1 34 et 561 du T.I,la p. 158 du T. XI et la p. 753 du T. XIII.

3) Voir les p.237 —270 de la Pièce Ne. VI.

4) Voir pour la traduction de ce passage intéressant la note 14 de la p. 1 9 1.

43

338 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[Fig. 18.] … dico ) effe AB ad C ut DE ad F. Sit enim primd AB ad C
# minor quam DE ad F. Et fit fi poteft GA ad C ut ED ad
__ Fercircumfcribatur HA fimulque DK.
Quia ergo ponitur GA ad C ut ED ad F erit minor ratio
c À HA ad C quam ED ad F. Sed ut HA ad C ira KD aa F. Ergo
minor quoque ratio KD ad F quam ED ad F. Ergo KD minor
4 quam ED quod abfurdum.
Sit jam fi poteft ratio BA ad C major quam ED ad F, eademque quæ SD ad F,
ec circumfcribatur KD, fimulque HA. Ergo KD at F habet minorem quam BA ad

C. Sed KD ad F ut HA ad C. Ergo et HA ad C minorem quam BA àd C. Ergo
HA minor quam BA quod abfurdum.

[Fig. 19.]

in omnibus fieri poffe. in parabola ex.
gr. fic.*?).

fig. adjunéta vocetur 3).

defcribatur fimul ordinatè circum-
fcripta +) et ex ea adjunéta.

[THEOREMA I. |

Siaquovis in parabola puncto [Fig. 20] recta linea ad axem
parabolæ terminata ducatur, perpendic. ei quæ in adfumto
puncto parabolam contingit perque idem punctum quædam
ordinatim ad axem applicetur quæ fit æqualis lineæ prius
ductæ. Terminus illius ordinatim applicatæ parabolam aliam
continget pofitionè datams).

1) Dans ce qui suit Huygens donne, pour ainsi dire, une description schématique de la méthode
de démonstration archimédienne. En effet, AB et DE représentent des grandeurs quel-
conques (longueurs, aires, volumes) auxquelles on peut circonscrire d’autres grandeurs
comme AH ou DK qui ne les surpassent que d’une quantité aussi petite qu’on le veut. De
plus, Huygens suppose que les rapports de ces grandeurs circonscrites aux quantités C et
FE soient de telle nature qu’à chaque valeur AH > AB correspond une valeur DK > DE de

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. '1689< 339

(Fig. 20] Sit parabola AB, cujus axis AD, vertex À, et pee in

F ea punéto B, ducatur BD quæ parabolæ vel parabolam i in

punéto B contingenti fit ad angulos reétos, fitque CBE

ordinatim ad axem AD applicata et æqualis ipfñ BD. dico

hujus terminum E contingere parabolam aliam FE, cujus

4 IC quidem latus reétum idem fit quod parabolæ AB, axifque
© FD cum axe AD conveniat, vertex vero F altior fit vertice

À intervallo AF quod æquet quartam partem lateris reéti.

Conftat enim CD æqualem effe femifli lateris reéti ). Quia ergo quadr.EC
five BD æquale eft quadratis duobus BC et CD quorum BC qu. æquale eft [7
a latere retoer AC comprehenfo, quadr. vero CD æquale quartæ parti quadrati à
latere reéto. hoc eft [7 ex AF et latere re&to. Erit igitur qu.EC æquale reétan-
gulo quod tota CF et latere recto parabolæ FE continetur, quare punétum E in

parabola FE effe liquer.

[THeoREeMA I. ]

[Fig. 21.)

H

Si à quovis puncto in
hyperbola aut ellipfi duæ
rectæ ad axem fectionis
ducantur, quorum altera
fitapplicata ordinatim,al-
tera perpend. ei quæ in
eodem puncto fectionem
contingit, Erit pars axis
ab utraque intercepta in
hyperbola quidem æqua-
lis hifce utrifque,dimidio
lateri recto, et ei lineæ
quæ fit ad portionem axis
inter verticem et ordina-

sorte qu’on a AH : C = DK : F. Partant de ces suppositions Huygens démontre qu’on aura

AB:C—=DE:F.

Voir p.e. pour une application de cette méthode la démonstration du ,,Theorema VIIT”

p. 249 —252.

2) Voir la figure à côté et comparez le $ 1 de la Première Partie, p: 314.

3) Comparez la note 1 de la p. 336.
#) Voir la ,,Definitio l”?, p. 237.
>, Comparez le $ 1 à la p. 314.

5) Voir P- e. la p. 218 de l'édition de 1649 (p. 246 des éditions de 1659 et 1683) de la ,,Geo-

metria”. Comparez la note 8 de la p. 315.

340 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

(Fig. 21.] tim applicatam intercep-
F tam, ficut latus rectum
fectionis ad latus tranf-
verfum. In ellipfi vero
Fe =Ç æqualis ei quo prior ha-
rum alterum excedit”).

Sit hyperbola vel ellipfis AB.

cujus axis AC, diameter tranf-
verfa AH. centrum feétionis E.
Et à punéto B in feétione fumpto
ducatur BC ad axem ordin.appl.e,
BD vero perpend. tangenti fe&io-
n nem in punéto B ,quæ fit BF.
Sit porro latus reétum fe&ionis
AG infiftens axi ad angulos reétos, et ducatur HGM, occurrens ordinatim appli-
catæ BC in M. eidemque occurrat GL parallela AC. Et fecetur CL bifariam
in K. Eft igitur LK dimidio lateri reéto æqualis, LM vero ei lineæ quæ eft ad
LG five portionem axis AC ficut latus reétum GA ad datus tranfverfum AH,
et MK in hyperbola utrique illarum æqualis: in ellipfi vero ei quo KL ipfam
LM fuperat. Dico itaque utrobique KM effe æqualem parti axis CD a duabus BC,
BD interceptæ *)..

Quia enim [_7J AC, CM æquale eft quadr.° CB. .... Conic. 3) itemque [7]
DCF æquale eidem qu.° CB, propter angulos reétos DBF , DCB. Erit ergo [_]
AC,CM æqu. [7° FCD, ideoque AC ad CF ut CD ad CM. Quiaautem BF
feétionem in B contingit, erunt per... Con. +) proportionales EF, EA, EC.
ideoque ut EA. ad EC, hoc eft HE ad EC, ita FA ad AC ; et componendo ut
HC ad EC ita FC ad AC. Sed ut FC ad AC ita erit CM ad CD. Ergo CM ad
CD: ut HC ad EC fed ut HC ad EC ita quoque eft CM ad KM. quoniam
fimiliter divifa eft in L atque HC in À, feétaque bifariam eft LC in K et AH in E.
Itaque eft ficut CM ad CD ita CM ad KM; Quare CD æqualis KM. quod erat
demonftr.

1) Comparez les notes 8 des pp. 315 et 317.

?) Comparez les formules auxquelles se rapportent les notes citées dans la note précédente.
Évidemment la construction du segment KM correspond à l'emploi de ces formules. Il
s’agit ensuite de donner une démonstration en règle qu’on a, en effet, KM = CD.

3) Voir la , Prop. XXI” du ,, Lib. l”” des , Con.” d’Apollonius, que nous avons reproduite dans
la note 12 de la p. 300 de notre T. XI. On a, d’après cette proposition , BC2: CA X CH =

= AG : AH; par suite BC:= AC X TE AG = AC X CM.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 341

[THEOREMA III. ]

Ilifdem pofitis fi ea quæ ordinatim applicata eft extra
fectionem producatur donec æqualis fiat illi quæ ducta eft
contingenti perpendicularis, productæ terminus aliam coni
fectionem continget pofitione datam in hiÿperbola hyperbo-
lens)in ellipfi vero ellipfin aut hyperbolen, prout ad majo-
rem aut minorem ellipfis axem ordinarim applicata fuerit®).

CFig.02.] Sit fe&tio hyperbolæ aut ellipfis AB, cujus
axis tranfverf. BF (fit autem primum BF axis
major ellipfeos) latus reé&tum BQ ad axem per-
pendiculare. Centrum feétionis $S. Er à pun&to
A in fectione fumto, duéta fit AD , occurrens
feétioni five tangenti feétionem in A ad angu-
los reétos, et applicetur ad axem ordinatim
CAE ipfi AD æqualis, dico terminum ejus E
contingere feétionem aliam pofitione data TX.
quæ hyperbole erit fi feétio BA fit hyperbole,
fi vero ellipfis ellipfis; centrum idem habens
cum feétione AB axemque axi convenien-
tem, latera vero tranfverfum et reétum reci-
proce proportionalia lateribus feétionis AB. Et
latus quidem tranfverfum VT quod ad latus
€ NL tranfverfum FB fit potentia, ficut latus tranf-

\ verfum FB, ad compofitam ex ipfa FB et
latere re&o BQ in Hyperbolæ in Ellipf vero
ad utriufque differentiam 7).

* #4) Voir, à la p. 26 verso de l’édition de Commandin, la première partie de la , Prop. XXX VIT”
du, Lib. l”’ des , Con.” d’Apollonius, où l’on lit: ,,Si hyperbolen, uel ellipsim, uel cireuli cir-
conferentiam recta linea contingens cum diametro conueniat: & à tactu ad diametrum linea
ordinatim applicetur: quæ interiicitur inter applicatam & centrum sectionis unà cum in-
teriecta inter contingentem, & sectionis centrum, continebit rectangulum æquale quadrato
lineæ ,quæ est ex centro sectionis”.

5) Comparez le $ 2, p. 315—316.

6) Comparez les $$ 3 et 4, p.317—322.

7) C'est-à-dire VT?: FB? = FB:(FB + BQ). Soient donc 4 et r les ;,latera transversum et
rectum” de l’hyperbole ou ellipse BA, g’ et r’ ceux de l’hyperbole ou ellipse TE; on aura
alors gr —gretq®:q —=gq:(q+r).

342 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

F
v.
5
“È & nt
KR:
\
8
2

Jungatur enim FQ, et producatur occurrat-
que retæ AC in B, et fit duabus FC, CB
tertia proportionalis Ba addenda ipfi CB in
hyperb. in ellipfi vero auferenda ‘). et com-
pleatur reétangulum CBdIB itemque [7] da.
Sit etiam duabus ST, SB tertia prop.is SR ; et
ducatur RZ parallela BQ itemque SZ parall.
FQ quæ fecabit latus re&tum bifariam in N.

Quia igitur ut VT ad FB five ut ST ad SB
ita ponitur reciproce effe BN dimidium lat.

re. fectionis BA ad =L rect. fetionis TX :

ficut autem ST ad SB, hoc eft, ficut SB ad SR
ita BN ad RZ: Erit proinde RZ dimidium lat.
rett. fe&tionis TX *). Quamobrem fi oftenfum
fuerit ficut ST ad RZ ita effe [7] VCT ad qu.
AD feu qu.CE, conftabit punétum E contin-
gere feétionem TX 3). Illud vero fic often-
demus.

Quoniam æquales funt BT, FV erit [7] VCT æquale duobus reétangulis
FCBet VBT : In hyperbole per prop. 24. lib. 7 Pappi 4). In Ellipfi vero per prop.
57 ejufdem libri 5). quia autem ut ST ad TB ita SB [ad] BR, eritetiam ut
utraque fimul ST, SB five ut VB ad utrumque fimul TB, BR hoc eft ad

ui

r) Voici les considérations qui ont pu conduire à l'introduction de ces lignes auxiliaires. Les

équations des courbes BA s’écrivent : y? = (4 + x), où y — AC ,x = BC, et où l’on doit

prendre le signe + dans le cas de l’hyperbole et le signe — dans celui de l’ellipse. On trouve

2
alors, pour les équations des courbes TE, EC? = 2° — m0 +x)r + n. CG + x)x + 5 vf

(comparez les expressions pour 22 des pp. 316 et 317). Pour pouvoir traiter à la fois le :
cas de doc et hs de l’ellipse, il était donc avantageux d’introduire deux lignes auxi-

liaires à (q + x) et? . (q + x) dont il faut prendre la somme dans le cas de l’hyperbole

et la différence dans celui de l’ellipse. En combinant cette somme, ou cette différence, avec

la ligne BC = x, on obtient le rectangle Ba qui, augmenté du carré de BN = LT ‘ est égal

au carré de z— EC. Or, on trouve facilement que, par construction, C8 Fe nn),

op =Sa+ + x).

?) La re X manque dans la figure qui se rapporte au cas de l’ellipse; mais il s’agit alors évi-
demment de la courbe TEV.
3) Comparez la note 3 de la p. 340.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 343

TR ita ST ad TB: ideoque [77] VBT æ [2] STR. Itaque [7] VCT æquabitur
CJFCB+CISTR.

Jam vero quoniam eft ST ad SB potentia, hoc eft ST ad SR longicudine ut SB ad
utramque fimul SB, BN in hyperbole; in ellipfi vero ad harum differentiam ‘),
Eric dividendo in hyperb., in ellipfi autem per converfionem rationis, ST ad TR
ut SB ad BN. hoc eft ut FC ad C£. Sed quia CG ad Ba ut FC ad CBex conttr. hoc
eft ut SBad SN, hoc eft ut ST ad TR: Erit CR ad C& ut ST ad SR , hoc eft ut
TR ad RZ; nam ST erat ad TR ut SB ad BN, hoc eft, ut SR ad RZ, ideoque
permutando ST ad SR ut TR ad RZ. Quia igicur oftendimus effe ut ST ad TR
ita FC'ad C£. urque TR ad RZ ita CB ad Cx. Erit ex æquo ut ST ad RZ ita FC
ad Ca. atque ira [77] FCB ad [7] 4C , CB. feu Ba reétangulum.

Rurfus quia ut ST ad TR ita SB ad BN erit [[JISTR ad [7 SB, BN dupli-
cata ratio ejus quam ST ad SB , ac propterea eadem quæ ST ad SR. Sed[_JSB,
BN eft ad qu.BN ut SB ad BN, h. e. ut SR ad RZ, ergo ex æquo [77] STR erit
ad qu.BN ut ST ad RZ. Sed et [77] FCB oftenfum eft ad [_]Bx effe ut ST ad
RZ , Ergo ut ST ad RZ ita utrumque fimul et [7] FCB et [2] STR, hoc eft
ita [7] VCT, ad utrumque horum, [77] Bx et qu.BN.

Hæc autem utraque fimul æqualia effe qu.°AD vel CE deinceps oftendemus.
Nam primo quidem in hyp. [_] Bx æquale eft [7 BB et [7] dx e quibus [7] B8
æquatur qu.°AC *#. [7] vero dx [_J° BdQ*, quoniam videlicet latera reciproce

#) Voici cette proposition, qu’on trouve à la p. 174 recto de l’ouvrage cité dans la note 3 de
la p.259 du T. II: ,Sit recta linea AB æqualis CD, & sumatur quoduis punctum E extra
lineam AD. Dico rectangulum BEC rectangulo AED , & rectangulo BDC æquale esse”.

A B F € É

——— "1

5) Voir la p. 194 recto, où l’on lit: ,Sit AB æqualis ipsi CD , & quoduis punctum E inter BC
puncta. Dico rectangulum AED superare rectangulum BEC rectangulo ACD”.

A: D. R: Ci 3

Sins.
Lg ”- LS

5) Voir la proportion de la note 7 de la p. 341, où VT — 2ST; FB— 2SB; BQ— 2BN, tandis
que le rapport de ST2: SB? peut être remplacé par celui de ST : SR , puisque, par construc-

ST :

7) Il s’agit de la proposition mentionnée dans la note 3 de la p.340. On a d’après elle,
AC: : FC X BC = BQ : FB— CB : FC = CB X BC : FC X BC. Donc, par suite, AC? =—
= © Bé.

8) Voir la ., 14” du ,, Lib. 6” des ,Elementa” d’Euclide, où l’on lit: ,,Æqualium & vnum
vni æqualem habentium angulum, parallelogrammorum , reciproca sunt latera, quæ circum
æquales angulos. Et quorum parallelogrammorum vnum angulum vniangulo æqualem haben-
tium reciproca sunt latera, quæ circum æquales angulos; illa sunt æqualia”.(Clavius, p. 566).

* ca à

* sé

344 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

proportionalia funt fcil. ut Bd ad dQ, hoc eft
ut FC ad CB ita CB ad Ba ex conftr. Ergo
C7 Ba + qu.BN æqualia fun qu. AC. et[77]
B2Q et qu.BN, fed [77 BîQ + qu.BN æquan-
cur quadr.N per ....fecundi Elem. *) hoc
_eft qu.CD per anteced.m ?), Ergo[ 7] Bz+
+ qu.BN æqualia qu.isex AC et va hoc sé
qu.AD five EC. : | |
In ellipfi vero idem fic ciléiétisol qu. BN. 2
æ [7] BôQ + qu.Nd. per 2. Eucl. 3) fed [2
BdQ > [7] dB, Bu, quia ut Bd ad dQ hoceft
ut FC ad CB, ita CB five Bd ad Ba, ex conitr.
Quadr. igitur BN 00 qu.Nd + [77 dx hoc eft
qu.CD + 7] dx, nam CD 5 N3 per antece-
dendem *). Addito jam utrinque [7] 4B, fiet
qu.BN + [7] &B 90 qu. RE
4B, hoc cit qu.CD + (78. Sed [BB
> qu.AC +). Ergo qu.BN + [_J}«B 0 qu.
CD + qu.CA, hoc eft qu.°DA. five qu:CE.
ficut in hyperbola quoque oftenfum eft. Erat autem utrobique ficut ST ad RZ,
hoc eft ut latus tranfverfum fetionis TX ad ejufdem latus reétum, ita F3 VCT
ad ©] Be + qu.BN 5). Ergo ut diétum latus tranfverfum ad latus- reétum ita
apparet effe [7] VCT ad qu. CE. Ideoque punétum E contingere feétionem TX. :
quod erat dem. a

y ré: ire

+ Lie
Lt ae

Accipiatur ©) jam pro latere reéto 7} minor ellipfeos axis BF [Fig 23]
quæ ordinatim applicata fit AC. ductaque ut prius AD quæ contingenti iE

*) Voir la ,,Prop. 6” du ,,Lib. 2” des ,Elementa” d’Euclide. On la trouve cités LA ia jptes
de la p. 46 de notre T. "IL S FE LE

2) Voir le , Theorema IL”, p. 339 340.

3) Il s’agit cette fois de la , Prop. 5” du ,,Lib. 2”, citée à la p. 176 de notre T. XL Sa ho

4) Voir la note 6 de la p. 343. À stanx mé!

5) Comparez la dernière phrase du troisième alinéa de la p. 343. D TE SON

5) Comparez, pour ce qui suit , le $ 3 de la Première Partie, p. 317—319. H re

7) Lisez: ,,latere transverso”. RP

*) Écrivant g et r pour les ,latera” de l’ellipse OBY par rapport à l'axe BF et g' et 7 pour ceux

g Var 2 25/ag pee

delh erbole XO par rapport à l’axe OY, on a donc 7 = ES
YP P PP ie Var; ss te 1551 (1449

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 345

T4 .fim in A occurrat ad ang. reétos. Ipfique AD

*[Fig.23.] _) + æqualis ftacuatür CAE. dico terminum ejus
se Bo be 0 E contingere hyperbolen OX pofitione datam.
* cujus nimirum latus tranfverfum axi adjacens
: fit ipfe major ellipfeos axis OY, latus reétum

aucem quod' ad latus tranfverfum OY eam ha-
» beat rationem quam qu. lateristranfverfi Ellip-
- ‘feos BF, ad id quo qu. lateris reéti ellipfeos
excedit [7] ab lateribus reéto et see con-

tentum ©), hoc eft (ponendo SZ % — = lat. reéti

ellipf., fumtifque quantitatum diétarum quartis partibus) eam quam ‘au.BS ad

C2 SZF. Et enim [JSZF % ei quo qu.SZ fuperat [7] ZSF ,-hoc eft quartæ

parti ejus quo qu. lateris reéti ellipfis fuperat [7] a latere tranfverfo et reéto com-

_prehenfum.

. « Ducantur enim à pun@tis À, E axi majori OY ad ang. reétos, AW , EP. Sit
CL > SZ. Quoniam igitur per præced. ?) pars axis CD reétis AC, AD inter-

| cepta æqualis eft ei quo - latus rectum ellipfeos excedit lineam quæ fit ad BC ut

— Jatus redtum ad latus cranfverfum: Eft autem CL 0 : lateri refto. Ergo DL erit

_ prædiéta linea, quæ nimirum erit ad BC ficut lé reétum ur ad latus
tranfv. five fumcis horum dimidijs, ut CL ad SB. quare et perm.° et conver-
| erit CE ad LD ut SB ad BC: Er per conv.m rationis LC ad CD ut BS
ad S C; et permut.° rurfus, LC five ZS ad SB ur DC ad CS. Sicut autem ZS
ad SB, ita eft qu.OS ?) ad qu.SB, utque qu.OS ad qu.SB ia eft [7 OWY
ad. qu.WA 18), Ergo etiam ut DC ad ÇS ira [LJOWY ad qu. WA. Sed
1 à DC ad CS ita [7 DCS ad qu.CS five ad qu. WA. Ergo [7] DCS >
CC] OWY.

.… Eft autem qu.DC ad [7 DCS ut DC ad CS. Ergo etiam qu.DC ad [7
OWY ut DC ad CS hoc eft ut ZS ad SB hoc eft ut qu.ZS ad [JS , SB.
te Iraque et divid.° eric qu.DC ad qu.DC —0JOWY ut qu.Zs ad qu.ZS --[7
ZSB h: e. ad [7] SZF. Eft autem qu.DC — [7 OWY 5% [2] YPO. nam [7]
Ypo >» qu.PS — qu.SO, hoc eft qu.CD + qu.AC — qu.SO ; fed qu.SO >

9) Puisque O$2 = Pr n — BS X SZ, d'après une formule bien connue.

1 10) D'après la dernière partie de la ,,Prop. XXI” du ;,Lib. [” des Coniques s'Apallonis que
nous avons reproduite dans la note 12 de la p. 300 du RE,

44

346 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 16e

x qu.AC five: qu. WS + LIOWY. : Ego qu.
PS — qu.SO o qu. CD — En) )WY

mus. Et perm.° *) qu.DC ad qu.
[1] YPO ad mn
ira eft qu.SC ad qu.SB; oft
quod DC ad CL ut SC ad SB;
SBira[_]JYPOadfJ$ ZF. E ai

feu q.EP ad [7 YPO ut qu.SB ad C7!
eft ex hypoth. ut latus me hyperbol
ejufdem lat. cranfv. Ideoque punétum

hyperb. OX. -quod erat dem.

par YPO.

1658—1659.

An dei 7 [ur les Len ohig géométriques de la cycloïde $).]

ps" CPrebre PARTIE 4).]

Sr)

ABC eft Cycloides. BD dia-
meter circuli genetoris. EF
parall. AD. dico EG meffe ar-
cui GB.

—C Cum B cft in E, circulus BGD eft
in EKH. Et D in H. Ergo arcusKH >
ec | KD. se 8 et arcus EL five GB % rcétæ KD five NF. Sed NF + GE:

GF NÉ; et ae utrinque NG fic EG 2 NF. Ergo arcus BG = GE.

ACX

torium” G. 69 de l'édition he à les résultats des recherches qu’elle contient.
quant : à la détermination de la développée de la cycloïde, le$ 4 de la Pièce N°, XV,

4405.

y de temps mé qu’ileut reçu par l'intermédiaire de Boulliau (voir la lettre de celui-ci

28 juin 1658, p. 186—187 du T. II) la lettre circulaire de Pascal, sous le pseudonyme

Dettonvillius, intitulée: ,,Problemata de Cycloïde, proposita mense Junit 1658” (voir les

p.187—189 du T.I). Huygens communiqua le résultat de ces recherches à Bouiliau dans

| unelettre du 25 juillet 1658 (p.200—201 du T. II). :

5) Ce paragraphe contient la déduction de la propriété de la cycloïde, dont Huygens se servira
_ dans les recherches qui suivent,

348 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

$2 °).

(Fig. 2.] Sit HL > HF. et ducantur FE, LAN.
Erunt duæ fimul GE et MN % DA.

F nam GE % arc.GB. Et MN % arc.MB

h five GD. Ergo GE + MN warc.BGD,

\ F L hoc eft > DA. Quod cum femper con-

it La tingat, hinc facile oftenditur quod fpa-

tium AEBGMDA » [CHA , hoc eft > circ.°BD. Unde totum cycloidis fpatium
ABC, triplum erit circuli genitoris BD.

[Fig. 4.]
= HS Sù Ÿ
\ N,
RD L. # D
Le €
? à

FNEG [Fig. 3] cylindrus cujus bafis cireulus FG BD pe g.4] En
0 FG. Hic fe&tus eft plano EF in duo æqualia. BH [ Fig. 4] % GO [Fig. 3};
KL 2 arc.BK vel GM. vel PQ). fit HR æ KL et fic porro. fit ergo[_JRS
æquale fuperficiei curvæ QT [Fig. 3],et fic in finguliss Unde fpatium totum

BRVCD % fuperficiei curvæ FGE. Sed fpatium BRVCD % BKXDALexcon- L

ftruétione quafi. Ergo fpatium BKXDAL % fuperf. FGE. hoc eft duplo femi-
circulo FMG vel BXD. Unde rurfus patet quod fupra demonftratum fuit. :
Itaque fpatium BLADXB redu@&tum ad BRVCD nihil aliud eft quam dimi-
dium involucrum FGE expanfum in fuperficiem planam.
Et f fuerit EA BY, ec planum AZ parall. plano bafis FG , erit femi invol
crumZAE © fpatio XrBKX. en YVRB. | Den RE

Quod fi autem EA fuerit œ - - EG, ideoque FXY per centrum cirei BD.

per

) Dans sa lettre circulaire Pascal avait demandé en premier lieu la se d'un demi-
-segment quelconque comme BEF (nous employons les notations de la Fig. 2); mais plus loin
il avait signalé en particulier les cas où le point E se confond respectivement avec les points
A et K. C’est donc par ces cas spéciaux que Huygens commence ses recherches. : +

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655: À 1659. 1658. 349

erit{fpat.BLTXKB + ] involucrum ZAE ungulæ cylindricæ; quadratoque æqua-
bitur à latere EA vel AZ vel BY 3). Itaque fpatium BLIY æquatur quadranti
BXY + qu°BY. Hoc elt, TX ( XKB) dividacur bifariam in =, et complea-
tur []BE; hoc æquale erit fpatio BLTY.

CFig. 5.]

$ 3 +).

AHCFB femifphæra.

CD > CBA. FHDC ungula cylindrica æ femi-
fphæræ AHCFB. Et fuperficies fuperficiei, curva
nimirum curvæ 5). Sit ungula minus alta HEFC.
EC > CA. Ergo fuperf. ungulæ FCDH ad fuperf.
FCEH ut CD ad CE, hoc eft ut ABC vel AHC ad
AC. h.e. ut circulus ad infcr. quadratum, Sed fuperf.
FCDH % 2 circ.AHCF. Ergo fuperf. FCEH 2
qu.infcr. h.e. 5 2 qu.FC,

fic fruftum KMLF abfciffum plano KML parall.°
DGC, erit fuperf. FKL % circ. rad. FL, ut in abfcif-
fis fuperficiebus fphæricis ©). At fuperf. FNL >
> qu.FL.

D

$47).

ag Sit BC [Fig:6] bafi pa-
rallela. dico fpatium

ABC datum effe.

Sit enim ungula TOR

+) C'est-à-dire l’arc dont PQ [Fig. 3] est la projection sur le plan FNEG.

3) Voir le $ 3. En effet, il est évident que la surface de l’onglet ZAE est la moitié de celle de
de l’onglet FCEH (où EC — AC) de la Fig. 5 dans le cas où ZA [Fig. 3.]= GC [Fig. 5].

#) Quadrature de la partie FKL [Fig. 5] (où KL représente une génératrice quelconque du
Cylindre) de la surface courbe d’un onglet cylindrique.

5) En effet, lorsqu'on coupe la demi-sphère et l’onglet cylindrique par un grand nombre de
plans parallèles au plan DGC il est facile de constater que les volumes des tranches décou-
pées par deux plans consécutifs, respectivement de la demi-sphère et de l’onglet, peuvent
être considérés comme égaux l’un à l’autre et qu’il en est de même de leurs surfaces courbes.

5) D’après les considérations de la note précédente.

7) Ce paragraphe contient la soiution du premier des problèmes proposés par Pascal dans sa
lettre circulaire de juin 1658 ; c’est-à-dire la quadrature du demi-segment ABC.

350 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Fig. 6.] [Fig. 7]. TQ, QR > KA
| [Fig. 6]. Itaque involucrum

‘RQM % fpatio ABVLDA?).
Sit QS vel PX AC. Ergo
involucrum OPR % fpatio
ADB®°). Datum autem eft
OPR involucr. Ergo et ABD
d'A DatumeffeOPR hinc

patet. Datur pr c MON % — qu. NM :). Sed et fuperf.

ONQP datur quæ non differt a C= BE. Ergo ablatis MON
et ONQP ab involucro ROM (quod datum eft > qu.QT vel
AK) reliquum quoque involucrum OPR datum erit, hoc eft
ADB fpatium. Huic addito fegmento ADC, quod durvsi eft
(quippe fetor ADK datur œ= C7 EH) datum erit totum fpa-
tium ABC. quod erat oftend. D :

[Fig 7.]

Jam fi AC s CK[Fig. 6]. dico fpatium ABC effe triplumtrian-
guli ACD#). Oportet enim auferre à qu.°KA, C1" EB et-qu.DL Co MN
[Fig.7]) ut fiat reliquum % fpatio ADB, Item ut fiat fegmentum ADC, oportet
à fe&tore ADK hoc eft © HE, h.e. [3° BE auferre AKCD. Ergo ut fiat

+) Comparez le dernier alinéa du $ 2, p. 348— 340.

2) C'est-à-dire l’espace limité par l’arc de cercle AD, la droite DB et are cycloïdal BA.

3) Voyez la dernière ligne du & 3 (p. 349), et considérez que LN (Fig. 5) = 2NO (Fig.7).

4) Ce résultat simple, d’où il suit que dans le cas en question le demi-segment ABC est carrible
sans supposer la quadrature du cercle, attira l’attention de Pascal, qui en faitimention dans
son ,,Histoire de la Roulette” (citée quant à l’édition latine qui parut simultanémentavec
l'édition française dans la note 2, p. 276 de notre T. 11) dans les termes suivants:,]J” É
trouvé de belles choses dans leurs Lettres, et des manieres fort subtiles de mesurer le plan de
la Roulette, et entr’autres dans celles de Mr. Sluze, Chanoine de la Cathedrale de Liège,
de Mr. Richi, Romain, de Mr. Huguens, Holandois, qui a le premier produit que la portion
de la Roulette retranchée par l’ordonnée de l’axe, menée du premier quart de l’axe du costé
du sommet, est égale à un espace rectiligne donné. Et j’ay trouvé la mesme chose dans une
Lettre de Mr. Wren, Anglois, écrite presque en mesme temps” (voir la p. 202 du T. VIII de
l'édition des , Œuvres de Blaise Pascal”, citée dans la note 4 de la p. 196). Ajoutons qi

c’est la seule Fois que les recherches de Huygens sur la pags ses mentionnées
Pascal dans ses publications. ; sr#90l

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 351

otum fpatium ABC oportet ab additis fimul qu.°AK et [7 BE auferre [7) EB et
=au.DL, et AKCD. Sed [7] BE fe ipfum tollit. Ergo qu.AK — squ.DL —

— /\KCD > fpatio ABC. Sed-qu.DL 2 [7 EY.Ergo qu.ex AK five q.AL 5) —

— [7IEY — AKCD % fpario ABC, hoc eft [_J AE — /A\KCD; hoc eft
3 AADC % fpatium ABC. quod erat oftend.

[Fig 8.] Si ACS)major quam
CK. Erit fpatium ABC >
2 trapezio ACEZ + C7]

-BO7). (dividitur ZE in O
bifariam.) h. e. [7] XB +
+ ACDM®).fegm.ABV >»
x /\DCM— ACBK ?).

Si AC minor quam CK ‘). Erit fpatium ABC % trapezio ACEZ —
— [7BO. he. ACDM—[C IX. fegm. abfciflum re&i AB æ /\DCM —
— /\CBK nam fi ad ADCM — /A\CBK addatur !\ ABC fit ADCM-—[IXB
quia CK > AC + 2CX.

5) C'est-à-dire le carré dont A et L sont des sommets opposés.

6) Voir la Fig. 8, où il s’agit du point C situé sur la ligne AM au-dessous du point X.

7) On obtient ce résultat en appliquant au cas général autant que possible les réductions qui ont
conduit au résultat simple déduit dans l’alinéa précédent. À cet effet considérons d’abord la
Fig.6. Ontrouveen appliquant les considérations exposées dans çet alinéa : demi-segm.BAC —

=OKY-— CSEB— LD: (= CEY) +- CHE — AKDC, où l’on peut remplacer
CIKY — C3EY par CAE. Passant ensuite à la Fig. 8, on a: demi-segm.BAC =C3AE-
—OBE+- CHE — AKDC, où + OHE— BE —cB0 et C3AE — AKDC =

= trap. ACEZ.
#) On a:trap. ACEZ + ©2IBO = 240 + ©10C + AKDC + ©3BO, où 0C +-
…. +<EB0 =0XB et CAO + AKDC — AKDM +- AKDC = ACDM.
9) On asegm.ABV—cXB+ ACDM-— AABC=— ACDM—[AABC—t2XB],où AABC—

+ EE xB—-BC (AC—2XC) =, BC 8.6 gs XC)=BC(XK — XC)= ACBK.

19) Voir le point C qui se trouve entre les points A et X et la partie de la Fig. 8 à droite de
l’axe AM.

352 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

SiAN')}major AK [Fig. 9.]Erit fpatium ATN % trapez.AZTN + =
OT.,h. e. % ur + AADC (idem enim eft five 798: addatur trapez.

CFig. 0.]

#. l = RUES
( : à
TE Re
G Ë LT wW C& \
L ” ru RARES L

Tr S N

=]

; M

AZTN, five addatur [_JAO + [TION — ANTS. eft autem [_JOT + [TON
> CXT. Et CJAO— ANTS /\ADC vel NSM, nam [_JAO % AADK
quia AK/> 2AX. fed /\NTS ACDK. Ergo EJAO— ANTS > AADC
vel NSM) h.e. 5 AATN + AKTN:)+ ANSM. Ergo PE ATB .
© /\KTN + ANSM.

LA: \ ” à
De A +2 if
à

AWIM:)—AWC x WIMC F
ex AWIM ([æ] EKI 4) + CICL © CCI

[CL + AWC > GWI és El

x} 4 fà

aaet lECL + CJAT COTE 20 GWI:) ee
TE XL OITE. + ATCD.2-AS8N6) 20. DCM. |

CI XA—CIOR + CIAT + ATCD hé. CIOT +

+ trap. AZTN % fpatio ATN 7) nam DS © BG + DC

1) Ce qui suit se rapporte également aux deux points N qu’on | trouve sur l'axé AM. hr
:)OnatXT = AATN + AKTN, puisque2XN—92XK +2KN—AK +2KN an en
3) Huygens va déduire encore quelques relations entre les aires de diverses parties de la F
Ajoutons que les raisonnements géométriques ne sont pas partout faciles à suivre, mais que
nous avons vérifié analytiquement l’exactitude des résultatsobtenuss > {4008 0
4) Voir le deuxième alinéa du $ 2, p. 348. D’après cet alinéa l’espace BR VCD de la F ig.4, qui
est identique avec l’espace AWIM de la présente figure, est rs à ae. du cercle géné-
rateur, laquelle est représentée par le rectangle KI. 1: HR BE?

5)On a d'aprés ce qui précède GWI=— ©2CL + AWC; mais AWC « est égal al ‘éipacehiibité

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 353

$5"°).

A | ? He

Centrum gravitatis = cireuli BGD eft in HG. Si itaque centrum grav. fpati
BGDAEB five BFADB ?) inventum fuerit altitudine tenus. dabitur totius fpatij

par l’arc de cercle AD, la droite BD et l’arc cycloïdal BA. Or, cet espace correspond
à l’espace ADB de la Fig. 6, p.350, qui, d’après le deuxième alinéa de la p. 350, fut

trouvé égal à OKY—CcSEB —; DL: = OKY —cEB — EY =OAE — cE8B;

c'est-à-dire, en retournant à la Fig. 9,à C3 AT —CTB,.

6) ASN représente ici le demi-segment de cercle ADSNA.

7) Comparez les premières lignes de la p. 352.

#) Outre la détermination de l’aire d'un demi-segment quelconque BEF de la cycloïde (voir la
Fig. 2, p.348) Pascal avait demandé dans sa lettre circulaire de juin 1658 (voir la note 4 de
de la p. 347) la détermination du centre de gravité d’un tel demi-segment, la cubature des
solides engendrés par sa révolution autour des axes EF et BF, et la situation des centres de
gravité de ces solides; comme aussi des solides qu’on obtient en les coupant en deux parties
égales par un plan passant par leur axe. Huygens qui considérait ces problèmes pour la
plupart comme très difficiles (voir sa lettre à Boulliau p. 200 du T. II) ne s’est occupé en
premier lieu que de ceux qui lui semblaient les plus abordables. Quant au centre de gravité
du demi-segment il ne cherche qu’à déterminer sa distance à la base EF ; ce qui est iden-
tique à la détermination du centre de gravité du segment entier. Ce n’est que plusieurs mois
plus tard (voir la Cinquième Partie, p.376, et surtout la note 1 de cette page) qu’il a repris,
après avoir pris connaissance des méthodes de Pascal, le problème de la situation du centre
de gravité du demi-segment, en déterminant cette fois la distance de ce centre à l’axe BD de
l4 cycloïde.

Dans le présent paragraphe Huygens commence ses recherches par les deux cas spéciaux
signalés par Pascal (voir la note 1 de la p. 348); c’est-à-dire il détermine les centres de
gravité des espaces EBLE et ABCA de la Fig. 10. Ensuite il en déduit aisément les cuba-
tures des solides engendrés par leur révolution, respectivement autour des axes EL et AC.

2) Voir sur la construction de la courbe AFBKC le deuxième alinéa de la p. 348. La partie BKC
de la présente figure correspond à la partie BRVC de la Fig. 4, pour laquelle partout RH —
= KL= arc. BK.

45

354

>

CFig. 11.]

D ns

BEAD centr. gr. altitudine tenus. quia et
fpatiorum ad fe mutuo ratio data eft *). fpa-
tium BFADB eft involucrum femicylindri
bad Fig. 11] *). Ergo hujuscentr. gr. altitu-
dine tenus quærendum eft. fuperficiei cylin-
dricæ bfd centrum gr. eft in f# 3): putast),
quod poftea invenietur. fuperficiei cyl. 4f4
centr. gr. eft in f7. Sicut involucrum 444 ad
fbd ita fit nf ad fs. et sp parall. 4. Ergo
cotius involucri #b4 centr. gr. erit in sp 5).
Sed et in 44. Ergo in interfeétione r. Sit ro
parall. 44. Ergo ficut 24 dividitur in 0, ita
centrum gr. fpatij AFBKC [Fig. 10] dividet
diametrum BD. |

Ad inveniendum vero centr. gr. fupert.

1) Comparez le premier alinéa du $ 2, p. 348.

2) Comparez le deuxième alinéa de la p. 348.

3) Dès ici Huygens considère les surfaces entières des deux côtés du plan 424 de la Fig. 1.

4) Remarquons que le point #, centre de gravité de la surface cylindrique 2f7, se trouve sur
la ligne f# quoique la lettre # soit placée à une certaine distance de cette ligne.

5) La ligne f# est considérée comme le bras d’un levier qui porte en f le poids de la surfacezf4
et en ”, celui de la surface 2f/, on peut donc remplacer ces poids par celui de la surface
entière #4 , suspendu en s, pourvu que #5 X surf. bd = fn X surf. f ha.

5 Évidemment les centres de dtuvité des différentes parties de la surface cylindrique f 24, décou-
pées par des plans perpendiculaires sur le plan de projection z24et passant par f, se trouvent
sur une même ligne verticale qui passe par ». Il suffit donc, pour connaître cette ligne, de
déterminer le centre de gravité d’une seule de ces parties, pour laquelle Huygens choisit
celle qui contient le demi-cercle dont f# est la projection, parce qu’elle peut être consi-
dérée comme ne différant pas appréciablement d’un secteur sphérique.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 355

(Fig. 12.] cylæ bfd vel bfh, comparo hanc fuperficiei

L fphæricæ minimæ ABC [Fig. 12] nam ficut

DE, quæ per centrum gr. hujus fecat AC, ita

neceffario punétum # dividet f4°).femifphæræ

fuperficiei FLC centr. grav. Q dividit AL
di B bifariam, ut oftendetur poftea 7). Sir ut FC

+ À € ad FLCita AQ ad AM. Erit Q centr. grav. :

circumf, SME. Sed et Q centrum gravit. eft fuperf, fphæricæ FLC. Ergo fingu-
larum partium fuperficiei ut ABC centrum gravit. debet effe in cireumf.a SME.
Sed AQ ad AM ut FC ad FLC , ideoque AL ad AM ut 2FC ad FLC, h.e. ut

AL ad 2? FLC. Ergo AM vel AE qrLC. Unde et fn [Fig. 11] D agd 8), Sit

-_ fc quæ bifariam fecet b4; #k parall. kb; ke parall. f#. Quia ergo ch © =0h vel hf,
eric kn, five eh nf. h. e. gagd. Itaque fumptà in fuper[iore] fig. [Fig. 10]

He parc. BG,eritecentr. gr. fpati FBK. five duorum BGE. BML”).
Porro quia ut involucr.4b4 [Fig. 11] ad fbd b. e. ut 4gd ad ad *) ita nf ad fs;
eftque #f © 3 “gd. Eric et fs 2 344 five 0 fh. Unde et #r > na Ergo et 4o

ee) hd. Ideoque bo ad od ut 5 ad 3. Ergo in fuper. fig. [Fig. 10] fumpta Bo par-

tium $ qualium BD eft 8, erit o centr. gr. fpati AFBKC. five utriufque
BEADGB, BLCDMB. hæc vero æquantur duplo circ.° BD **); Ergo divifa Ho
in 2 ut fit Hz dupla 20, erit z centrum grav.fpatij cycloidis totiu

ABC. Do ef à five 2 BD et x % — BD. Ergo Dz 50 — five BD :*).
24 24 24 12

7) Huygens n’a pas fait suivre la démonstration de cette proposition bien connue.
8) Voir le demi-cercle en bas de la Fig. 11.
9 Puisqu’on connaît aussi l’aire de ces deux espaces (voir les derniers deux alinéa’s du $ 2,
* p.348—349) et de même le centre degravité et l’aire du demi-cercle GBM le problème de
trouver le centre de gravité du segment EBL peut être considéré comme résolu.

19) On a évidemment invol. #44 = bd X arc. agd = 2bh X arc. agd, et l’on trouve fhd =
— 2fbh—2ZAE(Fig. 3)—4EA° (voir le dernier alinéa du $2, p.348—349)—44#?
(Fig. 11)= 2b4 X ad.

1) Comparez le premier alinéa du $ 2, p. 348.

12) Comparez, pour une autre détermination du centre de gravité z, l’Appendice à la Pièce
N°.XV,p 406.

356 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

Ratio folidi a Cycloide faéti circa axem AC ad cylindr. à [JAR circa axem
eundem componitur ex ratione fpati cycloidis ad fpatium [__ Ji AR , hoc eft ex
ratione 3 ad 4; et ex ratione Dz ad DH, quæ eft 5 ad 6. Ergo folidum cycloidis
ad diétum cylindrum erit ut 15 ad 24 hoc eftut 5 ad 8.

[Fig. 10.]
> SE 0 F w R
| |
(4
e
ë £ L

f

À ?

Ratio folidi à fpatio FBK (ungulæ nimirum involucro) circa FK axem ad
cylindrum à [JFW, componitur ex ratione fpatij FBK ad [_JFW, hoc eftex
ratione HG ad FH (nam fpatium FBK % 2 qu.HG :)), et ex ratione eH ad cH,

hoc eft ex ratione que ] GB vel FH ad HG h. e. FH ad 2HG. Ergo cadem

eft quæ HG ad HG, hoc eft > 1 ad 2. Et autem folidum ab FBK æquale ei
quod à duobus fpatijs BGE, BML. Ergo fi folido ab FBK hoc eft cylindro à
CI°FB addatur fphæra BD, vel cylindrus ipfi æqualis, oritur folidum ab EBL
circa axem EL.
$6:).
[Fig. 13.]

BDC eft fruftum cylindri cujus
æ cylindri bafis eft circulus FED.
€ frufti bafis eft fegmentum EBD vel
“is potius hujus duplum. Oporteat in-
| venire centrum gravitatis involucri

BDC.
‘4 ut DE arcus ad EB ita eft AD
\ radius ad AQ 3) ut Q fit centrum gr.
x arcus DE (dupli fcilicet) , ideoque
ve ed et involucri LD. Quare f[[JBO
Mi nie ? fufpendatur ex F, illud fufpenfa
libra ex A + HAMIPOPPEPADE invo-

|
pa
b ein

1) Voir les fetes deux alinéa’s du $ 2, p. 348—349.
2) Après avoir trouvé le centre de gravité d’un segment cycloïdal dans les deux cas idée
indiqués par Pascal (voir la note 1 dela p. 348), Huygens découvre une méthode plus géné-

| TRAVAUX MA THÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 357

lucro’LD ut pofitum eft 4). Similiter [JPQ s) exF (olbéatom thai
(ex A) involuero MN, atque ita torum fegmentum BDE ex F fufpenfum æqui-
ponderabit involucro BCD ct duplum duplo. Sicut igitur involucrum BCD ad
fegmentum BDE ita fi fiat FA ad AR. Eric R centr gr. vel certè fub centro
grav.is involucri BDC. Eft autem et in BS quæ bifar. fecat DC idem gr. centrum.
Ergo datum erit in interfeétione V. Et faëta VT parall.a BD dabitur quoque ratio
CT ad TD.
Si igitur involucrum BDC
[Fig 14] exporreétum fuerit in plano

pr [Fig. 14], faciens partem quam-

L' * libet involucri femicylindrici ut
n a BCX, ejus centrum gr. in diame-
tro CD inveniri poterir. Et hæc

LRN N\ methodus brevior meliorque eft

1 quam qua paulo ante totius in-
volucri centrum gr. ut et invo-
lucri ungulæ, quod eft CB,
quærebamus °).

Cumque centr. gr. involucri
BCX hoc.eft duorum fpatiorum
CRE, CNO [Fig,15 Linveniri
pollit, itemque centr. gr. feg-
menti circularis RCN. datum
igitur eft partis LCO centr. gr. quæ qualitercunque lineâ LO bafñ parallela à
cycloide abfcinditur. Sed et dimenfio data eft partis ejusmodi per antecedentia 7).
Ergo et folidum quod ab ea efficitur circa axem LO converfionc faétà °).

112

rale (et en même temps plus facile) qui peut servir à déterminer le centre de gravité du seg-
ment découpé par une droite quelconque parallèle à la base de la cycloïde. À cet effet il
commence par chercher le centre de gravité de la surface courbe d’un onglet cylindrique
BDC [Fig. 13] (LCBD — 45°) où la distance AB peut être choisie à volonté.

3) Voir le point Q sur la ligne BD.

#) On-a arc. DE X AQ = EB X AD — EB X AF, c 'est-à-dire: arc. DE X LB B (= surf, cyl.
BN) X AQ —EB X BP (—©B0)X AF; d’où il suit, en effet, que le rectangle BO
suspendu en F fera équilibre avec la surface cylindrique BN suspendue en Q sur un levier
dont le point d'appui est en A.

#) Il y a dans la figure double emploi dé la lettre Q. Cette foisil s’agit de celle qui se trouveen
bas près des points E et O.

5) VoirleS 5, p. 353—355.

7) Voir au 4 les p. 349—350.
8) Remarquons que Huygens s’est contenté de cette solution potentielle sans plus s'occuper des

calculs qu’elle exigerait.

358 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658:

[DEUXIÈME PARTIE *)].

$1:).

(Fig. 17.1

u À

lifdem pofitis quæ in propofitione & (hoc figno notata 3) ) æquiponderat, (ex
kfufpenfa librâ [Fig. 16]) fegmentum def (æquale #bc), involucro ægbc ut pofi-
tum eft#). Involucrum hoc expanfum in plano fit 4x [Fig. 17]; nempe /7 50 areus
abc. fuperque ea bafi parallelopipedum *) intelligatur, idque plano cd feétum
efto, ut fiat ungula feu cuneus /#p , minimus quafi.

1354

1) Dans cette Partie, composée quelques mois plus tard que la Première Partie, Huygens s'oc-
cupe de nouveau d’un des problèmes proposés par Pascal (voir la note 8 de la p. 353); c'est-
à-dire de la détermination du centre de gravité du solide engendré par une demi-révolution
du segment cycloïdal LCOL (voir la Fig. 15) autour de la corde LO.

2) Dans ce paragraphe Huygens cherche une solution potientielle (c’est-à-dire sans exécution
des calculs indiqués) du problème dans le cas le plus général où LCOL (Fig. 15) est un
segment quelconque dont la corde est parallèle à la base de la cycloïde.

Afin d'expliquer la manière dont Huygens attaque ce problème nous faisons remarquer que
pour trouver le centre de gravité du solide en question, il suffit de connaître la situation du
centre de gravité d’un secteur infinitésimal engendré par la rotation du segment LCOL
autour del’axe LO par un angle infiniment petit, En effet les centres de gravité de tous lessec-
teursinfinitésimaux qui composent le solide se trouvent alors sur un demi-cercle dont on peut
déterminer le centre de gravité en supposant que sa densité soit partout égale. Or, Huygens
applique ce procédé en premier lieu à la figure LCONCR L(Fig.15),qu’on peut remplacer
par le segment BCXB qui est identique avec le segment /#/de la Fig. 17. Pour déterminer
le centre de gravité du secteur infinitésimal engendré par le segment entier LCO [Fig. 1 5] le
même procédé devrait être appliqué ensuite au segment de cercle RCN. On n’en trouverien
dans le présent manuscrit, ni dans les autres manuscrits de Huygens. Toutefois il nous semble
probable que ce travail a été exécuté par Huygens. En tout cas il l’a achevé pour le cas
spécial discuté dans la note 6 de la p. 361 qui suit.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 359

Oportet invenire quomodo hujus centrum gr. s dividat diametrum ow. fuper
bafi circulo 4bch, conus intelligatur maximus cujus latera #2, #2. hujus coni pars
quam cum ungula zcbg communem habet fi ab ungula auferri intelligatur, fuper-
eric folidum quoddam cavum minimum; quod folidum (fi fuerit angulus gbz
2 pom in cuneo) nihil aliud erit quam ipfeille cuneus inflexus veluti. Sit etiam
fuper fegmentum def extruéta ungula defhr, ut fit angulus ekt 20 mop vel gbz.
tum infcriptis [is æqualis altitudinis in fegmento def fuper ijs parallelopipeda
intra ungulam excitentur, et totidem annularia folida intra folidum cavum
aucbg formentur. horum fingula fingulis diétis parallelopipedis æquiponderabunt,
quia involucra (ex propof. À 3)) -bafibus parallelopipedorum æquiponderant
et utraque in eandem altitudinem ducuntur. Ergo apparet ungulam ipfam
defht æquiponderare folido cavo aucbg. Quare fi fiac ut folidum cavum

aucbg ad ungulam
(Fig. 18.] defht ita kh radius

+ 443 ad ko [Fig. 18 ] erit
| ( 2
ÿ

9 fub centro gr. diéti
folidi cavi. Sed quæ-
nam eft ratio solidi
cavi, five cunei
; Imnop [Fig. 17] ad

à ungulam 4ef#r? Eam

\ 4 dico datam effe. Eft
enim eadem quæ folidi ex converfione involucri expanfi /# circa /# [ Fig. 17],
ad folidum ex converfione fegmenti ef circa df. Ilud folidum ex ijs quæ ex Prop.
® deduximus datum eft 5). alterum fimiliter datum eft quoniam fegmentum 4f
magnitudine datur datâ cycloide 7), itemque fegmenti centr. grav. Ergo quum

_utraque folida fint data etiam ratio ad fe invicem data erit. quare itaque et ratio #h

ad ko [Fig: 18]. duéta ergo og parall. bg in ea erit centr. gr. folidi cavi aucbg
[Fig. 16], fed et in reéta 7 [Fig. 18], quæ ita dividit 2g ut br fit dupla rg. quia
videlicet ex triangularibus solidis, quale g@, totum cavum folidum awcbg

-

3) Voir le $ 6 de la Première Partie, p. 356, où l’on retrouve dans la Fig. 13 le même signe de
renvoi.

4) Comparez le deuxième alinéa du $ 6 cité dans la note précédente.

5) Lisez: ,cylindrum”.

+ #) Puisqu’on connaît, d’après le $ 4 (p. 349—350) de la Première Partie, l’aire du segment

Ipnl (Fig. 17) dont la moitié est égale à la différence des aires cycloïdales et circulaires À BC
et ADC de la Fig. 6 (p. 350), et de même, d’après le $ 6 (p. 356—357) de cette Partie, la

situation de son centre de gravité T (Fig. 14). |
7) Huygens veut dire que, si la cycloïde est considérée comme donnée, on connait aussi la recti-

fication d’un arc de cercle et, par conséquent, la quadrature d’un segment de cercle.

ES
= rit

SE D US Le Sd ES

360 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

[Fig. 16] componi intelligi poteft. quorum fingulorum centra gr. in plano per
ri[ Fig. 18] duo ‘). Ergo centrum ipfius grav. dacum eric in interfeétione g.
Sit gy parall. ##. Ergo ficut y fecat gb fimiliter s [Fi ig. 17] Regis cunei dia-
© mecrum or.

$2 *).

Examinemus cafum illum cum /## 5) cotius femicylindri eft involucrum.

. [Fig. 19.]

hic ratio folidi quod ex involucro /mn [Fig. 20] ,; ad folidum ex circulo mo
circa /#, five folidum ex circulo de [Fig. 19] circa 4, ea eft quæ 3 ad 2 ut ex
f uperioribus facile colligitur +). Ergo ea quoque ratio erit cunei /nop, five soli i
cavi bg ad ungulam detfh. Ergo etiam #4 ad ko ut 3 ad 2. Ergo 4b ad bo
item Ar ad rq, item br ad ry ut 6 ad 1. fed br crat ad rgut 6 ad 3. Ergo erit £y
ad yb ut 4 ad 5. Ideoque et ws [Fig. 20] ad so ut 4 ad 5: et s centr. gr. cunei
Ipnm *).

LA

+) C’est-à-dire en coupant le solide par des plans qui passent par l’axe du cône 422 (Fig. 16).

?) Dans ce paragraphe Huygens examine le cas spécial où la cycloïde entière /ymên (Fig. 20)
fait une demi-révolution autour de sa base /n.

3) Il s’agit de la surface plane /0wen (Fig. 20), qu’on obtient par le développement de la surface
courbe du cylindre /2g de la Fig. 19. à

+) Posant r pour le rayon du cercle générateur de la cycloïde, on trouve, d’après le nratsièe
alinéa de la p.356, 57°r3 pour le volume du solide engendré par la révolution de la cycloïde
lym£n autour de sa base. Le théorème de Guldin nous donne 2#°r3 pour le volume du solide
engendré par le cercle oxw»90. Le volume engendré par l'aire a/ymmogmêno est donc égal à
3n°r3; mais il ne diffère pas du volume engendré par l’aire /Owen1. I1 en résulte que ce dernier

. TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658. 361

Sic nunc fuper bafi tota cycloide /p# cuneus conftitutus Æyprom. Ejus cunei
duæ partes /ypd, pen€ habent punétum fub centro gr. in #0 quam ita dividit quem-
admodum ungulæ or#pp centro gr.is fuppoñitum. cum nihil aliud fint quam hæc
ungula diduéta. Ergo id centr. gr. 0 [Fig. 20 et 21 ] ita dividic reétam om ut pars

ver fus 72 fit 3, reliqua 5°). ex #5 > [mo] aufer #4 5 [mo] , relinquitur ês % S

(Fig. 21]. (5) mo. hæc 0s dividatur in À [Fig. 21 ] ut fit 4 dupla ®) (fefquialr.)
a:
ipfius As, fit As 90 66)" cui addità s0 5 S [me] fit Ao 5 =39( 7)
xe totius #70. À autem eft centr..gr. cunei Æypérom [Fig. 20].
ŸS Sit. folidum ex cycloide ortum circa axem /# [Fig. 20] eoque per
axem eundem 7 feéto ”) quærendum fit hujus medietatis centr. gr.
Seétio quæ bifariam hanc medietatem dividit, fit circulus og [Fig. 22]

L
PT et HSE: 0À D 2337 om fit defignata circumferentia yAË£. in hac
[Fig 42] Ds 2: quia centr. gr. funt omnium cuneorum cycloidalium
si, diéti femifolidi; erit proinde periferiæ YAË centr. gr.
idem quoque femifolidi di&ti. Ergo ut femiperiferia
circuli ad diametrum, hoc eft ut dimidia bafis cycloidis
lo [Fig. 23 | ad ejufdem alitudinem on ita fit Aonempe
T 133; Por id:
ré X td e (7 ons ad ow, eritque,w centr. gr. femifolidi

ee
Li

volume est à celui engendré par le cercle oxmgo autour-de /», ou du cercle de autour de 4,
comme 3 à 2.

5) Il s’agit du secteur infinitésimal décrit par l'aire /Owmen/.

6) En effet, à l’aide de l’analyse moderne, il est facile de constater que le centre de gravité 0
du secteur infinitésimal engendré par le.cercle oxs0 doit partager le segment 0 dans le rap-
port de 3 à 5, indiqué par Huygens. Mais comment celui-ci a-t-il obtenu ce résultat ? Il y a
raison de supposer qu’il était en possession d’une méthode, que nous ne connaissons pas, pour
déterminer le centre de gravité du secteur infinitésimal engendré par un segment de cercle
quelconque tournant autour de sa corde et qu’il appliqué cette méthode au calcul du cas
spécial en question; comparez la note 2 de la p. 358.

7) Huygens commet ici la première des erreurs de calcul qu’il signale dans la dernière phrase de
ce paragraphe. Plus tard, ayant pris connaissance du résultat de Pascal, il a corrigé ces erreurs.
Or, nous donnons dans le texte la leçon primitive, sauf à ajouter , comme ici, entre paren-
thèses, les corrections que Huygens y a apportées plus tard.

8) C’est la deuxième erreur. Évidemment la distance 65 (Fig. 21) doit être partagée dans la
raison réciproque des secteurs infinitésimaux dont 8 et s représentent les centres de gravité.
Or, le rapport de ces secteurs, qui est le même que celui des solides de révolution complets,
a été trouvé de 2 à 3; voir la note 4 de la page précédente.

9) C’est-à-dire par un plan passant par cet axe; voir le plan ZX #11 de la Fig. 23, p. 362.

46

362 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE-1655 À 1659. 1658.

(Fig. 23.] diéti. five ut /o ad om ita fithæc ad
sus 133:

er aliam 0A, et fumatur 0w % —?2 hé
bd Lk (2); ipfus 0A. Eritque & centr.
A ot AE gr. ut prius folidi cycloidalis di-
à re rà midi. |
TT Itaque duéta w® parallela 07,
in ipfa erit centrum gr. medicratis
lEmr, cujus centr. gravitatis Gallus poftulat ?).

CHoc*) eft fi fiat ut voa /y, five circumferentia genitoris ad ejus diam. 70 ita

hæc ad aliam; hujus 7 æquantur ipfi oo. Hoc eft ut 6 circumf.a ad 7 diam. ia erit

diameter #10 ad 0w.)

(duplicem calculi errorem commiferam 4). methodus reetè fe habebat.)

1) Ce résultat erroné fut communiqué à Boulliau dans une lettre de Hüvèsté du 19 septembre

1658 (voir la p.220 du T. IF) et de même à Carcavy dans une lettre du 16 janvier 1659
(p.315 du T. IH). En ce dernier mois Huygens reçut de la part de Pascal quelques ,auañt-

” coureurs” du ,traîtté de la Roulette Ou L’anonime? (Pascal lui-même sous le pseudonyme de
Dettonville) ,a resolu les problemes quyl auoit luy mesmes proposez” (voir la p. 310 du
T.ID). Ces avant-coureurs contenaient entre autres le début de la ,,Lettre de monsieur
Dettonville à monsieur de Carcavy cy-devant conseiller du Roy en son Grand-Copsell” dans
laquelle on lit ,,Le Centre de gravité du demi-solide de la demi Roulette, tournée à l’entour
de la base, est distant de la base d’une droîtte qui est au Diamettre du Cercle Generateur
comme sept fois le Diamettre à six fois la circonference” (p. 335 du T. VIII de l'édition des

»Œuvres de Blaise Pascal”, citée dans la note 4 de la p. 196). C’est cette communication qui
incita Huygens à réviser son calcul et à y apporter les corrections etadditions que nous avons
‘ mises entre parenthèses, de sorte qu’il put écrire à Pascal en février 1659 (p. 340—341 du
T. 11) ,,Mesme dans ce que je creus avoir trouvè j’ay commis une erreur insigne, de la quelle
je ne me suis apperceu que depuis avoir veu que mon calcul ne respondoit pas au vostre. Je
parle de la proportion que vous avez trouuê de7 fois le diametre à 6 fois la circonference, qui
est vraye, et non pas la miene, que je croy, que vous aurez vu dans la lettre que j’ay envoyée
à Monsieur de Carcavy”. On peut encore consulter à ce sujet les pp. 345 ét 348 du T. II.

?) Dans sa seconde lettre circulaire ,, Ad problemata de Cycloide Addimentum” (p. 196—1 97
du TI), parvenue à Huygens en juillet 1658 par l'intermédiaire de Boulliau (voir la p. 196
du T. Il), Pascal avait insisté particulièrement sur la détermination du centre de gravité du
solide Em. C'était le seul problème dont il exigeât le caleul complet; mais on voit que
Huygens n’avait pas réussi à en trouver la solution, puisqu'il manqua la détermination de
la distance du centre de gravité en question au plan Z#x. |

3) Les phrasesentre parenthèses furent ajoutées pius tarden janvier ou février 1659.

4) Consultez les notes 7 et 8 de la p. 361.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 363

[TROISIÈME PARTIE $).]

+):

1659. 11 Jan.
[Lemma].

(Fig. 24) [AC > 4]; BD w DC; DH perpend.
g. AC: sonde ts à

V/44— 44 © HD; d— a EQ 7)

2
d—2a[]AB

Sed et AF % d— 24; Ergo AB > AF.

Sed AG media prop. inter FA et AC.
_ Ergo AG media prop. inter AB, AC. Ergo [_JBA, AC > qu. AG five 3
> 9 EJFAC hoc eft 2 qu AC — 2qu.CD.

“

t#% * LE £ |
L x” 4 t. ue

Curvæ pars AS [Fig. 25] ad AN reétam ut quadr. AC —qu.CD, hoc eft

ie Dans la deuxième semaine de janvier 1659, Huygens reçut de la part de Pascal (voir les
… pp. 309, 310, 312 et 313 du T.II) l”,Historia Cycloidis”, où il lut que Wren avait
rectifié la cycloïde et l’avait trouvée égale au quadruple de son axe (voir la p. 219 du
T. VIII de l’édition de Brunschwicg, etc. des Œuvres de Pascal). De plus, Pascal y
énonce (p.221—222) de nouveaux problèmes, savoir de déterminer le centre de gravité &’un
are cycloïdal, la dimension de la surface de révolution décrite par un tel arc tant autour de
la base ,,ce qui est facile” qu’autour de l’axe , et enfin ,,le centre de gravité de cette surface,
- oudemy surface, ou quart de surface, etc.; ce qui est le plus difficile et proprement le seul que
je propose”. C’est sans doute à propos de ces communications que Huygens entreprit les
recherches que nous avons reproduites dans cette Partie. On remarquera que Huygens n’a
pas entamé les problèmes signalés comme difficiles par Pascal. Probablement était-il persuadé
que ses méthodes n’y suflisaient pas.
5) Ce paragraphe nous donne des renseignements, quoiqu’incomplets, sur la manière dont la
rectification de la cycloïde fut d’abord obtenue par Huygens. Bientôt après il découvrit une
_ voie plus courte pour arriver au même résultat; on en trouve l’exposition dans le $ 2
AS qui suit.
_ 7) BQ est perpendiculaire à ED qui est parallèle à AB.

364 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[Fig. 25.]
4

CJBAC ex lemm. præc., ad qu.
AB, hoc enim demonftrabo, *).

atqui AN ad AB ut =qu.AB ad

i *CJBAC. pes ex æquo er
curva AS ad AB ut [_JBAC ad — mu À: 3 | de hoc eft ut 2 ad 1.

facilius Hbc demonftr. in Lis :

$ 9 sy, | , : | * e | | *

LENMACRE ES mi, *
(Fig. 26.] CD arcus x DB; DH perpend Ac. ur aué |
8 Oftend. AF AB.

Ÿ Dem. quia HF + HC et DH perpend.eritDF DC
À gp hoc eft DB. eftautemin triang. ABD, AFD, Z ABDœ
2 / AFD quia hic una cum : DEC, ille cum / DCF
Gipfi DFC æquali) æquatur 2 re@is 5). Sed et latus AD RARE ABD AFD |
commune, ergo et latus AF % AB. qu. erat dem.

(Fig. 27.] Lemma [I. |
a |

in AECD, Z D + ABD 2 ang. 1 ZC-+ LECA
five + / EBA % LI .Frge 2:G pere Le
gulo EBD. sue

3) Nous ne connaissons pas cette démonstration qu’on ne trouve pas eur les manuserits dont
nous disposons. s:

?) Voir le $ 2, qui suit. 4

3) Rectification d’un arc cycloïdal. : HIS CRU BP AN

4) Comparez le ,Lemma” du 1, p. 363. ADR

5) Puisque LABD a pour mesure la moitié d’une demi-circonférence + areDC et + LACD la
moitié d’une demi-circonférence — arcDC.

5) Il était, en effet, connu que BC , dont CD est le prolongement, est parallèle àla vince rc °
à la cycloïde. D'ailleurs Huygens en donne plus loin une démonstration ; voir la page 7
Partie, p. 374—375. eye He DIRE

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 365

CD eft parallela tangenti FG °). ducendo autem CN ita ut ang. DCN fit æqu.
dimidio CBE, fit ANEC ifofceles, cruribus æqualibus EN, EC 7). Omnes
autem CN habeantur pro longitudine curvæ BFH #).

Quæro jam quam rationem habeant omnes CN ad omnes CO , quæ funt per-
pend.ss in Alis ECN. ifta enim ratio inveniri poteft, et dupla effe oftenditur. Ergo
curva BFH dupla rectæ BA.

Quod autem omnes CN ad omnes CO duplæ funt fic oftenditur. Anguli E
triangulorum CEN æqualiter crefcunt ut numeri 1,3,5,7,9,11 &c. Habent
autem finguli crura eidem EC æqualia. funt ergo omnes CN fubtenfæ arcuum
æqualiter crefcentium ufque ad femicircumfer.m in circulo cujus radius EC.

Perpendiculares verd CO funt eorundem arcuum omnium finus. atqui omnium
arcuum iftorum fubtenfas omnium finuum fuorum duplos effe conftat , infinità
confideratà multitudine. nam finus quidem omnes tantundem efficiunt atque
duplum finuum arcuum omnium ufque ad circuli quadrantem; fubtenfæ autem
omnes duplæ funt finuum omnium ad quadrantem, fed duplo plurium numero; qui
finus duplo plures, quum fimul dupli fint duplo pauciorum; hinc et fubtenfæ omnes
ad femicirculum duplæ erunt omnium finuum qui ad eofdem arcus pertinent ?).

7) Consultez le ,,Lemma IL”. Afin d'obtenir l'égalité des angles ECN et CNE, on doit évidem-
ment diminuer l’angle ECD de la moitié de sa différence d’avec l'angle CDE.
8) Puisque la différence entre CD et CN peut être négligée.

Il est d’ailleurs curieux de remarquer combien facilement dès ce moment la rectification
d'unarc cycloïdal quelconque aurait pu être obtenue. Abaissons à cet effet du point E sur CN
une perpendiculaire EK. On a alors arc.BG — CN = 25CK = 2BE; c'est-à-dire, en
négligeant, comme Huygens commence à le faire de plus en plus librement, des différences
qui disparaissent à la limite.

9) Soit » le nombre des divisions. Puisqu’on a corde = 2 sin 39» il est évident que la somme

de toutes les cordes, étendue à la demi-circonférence, est égale au double de la somme

366 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[Fig. 28.]

Ad inveniendam reétam æqualem parti curvæ ut HG, duétâ GE parall.2 HA,
inveniendum eft quænam fit ratio omnium fubtenfarum ufque ad arcum AE ad
omnes finus ab eodem demiffos, infinita multitudine utrorumque. hæc enim ratio
eadem eft illi quam habent omnes EX deinceps ufque ad A ad omnes pese
lares EZ.

Diétam autem rationem omnium fubtenfarum ad omnes sa cam dico h

(Fig. 29.] quam habet quadrupla AW finus verfus dimid. arçus JE:

«8 f ad AT *).
Oftendit Archimedes omnes finus ab arcu AE in pa

ne

Fe les partes divifo demiflos effe ad AT ut AR [Fig. 29] ad
= T RB fubtenfam unius partis ?).
pas Similiter ergo omnes finus ab arcu AS demifi erunt ad
Le AZ ut AR ad RB. Itaque omnes finus ab arcu AE ad AT,
$ FR ficut omnes finus ab arcu AS ad AZ. Et permutando,

omnes finus ab arcu AE ad omnes finus ab arcu AS ut
AT ad AZ, five etiam ut qu.AE ad qu.AS.

d'un nombre égal de sinus qui se trouvent tous dans le premier quadrant. Or, lorsque # est
suffisamment grand, on peut admettre que les points terminaux de ces sinus sont répartis
également sur l'arc de cercle. Lorsqu’on les répartit ensuite d’une manière égale sur les deux
premiers quadrants, sans changer leur nombre, leur somme ne change pas et peut être con-
sidérée comme égale à celle des sinus appartenant aux # divisions primitives de la demi-cir-
conférence.

*) AT est le sinus versus de l’arc AE lui-même. .

?) Il s’agit de la , Prop. 22°” du ,, Lib. l”’ de l'ouvrage: ,,De sphæra et cylindro”’ : ,,Si in circuli
cuiuspiam portione figura multorum angulorum inscribatur, quæ quidem figura latera habeat
excepta base inter se æqualia, & numero paria, deinde reétæ lineæ ducantur æquedistantes
basi portionis, & quæ latera dictæ figuræ coniungant: tunc hæ omnes ductæ simul, cum
dimidio basis portionis, habebunt ad altitudinem portionis eandem preportionem, quam habet
linea illa ad latus figuræ dictæ, quæ linea ab una extremitate diametri totius circuli ad latus
figuræ ipsi diametro applicatum ducta sit.” (p. 23 de l’édition de Bâle; Heïberg, I, p.99—
—101). Ajoutons que cette proposition d’Archimède est équivalente à l'identité:

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 367

Omnes fubtenfæ crefcentes in arcu AE [Fig. 30]
æquantur duplo omnium FP reétarum quæ parallelæ fun
ipfi AE et bina quæque feétionum punéta conjungunt 5),
quum illæ in eodem circuli fegmento duplo plures finus
quam hæ conftituant. Harum verd (ipfi AE parallelarum)
dimidiæ omnes, five finus ab arcu ME demifli, ita fe
habent ad omnes finus ET demiflos ab arcu AME ipfus
ME duplo, ficut MO vel AW ad AT per præced. Ergo
ex æquo omnes fubtenfæ in arcu AË ad omnes finus ab
eodem arcu AË demiffos eam habent rationem quam qua-

drupla AW ad AT.

| Quum ergo fuperius diétum fit eam fore rationem curvæ partis HG [Fig. 28]
ad reétam TA quam omnium fubtenfarum in arcu AE ad omnes finus ab eodem
demiflos, quam nunc invenimus efle eam quam quadruplæ AW ad AT, apparet
ipfam curvam HG æquari quadruplæ AW. Nimirum ad inveniendam reétam curvæ
HG æqualem oportet ducere GE parall. bafi cycloidis, et divifo arcu EA bifariam
in M ducere MW parall. eidem bañi. Eritque quadrupla AW æqualis curvæ HG.
Jam verd quoniam BA æquatur dimidiæ curvæ BH4),et A W bis (uti oftendimus)

æqu. [dimidiæ] curvæ parti HG hinc = reliqua pars GB æquabitur BA—2AW.
hoc eft ipfi BE refæ 5). nam hæc æquatur BA—2AW ex lemm. fuperiori *).

Notandum item quod WK femper æqualis = curvæ GB.

p=n—:1 ‘
2Z sinps—-sinne cosLs
p =: He 2

1 — COS #8 hr
€ +.

et que, lorsqu'on passe à la limite en faisant croître indéfiniment le nombre des sinus,
Peu
on peut, en effet, remplacer le numérateur de la première fraction par 2 Z sin pe.
p=:T
D'ailleurs l'application exacte de la proposition d’Archimède exige de lire, ici et dans
l'alinéa qui suit, ,duplum omnium sinuum” au lieu de ,,omnes sinus”, mais cette inadver-

* tance de Huygens ne fausse pas les résultats qui suivent.

3) AF est égale à la corde qui joint les milieux des arcs AP et EF; la corde joignant A au point
de la division qui fait suite à F , est égale à PF , etc.

4) Voir le deuxième alinéa de la p. 365.

5) Ce résultat fut communiqué, le 14 janvier 1659, à de Sluse; le 16 janvier, à de Carcavy ; le
‘31 janvier, à Wallis; le 7 février à van Schooten (voir les pp. 313, 315—316, 330 et 343
du T.Il). Il est identique avec celui de Wren, publié par Wallis, en 1659, dans ses ,,Trac-
tatus Duo, Prior, de Cycloide et corporibus inde genitis”, etc; voir la p. 520 des ,,Opera

= Mathematica de John Wallis. Volumen Primum, Oxoniæ, E Theatro Sheldoniano. 1695”.

6) Voir le ,Lemma L”, p. 364, où HC (Fig. 26) et AB correspondent respectivement aux

lignes AW et BE de la Fig. 28.

368 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

$ 3 *).

22 Jan. 1659.

BE eft SpA. E eft centr.

gr. totius lineæ cycloidis
CAN.

AO > OB. D punétum
datum. DL parall. CB.

LF 2 FB. FGo=FL. GH

C

parall. CB. H eftcentr. grav. curvarum CD , NM.
Ratio conftruétionum in fequentibus explicatur pag. verfa et fequ *).
Si fiat ut OK ad KB ita HE ad EP erit P centr. grav. curvæ DAM 5).

AL 50 43 AB 50 d; AQ [0] 17. | | M di

d— 1108 ,, 34BO KO+OE-g+4KE
d—q BK +) d—-9 BK aufer KH LG dat 18308
pe [. Ï 1q L 6
—4 + FT HE FN ds
LP D nl 1 ÿ 57
Het 2 21 1 Q 21 #0 Fi
div. p. 3

ère Ha

Hate

1) Dans les $$3 et 4 Huygens s'occupe de la détermination du centre de Éheti dé arc
cycloïdal DAM (Fig.31) et de la quadrature de la surface engendrée par la révolution d’un
tel arc autour de sa corde DM. Partant des résultats qu’il formule au début du présent para-
graphe, et dont on trouvera la démonstration dans le $ 4, il montre dans ce $ 3 que le centre
de gravité P de l’arc DAM divise la flèche AQ dans la raison de 1 à 2.

?) Comparez, quant à la première construction, les dernières lignes de l'avant fire alliée
de la p. 371, et quant à la seconde, le commencement du dernier alinéa de cette page 371
et l’alinéa qui commence en bas de la p. 372.

8 HE, _ arc. AD

) On a évidemment = EP “arc, DC? où, d’après les six dernières lignes du 2 és sépyan arc.

DC =4BK et arc. AD — 40k.

4) Voir la Fig. 26 (p. 364), où HC correspond à la ligne BK de la présente Spore: Or, on 2 ns

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 369

LOe ra] BK KG) (ur MEGI+S sprn(® SÈSE dep:
ER FAN EE 4 EA
'ére RE 3 x ;
| ; I 1
Se à à
vil D EP s
Le _ 3 : TS PA À 5 À
eifairs 164 0 ÉHAEN Û if# LA À L se: & à
Hiéi co” se | à | $4 bé
ane Bd oil aus wo HE ad ea que in fin. pag lequentis ©).

« —.
és BC, le cperp. CAC dico majorem sera rationem AD
-quam angACB ad ang.CAB. D
Le à Dust 4: A AE 5 DC, et Et per AC, € ge | LACL eo)
me 7 -ime FA
NA à dE ji 5f va AD ad DC ur AD dà AE d" BD ad EF

à DE é vel DK. Sed BD ad DK major io quam ang BCD
13 286% us 4 .ad LKCD fiv A. ut facile eft oftendere. Ergo et
as Éinid sup}#d xd ad DC ny quan LBCA ad A (1

k Gicéuafers divifa et in es “MAMELR [Fig 33]. Omnes CN parallelæ et æqua-
à | cast ji pen 7). hoc et ipfi curvæ. Et fingulæ in eadem

ay AL

ir ig. 26, HC ri - T LAC RAI REA c'est-à-dire, dans la présente figure:
AR: 338 {}

k cr Fi qu ris

s œ résultat fut communiqué à Wallis dans une lettre du 31 janvier sd (voir la p. 330 du

© T. ID) et à Pascal dans une lettre du 5 février suivant CP: 341 du TI).
À 6) Voir la première annotation en marge de la p. 371.

7) Voir la note 6 de la p. 364. ds x

ÊLE

47

370 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

altitudine fimiliter fi-
tæ. Érgo centr. gr. cy-,
cloidis lineæ erit in
eadem altitudine atque
centr. gr.omnium CN.
Superius autem appa-
ruit, pag. 78‘), fin-
gulas CN effe inter fe
ficut quæ ipfsadjacent
CA. Unde fequitur, fi in fingulis punétis C fufpenderentur fingulæ CA, fore
cencrum gr. omnium CA ita fufpénfarum eadem altitudine atque centr. gr. om-
nium CN uti poñitæ funt, vel cercè fi fingulæ CN fufpenderentur itidem è punétis
C. quod nihil refert. |
Oportet igitur invenire centrum gr.omnium CA ex pun&tis C fufpenfarum. Sit
primo propofitum invenire centr. gr. omnium
CFig. 34] CA fufpenfarum ex C punétis per arcum ACB?)
[Fig. 34] quémcunque. dividatur hic bifariam
in C, à quo bina quæque reliquorum punétorum
C æqualiter utrinque diftent; quæ jun ir
rectis ef, k &ec. et dücatur item CD. Quia! "go
AC dividic bifariam angulum eAf,erit üuteA
ad Af ira eg ad gf, vel ita quoque f# ad ke + POSE

Ergo } centr. gr. erit ipfarun

rebit centr. ipfarum gr. effe in reéta CD. Ergo
omnium AC ex punétis C fufpenfarum per totum
arcum ACD erit centr. gr. in CD. à
dividatur AB 4) ins uc fit As duplasB: dico
centr. gr. omnium AC, per totam circumferen

TUE

le 2
PE

1) La page numérotée 78 par Huygens contient le ,Lemma Il” de la p. 364 et les alinéas
suivants jusqu'à celui qui commence par les mots ,,Ostendit Archimedes” (p.366). Huygens
y démontre e. a., que les lignes CD (Fig. 28, p. 366) peuvent être ee +
proportionnelles aux cordes des angles CED, or, il en est de même des cordes AC [Fig. 28
et 33], puisque les angles CKA [Fig. 28] ne différent pas sensiblement des angles CEDN +

?) Lisez: ACD. ti dl ii sirisie STRRE

3) On a fh— ge à cause de la situation symétrique des segments C/D et CeA par rappoi àla
droite qui joint le point C au centre du cercle. és ins PS

+) AB passe par le centre du cercle.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1658 À 1659. 1659. 371

tiam fufpenfarum, centr. gr. efle s punétum. Sit enim primo magis verfus A ut in
#1 Et fumatur arcus Ag tam exiguus ut omnium AC ex ipfo fufpenfarum gravitas
minoremrationem habeat ad omnes AC ex vota circumf.2 fufpenfarum, quam ss ad
sAsarcus ACBg dividatur bifariam in 0. et ducacur og fecans AB in r. Erit ang. ro À
duplus ang.irAo, ideoque r À major quam dupla rB *, unde r inter s ct B. * Oftenditur
Eft autem centr. gr. omnium AC fufpenfarum per arcum ACBg in reéta og + pet
et quidem in parte 07, quoniam fufpenfarum ex arcu Ag eft ad partes diametri Bo. vid. lemma in
AB quæ verfus g: Sit ergo p centr. gr. omnium fufpenfarum ex arcu ACBg. P# LR
Ergo pt reéta major quam 54, unde fi producatur 4, ut fiat ficut gravitas omnium oftenfà.
ex tota circumferentia fufpenfarum ad fufpenfas ex arcu Ag ita yp ad pr. cadet y
extra circulum longè, quia As ad s majorem rationem habere pofita eft. effet
autem centrum gr. fufpenfarum ex arcu Ag in y quod fieri non poteft.
Jam fi fieri poreft, fit centr. gr. omnium AC per totam cireumf.m fufpenfarum
_ magis verfus B:quam punétum s velut in z. Sumatur arcus Ag tam exiguus ut
_ reliquo 7DBCA bifariam divifo in o , duétâque go, fecet hæc diam. BA inter set
s, poteft enim fieri ). Quum ergo fufpenfarum omnium AC ex arcu 9DBCA,
centr. gr. fit in reéta go, inqueejus parte 70 ut modo etiam diétum fuit, putoin p:
omnium autem fufpenfarum per totam circumf.m centr. gr. ponatur #; cadet
neceffario centr. gr. fufpenfarum ex arcu reliquo Ag in produéta p#, quod effe non
poteft quoniam produéta p# non poteft unquam tranfire vel arcum vel fegmentum
circuli Ag?), intra quod neceffe eft diétum centr. gr. fufpenfarum per arcum Ag
si ‘phil the: ai MUST FLAT reperiri. Eît érgo punétum s centr. gr. om-
DOTE NT PMP NPTTEE nium AC fufpenfarum per totam circum-
ferentiam. Quare etiam centr. gr. curvæ
cycloidis d [Fig. 33] ita fecat axem BA
ut AY fit dupla dB.
Efto rurfus quicunque arcus ACD [ Fig.
35] per quem fufpenfæ fint reétæ æquales
fubtenfis AC. dividatur bifariam in C et
ducatur CD. Oftenfum eft centr.gr.omnium
diétarum fufpenfarum fore in reéta CD. dico
autem ipfum ita hanc dividere in s ut fit Ds
dupla sC. Sit enim fi fieri poteft primum
inter set D, velut in #. et fumatur arcus Dg
tam exiguus ut omnium AC ex ipfo fufpen-
farum ad omnes fufpenfas ex reliquo arcu

D

di Voir le »Lemma” de la p. 369.
br Puisque le point r s'approche indéfiniment de s lorsqu'on diminue l'arc A.

7) Puisque le point p se trouve nécessairement à droite de la ligue gs et que, par conséquent, le
point où le prolongement de ps coupe le cercle sera situé à gauche du point g.

* vel sicnam
cum totius fit in #,
et partis Dg intra
illud segmentum,
erit reliqui c.gr.ab
altera parte reftæ

DC *).

* seorfim often-
dendum effet*).

372 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

(Fig. 35.] qgCA, minor fit ratio quam st ad #D. arcus
gCA bifariam dividatur in 0, et ducatur go.
erit arcus Co fubduplus ad arcum Dg, unde
interfectio 7 cadet inter s et C per lemma
adjeétum ‘). Erit autem centr. gr. fufpen-
farum ex arcu goA in reéta go ,at non in
parte g7*, nam fi ibi fit puta in x,
debebit in produéta xzeffe centr. gr. fufpen-
farum per arcum Dg, quod abfurdum eft
quia x# produéta non tranfit per fegmentum
circuli Dy. Sed neque in parte ro erit cen-
trum gr. fufpenfarum per arcum goA , nam
fi fuerit inibi puta in p; ergo quia omnium
ex toto arcu DCA fufpenfarum centr. gr.
eft in z, erit reliquo ex arcu Dg fufpenfa-
rum centr. gr. in produéta pr ulterius quam
ubi ea ficterminatur (ut fit p4 ad adjectam ficut st ad #D)3), fed p# major eft quam
st. Ergo longe ultra circulum caderet centr. gr. fufpenfarum per arcum Dg quod
abfurdum. non ergo inter s et D poteft cadere centrum gravitatis fufpenfarum
per arcum ACD. 3H
Jam fi fieri poreft fit cencr. gr. idem i inter set C, pura in #. : Pal
Sumatur arcus Dg cam parvus, ut, divifo bifariam arcu rcliquo qCAi ino, êbe-
tâque go, fecet hæc reétam DC in r inter s et #: poteft enim fieri quia C minor

eft quam— à 2 CD *, Cum ergo fufpenfarum ex arcu goA centr. gr. fit in reéta go , et

in parte ejus 0 per ea quæ modo diéta funt 5). fic igitur in p. Ergo centr. gr. fuf-
penfarum ex reliquo arcu Dg cffec in produéta #p ) , quod effe nequit, quia hæc
non poteft tranfire per fegmentum Dg, ubicunque fuerit p in ro. Ergo neque
inter s et C cadet centr. gr. omnium fufpenfarum per arcum ACD. LS on a
reliquum eft ut fit ipfum pun@tum s. quod erat demonttr.

Eft autem demonftratio prorfus fimilis præcedenti qua de fufpenfis per totam
circumf.m oftenfum eft. Atque ex his manifefta eft ratio conftruétionis pag. 81

F) Voir le ,Lemma”” qu’on trouve à la fin du présent paragraphe, p. 374.

3) C’est-à-dire du côté opposé à celui où se trouve le segment gr.

3) Lisez au lieu de la phrase que nous avons mise entre parenthèses : ,ut pad adjectam minor
sit ratio quam s7 ad D”.

4) On sait déjà que r se trouve, comme #, entre s et C. Il suffit donc de démontrer qu’en dimi-
nuant Co on peut faire approcher le pois r indéfiniment du point s.

$) Voir plus haut la réduction à l'absurde de la supposition que le centre de gravité en question
se trouve en x entre g et r; réduction qui reste valable dans le cas présent, où le centre de
gravité des suspendues” de l’arc ACD est supposé se trouver en #.

6) Lisez: pu.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 373

qua partium curvæ DC, MN [Fig. 31] centr. gr. __ 7). Unde deinde
deducitur 9 centr, gr. partis DAM effe in P ut fit AP - 3 L AQ.

(Fig. 36.] ER ergo hæc pro-
B prietas Cycloidis et
miranda profeéto,

quod ficut centrum

F grav. totius çcurvæ
axem ejus dividit,
ita quoque centra gr.
cujufque partis reéta

» bafiparallela abfciffæ
fuos axes dividunt,
nempe ut pars ad ver-
ticem triens fit axis
totius ?), Ita hic BK

[Fig. 36] eft BM,

ideoque K ne.
gr. curvæ EBF. Cum autem BG femper fit dimidia curvæ BE, hinc jam fuper-

ficiei magnitudinem quæ fit converfione curvæ EBF circa bafin EMF facile i inve-
- niemus. habet enim fuperficies ejufmodi ad fuperficiem ad eam quæ fit converfione
utriufque re&tæ GB, BL, circa GL, rationem compofitam ex ratione curvæ EBF
ad utrumque fimul GB, BL et ex ratione KM ad dimidiam BM, cum in media
BM fit centr. gr. duarum GB, BL. Erit igicur fuperficiei ex curva EBF genitæ

ad fuperficiem è duabus GB, BL, hoc eft ad duplicem conicam fuperficiem, .
_rationem compofitam ex 2 ad 1 et ratione 4 ad 3, nam curva eft ad diétas duas

| redas ut 2 ad 1,et KM ad : BM ut 4 ad 3. Eft ergo ratio ea quæ 8 ad 3. Idque

_ perpetuo. unde fuperficies a tota curva CBD circa bafin ad fuperficiem circuli

vie genitoriserit ut 64 ad 3 *°), fiveut 1, ad I.

_ 7) Voir le deuxième alinéa du $ 3, p. 368.

8) Au même 3.

_ 3) Comparez la note 5 de la p. 369. Dans sa lettre à Pascal (p.341 du T. Il) Huygens
_ s'exprime comme il suit: net peu de temps après avoir envoyé cette lettre” (il s’agit d’une

_ lettre à de Carcavy du 16 janvier 1659, p. 315 du T. II). ,j'ay encore trouuê le centre

_ de gravité de la ligne Cycloide, et des parties coupées par une parallele à la base, qui ont

cette proprieté estrange que leur centre de gravitè divise leur axes tousjours en la'raison de

142. comme vous scavez Monsieur”.

10) Ce résultat fut communiqué à Wallis dans la lettre du 31 janvier 1659 (p. 329 du T. II),

bien qu’il ne soit pas mentionné dans le sommaire que nous en possédons. Cela résulte de la

374 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

- [LEemma] *).

arcus Dg duplus co dico Dr ad rc majorem
effe quam duplam.

fitrf perp. D. Ergo Df major quam dupla fo per lemm.
fuperius. pag. 81 *) et multo magis ergo Dr major quam
dupla re, cum fit Z Dco obtufus.

[QUuATRIÈME PARTIE] 5).
8 Febr. 1659.
Demonfiratio geometrica tangentis in Cycloide.

[Fig. 38.] LEemma I,

GDF perp. AC diametro. cui occurrit. |

À Demonftrandum rectam DF majorem |
arcu DB. es

f > fr /AABC, AGF fimilia funt. “ ..) HER, î
tangens in B. Ergo / FBE > / BCA #). Ergo / FBE
o / BFE. Et latus BE % EF, Et BE + ED > FI D*S
BE + ED majores funt arcu BD. Ergo et FD au arcu BB: 15RTIQEE"

réponse de Waïlis, où l’on lit: Interim quam tradis rationem superficiei Troch
circa basin conversà descriptæ xd circulum genitorem , nempe ut 64 ad 3» om: nino re
esse intelligo” (p. 360 du T. 11). 2.
D) I s’agit du ,Lemma adjectum” dont il est question dans le premier alinéa de la p. 372
?) Voirla p. n.
3) La construction de la tangente à la cycloïde n’était pas inconnue à cette époque. Van
ten en publia une dans la ,,Geometria à Renato Des Cartes edita operà et.
Schooten” (p. 226 de l'édition de 1649; p. 267 de celle de 1659 et 1683
struction de Huygens se déduit immédiatement. Il fonda sa solution sur l’empl
instantané de rotation, mais il ajouta: ,,Cæterùm possem hanc tangentem alio
meà sententià elegantioti. magisque Geometrico demonstrare; verùm quoniam
foret, & brevitati hic mihi consulendum videtur, in præsens ei describendo supers
Or, dus cette Quatrième Partie, qui a servi plus tard d'avant-projet aux Prop. XII-
de la ,,Pars secunda” de l’,Horologium oscillatorium” (p. 37—39 de ht rigina
Hoyéees s'applique à donner une telle démonstration purement EE
+) Puisque ces angles sont mesurés tous les deux par la moitié de l’arc BA. #4

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 375

Lemma Il.

[Fig. 39]. AC diam. AB linea. DFG perp. AC.
demonftrandum arcum BD majorem
recta DPF,

ducatur fubtenfa DB. arcus AG > AD,
Ergo Z ADG % ABD. / autem DFB >
D. x ADG + DAF. Ergo / DFB |] / ABD.
sf Ergo in ADFB latus DB |] latere DF. quare
multo magis arcus BD major reéta DF.

[THEOREMA.]

Sit RAQ Cycloides.
K datum in ipfa punc-
tuminquotangens fit
ducenda. ABC eft cir-
culusgenitor intra cy-
cloidem conftitutus.

t KB parall. bafi QC, et jungatur BA, cui parallela fit NKL.

Sumatur enim in NKL punétum quodvis præter K , ac primo altius ut N, unde
NQ parall. BK, quæ occurrat cycloidi in O circulo ABC in P.

Quia ergo PO eft > arcui PA ut fuperius dem. 5) erit QO % arc.PA + PQ.
hifce autem duobus major eft arc.APB, quia arc.PB major reétâ PQ per lemm.
ecund. Eftque arcui APB æqualis BK five QN. Ergo QN major quam QO.
anétum N eft extra cycloidem. |

e infra K fumacur in KL punétum L et ducatur LD parall. KB. occur-
ycloidi in M, productaque AB in F. Ergo quia DM % arcui DBA. DF
major arcu DB per lemma L. Erit FM minor arcu BA , hoc eft reétâ BK
L. Ergo punétum L extra cycloidem. Eft ergo NKL tangens in K.

5) Voir le $ 1 de la Première Partie, p. 347.

376 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

CCINQUIÈME PARTIE] *).

F) Vers la fin du mois de mai 1659, Huygens reçut enfin les Lettres de 1e Dettonvill CO:
nant quelques unes de ses Inventions de Geometrie” (voir l'ouvrage marqué , cité
note 32, p.307 du T. Il), où Pascal expose les méthodes qui l'avaient conduit
des problèmes sur la cycloïde. À ce propos Huygens écrivit à de Carcavy dans
22 mai 1659 (p. 41 du T. IT) qu’il admira ,,de plus en plus la subtilité des écrits
Dettonville, mais” ajouta-t-il ,, il faut avouer que c’est un labyrinthe lors que l’on l'on
la construction de quelque probleme”. C’est ce qui le porta à entreprendre des c:
d’après les méthodes de Pascal, de la distance à l’axe du centre de gravité d’un de
de cycloïde dans les deux cas spéciaux signalés auparavant par Pascal (voir la no
p. 348). Or, la figure du texte nous fait connaître le résultat de son calcul dans
de ces cas, tandis que dans la lettre à de Carcavy déjà mentionnée, il dit avoir trou
deuxième cas (celui où le demi-segment cycloïdal est limité par la droite décrite par
du cercle générateur) pour la distance du centre de gravité à l’axe _. valeur qui, e
dans les notations de la Fig.4r, est représentée par la forme-d EE “(pu 27 : ST ECS
quoi il prie de Carcavy de lui mander s’il a ,,bien supputè.”

Ajoutons que nous avons vérifié, par l'analyse moderne, l’exactitude des deux ést

hr pneus ee mn Le

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©! RU genitoris CBA. DE api plcata ad

[ER em fecans circumf.m in B. 4 4 -

Sdidum 6 ex fpatio CAF circa axem,
0 Ce 77 91 +... vitemque centri gravitatis Z ape ab

uæ elt ee FE TR + detur fumma quadratorum DE: ). eft

na: quad emo , fumma quadracorum BK, fumma duplorum éen

Lave cuogtheup mianennt is mo 19 of ‘ii pe bagvistdO
41 "sietes fe dis ire EE wi geniroris E A tes tota,P, 1, : rSMOUTE
i 451 |

Summa . orum DB eft ES R° ; quod À facile cognofe citur ex Sa fphere

à Oftenditur æqu is [RP ar, 4 san MP demontatons ex un-

ra D, DU
oe nfo pq up. no soin, .smobboby 25e
Meotoeig &l 200b Site 10 : 174 Lo ss JM = 108 no 8,

re est empruntée x Se 126 recto du Manuscrit G. Elle contient la Hébttifiion de
nce ZG du centre de gravité Z à l'axe AC de l’espace cycloïdal CFÀ à l'aide des
s exposées par Wallis dans ses ouvrages ;, Tractatus Duo. Prior, De Cycloide
laris” (1689) et ,Méchanicorin j'sive Tractatüs Dé'Mott, Pats-sectirida®
on Huygens corrige deux erreurs qui se trouvent dans Éric 4
wo”, citée d dans la note 3 de la p. 518 du T. IL. : ; por HE soit Ce
fes due la Pièce occupe dans le Manuscrit G. HS Fr 2
Ride : Ta PUB SbNoubS Entrs nt dmadev zot supein (
od erme DES r date pe: où = DÉ, x D
+. 2:94 2uot BA Nu] ot. LESRIMATS ahéqure ATEL sb; sa) D 23!

|

cat SE, sa sar fra RER E

J S vol. cylai
dans ot 2 de 48 GT VI + Li OGM ht
le XVIP” du ;,Caput V”; voir les p. Lie . LR. Priaun' de
Machematicn” de Wallis, Oxoniæ, E Theatro Sheldoniano, 16955: + 4 000

48

378 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1653 À 1659. 1691.

Summa duplorum reétangulorum , apud

c eundem in libro de Cycloide, invenitur
à - facili ratiocinio æqualis LR P* 1). Sed tan-
; tumad folidum integrum ex CFA pertinet.

à A |

GA eft æqualis 2R ?). quam in libro de
Cycléide Wallifius facit 20 °R 3),

ik + RP —4R +$RP° five SRP°— 2 R' fumma quorum DE.
Summa quadratorum AF in [_J° AH % — ERP°. el Fe, à

M

LRP* [ad] SRP°— SR Five] P* ad] 3 { p'—tR's) ut tr x ul
circa CA ad folidum ex — À Cyétode CFA. Fes ZG> pi èR s). quamin Bi

rue ge HD 4 248

de Cycloide Wallifius ftatuit As Bey, Poltea vero correxitinlib. de : Mütu?).
ft

Obfervandum in hoc et omni pre fummam quadratorum Me .duplam
momenti quod vocant, hoc eft, duplam ejus quod fit ex figura plana prôpofi ta, in
diftantiam ipfius centri gravitatis *). os

TI FTEG

brti 3 CMIIATTONS LTÉE be

1) Voir le $ 81 des , Tractatus Duo”, + 516 du ,Volumen Primum” cité _ fs note de
page précédente. L’artifice en question est bé: sur Ja remarque que dans la Fig. 2 de la
p. 348 onaGF —ML et EG+NM=—AD; par suite, dans la présente figure, 2 ZEB X
X BD est égal au volume d’un cylindre qui a pour base le demi-cercle CBA et PERS
la ligne AF. 15 9.91] UN 04814088

2) Comparez la dernière ligne de la p. 355... ; OS à

3) LE le ‘ 36 de l'ouvrage cité; mais l'erreur a été corrigée depuis dans ie, Volunen Prima”
p.595 eut nol8290 91199, SOI D pe

4) Lisez: 3 p? 16p2 ! ! ion SEertth SIT. ou 1514181 ef 3h ErT "
+ 3 | SU ss
5) Puisque les volumes du cylindre et du solide décrit par la demi: cycloïde sont dans la rai

composée des aires du rectangle et de la demi- -cycloïde ( qui sont de 4à3;voirle $2,

et des distances de leurs centres de gravité à l’axe CA. On a donc P2: 3ps Fay Les

RS ; résultat conforme à celui ui indie

dans l'inscription de la Fig. 41, p. 376, puisqu'on a fus gg et R = nusodid MEN cé

I
= 4 X—P :
4

5) Voirle$35 des ,,Tractatus duo”; mais le résultat none er |corrié depuis à la p. 505 du
» Volumen Priniuiuts Ru ist tt datés

“5 A ra

NT ST) ; |

sad . " #1 A tt :11y #1 151 fi f

A 14 à

ï à Fe
4: D f : a < À
MN $ ; | : L" Er LA
1e ss M) RE" F 7 ÿ fe
‘HN #t 409180 .571) DAOUMID dut CHU

» 53 Hi
221 tot

Er. seb hab 9 hotiunes utiini Dot sion cu eutitte

XH.

[1658]. ATP

à Len qnar Cun éhéortre de féréoméhri 597]

| ABC ang. 120 gr. dico qu. AE hu BC +] ABC »
sb A€;

Eft enim trs 2 qu.AB + qu.BC + 2077 CBD. at2 [7
CORRE C3 | rhiée tpts ie 2 2BD. Ergo &c.

F6 Ce) Fig 2] [ad] NL Ou HK (2) ad NL (2°)

MN ce y" ac —- bc
a a

A 3 con.FLG (aac)—3 con.HLK COIE ee +

dé par Huygens dans son calcul.
ntée à la (se 39 du Manuscrit A. Elle se rapporte à un passage de la Cor-

1 qu'il est formulé dans l'ÆEpistola XXII” du , Commercium epistoli-
lis vel Coni Frustum (parallelis planis abscissum :) Cujus Basis major,
tæ À; Dnpors qi rectæ #3 etude, F. Dico, Si cruribus À, E

r Circulus: Quadratum Radii cireuli ou, in Altitudinem Frusti
Frusto.” (Voir la p. 110 de l'ouvrage cité dans la note 3 de la p. 192 du
U es saone es. dre e diner cité dans la note 19 de

ji ni Fe! IS TS;

380 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1658.

Li

Le + 3 fraftum FHKG divif. per MN > .)
DS + Bboqu. AC [Fig. 1] (ABHFG >. 4; “Ce

Rats
Let qu.EB. unde cylind. cujus d ameter |

FRERE

ù altit. MN [Fig. 2] æquabitur frufto FE

ÉAAEIS

Wallifius invenit fed minus co

We de JA 15 CG fPE
e 14»
Lé
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Dee te LA HÉOE
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luËtion d'un théorème de ccmérie taie A la mes connue du centre
nrenel re +3

A à

Fe dns ser DC
9553418 AD Es] 10000000 (AE) [ut
re EC) 10408 +) uk 179 me.
HE 1YE7 3 M 55 Sy: #6 > ;

314085 ss).

LE oc res ñ æÆ RE ATEN | F Ai à 4
Fe Taie 0 Ut DE AO BU Hi FSbR 132

LTÉE

RENE TEE ARTE 1: 3% aix Hi

nisons dans cette Pièce un théonéinete cyclométrie et quelques annotations qui
nt. On les trouve aux p. 75 et 76 du Manuscrit À , lesquelles pages suivent immé-
celles dont nous avons emprunté les 463 et 4 de la Troisième Partie de la Pièce
368 —374), qui traitent de la dét rmination du centre de gfavité d’un arc cycloï-
ret on verra qu’il s’agit d’une application cyclométrique de cette détermination.

premier paragraphe Huygens calcule la valeur approximative qu’on trouverait pour

en supposant que le centre de gravité D [Fig.1] d'un arc de 60° shié avec
cloïdal possédant la même flèche, auquel cas on aurait CD Eur % CB.
| ls calculs. On rouve én vérité. ro467s.

à (TRS 50

+ DOI £ z " £
h LATE UE CA PE CLE LEE TES

382 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

(Fig. 1.] [Fig. 2] ba
2

sh +5 [ad] à [ue] & [ad] À . a
ob + 4 [ad] 3b [ut] & [ad] — RT

F

_—

fi fiat ut dupla fubtenfa alicujus arcus una cum ejufdem
finu ad triplam fufpenfam, ita fubtenfa ad aliam, illa minor
erit ipfo arcu. Theorema veriffimum®). |

1) Dans les premières trois lignes de ce paragraphe Huygens se borne encore au cas particulier
où EF est le côté d’un hexagone et qu’on a par suite CA = EF = ?, et BA égal à la ligne 4 de
la Fig. 2 Ensuite il généralise tout-à-coup le résultat qu’il a trouvé pour l’approprier au cas
où 2 est la corde et 4 le sinus d’un arc quelconque et il le précise en même tempsen indiquant
que la valeur approximative qu’on obtient pour l’arc ECF est plus petite que la valeur exacte.

Afin d’arriver à cette conclusion Huygens a dû se rendre compte de ce que le centre de
gravité de l’arc de cercle se trouve toujours au-dessous de celui del’arc cycloïdal correspon-
dant. À cet effet il peut p.e. avoir considéré l’arc cycloïdal EBF de la Fig. 36.de la p.
afin de le comparer à l’arc de cercle GBL. En ce cas le rapport des longueurs des élé
de l’arc de cercle aux longueurs des élements Hi Gt de l’arc cycloïdal, qui se Fat

= vent à la même distance de la corde, est de 1 à 2cos D où p est l’angle au centre de laré |
La

de cercle compté depuis le sommet B jusqu’à l’élément circulaire en question. Par suite, ce :
rapport (comme on peut aussi le démontrer facilement par des considérations purement géo-
métriques) augmente de plus en plus à mésure que cette distance diminue; ce qui doit
amener évidemment un abaissement du centre de gravité de l’arc de cercle par rapport à
celui de l’arc cycloïdal.

‘En effet, si l’on choisit le poids spécifique de la cycloïde de manière que les éléments des

deux courbes qui sont à la distance de ? BM de la corde ont le même poids, tousles élements

du cercle qui se trouvent à plus grande distance seront plus légers et les autres plus ro
que les éléments correspondants de la cycloïde. AAA AE
Enfin, lasituation réciproque des deux centres de gravité une fois admise, on obtient facile-

ment le théorème énoncé. On a alors [ Fig. 1] AC — ; CB > arcECF *C 5 C 'est-à-dire arc.

AC 3AC 3AF 3bb
ECF > == =
AC— 7 (AC—AB) 2 AC + AB 2AF + AB 2h+- 4
demment AF:AB=—2:4 Ar
+) Le théorème est équivalent à la , Prop. XXVIIL” du ,Cyclometricus” de Snellius (voir
l'ouvrage cité dans la note 6 de la p. 94 du T. XIT) et, par suite, au ,Theorema XIII, Prop.

b—

+ puisqu'évi-

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 383

F

183). ; $ 4.

ET | bb
+? | 0 LL. App ab 3

18 Ed Lu. 90h. 34 +2 [ad] 45+ alut]=b—"4 [ad] 3 3a ob
ns 2 2b+ 4 4

Ca + 2b 'ab+a
_. Ep Fa Lab Sabb
ve APE D sabb — 4aab
. 205— sabb > 45 — qaab (b © c+a) +)

l'ouvrage #De cireuli magnitudine inventa” tva la p. 159 du T. XII). Cela
de la‘comparaison des notes 27 , P. 99—100, et 33, p. 159, du T. XII; maïs il est pro-
que Huygens ne s’en est pas aperçu à cause de la dissemblance des énoncés.

paragraphe et dans lesuivant, qui se trouve à côté, Huygens compare l’approximation
nent obtenue à celles énoncées dans le , Theor. X VI, Prop. XIX” de son ouvrage
De cireuli magnitudine inventa”, p. 169 du T. XII.

Or la dernière équation dus 3doitêtre remplacée évidemment par 244—44 < bb (puisque

Lay. Remontant ensuite la chaîne des équations, on trouve b + rte < À F ,

il suit (parce qu’il s’agit d’une limite inférieure) que la nouvelle Le donne une

approximation que celle à laquelle elle est comparée.
même raisonnement au ; 4, on trouve d’abord (en posant = 4 * c, comme

PE DENTS FE LR 12 Le Le Liÿ—ab— Lan 3bb
past stat fa d'oull site 8 3a 25 TE)

à était à prévoir, puisque la première bee représente une limite supérieure
re une limite inférieure.

ici que l’e ‘article de M. F. Schuh, dont nous avons fait mention dans la note stà
.XIL, a paru en 1913 et 1914 dans le T. IL (Série ITA) des Archives Néer-
< art et 229—323). On y trouvera une étude approfondie, d’après une
ve” des diverses approximat ons qu'on a proposées pour l'arc de cercle.
inotations que nous venons de reproduire, on trouve encore aux p.75 et 76 du
A des calculs qui se rapportent x as re du théorème nouveau aux cas des
A rGetà Go côtés.

&
, Ps a 4
ARTS e W FU a!

dub CRC 0 | DO | LAS
F X es ' Î 4 +R: 4 re nos. ERA # hi di ps
. Ë ë ë CEE
AA « ;
540 e FO = ns Le das

4e si x — ME due,

Dés]. Le se AE

ESolrion & d'u pates d'arithmbique],

:

dy de #h queftie*) van Everfdyek:) te.
de Arithm. Coutereels pcs

6 2e mamie Éd ie

ss of wel van maent tot maendt. Ick Re dat or meent v
maende, want indien fijn dienft geftelt wert te verbeteren niet se
5 jaer die hÿ bi fjn meefter i is Sr magr.00k ie va de 7 maendk

Traduétion: a ble AE ET RNRNOE
_ Sur la dixième rer Evertéyen ajoutée derrière
tique de Coutereels #5

il refte eue f fon fervice drneribre d'aiuéé éhtiiséo Se re moi
fuppofe qu’il entend de mois en mois. Car, fi le fervice du valet fût pofé ame
feulement pendant les 5 années qu’il eft demeuré chez fon maît
des mois, comme cela fut de en effet, il faut sicique.

— à? AIRE À

AKTHIES

Fe gbodE à tes vertrecken. 500 rar hé aan sine. pus M à À 2
_ gerekent wert te verbeteren van ’tbeghin tot den eynde toe, gelijck ce
gressie; Het ghebeurt nu na 5 jaren en 7 maenden dat sy- icons met beyder

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 385

gaenden cijdt re weten in de 5 jaeren van maendt tot maendt gerekent werden.
de Progreflie dan op maenden genomen fijnde foo meen ick dat hij ten eijnde van
_ de eerfte maend verdient heeft x gl. ergo de 365te maendt 36x “al het geen hij de
voorgaende maenden verdient heeft. dat is te famen 666x. maer daer wert
gel ght dat hi met dit derde jaer vertreckende foude moeten 6o guld. aen fijn
_ meefter geven, boven dat hij niets foude genieten van het verdiende. Ergo geeft
_ hÿ in 3 jaren aën fijn meefter 666x + 60 hoc veel dan in 7 jaer komt 1554x +

+ 140. Vorders is hetgeen hij ten eijnde van 7 jaer ofte 84 maenden verdient

Traduétion : 90

comptée de mois en mois dans le temps qui précède, favoir, dans les 5 années.
Prenant donc la progreflion par mois, je fuppofe qu’il ait gagné le premier mois x
florins; par fuite le 36ème mois 36x augmenté de tout ce qu’il a gagné dans les mois
précédents; ce qui eft enfemble 666x. Mais il eft dit que s’il partait après la troifième
année, il devrait donner 60 florins à fon maître, outre qu’il ne profiterait pas de ce
ù u’il avait gagné. Par conféquent il donne en 3 années à fon maître 666x -- 60, com-
bien donc en 7 années? Il vient 1554x 4 140. Enfuite ce qu’il a gagné après 7 années,

SYE 2
24 LATE
$ ARR Lee “x

138 van malkanderen scheiden, midts betalende naer advenant van de eerste conditie; De
|. vrage is, hoe dat het met de rekeninghe staet? ##rw. de Knecht moet aen sijn Meester betalen
| ” [Un Maître prend un valet pour 7 années; sous condition qu'il lui payera (en
vivres, &c.) à la fin de cette période la somme de 40 # 8: Mais s’il désire partir
à de la troisième année, il payera à son Maitre 60 $8&.parce qu'il est supposé que son
service s'améliore du commencement jusqu’à la fin d’après une Progression Arithmétique. Or,
ilarrive, après 5 années et 7 mois, qu’ils veulent se quitter de consentement mutuel, pourvu
quelepa iementaura lieu suivant la condition prémentionnée; Os demande comment ce paye-
doit être réglé. Rép. Le Valet doit payer à son Maître 1 Fe +3]

trouve ce problème à la p. 460 de l'ouvrage suivant: ,Arithmetica Van Mt. Johan
reels Van Antwerpen; Nu nieuwelijcx oversien, alle Questien na-gerekent, en van on-
tall e fauten gesuyvert; Item vermeerdert met ” 4/gebraïsche werckingen, uyt het Fransche
Exempelaer over-geset; met by-voeginghe van verscheiden andre fracye Questien ,en noodige
annotatien. Door Cornelis Fr. Eversdyck, Reken-meester’s Lants ende Graeffelijckheyts van
ant. Tot Middelburgh, Bij Jaques Fierens, Anno MDCLVIIL. Met privilegie voor tien

LL] ! F jee E Fu C4 4

elis Fransz. Eversdyck appartenait à une famille distinguée de la Zélande. Il naquit à
20 mai 1586 et mourut à Middelbourg le 19 décembre 1666. Élève de Johan Coute-
était l’auteur de plusieurs traités d’arithmétique pratique.

1 Coutereels d'Anvers s'établit, vers 1594, à Middelbourg en Zélande, où il enseigna
athématiques. De son traité d’arithmétique, publié en 1599 chez Symon Moulert à
bourg, des réimpressions hollandaises parurent en 1606 et en 1610, tandis que
ion française, mentionnée dans le titre de l'édition de Eversdyck, citée dans la note 2,
| parut en 1620. épis ar

fe 49

386 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

heeft in als 3570ox, hetwelc gefeght wert foo veel meer te fijn dan hetgeen hÿ
fijn mecfter moft pr dat aen hem te weren de knecht ssid, 40 sit ae

is 06 1020053 Bol insibroy bras sf59 9 -
Cox D D van cen saltust Di UE me eijnde
|: vande éerite maendr.
PUIT °7 167 getal der maenden van 5 jaer ol
Te. fooveel wint hi de G7se maendt. 4 i +
EU
me nl AU

dus wint Bis in al de 67 maenden se bre dat i is 203168 ca is
à 166 rs 2ioût 9b qe

In 36 maenden nu geeft ; fjri ar 666% + Go datis Re el Mere
tu} tÉg OT
in 67 maenden ? kon 05957 DE hier dan afgerrocken hergeen Gjn meefter hem î

d taunob Héreb i Ro

fchuldigh i is te vweten 203% ee: Reft 1 9 91e) gl. “dat de kneche a
fchuldighis.

*

Train: ipés dut Lt, le néuqiender sh tant 10 18h
ou 84 mois, eft égal à 3570x, fomme qui furpafle, ain qu'il a Abu, ce quelex
donner à fon maître de tant qu’il lui, (avoir au valet) revient encore 40 florins. Par
fuite, ona 35707 — 40 = 1 Pa de 140. On trouve æ (G eft-à-dire ceque | le F5 ag ne
dansle premier mois) égaà 1 5 d’un florin. Muiriplians par 67 es nombre den ERA

#

5 aniées et dns ï .. il gagne PS is du le Griè mois. Par fie, a

par 34,00 voit que “dans les 67 mois enfemble il gagne À , 34 cu ou 203 1
Or, en 36 mois il donne à fon maître 666% Hé 60, fivoir EN 4! Co )
AFS) PRE CSN Kasgé Le

La). Si l'on diminue cette. fonme de ce que fon

G'RM AA
LA UE CFE

67 us l mich 222—
66 5 audr sa

doit, vais : 2036 k il ne 19168 ) î. qe 4e vale: doit a au part
168” Fe | MR FAURE TRES |

Fer ; : #2y TMCE ONE # ete

SG NAT TEST a e— ou “e sHADTONTS DATE DES Ce

1) En vérité on GOENT aide dela proportion indiquées ru
336.

2) Lisez: 1 su LÉ solution d'Eversdyck (voir la note 2 de la p. 384) est done me

de Huygens en diffère, c’est à cause d’une erreur de calcul.

» 99 LH MOST [1659.]

[Recherches sur la théorie des doper XL

<

«bte dk h ls.
$1°).
AE Dai RE. CS 5 b: BD; BE % 4.
AB 3) (a) [ad] CS (2) QE HD D [ad]
DF (° 2e) 4
AB:)(a)[ad]CS(#) [ur] BE(@) [ad] EG(
DF(É ; )'Cubur]. DE (c—4);E F(E—c )
ao FG . ee

pin er Eve est en par lui dans la ,, Prop. XL” de la ,,Pars tertia” de son
gium Oscillatorium” (p. 81—82 de l'édition originale). Pour l'exposer en quelques

t R le point où les lignes KE et HN (parallèle à l’axe BC) de la Fig. 1 secoupent, Z

, HZ __HN__HN
int d intersection des normales consécutives HF et KG; on a alors FZ = FG = HR x

QE Xe Pa pes ratée afin de connaître le pair Z de la développée, qui correspond
ie G,.DE à

poi QE‘ tFG: . Or, dans la pré
+ Pièce, “RAA eye commence re chercher le poire meer qu’il trouve égal à

a rouenormae. La formule se déduit facilement de celle pour FC de la p. 317 en
1e ; ne r; a pour get ac £ POUr x.

388 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

DE (e—d) [ad] FG (22€ + c—2) [utjac — ad [ad] bd bc + ac— a

[Fig] [i.e. ut] a[ad] 4 —4.
DC (5- c); DA (a+ c) [DA — DC]
(2e) [a4] DC( Lac) [ut] AC() [ad] CQ

I
— 44 — 20C

—48—
% . . . 2 R LE sai
ratio HZ ad ZF componitur ex rationibus QF (3

aa—occ \
2 —— et DEadFG [h.e. 1 ds; 6 sh po

ad A3 — 2406 — —aab + 2bcc. Ergo HF 'ad FZ ut 272 Ead. “are F
8

sa di 6 np

— —aab + obcc[h.e.] Eee —aab [ad]22—2b in ra
Î Ÿ: NE 2 he IS

"HF au FZ pin ni ex 34 [ad] 744 cc fer b té4 a—

1) Cette proportion résulte immédiatement de celle (DA : DC = QA : QC) qu'on tro L
mulée dans la ,,Prop. XXX V [” du , Lib. l” des , Con.” dApolet voir la p. 2 26 verso de
l'édition de Comnivädin:

2) Consultez la note 2 de la page précédente. vai :6540300e

3) À l’aide de cette relation il est possible de construire la développée de l'ellipse |
point; mais Huygens désire connaître l'équation de cette courbe afin de savoir si elle
brique et jusqu’à quel degré son équation s’élève. À cet effet il prend pour origine le
de la Fig. 2, posant VO—x, OZ =», Or, afin de a à le point V, il suffit de r
que CV est égal à la limite de DF — =} pour BD — ca. On a donc =. Ex

tes

4) Le segment BD est déjà représenté se c (voir la rérsiète ligne du présent paragraphe) ; Or,

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 389

VO > x; OZ © y; BD 29),
HF ad FZ Th. e.] jet [ad] 4—b in 74 — cc

PE PS LA 1
az —bz in -a4a— cc

b
[ur] DF(Æ) ad FO =
4
Ste 5 DV.
pp 2
< DF
2e ad[de]
az — bz in —-4a — cc
4 FO
Lys
Gé à .

4 cchz — accz + at — cash Las ah — ax
vas 8 8 2 2
ETS : DO %3 2 D ————— Tr
dR. 1,3 4acc— bec

4

a [ad] [ue] ae [ad] APE q,DH 9

il semble que Huygens n’a remarqué cette double représentation que beaucoup plus bas
_ (1.7 delap. 390), où il pose c—2. à

Huygens applique ici la ,, Prop. XXL” du ,,Lib. l” des , Con.” d’Apollonius (voir la note 3 de

340); malheureusement il écrit pour le troisième terme de la proportion 44—22,au lieu

-4, - 23, et cette erreur fausse les calculs qui suivent. Ainsi l’équation finale à laquelle
arrive dans le cas général devient, après corréction:

pate | ex.
léduits 24pyy — bpyy + ap3 ?°

à Crea aape + ay) 3° — (aay— be à 4 PA moi

Ilest vrai que cette équation est du huitième degré tandis que la développée de l’ellipse est
e du sixième degré, comme Huygens lui-même l’a trouvé plus tard (comparez la
la p. 394); mais, lorsqu'on y substitue —p2 pour 3°, on voit qu’elle est divisible
, et l'équation qui reste est alors, en effet, identique à l'équation bien connue

ppée de l'ellipse. 0
a été plus heureux dans le cas de l’hyperbole, qui est traité dans le

_ Ajoutons que Huygens
paragraphe qui suit.

390 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

g-DF(ÈÈS) [ad] a. DH EE) Que]

LL
22 in qu.4 — b in nqu 44 ce

g.FO SU ME “5 à AS
[ad] qu.0Z (| rer
. + ::
“qu. pe in qu ag— ce
ablad]aa—2z[ut] | —_—
[ad] »» *) | he à
fit ET [20 ] BV. ergo z cs . fit y 5 p—x 2 BO 7 go
ay A à
M Led c'eft 10 7. ra |
: app in La 7€ an
ab [ad] 44 — LE ge [ut] 4PP_ Ca ad]

app 4 pp VE VAS De EX

vocetur f. f 20 — 96e +— sa, je oo —22 2 E +9 2 6e; blue
sig: 30e "s 6ey, pif sh rio sasdtée
eh orme ve ent ne anutees (6
2bvyy + vante LI
154) —3bpyv + 124p°

Ù \ VyYY + “aay— 4
fi p 2-4 etiam 2 % a; — PL
4 15 Puce Saw +8 il

) Nous supprimons, ici et ailleurs, _ calculs Ltée. |
2) B 7. donc être considéré comme l’origine des ee J' ets .

+) Ici Huygens reprend l'équation f 30 — ee+-L pour y pt
de l'équation qui précède.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 391

$2°).
pu Lr. 200: BD c; BE % 4.
DF 20 2€ 1) a[ dde] s 0 c—d,EF

(Fig. 3]

sie + c—d'Tubrr].? = C0] EG; GF
1 ] ie _ie + cd.

GF(É— + c—à) Hd] DE (4)
[ut] 2 sh Fad] a

BD(c) [ad] BC (ra) [ur] BC (ra)

Fa ©

Ed] PR (s
DQ [1e #afdde]DF [20] >

> I
êc=- Fes
+#

ns ie

Sirprodre BA là DC. FRA ET TA
sion pour la sous-normale se déduit aisément de celle de la p. 315 en posant

ÿ

TE citée dans Moss de la p. 341.

392 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[Fig 3: —; pas: dividendo, ratio KG [ad] GZ

[ut] 30h [ad] 4F 5. ce—-a8 1)

KG [ad] GZ [five] aa [ad]

7 1 b à
a+ b. cc— qe [uc] DF Ce) [ad]Fa

———— {
ac + bc. cc— Pts

Les mi
4
fie 420 b?);DF 20 % À
C0 Fe
S'E0 —.
— 44

DV 20 BD- BC—CV [29] c—+4— 73) 0 c—a[adde] DF (c) [et] FQ

8c3— 43 8c3

SE ae) [fr] VO 2 Se ; 0 y © BQ4); co V Fay 2BD>DF

qu.DF (ec) [ad] 4.DH (c c—-28) s) [ut] q. Fa (re HE in qu. sus) oi
Fad] q.QZ (wv) Re

À

1) La construction point par point de la développée est donc trouvée. Il s’agit dans la suite Fu à
détermination de son équation. nr
2) Huygens ne continue pas les calculs pour le cas ne Dès ici il se borne à celui ” r'yper. à
bole ER

3) Ona CV —— 4, puisque CV est égale à la valeur limite de DE ur" 4.
”. 2

4) Puisqu’on a BQ — VA +cv +8 ie es a+ a É.

5) Valeur de l’ordonnée de l’hyperbole MS corre ii A à l’abscisse BD—e. d.
5) L’équation de la développée de l’hyperbole équilatère est donc trouvée. Ils agit nanernt #
de la rendre rationnelle. À cet effet Huygens pose B77y2 —e. ;

7) Cette équation est obtenue en substituant la valeur de se, déduite de l'équettos précé d
dans la première équation f— 34ee — 3aue.

Ï

| TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE-1655 À 1659. 1659. | 393

na ne 2 PRE L°
64 qu. cc— a

. des fie ce 5 nd [nti— FN ' ai] LUE
de : Li ; ; 64 ai Ca FT 40
Fra aa S Da ep Ç #9) — 744 Cut] Fe 4 [ad] »»

: ‘afad] Ve ms atoi a Far ataèly
Lan 341” C'aays+ 3aa1/ Cay — 43 00 ay)
Lt F0 4yy — 45 — avy 5 ace — yaue
fe > 3aayy — pres
BON ÉE joue

| A a fn cc Pr es ds Hi — que).

a

Ci pasht at ; à Lu Fa a

ÿ 24h + a} 0» ] Ti
3) + 24a—yy “hdi

y —: 309 — 244" yvyt + 3y— 2490419) V5) + 245yy— dite
Dear fortafle ah dividi. pin ue yy + aa*).

ts
38 +7

ef + gase jf 4 gaafe Sr |
af + ff aay} — 4
Day Gaaf—gas 7 sai

fin de 27ayf- —274y".
bo: 2744 rt 27ay)f- + A7 As

& RAS

LISE is

LE p.394 qui suit sur méthode de Hudde = set ce € facteur
vert.

d'équation qu' il a mort pa +R bts haut.
n pour ee est déduite de l'équation f = 346e — 3aae qu’on trouve plus haut.

ne où la lettre f est introduite pour la première fois.
50

394 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

y — gaayt — gyyyt + gatyy + Gaavyyy + 3v4yy — 4° — gatyy — gaayt —Y° D
20 2744YYYY

eft nihil aliud quam cub. yy—44—vy —27yyaayy [ x 0] *)

1 I I I :
a+ V 29-29 aa © €
g44 . 7 à +4l/7 we

a+.

249) —" ay + see w V/ .— A ayy © 63

1 1
549) +54 Re
Vi re — 44 20 — | Re idem 3) Me
700 +50) — 0 CCE
hæc methodus hic optime adhibetur quia fine Huddenij regula 4) pervenitur ad
æquationem 6 dimenfionum tantum 5). |

re #4

J Huygens mentionne ce résultat dans la ,,Prop. X” de la ,,Pars LIL” de l'y Horologium oscilla- vs
torium”, p. 80 de l'édition originale, seulement on y doit lire ,DN, x” au lieu de ,CN,x”.

2) On obtient ce résultat par la résolution de l’équation dusdiatiqué 3aee—3aae—= f qu’on
trouve au lieu indiqué dans la note 11 de la p. 393. Le choix de la racine est motivée .
probablement par ce que dans la partie VZ de la développée, que Huygens considère, on

a toujours BA = y > BC = 4.

3) Comparez le résultat (y°—7°*—v°)3—274y 0° =0, obtenu quelques lignes plus haut; mais à
on vérifie aisément que les deux résultats sont identiques. ù

4) Ii s’agit de l’article de Hudde ,,Epistola prima de reductione æquationum””, qui occupe les
p.406—506 de la seconde édition (de 1659) de la ,,Geometria Renati Des Cartes opera Fr. à
Schooten””, citée dans la note 5,p. 360 du T. II. C'était surtout la, LILI Regula”, p.414 de cet
article qui a pu servir à découvrir le facteur y? + 4? par laquelle l'équation du huitième degré

de la p.393 peut étre divisée. Voici la suscription de cette règle: ,,Regula, Quæ modum +

docet reducendi omnem æquationem, quæ produci potest ex multiplicatione duarum aliarum, ”
quarum una /iteram aliquam comprehendit, quæ in altera non continetur; & quæ /#era non

habet eundem dimensionum numernm in diversis Terminis”. Or, en posant v=0o, la règle ;

amène les expressions y—#, y +4 et y +4? comme fabtetité possibles de l'équation du
huitième degré.

$) Remarquons que dans le cas de l’ellipse et dans celui d’une hyperbole quelconque la méthode

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 395

[Fig. 4.] BNP eft curva Heuratij 5), ejus lat, r.
2 4% BV 7) © VN.NO parall.Ba, VZeft
curva ejus naturæ ut qu.QZ in {0 five 4,
fit 5 cub OP. dico cuivis ejus parti re&tam
æqualem inveniri pofle, Sit BR media pro-
portionalis inter BV, BQ, hoc eft /4y,
ergo applicata RM erit ]/Ç'aay. Sumatur
BF > RM *), vel fumatur VF % SM, erit
FZ tangens in Z. divifä BF bifariam in D), fit
DH perpendicularis CF. et occurrat ei pro-
duéta ZH in H. Erit ZH minus CV > VZ
curvæ ?),

nota CV > CB À.
24

linea flexilis CVZ evoluta per C defcribit
hyperbolam CH cujus lat. r. et tranfv. æ 2 VC vel VB.
Si fumatur CT 5 OP fie TX AZ *), unde facile erit curvam VZ
defcribere.

conduit également à une équation qui ne s'élève pas au dessus du sixième degré. C’est donc
bien probablement en appliquant cette méthode que Huygens a obtenu ce même résultat,
qu'il formule dans la ,, Prop. X” de la ,,Pars IIL” de l”,, Horologium oscillatorium””, p. 80 de
l’édition originale, sans faire connaître les calculs dont il l’a déduit.
5) Afin d'expliquer ce qui suit, nous devons remonter à l'équation 4yy— 344 Ç'auyt +
+ 34aV L'ayy — 43 > avy (voir la ligne 4 de la p. 393), qu’on peut écrire: (Lay — 4) =
=—=4y°. Dans cette équation 4 représente l’axe réel de l’hyperbole équilatère CH des Fig. 3
et 4, 3 l’abseisse BQ et y l’ordonnée (7 d’un point quelconque de sa développée VZ. Posant
donc QP—V Lay, QO—4, on aura, comme dans le texte, OP5—4Q7?, Mais, puisque
QP3=4.BQ>?, la courbe BNP, décrite par le point P, sera la ,,curva Heuratij”, c’est-à-dire
la courbe dont van Heuraet avait fait connaître la rectification dans l’article ,,Epistola de
transmutatione curvarum linearum in rectas”, publié par van Schooten p. $17—520 de
_ l'édition de 1659 de l’ouvrage mentionné dans la note 4.

7) Puisque CB — = comme demi-axe de l’hyperbole, et CV = La d’après la note 3 de la p. 392.

ni DL s’agit de construire à l’hyperbole CH la normale HZ, qui touche la développée au point Z.
Or,on a BF = BD + DF, où BD=—c (voir la première ligne de la p. 391) et où DF est dans
_ le cas de l’hyperbole équilatère = BD, par suite BF = 26; mais on a trouvé plus haut (voir la

3 dr : :
troisième ligne d’en bas de la p. 392) te —=y=BQ; donc BF — D'2y =RM.

NE À cause de la théorie des développées dont Huygens venait de découvrir les principes.

_ “)Ona CT =OP3=4.07=4.TX°; au lieu d'exécuter la construction à l’aide de l’hyper-

_ bole, Huygens aurait donc dû se servir de la courbe BNP , comme c'était évidemment son

_ intention. De cette manière, en considérant la courbe BNP comme donnée, Huygens était
_en possession d’une méthode très simple de construire la courbe VZ par points.

396 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[Fig 4] g-DF (ce) [ad] 9.FH (eee 50e) [ut]
aa [ad] xx 7
c[ad] V/ 26e 1a0 (ratio FQ ad de
Cut} a 8] x

1)/Gaay aay [ad] ve 9 —" aa
[ut] 4 [ad] x
ge re 20 M de Ur

244 XX © VE ay
a? 8 ”
Ba — 1oatxx + Gaaxt— x © & J'IVE eut, Re UN curvæ )
fpatium quadrare poffum 3). Hi i sh

1) Afin d'expliquer cette dernière partie du présent paragraphe, remarquons d’abord que la recti-
fication d’une courbe donnée entraîne nécessairement la quadrature d’une autre courbe. Or,
… ilest clair que la développée de l'hyperbole est algébriquement rectifiable puisque sa longueur
VZ (Fig. 4) est égale à la différence HZ—VC. Quelle est donc la courbe correspondante dont
la quadrature dépend de la rectification de cette développée? Voilà la question que Me

se pose pour le cas de l’hyperbole équilatère. ne

Soit ds un élément de la développées onaalors s= —Fo’° où BQ = y. Posant doi he

=" = p (y), ilest évident qu’on peut carrer la courbe x = 4g (y), parce que pour cette courbe k
. = ads. Il s’agit li pour trouver la courbe cherchée, d'exprimer xen fonction de d à
l’aide de la relation Ÿ — = Pare = F h , C'est-à-dire, en employant les notations indiquées N

€

\/26= aa
| | 4 ce
équilatère DF =BD=cetFH=yDF° + HD° =\ / 2 —— 4, tandis que = à

d’après la note 8 de la page précédente.

au commencement de ce paragraphe, © = , Puisque dans Le cas de yperbole é

+) Voir plus loin (Fig. 5) la construction de cette courbe. screes E SE RE SRE
7 2. M à
3) Remarquons qu’on a, en effet, se AE - D
(V mr 0V/247—x? re
ee at Le
+) Construction de la courbe y — ..
(22° — x?)

5) Dans ce paragraphe nous réunissons les renseignements que les manuscrits nous dèisit sur :
l'invention, en 1659, de la théorie générale des développées et des courbes parallèles. En partie :
ils ont servi d’avant-projet pour les ,, Definitiones I—-IV” et les n Prop IV” de :

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 397

[Fig s,]

ED) et éciref.; AB % BE [204]; EG parall.
BR:ErF, Le CP, CQ, CR ft continue
proport. es. “es
ERS curva per punéta ita inventa ut R de-
-fcripta eff. dico fpatij inter hanc etreétam ET,
vel GV /inrerjacentis partem quamvis quadrari
poffe, :

4414 à ÀC 00%; CR 0 y; CF 02,50 V/228— xx. .

ES FR tr ee à Lies à | 4 % , :
. " ñ |
À + | ti DE eh +W FF PP }
ni à = : 2% FC TRES #12 “.
} SET L

+ a chu) Les | Dr Da a |
y: _& UT frs 7 me ra L DAH reétus. :

CG tang, in G.. | HE redta Il HE

4 TR GFVAu Va Et re 20

| _ e + FGITADG CHE re&ta + EC I
sul five CG | Il HE Curva + EC,

ù _aufer utrinque FG. hoc et HA. HC

ou | Ergo FB l rc. | il HD.
de AE Rd € citra | AD reétam.

11e "à LA est Li TERME TEE #1

um eillatoriun” (voir Le p. 59—65 de l'édition originale de 1670),
elles s’écartent toutefois sur quelques points.

à cette première partie, qui se rapporte aux figures 6 et 7, la Prop. I (p. 60 de
”) dont elle constitue l’avant-projet. Ainsi les courbes DG et EH représentent
oppée; la courbe AC (dans les deux figures) deux parties consécutives (celle
e à gauche du point À ) de la développante. En effet, Huygens démontre que
se trouvent du même côté de la droite AB ou AD, qui est perpendiculaire à
il conclut dans la proposition citée, que la développante est Fonte ortho-
ar la tangente à la développée.

équivalent au signe moderne >.

398 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[TaroreMma I.]

Si fit curva quædam AB Fig. ol,et “lin item curva CDilla
. exterior, hoc eft cu-

De F1 | [Fig: 9-] jds daklrasre fpiciar
convexitatem cCur-
væ AB. Sit autemCD
curvaita comparata
ad curvam AB, ut fi
ducantur à quibus-
libet hujus punctis
velut À et Brectæ AC, BD quæ curvæ AB infiftant ad angulos
rectos, atque ex alia. parte occurrant curvæ CD, ut inquam,
hæ omnes ita ductæ inter fe æquales fint. dico casdem etiam
curvæ CD ad rectos angulos occurrere). |
Ut hoc demonftretur de quavis linea ita duéta, puta AC, ducatur GAE ipf AC
ad angulos reétos, quam quidem conftat tangere curvam AB in A. per C autem

agatur HCF ipf GAE æquidiftans, ac proinde quoque ipfi AC ad angulos reétos. En

Si igitur oftendatur hanc HCF contingere curvam CD in C, manifeftum erit
eidem curvam ad reétos angulos occurrere reétam AC. Sumarur i in CD punétum
aliud D quamlibet propinquum ipfi C, per quod duéta intelligatur FDB quæ
occurrat curvæ AB ad ‘angulos reétos; reétæ autem HCF in F. Erit ergo DB pet
hypothefin æqualis CA. Et cum curva AB jaceat tota ad partem alteram tangentis
GAE, curva autem CD ad alteram, necceffe eft reétam GAE fecari à DB. efto in
E. Itaque ED minor erit quam BD, hoc eft quam AC ideoque minor etiam ipfà
EF, interceptà inter parallelas ÀE, CF; quia videlicet AC eft interceptarum
omnium breviflima. Iraque : pparet punétum D cadere ad partem-reétæ HCF quæ
eft verfus curvam AB. 1 fadem autem ratione hoc oftendetur de quovis punéto in
curva CD fumto®). Ergo tota curva CD cft ad partem eandem fita reétæ HCF,
ac proinde ab hac es: vi in C. quod erat dem. |

1 TUE
DÉS 2e

*) On ne retrouve pas ce théorème dans l’,,Horologium oscillatorium”.
+) Voir la figure à gauche sans lettres à laquelle la même démonstration est appitésbtt FA
3) Dans l -Horologium Oscillatorium"” Huygens n’a pas reproduit la démonstration de ce
»Lemma”. Quand il applique dans la ,,Prop. II” (p. 62 de l'édition originale) la con-
struction indiquée, il se contente de faire suivre: ,quod quidem fieri PR |
quam ut demonstratione indigeat”. :
4) On ne rencontre pas ce ,,Lemma” dans l’,Hor. osc.”. k aid ï

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 399

[Lemma [.]

_dqco puncto À in curva qualibet verfus eandem parcem cava,
dico aliud infuper punctum in ea
fumi poffe ut B, in quo fi recta
curvam contingat ut BC, atque oc-
currat tangenti in À, angulum cum
ea faciat ACB quovis dato ma-
jorems).

datus enim fit angulus GHA. Ducatur AD
| quæ faciat fuper tangentem AC angulum acu-
cum n DAC minorem complemento auguli dati GHA ad duos reétos. Manifeftum
jraqu à eft curvæ partem quandam ut AB incedere intra angulum CAD), in qua
accipi poflit punétum ut B quod magis diftet àb reéta AD, omni alio curvæ

to inter ipfum B et À fumto. quare ab eo punéto fi ducatur BE parallela AD
ccurrenfque tangenti ACinE , ejus pars BE tota cadet extra curvam, ac proinde
rel ipfa tangens erit in B, vel fi in B tangens alia fuerit ut BC ea incedet inter
rvam BA et reétam BE. Si ergo BE tangens fuerit erit angulus BEA una cum
AD duobis reétis æqualis quia BE parallela AD. atqui angulus EAD cum fit
à r complemento anguli GHA ad 2 reétos, additus proinde ang.° GHA minor
eri compofitus duobus reétis, ergo angulus BEA major erit angulo GHA. Atque
a conftabit jam propofitum, quoniam BE, AE funt tangentes curvæ. At fi BC
mum tangens fuerit, erit ang. BCA major adhuc angulo BEC erit enim æqualis
nbabus fimul BEA er EBC, quoniam C cadit neceflario inter A et E. Ergo fic
oque conftat propofitum.

[Fig. 10.]

[Lemma IT. le

tium contenta; ab te pars abfcindatur;
comprehenderur pars reliqua angulo tan-
gentium majoriquamfitangulustotam
comprehcendenst#).

Fa Sit curva ADB tangentium AC, BC angulo compre-
a AB. abfcindatur autem pars BD er fit FDE tangens in D. Ergo angulus

Cum enim tete fic intra triangulum ACB; et per punétum D recta cranf-
t EF neceffe eft cam utrinque produétam occurrere duobus trianguli ACB
r bus, vel uni lateri occurrentem parte alia incidere in angulum aliquem À,

400 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[Fig. 11] C, aut B. Non poteft autem in angulum À incidere, quia

reétæ ex D in À aut B duétæ non tangunt curvam in D

quod tamen ponitur. Sed neque omnino occurrere poteft

EF lateri AB, quia cum tangat curvam ADB, verfus

candem partem cavam, debet tota effe ad eandem partem

curvæ ad quam rangentes AC CB. laque nec,in angulum C parte altera
incidere poterit EF, quia fétlicet tunc altera parte Vçeur reret lateri AB. Necef-
fario itaque occurrit “Hteribus AC, CB. eficicque triangulum EFC. Hujus autem
angulum exteriorem ve majorem effe conftat angulo interiori Pa mé es

erat dem. F £

C'THEOREMA IL] à

EH 10 ‘6
datâ curvæ portione in eafdem partes cava et rangentil “
D pose

[Fig. 12.]

ang. comprenf ut AQ
ea in tot, partes dividtue fl
unicuique parti fubtenfa rec-
ta ducatur ut AB, BC, CD
et ab unoquoque divi fionis |
puncto ducatur recta tan S
cufrvam, ut AN, MRC CP,.0€- -
currenfque ci quæ curvæ in
puncto divifionis fequenti ad
angulos rectosinfifrit, nempe
lineis BN, CO, DP,utinquam
fubtenfa quæque häbeat :
fibi adjacentem curvæ perpendicularem, velut AB ad BN
BC ad CO &c. rationem majorem quavis ratione propofira !).
Sit data ratio lineæ EF ad FG; quæ re&to angulo ad F jungantur; et ducatur
reéta GEH. Sumatur autem angulus obtufus T,major angulo HEF , idemque
major angulo tangentium quæ curvam comprehendunt, ASD. itaque angulus * F fi
fuper curvé AQC convexitatem moveri intelligatur, ita ut lineæ ipfum compre-
hendentes tangant perpetuo curvam; conftat femper minorem curvæ portionem
comprehenfurum quam fit tota AQD; fit autem minima curvæ portio quam com-
prehendere diétus angulus poffit, æqualis AQ curvæ. nam vel ubique æqualerr :
portionem comprehendere eam certum eft, velut, fi curva fuerit cireuli cireum-
ferentia, vel aliquam portionem fore minimam quam poflit comprehendere. ar
fi dividatur curva AQD in partes AB, BC, 5% quarum ne fint TAÉGOEES quam

t2 L Rép ch ; .

1) Comparez la ,, Prop. Il” de la ,,Pars II” de Fe Giéinaton"s p. PRE É
l'édition originale. :HFEMEL.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 401

AQ, ec in divifionum punétis ducantur tangentes, quibus curvæ figura quædam
rectilinea circumfcribatur AKLMD neceffe eft angulos fingulos AKB, BLC,&c.
majores effe angulo T. quoniam fi partes AB, BC, CD fingulæ æquales forent
ipfi AQ, anguli tangentium ipfas comprehendentium finguli vel æquales vel mino-
res effent angulo T, nunc autem partes diétæ funt ipfa AQ minores; ideoque
angulos K, L, M ipfas comprehendentes majores effe neceffe eft angulo T per
præc. *) lidem anguli itaque mulco majores erunefinguli angulo HEF ; Ac proinde
produétis AK, BL, CM donec conveniant cum reétis BN, CO, DP, quæ fuper
curvam AQC five fuper tangentes BK, CL, DM pofitæ fint perpendiculares,
erunt anguli NKB, OLC, PMD, priorum nempe refidui ad 2 reétos minores
finguli angulo FEG. habent autem Al KBN, LCO, MDP angulos reétos B, C,
D. itaque ratio KB ad BN, item LC ad CO, et MD ad DP major erit quæque
ratione EF ad FG. Sed AB eft major quam BK, quia in triangulo AKB angulus
K cui fubtenditur AB eft obtufus; itaque major multo erit ratio AB ad BN quam
EF ad FG. Eademque ratione major ratio BC ad CO, et CD ad DP quam EF
ad FG. Quare conftat propofitum.

[TaroreMa III. ]

Duæ curvæ exiftere nequeunt quæ fint in eafdem partes
cavæ alterumque communem terminum habeant, fintque ita
ad fe invicem comparatæ ut recta omnis quæ alteram earum
ad rectos angulos fecet eadem producta etiam reliquam ad
rectos angulos fecet*).

(Fig. 13.] Sint enim fi fieri poteft ejufmodi
lineæ curvæ ABCDES et AFGHKR
R videlicet quæ fint in eafdem partes
cavæ, et communem habeant termi-
num À, atque ita fint comparatæ ut
à quælibet re&æ BF, CG quæ alteri
a EE 3 $ ad rectos angulos occurrunt, etiam
alteri fic occurrant.
Quoniam ergo ab A termino diverfæ incedunt, poterit in exteriori curva
punétum aliquod fumi ut K #)

2) Voir le ,,Lemma Il” qui précède, p. 399. On lit encore dans le manuscrit au bas de la page:
»Lemma quod major angulus minorem portionem complectitur”.

+) Comparez la ,, Prop. LIL” de la ,,Pars IL[”? de l’,,Horologium oscillatorium””, p. 63 de l'édition
originale. Le

4) Huygens arrête ici la démonstration parce qu’il s'aperçoit que pour l’achever il a besoin du
lemme qu’il fait suivre(voir la p. 402). Or, en admettant que ce lemme soit prouvé, on peut

51

402 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659,

[Lemma III. ]

Si fuerint duæ curvæ communium perpendicularium atque

(Fig. 14] in cafdem partes cavæ CD, AB [Fig. 14].
Interiorem autem duarum ABtangat
recta EAF in puncto À unde ducatur
perpend. AC ad curvam exteriorem: per
aliud vero punctum fumtum in recta EF
eaque ejus parte quæ inter utramque Cur-
vam interjacet ut F, ducatur alia recta
curvis perpendicularis DFB:; dico hujus
partem FD, inter rectam EF et curvam exteriorem inter-
ceptam minorem effe recta AC.

Si enim non, erit DF vel æqualis vel major reéta AC. Sit primo æqualis, e et
intelligatur per À procedere curvam AHF parallelam curvæ CD); fieri enim
poteft cum C4, DB non concurrerint adhuc?), nam occurrunt curvæ AB, in
eafdem partes cavæ in quas CD. Tranfbit ergo curva AHF per F. eritque tota ad
partes reétæ AF ubi et CD cum fit cava verfus eafdem partes atque CD, Iraque
reéta AF nequaquam continget curvam AHF in A: quod eft contra propofitio-
nem...3) Cum enim AFF curva fit parallela curvæ CD, huic vero occurrat AC
ad ang, reétos, eadem AC etiamcurvæ AHF ad reétos angulos occurrere deberert 9:

facilement reconstituer la suite de la démonstration à l’aide des indications que la ,, Prop. III”,
citée dans la note précédente, nous donne, À cet effet nous supposons que le segment Q soit
choisi de sorte qu’on a Q > courbe ABCDE. Ensuite, d’après la proposition précédente, on
divise la courbe ABCDE en tant de parties qu’on a partout: LR RO > Er)
LB’ MC’ ND’ EO
AL, BM, CN, DO sont des tangentes à la courbe AS et LB,GC,HD,KE des perpedAiQu"
lairesaux deux courbes.
AB+BC+CD+HDE courbe ABCDE .
Musite RENCE ND-FEO > RE» et 2 fortiori LB+MC+ND—+EO >
Mais, d’aprèsle lemme ,ona KE— KO + EO HN + ND+EO < GM Æ Me + ND +
LEO <LB-+MC-+ND + EO. On en déduit S2MPEASCRE
ABCDE > Q, ce qui est absurde, puisqu'on a, par supposition, Q > courbe ABCDE.
Ajoutons qu’il nous semble que Huygens n’a pas été satisfait de la démonstration du lemme
en question, qu’il n’a pas achevée non plus. En effet, dans la démonstration de la ,, Prop. IL”,
citée dans la note 3 de la p.401, il a su éviter l'emploi de ce lemme et sur la dernière des
deux pages d’où nous avons emprunté le lemme, Huygens a ébauché quelques figures où
l’on retrouve les lignes auxiliaires dont il s’est servi dans cette démonstration.
1) Voir au troisième alinéa de la p. 403 qui suit la définition des ,,curvæ parallelæ”, évbt la

> À et par suite courbe

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1649. 403

Si fint duæ curvæ communium perpendicularium et cavæ in eandem partem
nullæ duæ perpendiculares earum fefe fecabunt intra fpatium quod inter curvam
utramque interjacet *) .

[Fig. 15.1]
linea curva in eafdem partes cava vocetur quam
tangentes omnes reétæ ab eadem parte contingunt 5).
[Fig. 16.]
L curvæ parallelæ vocentur quæ ita ad fe mutuo
ji funt comparatæ ut, reétæ omnes quæ alteri earum
ad angulos reétos infiftunt, et ad reliquam termi-
nantur, fint inter fe æquales®).
[Fig. 17].
1

Curvæ communium perpendicularium dicantur
1 quæ ita ad fe mutuo funt comparatæ, ut reétæ om-
nes quæ uni earum occurrunt ad angulos reétos
etiam alteri ad angulos reétos occurrant,

propriété principale avait déjà été démontrée dans le ,,Theorema l” de la p. 398 sans que
Huygens leur avait appliqué cette dénomination.

>) Voir à propos de cette remarque les Fig. 16.

3) Il s’agit du ,, Theorema [” cité dans la note 1. ;

4) Huygens n’achève pas la démonstration, mais il est évident que la ligne AK représente la
courbe parallèle à CD, passant par À, dans le cas où FD> AC.

#) Comparez la , Definitio [” de la ,,Pars IL”, p. 59 de l’édition originale de l',Hor. oscil.”

5) Cette définition et la suivante ne se retrouvent pas dans l’,, Horologium oscillatoriwm”,

404 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659.

[Fig. 18.]
fs "$4”).
er Ur |
— [Première Partie.]
a À Si ABF fit dimidia cycloides, cui
4 EU] R = circum applicatum fit filum feu
. linea flexibilis ABF, eaque firmata

in À, capite altero ab F recedens
| curvam quandam defcribat femper
1] 4 A tenfa manens, ea curva, puta FDE,
ecrit dimidia item cycloides ipfi

FBA æqualis fimilifque.

BCD tangens in B. CD > CB ?). oftend. D effe in cycloide FE. Sit BL
parall. AH, et jungatur LF. Ergo hæc parall. BC à et æqualis. Ergo {7 eft
FCBL. Sed LB % arcui LF 4). ergo et CF % arcui LF.

Sic circulus genitor MDC tangens in C re&tam FK, ubi et circulus BG. Ergo
punétum D eft in circumferentia MDC. Sed et arcus CD 2 CB vel FL, hoc eft
rectæ CF. unde punétum D neceffario in cycloide FDE.

Porro cum BD fit dupla BC fiv FL reétæ Gui us dupla quoque eft curva FB : |
apparet, reétam BD una cum curva BA æquari curvæ ABF . hoc eft reétæ AE.

#) Dans son ,, Horologium oscillatorium” (voir la Prop. XI de la ,,Pars tertia”, p.82 de l'édition
originale) Huygens nous dit expressément qu’il avait appliqué en premier lieu à la cycloïde
la méthode, décrite dans la note 2 de la p. 387, pour déterminer la développée d’une courbe
donnée, Il avait trouvé que pour la cycloïde on a HN = 2FG (voir la Fig. 1 de la p. 388)
lorsque AC représente la base de la cycloïde, d’où il suit que pour cette courbe FZ devient )
égal à HF.

Cette assertion de Huygens est encore confirmée par une lettre du 10 février cs à
Moray où l’on lit (voir la p. 51 du T. IV): »La propriété de la Cycloïde, de ce que par son
evolution, il se décrit une courbe pareille n’estoit pas dificile a demontrer apres que 1 Monsieur
Wren a decouvert la dimension de cette ligne, mais a trouver methodiquement la de pro-
prietè comme j’ay fait, il y avoit plus de peine”.

Or, cette première application méthodique de la théorie générale des développées, qui
doit donc avoir précédée les calculs des $$ 1 et 2 (p. 387—397), est perdue pa nous,
puisqu'on ne la retrouve pas dans les manuscrits que nous possédons. Fi

Ce qu’on y trouve sur la détermination de la développée de la cycloïde, nous l'avons
reproduit dans les deux parties qui composent ce $ 4.

La Première Partie que nous croyons antérieure à l’autre est empruntée à une feuinie j
détachée, la Deuxième à la p. 226 du Manuscrit A.

?) Cette supposition était donc probablement suggérée par le résultat dont nous avons parlé
dans la note précédente,

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 405

[Deuxième Partie.]

7 | © Ex eo quod BD > BF7), hoc eft
per Wrennij inv.m ©) 5 2BC , et BCD
Ne ) tangens, oftenditur D punétum in cy-
cloide FD ?).

Ex eo quod tangens eft BCD, often-
ditur occurrere alteri cycloidi ‘ad an-
BR pin reétos ‘°) hinc ex noftra methodo

L

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APPENDICE À LA PIÈCE N°XV .
[16794] |

[ Fig. 1.]

ratio fpatij ABEDA ?) ad fpatium CBEHC
quamlibet minimo differt a ratione fpati
ABK ad fpatium fimile CBG, quia fpatium
ABEDA quamlibet minimo differt a fpatio
ABK , et fpatium CBEHC quamlibet minimo
à fpatio CBG. Ergo ratio totius DEBPD ad
totum HEBPH quamlibet parum differt à
ratione fpatij ABK ad CBG. h. e. à ratione
qu.i AB ad qu. CB. Ergo cfteadem.

_nota ratio folidi ex BAL ad folid. ex
BCL quæ 5 ad 1 5). et ratio plani BAL
ad plan. BCL quæ 3 ad 1. hinc ratio
BP ad BOquæ 5 ad 3°). Ergo et BP ad

AV?) ut5 ad 3. Sit AZ > = AB. Ergo
VZ ad ZP ut3 ad 1 *). fit AB > 4.BP >
2 4. Ergo AV > ja. Hinc ?) 4 0-5 4. |

[ZP]:4-aad[ZV] sd Sa ut 1 ad 3

XVI.
1659.

[ Conftruëtion de la tangente à la quadratrice de Dinoftrate.]

6 Nov. 1659 ‘1).

———_—s,

) Cet Appendice emprunté à la p. 166 du Manuscrit E contient une nouvelle détermination
du centre de gravité de l’espace limité par la cycloïde et par sa base (comparez le $ 5 de la
Pièce N°. XI, p. 353—355). Cette fois la décermination est basée sur les propriétés de la
développée de la cycloïde.

?) D’après le lieu que cet Appendice occupe dans le Manuscrit E.

3) Dans la figure de Huygens la courbe DAP représente une epicycloïde, HC sa base circu-
laire, EB sa développée. Nous reviendrons plus tard sur les recherches de Huygens sur les

épicycloïdes.

AB

CB
est constant.

4) Nous avons ajouté la lettre K à cette figure.

5) Il s’agit des solides de révolution des espaces BAL et BCL tournant autour de la ligne KL
qui est la base de la cycloïde K A L. En effet, considérons les espaces infinitésimaux de la Fig. 2
qui correspondent aux espaces HCDA et EHCB de la Fig. 1. D’après le théorème qui précède
ils sont ici dans le rapport de 3 à 1, puisque dans le cas de la cycloïde ona BA [Fig. 1] —2CB
(voir, p. 405, la Deuxième Partie du 4). Or, il est facile de montrer que les distances à KL

[Fig. 2] de leurs centres de gravité sont dans le rapport de S à—., c’est-à-dire de 5 à 3;

d’où il suit, par le théorème de Guldin, que les solides engendrés par ces espaces infinitési-
maux dansleur rotation autour de la base de la cycloïde sont dans le rapport constant de Sà1
et, par conséquent, que les solides engendrés par les espaces BAL et BCL sont dans ce même
rapport.

6) Par le théorème de Guldin, P étant le centre de gravité de FA KAL, et O celui de
l’espace KCL.

7) V est la projection, sur l’axe AB de fa cycloïde, du centre de gravité M du triligne ANL,. “a
a donc BO — AV à cause de la congruence des trilignes CBL et LAN.

#) Z est le centre de gravité du rectangle KN circonscrit à la cycloïde KAL; V et P sont les
centres de gravité des parties qui composent ce rectangle, savoir : l’espace cycloïdal KAL
égal à trois quarts du rectangle (voir le premier alinéa de la p. 348), et l’ensemble des deux
trilignes, comme ANL, qui restent.

9) Voir le calcul qui suit.

1°) Résultat conforme au résultat obtenu au $ 5 de la Pièce N°. XI; voir la dernière ligne de la
P. 355-

1) Letexte de cette Pièce, qu'on trouve à la p. 256 du Manuscrit À, a déjà été reproduit dans la
note 19 de la p. 440 du T. X. Nous nous bornerons donc ici à ajouter aux données de cette
note que la quadratrice de Dinostrate est décrite dans les ,Mathematicæ Collectiones” de
Pappus, dans l'introduction à la ,,Prop. XXVL” du ,,Liber IV”; voir la p. 57 recto de
l'ouvrage cité dans la note 3 de la p. 259 du T. II.

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Avertillement.

Quelques-uns des réfultats mathématiques obtenus par Huygens qui ne furent
pas publiés par lui-même, parurent parmi les Commentaires que van Schooten
ajouta à fa traduétion latine de la ,, Géométrie” de Defcartes *). C’eft pourquoi
nous croyons devoir reproduire ici les paffages de ces Commentaires qui fe rap-
portent aux travaux de Huygens.

On connaît les relations amicales qui exiftaient entre le profeffeur van Schoo-
ren et fon élève depuis l’arrivée de ce dernier à Leiden, en mai 1645, jufqu’au
décès de van Schooten, en janvier 1661. Or, van Schooten aimait beaucoup à
faire reffortir les mérites de fes élèves. Ainfi déjà en 1649, dans la première
édition de la ,,Geometria”, il inféra une invention” du jeune Huygens en la

) Voir quant à la première édition de 1649, la note 1 de la p. 218 de notre T.I. Voici le titre de
la deuxième : ,Geometria, à Renato Des Cartes Anno 1637 Gallicè edita; postea autem Unà
cum Notis Florimondi de Beaune , in Curia Blesensi Consiliarii Regii, Gallicè conscriptis in
Latinam linguam versa, & Commentariis illustrata , Operà atque studio Francisci à Schooten
in Acad. Lugd. Batava Matheseos Professoris. Nunc demum ab eodem diligenter recognita,
locupletioribus Commentariis instructa , multisque egregiis accessionibus, tam ad uberiorem
explicationem, quàm ad ampliandam hujus Geometriæ excellentiam facientibus , exornata,
Quorum omnium Catalogum pagina versa exhibet. Amstelædami, Apud Ludovicum & Danie-
lem Elzevirios , CI9 19C LIX”.

Une troisième édition, identique à la deuxième, parut en 1683 ,,Amstelodami, ex typo-
graphia Blaviana”,

412 AVERTISSEMENT,

faifant précéder de quelques mots de louange qui montrent qu "il avait preffenti
de bonne héuré le grand avenir de fon élève *).

Cette invention de Huygens confifte dans la remarque, elucidée par un
exemple, qu'un problème peut a mt fe transformer en théorème; favoir
dans le cas où tous les points fitués à l'extérieur ou à l’intérieur d’une figure
donnée fatisfont aux conditions pofées dans le problème.

C’eit à l’âge de 15 ans que Huygens avait fait cette remarque. En effet, on la
retrouve *) fur une des premières pages du Manufcrit N°. 17, dont nous avons
déjà parlé dans l’Avertiffement pour les ,, Travaux divers de Jeuneffe” 3). Lors
de la rédaétion de cet Avertiffement, nous ignorions fi ce petit manuscrit avait
été commencé avant ou après le départ de Chriftiaan, en 1645, pour Leiden.
Depuis, nous avons été mieux renfeignés, grâce à feu M. J. A. Worp,quia
publié, en 1913, des annotations de Conftantijn Huygens père, fur les progrès
des études de fes fils 4). On y lit fous l’année 1644 : ,,Dans cette même année je
mis Conftantyn et Chriftiaan fous la direétion de Stampioen pour leur enfeigner
les mathématiques. Le fuccès était fingulier, quoique ce fût furtout Chriftiaan
qui excellait. Non feulement qu’il comprenait et retenait facilement toute chofe,
mais il inventaic quotidiennement toutes fortes de chofes ingénieufes, qu’il affem-
blait dans un livret (,,Boeckjen”’}, de forte qu’il y avait lieu de s’en étonner gran-
dement”. Or, ce ,,boeckje” qu’il défigna plus tard dans les mêmes termes à fon
frère Conftancijn 5) était fans doute le manufcrit N°. 17 °).

4

La participation de Huygens à la feconde édition, de 1659, de la ,Geometria”

1) Voir le passage N°. I, p. 416.

2) Voir la p. 25 de notre T. XI.

3) Voir la p. 4 du T. XI.

4) Voir l’article , De jeugd van Christiaan Huygens, volgens een handschrift van zijn vader”
(La jeunesse de Christiaan Huygens, d’après un manuscrit de son père), p.209—235 du
T.31, 1913, du Journal: ,Oud-Holland. Nieuwe Bijdragen voor de geschiedenisder Neder-
landsche Kunst, Letterkunde, Nijverheid , enz. Amsterdam, Gebroeders Binger”’. On y lit
(p.232): ,In ditzelfde jaer” [1644] ,,stelde ick Constantyn ende Christiaen onder Stam-
pioen, die haer de Mathematique quam leeren, met sonderling succes, hoewel dat meest
in uyt muntte Christiaen, die niet alleen alle dingen lichtelijk begreep ende onthiel /maer
selfs dagelix allerhande konétige dingen inventeerde en in een Boeckjen bijeen vergaderde,
soo dat men der sich hoogelijk over hadde te verwonderen”.

5) Voir toujours la p.4 du T. XI.

5) Comparez encore la p.16 du T. XI au 58 et la note 1 de la p. 23 du même Tome. Ilest

AVERTISSEMENT. 413

était beaucoup plus aétive. En effet, comme nous le verrons, elle ne s’eft pas
limitée aux endroits où elle eft expreflément mentionnée par van Schooten ?).

Auflitôt après que Louis Elfevier avait fait favoir à van Schooten, qu’il voulait
préparer une nouvelle édition de la ,,Geometria”, celui-ci s’adreffa à Huygens
pour le prier de lui communiquer les corrections où modifications qu’il jugerait
opportun d’apporter à cet ouvrage *). En réponfe, Huygens lui envoya, en
oétobre ou novembre 1654, une copie des annotations qu’il avait faites en
marge de fon exemplaire ?).

Outre celles qui fe rapportent aux paffages que nous reproduifons dans le texte
qui fuit, on trouve dans cette copie plufieurs autres annotations, plus ou moins
importantes, qui ont été utilifées également par van Schooten. Nous en fignalons
deux, dont l’une a occafionné la note volumineufe CC , p. 182—206 de l'édition
de 1659; nous avons citée celle-ci dans la note 3 de l’Appendice, p. 423.
L'autre concerne les points d’interfe@tion d’une parabole et d’un cercle *°).
Huygens y traite du ças où trois de ces points coïncident , et fait remarquer que
dans ce cas les deux courbes fe coupent au point de coïncidence, nonobftant
qu’elles y poffèdent une tangente commune. On retrouve cette obfervation à la
p. 339 de l’édition en quettion de la ,,Geometria”. f

Au mois de mars 1655, Huygens attira l'attention de ven. Schooten fur une
petite inadvertance. commifé par Defcartes dans fa ,,Géométrie” et lui pro-

pofa de la corriger dans le cexte de la nouvelle édition de la ,,Geometria”’ ou de
l'indiquer dans fes Commentaires **). C'’eft la première de ces alternatives qui
fut fuivie par van Schooten aux p. 28—29 de l'édition de 1659.

Enfinil y a encore la note BB, p. 179— 181, qui fut ajoutée fur l'inftigation de
Huygens. En effet , celui-ci reçut, en juillet 1656 , une lettre de Roberval, où ce
favanc lui indiqua ce qu'il confidérait commeune faute importante commife par

maintenant presque certain que la remarque dont nous avons parlé, fut faite indépendam-
ment des leçons de van Schooten , mais il reste possible qu’elle fût inspirée par le passage de
la , Géométrie” de Descartes, cité dei le Ç 8 prémentionné.:

7) Voir les passages IV, reproduits aux p. 416—422 qui suivent.

8) Voir la lettre de van Schooten du 25 octobre 1654 à la p. 301 de notre T. I.

7) Comparez la lettre de Huygens à van Schooten a 29 octobre 1654 et la Pièce N°. 204,
p. 303—305 du T. I.

1e) Voir le dernier alinéa de la p. 305 du T I.

1) Voir la lettre du 25 mars 1665, p. 323—324 du T. I.

414 AVERTISSEMENT.

Defcartes, favoir que Defcartes n’avait pas compris que la folution complète du
problème de Pappus à quatre lignes ,,demande deux feétions à la fois, et chacune
route entiere” *). Huygens trouva les remarques de Roberval ,,tres belles et veri-
tables” et il envoya fa lettre à van Schooten avec la recommandation d’utilifer fes
remarques pour les Commentaires *). Or, pour un fervent admirateur de Defcar-
tes, comme van Schooten, la manière dont Roberval parla du ,,bon-homme”?
Defcartes était difficile à digérer. Ainfi, dans fa réponfe, il ne manqua pas de
prendre ardemment la défenfe de Defcartes 5); toutefois, quelques mois plustard,
après avoir reçu une lettre très détaillée de Huygens 4), où celui-ci renouvela fa
recommandation, van Schooten réfolut de fe conformer à l’avis de Huygens 5);
mais il le fit d’affez mauvaife grâce, puifque dans la note BB il ne nomme ni
Huygens, ni Roberval, quoiqu'il fuive de très'près la lettre de Huygens °).

Nous ne voulons pas paffer fous filence une conje@ture propofée par Uylen-
broek à la p. 3 de fes ,Exercitationes mathematicæ et philofophicæ, Fafc. | 177)
de 1833. D’après cette conjeéture on doit lire FHUEONES au lieu de Huddenius à la
p. 367 de l'édition de 1659 de la ,,Geometria”. Il s’agit d'expliquer la manière
dont les règles de Cardan pour la réfolution des équations cubiques auraient pu
être trouvées *). Or, dans une lettre du 29 mai 1633, van Schooten avait prié

1) Consultez la lettre du 6 juillet 1656, p. 449—451 du T.I. Ajoutons que dans les figures de
la , Géométrie” de Descartes (voir les pp. 400'et 402 du T. VI de l'édition de ses Œuvres
par Adam et Tannery, ou les pp. 34 et 36, ou 30 et 32, des éditions de la ,,Geometria” de
1649 ou 1659) qui se rapportent à la solution du problème de Pappus à quatre lignes on ne
trouve tracée qu’une seule ellipse ou une seule branche d’hyperbole. Or, si dans ce pro-
blème, que nous avons formulé dans la note 1 de la p.211 du Tome présent, on ne
distingue pas les deux directions possibles des lignes en question par un signe différent , il est
parfaitement vrai que la solution comprend deux sections coniques complètes.

?) Consultez les lettres du 25 juiilet et du 27 juillet 1656 de Huygens à van Schooten et à de:
Roberval, pp. 460—462 et 464—465"du T.I.

3) Voir les p.466—470 du T. I.

4) Voir la lettre du 6 décembre 1656, p. 519—524 du T. I.

$) Voir sa lettre du 12 décembre, p. 526—527 du TI. PL ré ILE ei

5) Comparez p.e. le ,,Problema”’ de la p. 180 de la ,,Geometria’”’à cclui de Huygens de lap:523
dut.E ; È MIE NT 1 dE

7) Voir la note 2 de la p. 500 du T, VII. PAT el

8) Voici le passage en question: ,Cæterüm ne quid hic desideretur, ie etiam apparest, quo
pacto hæ Cardani regulæ fuerint inventæ, lubet hoc loco affetre ea, quæ circa hanc rem
acutissimus noster Huddenius olim adinvenit, mihique coram communicavit”. "ON jf Ua

AVERTISSEMENT, 415

Huygens de lui communiquer ce qu’il avait imaginé à ce fujet ?). En réponfe,
Huygens expofa **) à van Schooten une méthode pour la réfolution de l’équation
x3 + px—q—=oqui ne diffère pas effenciellement de celle qu’on trouve aux
p. 367—368 de la ,Geometria”.
La conjecture d’Uylenbroek femble donc bien plaufible. Toutefoisnous devons
faire obferver qu’une méthode tout-à-fait analogue fut développée par Hudde
lui-même aux p.499—50o1 de l’,,Epiftola prima de Reduétione Æquationum”
d'avril 1658; épître qui fut inférée par van Schooten dans la nouvelle édition de
la ,,Geometria”. Et Hudde ne manque pas d’obferver, à l’endroit cité, que la
règle de Cardan ,,aurait pu être trouvée de la manière indiquée, quoique peut-être
elle füt découverte par d’autres confidérations” **). On voir donc que Hudde
s'était occupé du même fujer. Il eft vrai que le mot ,,olim” dans le paflage en
queftion *) paraît exclure une communication fi récente qu’avril 1638 et s’accorde
mieux avec la date du 5 juin 1655 de la lettre de Huygens, mais il eft poflible que
Hudde eût expliqué verbalement fa méthode à van Sehooten bien avant 1658.

MORTE DENDIATILENATE |

fe 9) ,Rem autem omnium gratissimam præstiteris, si modum quo Cardani regulæ inventæ fuerint
_ perscribere haud graveris”’; voir la p.329 du T.I.
19) Voir sa lettre du 5 juin 1655, aux p. 330—331 du T.I.

_ #),,Ubi tandem id advertendum, Regulam hanc in resolvendis æquationibus trium & quatuor

_ dimensionum eandem esse cum illa Cardani , cujus inventionem Scipioni Ferreo tribuit; ita
ut ex superiori caléulo manifestum sit quod ea Regula, quamvis ille author ex alio fortè
= fundamento eam eruerit, hoc tamen etiam modo inveniri possit”; voir la p. 5o1 de l'édition
de 1659 de la ,Geometria”.

4?) Voir la note 8 de la p. 414.

17 LA *
: / Si $ g LS
à ss 2f : ti Axe fa Er
: k. $ s #. + à » 53 f | a
. Ï Le | MS ES à 4 DRE PER M
À l \ F3 Pal NE ti s V4 : L
:

1649. FAT he tard |

” ñ bi
QUE AT NE ARR UNSS k PUS ©
Î ; — FL 2 +:

Alterum exemplum *), quod hic afferendum duxi. re ART ex sal IN
liffimi & præclari Iuvenis D. Chriftiani Hugenii, quibus fibi jam pridem apud
Doétos tantam paravit laudem atque admirationem, ut non ais "7 quæque ab
eo expeétanda effe affirmare non veriti fuerint 3), ob

Dato GIE AGB, É e
tione diametro AB: invenire e
ipfam punctum E, à quo fia
demittatur perpendicularis E
peridem punctum gs: recta

ferentiâ terminata, ut rectangu
; FEG, fub fegmentis ejus FE,

perpendicularis demiffæ ED, æque
tur rectangula ADB, fub rene |
diametri AD, DB.

van Schooten, de la ,,Geometria à Renato Des Cartes”, ouvrage cité dans la note 1,
de notre T. IL Le passage fut reproduit avec des modifications peu importantes aux xp.

de 1644, lorsque Huygens avait l’âge de ain ans; Su ns: ud pe te me ps rt
qui précède. &

cartes: ,, Et s’il manque deux conditions a la determination de ce point, lelieu où il
est vne superficie, laquelle peut estre, tout de mesme, ou plate ou spherique ou p
posée” (p. 407 qu T. VI de l'édition d'Adam et de T'annery). Comparez
du T, XI au $ 8. à
3) Remarquons qu'en 1649, lorsque cette “prédictiôn fut faite, Huyns
publié. LÉ Ta dot D

‘CONTRIBUTIONS AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA”, 1659. ‘417

Du per E reétà KI parallel ipfi AB, deducatur ex centro C in eam perpen-
dicularis CH, jungatur’que CT. Pofità igitur AC vel CB > #, CD æ x, &
DE % y: crit HI > p/4"— 19°, EI 20 p/4° — y" + x, & ER 20 1/47 y — x,
Unde fi mulciplicavero EK 90 p/4*— 7° — x per EI 20 p/4° — y? + x fie reétan-
gulum KET feu FEG % 4#°—y*—x°. Cui fi addatur quadratum ex ED y°:
erit fumma 4° —x° 2 4° —x°, rectangulo ADB, utpote æqualis ei, quod fit ex
a—xin 4 + X. :

* Quia igitur hic utrique eædem reperiuntur quantitates, & adimpletis omnibus
conditionibus nulla ampliùs inveniri poteft æquatio, quâ innotefcat utraque incog-
nita quantitas x & y: liquet eas ad libitum fumi poffe, atque Problema propofitum
effe Theorema. Defeétus itaque duarum in hâc quæftione conditionum , ad deter-
minandum punétum E, oftendit, illud ubique extra diametrum, intra circulum
_ cadere pole, & locum ejus effe ad fuperficiem Circuli, Id quod facilè demonttrari

eh,

pa II.
y 1659.
Porrd, ut conftruétio?) adhuc brevior eva-
EN 76 dat, operæ pretium eft confiderare, reétam ab
H vd H ad G duétamipfi GC effe perpendicularem.
EE Id quod, ab acutiffimo noftro Hugenio primdm
Vu obfervatum *), deinde fic verum depre-
SAP 2 ON ENER dal |
\
À Hinc talis emergit conftruétio:
\P Ductâ CG, fecante AB in L,aga-

UMR 0 =

) Nous avons cité cette proposition d’Euclide dans la note 7 de la p. 251 du T. XI.

| Aie ne reproduisons pas cette démonstration qui fut rédigée probablement par van
_ Schooten lui même.

) On trouve ce passage aux p. 253—255 de l'édition de 1659 dela ,Geometria”.

7) Il s’agit de la construction , inventée par Descartes, de la normale à la conchoïde CE pour un
‘ point quelconque de cette courbe dont G est le pôle et AB la base, de sorte qu'on a

a° CL— AE. On retrouve cette construction de Descartes à la p. 18 denotre T. XI.
:#) Comparez le premier alinéa de la p. 305 du T. I.
2) Nous supprimons cette vérification analytique par van Schooten de l'observation de Huygens.

53

«

35 Tertii Elem.*)

418 CONTRIBUTIONS AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA”, 1659.

E cur ex L ipfi AG parallela LH,
€ donec occurrat perpendiculari GH

per C ducitur, fecans quæfita ”).

Verùm enimverd quoniam lineæ CP alio
“G quoque modo inveftigari queunt; beneficio
EX Methodi de Maximis & Minimis, cujus
Le Author eft Vir Clariflimus D. de Fermat, in
\ Parlamento Tolofano Confiliarius, quam

\ Nr Herigonius in supplemento Curfus. fui
Mathematici exemplis aliquot illuftravit *),
atque ibidem etiam ad inveniendas tan en.
À = tes adhibere docuit 3): haud abs re fore
Vp duxi, fi hoc loco viam, quâ lineæ CP ope

ejufdem Merhodi fint inveniendæ, fequenti
calculo expofuero #).......Ubi fciendum, calculum multd abbreviari poile,
fi in fecunda hac operatione multiplicationes, “quibus ad ee aut ei MO Nes

tinuè omittantur.

Atque hæc quidem via eft, quam & Hugenium fecutum fuiffe confido Fe
prout tangentes Curvarum linearum fe aliter quàm Fermatius ope hujus ipie

Methodi quæfiviffe mihi affeveravit ‘).

1) On ne trouve, ni dans la Correspondance, ni dans les Manuscritsaucun renseignement sur F
la manière dont cette construction a été trouvée par Huygens. Elle est identique,commeon
le voit, avec la construction moderne la plus simple qu’on obtient facilement par la consi-
dhntion du centre instantané de rotation du segment CL, lequel centre coïncide avecle

point H de la figure.
+) On peut consulter sur cette méthode la p. 19 du T. XI et les p. 6o—61 du T. XII.
3) Comparez les p. 19—20 du T. XI. ji
4) Nous supprimons ce calcul, dont voici le résumé: Posant GA = 2, EA=CL=c, Bc—

= MA =7Y, AP = y, on trouve PC? — _ He à — — 2h74 0095 ex-

pression que nous représenterons par g(y). Or, puisque PC doit être normale à la conchoïde,

van Schooten se propose de déterminer la condition sous laquelle cette expression, consi- -
dérée comme fonction de y, est un minimum. À cet effet il applique la méthode de Fermat, a
citée dans la note 2; c’est-à-dire, il suppose (y) = g(y + e), divise par e Se part cu m

résulte après réduction, et pose e = 0. De cette manière il trouve y = Z 1& PTT F '

l’abréviation indiquée se rapporte au calcul de g(y + e).

* M in H: eritque recta HC, quæ ex H

CONTRIBUTIONS AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA”, 1659. 419

IE

1659.

Notavit hic #) Clariflimus
Hugenius, fecundam hanc
Ovalem ?) (quod animad-
verfione dignum eft) uno
cafu Circulum perfeétum
evadere, cùm nempe FA ad
AG inde rationem habet,
quam 5 À ad A6 ‘°). Adeo”-
que radios lucis, ad punétum
aliquod tendentes, ope
fuperficiei Sphæricæ ad da-
_ tum aliud punétum omnes
| accuratè cogi poffe""). Quod
fe apertius in traétatu de
Dioptricis demonftraturum
fufcepit, in quo multa egre-
TN à & inventa, quæ huc fpeétant, brevi, fi volet Deus, eft

les ist lignes de la Seconde Rite. citée dans la note précédente.

> 00, p. 270 de la ,Geometria” de Es.

z le deuxième alinéa de la p. 305 de notre T. I.

ovales de Descartes, sur lesquels on peut consulter les p. 424—439 du T. VI de

Adam et Tannery des Œuvres de Descartes ou les p. 50—65 de l'édition de 1659

tria”. Comme on sait, Descartes avait découvert que ces courbes pourraient

truction de lentilles aplanatiques. Dans le cas présent l'équation de l’ovale
1 anées bipolaires,» — f= n(r'—g)oùr=F2,r=G, ss AF,

; intAs représente l'indice de réfraction.
on a alors Lie — 8. Par suite, RER se réduit à r = #r", ce qui représente un

Naséourere de Huÿéens , faite en octobre 1652, qui donna la première impulsion
‘dioptriques ; exe au sh msi rh a de l'Avertissement.

le Par du T.XIL

CONTRIBUTIONS AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA”?, 1659

420

IV >
| 1659.

Citinsen LES

vai SE 6 4 Soinsg
(++ at

à Hp

tr

Ubi *) etiam fciendum , ex pofitione sci H& F ‘ quemadimod
liffimus Hugenius notavit 5) ‘ M pee ut jets A bp exi

ke ai 44

sb tons

(Huis rei ‘) elegans exemplum fuggerere
bola, lib. 5 Conicorum, de quo meminit FRA Al

3

1) Voir la note PP, p. 276 de la ,Geometria” de ii
?) C'est-à-dire dans le troisième des cas que Descartes distingue
Ce cas est représenté dans la ,Geometria” par la présente fi

CONTRIBUTIONS AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA”, 1659. 421

30 libri gti Colleétionum Mathematicarum 7). In cujus folutionem eos, qui id per
Conica vel Linearia *), hoc eft, per improprium genus folvere quæfiverunt, dum
illud pro Plano Problemate habet, meritd reprehendit. Quoniam autem vir doc-
tiflimus ac de Mathematicis ftudiis perinde meritus Alexander Anderfonus ?)) in
exercitione fua 5ta diétüm Problema non levibus indiciis fequentis argumenti
fuifle innuit, fe’que ibidem fcribit Analyticâ fuâ duce tandem reperiffe abfque
folida inclinatione (ut Pappus loquitur) non poffe definiri : vifum fuic id ipfum
hic loci, in hoc rationum æquilibrio autoribus iftis diffentientibus, cuivis inqui-
rendum proponere.

PROBLEMA:

Parabolâ datà, è puncto, intra vel extra eam dato, rectam
lineam ducere, quæ Parabolæ ad rectos angulos occurrat.

Etenim fin hujus Problematis folutione inveftiganda , reétam, quæ ad axem
è punéto in Parabola, ad quod quæfita reéta duci debet, perpendicularis demitti-
tur, pro incognita quantitate accipiamus : incidemus in æquationem Cubicam,
quæ nullo modo erit reduétibilis, & tamen fecundüm regulam generalem p. 85 *°)
PTE é

'RELE
PES

— —
$ ko. dé

. où maintenant r = F3, = H3, f—AF,g—=AH = AS,n— A5: A6.

3) Voir le troisième alinéa de la p. 305 du T. I.

4 4) Cette circonstance se présentera toutes les fois qu'on a #f > g. Or, au lieu cité dans la note
précédente, Huygens formule cette même condition, puisqu’ on y lit : ,,[mo etiam versus À

convexa erit quoties HA ad AF minorem rationem habebit quam A5 ad A6”.

5) Voir la p. 322 de l'édition de 1659 de la ,Geometria”. Le passage qui va suivre fait partie de
_ la note S qu’on trouve déjà dans l’édition de 1649 (p. 278), mais sans le passage en question

_ qui fut ajouté évidemment à propos de la lettre de Huygens à van Schooten du 20 septembre

1653 (p. 242— 243 du T. I).

: ja 9 de la p.419) l’équation de la courbe peut être mise sous la forme r — f = n(r'—g),

que ce soit au fond un problème solide. :

_ 7) Nousavons reproduit le passage en question dans la note 5 de la p. 82 du T. XII.

# Pt 1-dire, par des lignes plus compliquées que les coniques.

_ 9) Consultez sur Anderson et sur son ouvrage la note 3 , p.243 du T. I.

| Mn de la ,{Façon generale pour construire tous les problesmes solides, reduits a vne
N° Equation de trois ou quatre dimensions” (voir les p: 464—469 du T. VI de l'édition d'Adam
_ met Tannery des Œuvres de Descartes ou les p. 85—90 de l’édition de 1659 dela ,,Geometrig"”)
où Descartes enseigne à résoudre ces problèmes à l’aide d’une parabole et d’un cercle.

a CONTRIBUTIONS nelle. j

ope détcteeesrelole quam faétlirèsgémettinel

lineis & circulo. Cujus porrd demonftrationem univerfe
modo. Geometrarum, continuæ PE sueur
DB jé atque/erhdiiffimus nofter entrer tes 3

dem hic prætereundam duximus. | “ist A ici trobidi 30p at «ail
ff h pi bi ji 4 mutiv :tinfiob SRoq not € Lénine eq T 30) aroi:
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1) Voir les NAt ta duiTEXIL. … 4 & 9Iou 8 SÉRPIINE 08 208004

?) Voir la lettre du 20 septembre 1653 à van Schooten,

… pe42rs et celle du 1 juin 1656 à de Carcavy, p. 429 du T«
si un problème comme celui qui est traité ici doit

solide, est tes sens P

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ez les deux dernières lignes de la p. pass notre TI
l'édition de 1649 de l'ouvrage mentionné dans Me: note 1 de la p. 411. Or, dans
> qui correspondent aux p. 29734 de l'édition de 1659, Descartes donne des
d'est le re transversum LE A et le sine rectum” sde la seniane

2H

“ OÙ nent Nous cas de la sisi ” Mise IN. est vrai qu’un peu plus
36 —38 de l'édition de Gé ,; P- 32—34 de celle de 1659) il démontre, après coup,

424 CONTRIB. AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA””. APPENDICE 1654.

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4 D MM ETBOG D —

quoniam volo diftantiam IN, et _. reétum r ita efle as ut fumpta

Li ATX . LI Li L2 LA LA LA -
minum —— effe & ox et reliquum Fes EE Si enim fit © “ inequalis 0,

arx
puta major, fiet ut quo major fumetur x, eo amplius terminus Se fuperet term."

ox. Ergo oporteret tanto quoque femper majorem effe ou ni ere
fupra rg. quod fieri non poteft cum fint quantitates detertning—
, es -AT

Cum NC Ellipfis. F Aa. ne +

[> 20 m— + V/ mm + ox — À xx]

Sit IM % f; lat. reétum % 7'; lat. tranfv. NZ % 4.

l'exactitude de ces formules, mais il n’y fait pas connaître de quelle manière il les a dédutes. :
C’est pourquoi Huygens écrivit à van Schooten à propos de la vert édition dela
; PT ©

#Geometria” que celui-ci allait préparer: ,,Qua ratione hoc latus rectum © 7 et tinea INSEE
inventa sit explicare operæ prætium videtur”” (voir les lignes citées dsl la note 2 de la
p.423). En effet, van Schooten donna suite à cette remarque en ajoutant, dans l'édition de
1659, l’annotation étendue CC (p. 182—206 de cette édition); tandis que. Here he
son côté rédigea à cette occasion le présent Appendice.

y représente ici le rapport de IL à IK. Ce rapport peut être considéré comme connu puis

qu’on sait construire la droite IL. sh to la p.31 de l'édition de 1649, p. 28 de celle
de 1659. ui 7e

| CONTRIB. AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA”. APPENDICE. 1654. 425

Le Run Dee ECTS 7 SES A7 ax
de ge ir 2e

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_ latus ares ue [na + pa )

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; Suerit 3 > ° erit vertia cine nu — En 20 o unde 7 % ut Cartefius

sPro XX/’du "LE. l” des RAS ? d'Apollonins que nous aVONS reproduite dans
ARE LUE FO tr ti

or n re oc is p. vi de l'édition de nn a de celle de 1659.
etrouve respectivemént aux pp. 35 €t F des éditions de 1649 et 1659.

54

426 CONTRIB, AUX COMMENTAIRES SUR LA ,,GEOMETRIA”. APPENDICE. 1654.

ait). At f 19% D © erit in ter-
zho
24r
five nihilo. ergo in prima)

tia #) æquatione etiam f 0

æquatione tancum nor 20 M2 et

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7 2040. ed inventum fuit “ES

2.1
Î

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| h# 2 Fe in fecunda æqua-
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tione. igitur 7 2 ra CL?T 00 5 CLS 0 ut et Carefus
ibidem à LE 43 a Ti Here tr

NE À F4

Li VI bcfg ? ie
Quod pro fraétione ee ce {cribit = Ps) id _— éélieintlà

fequentibus facit quod denominatorem ie | m, eandem quancitatem (
quadratum 72%”, verum et difficultatem aliquam idem afferc Li peur

nulla fraétio adhæret etenim tum nufquam quidem apparet p et tamen in terminis
qui centrum et latera docent réperitur neque pro nihilo iftic habendum fed co i
candum quod p 3% #2 ut reéte notat Lau de Baune $). Sed , quidni loco fraétis

nis prioris pofuir © 27 potius quan — — , ‘am et hoc mipno, ufui fuiffec in fequen-

amm
cibus? Exprimetur enim ea ratione linea IN per ? ee - quæ pus crat Are 9. Et
d+i Ë de ! L tft ,

[M pers 5) quæ fucrar 227 . 7 Jatus reétum Ve di za hoc |

i PHP
quidem prodeft) latus tranfverfum per ÆZ + HE vel Pers 5 0044 +4

ï : | « on {sd RE g 4 TES A
In parabola latus reétum erit En | < RAI APT ET 444

sut 72
42:

Ego ïicaque formulam univerfalem ?) hanc ponerem ; D 4. pu.

7 pe VEse
+ mm + 0x —E x ubi hoc tantum obicr watt quo f terminus == = di

rit, erit Z 2 pra) et ubique illius loco ne lu aie d m

: CONTRIB. AUX COMMENTAIRES SUR LA »GEOMETRIA”, APPENDICE. 1654. 427

1 ‘ tunc p © m et illius quoque loco fubftituendum, At is obfervationibus non

crie _ f formula univerfalis hæc ftatuatur y 3 4—” 4 LV rom +ox— fax.

re vero lat. reétum he nes five :J/ dm. +00. tranfverfum

apmm

?

+ 00 ratio horum quæ pzx ad 44. Si pro cermino ? . habeatur x

: oportet ue KL > IK vel AB ct ducere IL. Ratio autem lineæ IK vel KL ad
IL tunc erit ea quæ z ad 4. Itaque in terminis qui centrum et latus reétum tranfver-
fumque docent retinendæ x et 4; pro quibus quælibet duæ lineæ fumendæ quæ

rationem habeant quam IK ad IL. Si terminus . defit delendum ubique 2 et 4 **).

HT, :e nnxx befelx— befuxx T7/11 nef Ke nn
ce CRIETe a en —cgz PET rie es — cg | Ÿ 2

> LE sd de réduire cette équation à la forme plus simple y = #1 — — Te +

mm + 0x

— xx; voir sur le problème de Pappus la note 1 de la p. 210.

# _ ms Ernie —??, sm d’ailleurs que la net x n'est intro-
ex — cg2z 3

ue des coordonnées.
108 la groite N NZ est parallèle à l’axe AB de sorte que les lignes IL et IK coïnci-

remplaçant le quotient Par l'unité.

a

F sou

h:

se
ae a

RAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE
_ 1661 À 1666.

RECHERCHE s gr * LE GAME DES LOGARITHMES ET SUR LA COURBE

à LA D uarox DE L'ALTITUDE PAR LA HAUTEUR DE LA
BAROMÉTRIQUE ET RÉCIPROQUEMENT.
UCTION DE L'HÉPTAGONE RÉGULIER.
DE. GUTSCHOVEN. QUADRATURE ET CUBATURE DE L'UN

sa . CONSTRUCTION LE DIAMÈTRE D'UNE SURFACE

CHES SUR LES haies. i
: DU PLUS PETIT NOMBRE QUI, APRÈS DIVISION PAR DES
| És, LAISSE DES RESTES DONNÉS.

# 2

auteur donnée de la colonne barométrique et réci-

omp parez | les p.565—567 du T.66 des , Comptes rendus hebdomadaires des séances de
adémie des Sciences”.

“ série bien confue 1 (1 + x)— x — xt Tite

s 4 mLopatidhmo -Technia” de FRA de ni ie cité dans Ia rs DORA

À: 14 2 FN é
Dans las Menre du 17 octobre 1668. |

432 AVERTISSEMENT.

Or, la Pièce Ne.I (p. 451457) ù darée d'août 1661, NOUS 1s donne la folurion
de cette énigme. Elle nous fait connaître la méthode fuivie par Huygens pour
crouver fa règle; méthode qui, en effec, n’a rien à faire avec Ja férie de Mercator,
puifqu’ elle s ’appuie fur une quadrature approchée de l’hyperbole, déduire par
Huygens d’un théorème qu’il avait publié en 1651 dans fes » Theoremata de
quadratura hyperboles, ellipfis ec circuli ex dato portionum gravitatis centro”.
Suivant ce théo-
rème :) on peut cal-
culerl’aired’unfeg-
ment hyperbolique |
HPERH :) pourvu
qu'on connaifle la
fituation du centre
de gravité V furl
diamètre PR.

T

HKDEPH 3»), puifqu’on fair que ais un Mrs sense le cent e
gravité divife le diamètre PR dans la raifon de 3à2. 5 RÈÉ
Confidérons maintenant la figure fuivante, qui correfpond F ere
p.451 du texte qui fuit. Par un théorème dû à Grégoire de St. Vin
Huygens favait que les aires des figures mixtilignes ABDEA et FGDEF

1) Voir la note 6 de la p. 453.

nous n’avons pas besoin ici.
3) Comparez les p. 453—455. Este Hé PATES
+) Voir la note 3 de la p.452. anne PE 248 né
5) Dans le cas dé 8 — 2 on trouve log 2 — 0,3029 au lieu de o »3010.
5) Comparez la note 1 de la p. 456. 1e
7) Voir les p. 307—308 du T.IIL. lfrsgiel 6 MONO
8) Voir aux p. 169—174 de notre T. X la ,,Lettre de Mr, Huygens à l'Auteur.

Cycle Harmonique” et consultez encore la p. 100 du T, V. : = ve st

Léénssatrnsatete 1433

Foi) 4: Nail wo. 20) zu LE hp Wir yy 3h donorpe el ac sub

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TIREL CE: ;
I, —D,0näâ:
Bios dé Ve FE door Lin :
js %f bé PrSUR L aveFGDEP dal sr sions a ILE)
some en j sit: 9 aire ABDEA'. Put ! 5h soru

fTOrE

AUS eee gra ro atte aux aires
A, le e réfuleac aurait été crès peu fatisfaifant 5), mais l'approxi-
mment meilleure à mefure qu’on rapproche les ordonnées

cd te cinq fois ces opéra tions, il obtierié le

p droite Pr l'ordonnée DE, ae aires font la trene-
el ss aires À FG SENIEUE * 'eft meelles ci

ce eine

4%

fuite Te de fa règle, il l'emploie au cale dé og 2,
AU EURRE PRET Murs gi Ho SET x]

est unzième qui fi urpafe le

rm et a diu uen du moe à la quelle j j ’ay DR heu
bre #. à aufli trouuè que les logarithmes y font de grand
æ de la je me fuis mis à Confiderer ces merveilleux nombres et admirer

55

434 AYERTISSEMENT.

Y induftrie et la patience de ceux qui nous tés ont donnez. Que fi la peine n’en
eftait defia prife, j’ay une regle pour les crouuer avec beauc de nedél et
non pas la vingtieme partie du cravail qu’ils ont couftè”. ?

Comme nous l'avons vu, Huygens communiqua fa rte en
des Sciences. En novembre 1667 il la mentionne dans à
Léopoldo de Medicis *) parmi les travaux qu’il tient en ré
pas encore mis la dernière main. Enfin, dans le Journal
1668 *), il fait allufion à fa Règle en faifant remarquer, rh x
dic fur le rapport entre les logarichmes et la à dimenfi on de l’hyperbi
livre de Gregory ,,que Meflieurs de l’Affemblée ne le cr üveroïent 2
puisqu'ils pourroient fe fouvenir qu'il leur a defja propofé la
la regle qu’il a donnée pour à e

dans leur Regiftre””. | Htuatior À
10446 T ar oies gol x1iB AUTO à

F , $ LME av At 1 |
#4 pers 9 re « | coen {A Ï CT
1ft2 re

Onze mois après la découverte dé fa règle, Huy ns aperçut qu

nAOOBAE

approchée de l’hyperbole, qu’il y avait appliquée: était encore fie

d’une autre application. non moins importante, Il Page fee Ai: ol

; TEE Fe $ À A GE TES er he À: L'
4] RE] HAE) 1318 GT EME AL 46 x À )

ait Do (oi vtt sol

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FE

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: LE =. À
8 97 61} le #99) Hi

350 que TVD) ;

3 saules" LS rré fit
que, AC ef P roportionnel à la différence des logarich hme FAR
a ÉAITA Free

rar (CO GE ES PIONNTER PE: FE it +3 3b sicteiré) TEL À
*} Voir le la p. ls EVE. if ps ice 21193 el à angl

*) Voir la note 1 de la 231 du 1. VL.
3) Voir la Pièce N°, I ( (p. 474480), datée du 16 juille CNE " 3 pium af

4) Voir le dernier alinéade la p.432. 0 ‘44 Pad HË émilet 4, 159
5) La figure est identique à celle de Huygens qu’on trouve à la Pe474 LUE ER

AVERTISSEMENT. 435

.f ten Res Gog TV—- log ED) + C,

139 “1 E #4 431
Fe À. er À “tn
fi: Lu à . ele côté AB du Carré caraétériftique , et où C eft une conftante.
CE es ÿf LL F TS
je fin d 0 btenir une formule commode pour calculer l'aire d’un efpace hyper-
RE MES PAR
ir ique comme * LE VDE, » il suffit donc de déterminer, une fois pour toutes, la valeur

e C. À cet effet Huygens applique fa quadrature approchée à l’efpace

3 dre

è 7 DE & =} CA émet des calculs qu ne. accom-

ot he She fs | trans 10") lg 32 +C,

Jar 7 LT D'ou RES ITU

permet de. calculer. li er … c. pour laquelle Mis fe fervant

es de Vlacq à dix mantiffes?), trouve 0,3622156868 ; nombre qu'il a
acq 53 5 q

si us ar pa en a ) à la fuite d’un nouveau calcul que nous

K? F3

436 AVERTISSEMENT.

Puis, le lendemain de la rédaction de la Pièce N°. III que nous venons d’ana-
lyfer, une application bien autrement intéreffante fe préfenta à lui *).

Quelques mois auparavant, en mars 1662 *), Moray l'avait averti de la relation
fimple, récemment découverte par Boyle, d’après laquelle le volume d’une quantité
donnée d’air eft inverfement proportionnel à la preffion à laquelle on la soumet.
À la defcription fuccinéte de l’une des expériences de Boyle, Moray avait ajouté

la phrase un peu énigmatique: ,,Je crois que vous comprendrez affez bien par
cette courte defcription que cecy en veut à l” Atmofphere, mais comme quecen
foit Jay trop de befogne de refte, pour m’y arrefter plus long temps”. En

réponfe 3), Huygens demanda des renfeignements fur un point important qui
lui était refté douteux; du refte il ne voyait pas encore qu’il fût fort aifé de
déduire des expériences de Boyle la hauteur de l’atmofphère, il croyait que pour
cela on aurait befoin encore d’autres expériences, comme celles qu’on avait fait
en France fur les montagnes d'Auvergne 4). Cependant, avant d’avoir obtenu
l'éclairciffement demandé 5), Huygens reçut le 12 juillet l’ouvrage de Boylef)

où celui-ci donne en détail les réfultats de deux féries d'expériences ps

la condenfation et la raréfaétion de l’air. Ayant pris connaiffance déte

ji

tats qui prouvent” comme il s'exprime?) ,,affez clairement cette proprierè =
remarquable [de Pair] a fçavoir que la force de fon refforc fuit la proportion
contraire des efpaces ou il eft reduir”, Huygens ne doutait des de exactitude ;
approximative *) de la loi de Boyle. Oubiauss ; jours après ?), il fe mit à l’œuvre ..
pour chercher la relation qui devait exifter entre l'altitude au-deffus de lamer

x | f:
CAR: me

Hi 5 ut 7

a) Voir aux pp. 474 et 483 les dates des Pièces N°. Ille et N°. IV. |

#) Voir aux p. 84—85 du T. IV la lettre de Moray à Huygens du 13 mars 1662.

3) Voir la lettre de Huygens du 9 juin 1662,p.150 du T.IV. UE a #

4) Consultez sur ces expériences la ,, Lettre de Monsieur Perier”, me SA" dans la note 4 de
la p. 492.

RAP à

$) Moray le lui fournit dans une Pièce qui accompagna sa lettre du 17 juillet 1662 etqu’i “ilavait à
copiée de l’ouvrage de Boyle mentionné dans la note suivante; voirles p. 176—178 du T.IV. s

5) Voir la p. 171 du T. IV. Il s’agit de la ,Defensio Doctrinæ de Elatere ét Gravitate Aeris”,
citée dans la note 2 de la p. 171 du T. IV.

7) Voir sa lettre du 14 juillet 1662, p. 171 du T. IV. \ TE

& Voir à la p.485 qui suit ses réserves sur l’exactitude absolue de la loi de Boyle dans ec des “

très petites pressions. | ECS Le

9) Voir, à la p. 483, la date de la Pièce N°. IV. Toi À
ed Huygens ne semble s'être douté aucunement de l'influence de} abésetts de la teinpéra-

ture qui accompagne l'augmentation de l'altitude. [1 n’en dit pas un mot, ni Fan la Pièce en me: *
question, ni ailleurs. one

ä PR :
1 NU YLER LE D FE

LE na
a er

AVERTISSEMENT. 437

et | FRAC RAIN barométrique, dans l’hypôthèfe que la diminution de

pri ; ffion dans les couches diverfes de l’atmof spas fe vonfare entièrement à la
emment découverte *°). nés

_effe: ions: fubril, pour Rare nous renvoyons Fès texte de la

N°. 1V:), Huygens trouve une relation ne eft éminent à la formule, en

pue.
je eg Ter

4 A
M. D

sr ide f mer où la promu St Po

Lite

que, d après loi de We onaY = 2e, à il eft évident que la déter-

se ur Po — rs n+C= = log # à “og he

Il an < de Huygens que nous avons trouvée égale: à— log ns
: petite complication fur laquelle nous n’infiftons pas ici "?),
| ond au calcul de la p.486 du texte; mais puifque 7, eft
Çdu moins lorfque [ unité de longueur qu’on emploie à mefurer les
>) on peut écrire: |

log (log p. — lo p)+C = lo h
. C=60# 1e é j
84485.

alculs sont conformes à la RAR fi
= log (log pe — log p) + log ps + c si vo log 4),

438 AVERTISSEMENT.

Pour fupputer la valeur de 4,, Huygens devait connaître la hauteur de la colonne
barométrique au niveau de la mer, qu’il fuppofe égale à 30 pouces anglais”), et
le rapport du poids fpécifique du mercure à celui de l'air ?).

Il trouve de cette façon 32640 pieds anglais pour la hauteur fiétive 4, de l’atmo-
fphère fuppofée homogène, nombre qu’il remplace par le nombre rond 33000.
À l’aide de cette donnée on trouve C, = 4,88073 ; mais, par fuite de la complica-
tion mentionnée, les calculs abrégés, que Huygens fait prit font mieux
repréfentés par la formule :

(5) (log (log po — l0gp) + 5)— 0,11927 =log#,

où o0,11927 eft le ,numerus perpetuus” qui entre dans tous les calculs.

Ayant appliqué la règle qu’il venait d'obtenir à plufieurs exemples 3), ilcom-
munique, le 17 août 1662, à fon frère Lodewyÿk les réfultats de deux d’entre cn

le priant d’en faire part au duc de Roanez 5), un de fes amis parifiens. Le

main il expofa fa règle, appliquée à trois exemples, à Moray *), fans toutefois er en ‘1

faire connaître la démonftration.

Si dans la Pièce N°. IV, dont nous nous fommes occupés jusqu'ici , Huygens &
difcute des exemples fi@ifs, dans l’Appendice I (p.491—494),de date inconnue,
que nous avons ajouté à cette Pièce, il difcute les célèbres expériences faites

par Perier au Puy de Dôme en Auvergne fur l’inftigation de Pafcal.

À cet effet il devait commencer par changer le ,,numerus perpetuus” pour l'adap-

ter à l'emploi du pied de Paris, qui remplace le pied anglais des calculs précé-

dents’); enfuite il applique sa règle aux données fournies par Perier, pour en

#4 Se

genes, 1
FA. Vehe 2
ch à

*) Voir les premières lignes de la p. 483.

?) Voir la p. 483 et surtout la note 4 de cette page.
3) Voir les p. 486—490.

+) Voir la p.198 du T. IV.

5) Voir sur Artus Goufier, duc de Roanez et sur ses relations avec Huygens la p. 238 du T. ur

et les pp. 7, 33, 53,71 et 180 du T. IV. |
5) Voir les pp. 202 et 205—206 du T. IV. On trouve la réponse de Moray à la p. 217 du même

Tome. Moray y mande que ,,tous nos Messieurs” (savoir les membres dela Royal Society)
»sonttres satisfaits de votre Reigle”,

TE ETES

RASE

AVERTISSEMENT. 439

déduire entre autres l’alticude du sommet du Puy de Dôme. Il trouve pour cette
_ altitude une valeur qui, même après la correction notable que nous y avons
_ apportée *), eft crop forte; conféquence néceffaire de l’hypothèfe dont il part ?).
…. Enfin, beaucoup plus tard, en 1673, Huygens s’eft occupé encore une dernière
fois du même fujet à propos d’une expérience de Caflini faite fur une montagne
sat Toulon we

ï
i

La courbe logarithmique.
| j

_Hya lieu de Pétonner que les recherches fur la courbe logarithmique qu’on

trouve dansla Pièce N°. IT (p. 460—47 1) (quoiqu’elle ny foit pas encore indiquée
| fous ce nom) l tent une date si ancienne que celle de feprembré 1661. En effet
Huygens ne mentionne ces recherches, ni dans fa lettre à Leopoldo de Medicis'”),
du 19 novembre 1667, où il énumère fes travaux encore inédits, ni dans le refte
_ defa correfpond: nce antérieure à fa lettre à Leibniz du 23 février 1692'*), ni
dans lHorologium ofcillatorium”” de 1673, où il donne rant de réfumés de
fes travaux mathématiques pas encore publiés *3).

à Cependant la dure en queftion eft infcrite en tête de la Pièce N°.1II, d’une
ma nière cout-à-fai t distinéte, ne permettant aucun doute. Il s’en fuit que, Deraue
_les réfulrats concernant une ligne courbe qu’il avait,,examinée longtemps aupara-
vante” et qu’il propofa d’appeler »Logarithmique”? ou ,,Logiftique”, furent
publiés enfin , fans leurs déduétions, d dans fon »Difcours de la caufe de la pefan-

», ils été connus à Huygens pour la grande majorité, et quant

x phe importants, br prefque trente ans. |
' . Les déduétions qui manquent dans ce ,,Difcours”, on les trouve, pour la
rt ‘ques la FiRce pl M PAPERS au obferver que chez la ,,Logarith-

'EA ET TH fs {

: tu

ce surtout la note 3 de cette page.
e la p. 493 et1 de la p. 494.

4 , la : A 12 de la p. 493.

Érre) ppendice Il, p. 495—497.

Voir les p. 160—163 du T. VI.

Voir la p.21 du T. X.

les pp. 1 192, 195, 198, 206 et 207 re Tome présent, comme aussi la note 2 de la p. 347
note 2 de la p.476

Voir la p. 169 de l’édition originale.

- 440 AVERTISSEMENT,

mique” ban nbtéile: comme AD*), font proportionnelles aux logarithmes des
ordonnées HD , pourvu qu’on prenne AK pour unité de longüeur des ordonnées.
Cette courbe peut donc fervir à exécuter DEEE toutes les opérations
auxquelles on emploie les PES ER rh: op ce qu'il we Am net

RAS ANSE NE ROME hpqlt. HQE 4 eut

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SU E Paie LEE LE Le PRE va: Es” se 1 + F2) 4:

pores bn ren " cet eff pote ten ven
ments égaux AB, BC, CD , ‘ecc. et il prend chaque fois l'ordonnée,
fpond à l'en d’un tel nd, égale au double de celle du sq de dix
qui précède; de forte qu'on a BF = 2AK, GC = AE e0F1 " AK

Enfuite, afin d’interpoler d’autres points entre bi be pie F le et
24 à et ab 1 Sion él tige
és HE ibasqA "EU
me À de Lars HÈt lt

7) La figure est identique à celle de la p. 460 du texte. A This.
. ©) Comparez la p.461. Huygens s’y borne au problème d'interpoler entre deux s ments d
nés un nombre quelconque de segments continûment proportionnelss problème auque
avait été conduit par ses recherches sur le ,, Cycle Harmonique”; voir la note 8 la

AVERTISSEMENT. 441

fuflit de divifer chaque fegment en deux parties égales par les points L, N,etc.,
_d’y ériger des ordonnées qui font les moyennes proportionnelles entre celles des
points extrêmes du fégment, er de répéter cette opération fur les nouveaux
_ fegment toujours plus petits , autant de fois qu’on le défire 5).

‘ C'eft de certe conftruétion que Huygens fe ferc pour formuler la définition de la
courbe +). Il en conclut d'abord que les abfciffes peuvent être confidérées comme
les cos up ordonnées et que deux ordonnées dont la diftance de Pypei à

opriété, il éétddéhéeeipes voie géométrique, FRF ER autres, parmi lefquelles
. s nr AaiA Nneurtuide ls fonitangenss/") dont le rapport
s'Én. ance entre eme deux tongs dont l’une eft le double de l’autre, eft éouyé

| D ne compris entre fus ordonnées *), la fituation du centre de
| de l'efpace qui s'étend à l'infini entre la courbe et l’afymptote depuis une
rd ané e donnée?), puis les cubatures des folides engendrés par la révolution
. Medina eme: in autour de cs D et autour de l’or-

PL — L ui Bugs ; PET

Fo Sono HE UE OMS RES 22! |

mé nDiscou &i cause de la pesanteur” : p. 169—170 de l’édition originale, cette con-

: est pol rend isée, puisqu’ on y lit (après avoir adapté les notations à celles de la présente
:,,Cette ligne infinie étant IGK, elle a une ligne droite pour Asymptote, comme DA ;
qu ire Mint E, D parties égales quelquonques qui se suivent, comme ED, DC, &
tir pres RU des perpendiculaires j jusqu’à la courbe, sçavoir EL, DH,
Ut poor Aéiics continuës. D’ôù l'on voit qu’il'est aisé de trouver
€ points qu’on veut dans cêtte courbe”.
ns qu'on rencontre la même construction dans un manuscrit de Torricelli, qui
1647. Ce manuscrit fut publié en 1900 par Gino Loria dans la ,,Bibliotheca Mathe-

tte Folge, Band 1, p.80 —89. Torricelli appelle la courte. »Hemihyperbola”,
lle ne possède qu'une seule asymptote, mais plus loin il propose aussi de l'appeler
0 arithinica. sive Neperiana”, Il prouve l’invariabilité de la longueur de la sous-
te etil donne de plus la quadrature de la courbe et la cubature du solide derévolution
Led he: 58 6 PE de l’asymptote,

ième alinéa de la P- sé
6 homo morale
Pavoir calculé.en tant de doses ce soirs qui est égal à log e,n'appartient
s puisqu'il pouvait empmnart à l’,,Arithmetica Logarithmica” de Briggs;
note 3 de la p. 465. Gif Lepiyisa |
62—463 et 466.

Hryaro. gt > Due le cas plus. général où l'espace est limité par deux ordonnées,

56

442 AVERTISSEMENT.

donnée‘). Enfin Huygens ajoute, fans démonftration, deux théorèmes qui font
connaître la fituation du centre de gravité dans l’un et dans l’autrede ces folides?).

Affurément la Pièce que nous venons d’analyfer eft un des plus beaux exemples
de ce que les meilleurs géomètres du dix-feprième fiècle favaient accomplir avant
l'invention de l’algorithme du calcul différentiel et intégral.

Détermination de la tangente à une courbe algébrique.

La règle pour déterminer les tangentes d’une courbe algébrique quelconque
donnée par fon équation cartéfienne f, (x ,y) —0o, celle qu’elle fut expofée
par Huygens dans le manufcrit qui accompagna fa lettre à Johan de Wittdu
25 février 1663 3), femble être une extenfion fi naturelle de la méthode de Fer-
mat, furtout après la fimplification que Huygens y avait apportée 4), qu’on
croirait que Huygens a dû la découvrir auflitôt qu’il fe fur pofé le problème en
quetion. Cependant les manufcrits nous montrent qu’il en a été tout autrement:
Dans le fait, Huygens, avant d'arriver à la folution que nous connaiffons, en
avait trouvé d’autres affez intéreffantes, mais beaucoup plus compliquées. -

L’impulfion à de nouvelles recherches fur les tangentes lui fut donnée par une
lettre de de Slufe datée du r8 août 1662 5), Dans cette lettre celui- Gi annonça
qu’il avait perfectionné une méthode, inventée il y. avait. plufieurs. années, de
elle façon qu’il pouvait trouver les sineats d’une courbe , prefque fans calcul,

par la feule infpeétion des termes de fon équation 9. ARE un exemple de

1) Voir le premier alinéa de la p.471. L Smnft conte Ed 21364 ui
?) Voir la p.471. Nous avons trouvé dans le Manvserit G une é démos du sicroiel théo-
rème, de date beaucoup plus récente que la Pièce N°, I; voir l'Appendice, P. 470473
Quant à l'autre théorème concernant le centre de gravité du solide de révolution | engendré
par la rotation autour de l’ordonnée, les manuscrits n’en contiennent ré Ja Faite 3.
mais consultez la note 7 de la p. 470. WE MAPS FF
3) Voir les p. 311—317 du T. IV. is SPA EI .
4) On peut consulter sur la méthode de Fermat et sur la simplification ave € Huygens apporta
les pp. 20 du T, XI, 65—66 du T. XII et 297 du Tome present "#79 7 Dati 4 6
$) Voir la p. 207 du T. IV où l’on lit: ,,Nuper tamen methodum tangentium ex notà applica-
tarum ad partes axis qualicunque ratione, quam ante plures annos inuenéraï , ad facilitatem
maximam deduxi, ita ut inspectä solum in terminis analyticis æquatione quæ ciel o le
tatem ostendit, fere absque calculo tangentem ducam. Vnam hîc meà methodo er aus
addo, in curuà quam olim Clarissimus Gutiscouius mihi proposuit”. À
5) La méthode fut publiée, sans démonstration, dans le N°. 90 des , »Philosophical Transactions” 9

me.

in

A

EMENT 443

tte méthode pouvait conduire, ildécrivit la conftruétion de la
inc courbe qui lui ui fut propofée jadis par van Gutfchoven 7).
"pourbe-peut s “écrire yt+ y'x— dx=o, Elle eft facile-

pa ue à Fr La forte qu’ ON a = J 7 Or, quoique

nça a rouefois par chercher les moyens de déterminer les

Ou! — f(), au cas eo à FO) repréfence une fonétion
| mi A LATE

ft difficile de déiner | Hivéèts n’appliqua pas à ce

ermat telle qu'il l'avait fimplifiée, mais il chercha

r lefquelles le problème eft réduit à celui de trouver le maxi-

‘une bs44l ones 203). ; problème qui avait été réfolu
ss 2 DE (@) LE

iéthodes de de fortement At inventée par Defcartes
in ntes, où plutôt les normales, d’une courbe donnée AS À
: LS 4 : ,
“. ob | . Soi, afin d FRANS cette méthode, s la ligne
ns (Ru qui joint Je point A de l'axe des y à un point P
M, AE" de la courbe, de forte qu’on a:

paie Me AP == GE 5) era +

AE © Si, enfüite, r nous 1 déplaçons le point P le long
TEE) cette expreflion pour s° fera ftation-
_naire (c'eft-à-dire elle fera en général maxi-

en |

sÉt: Fat: À

673, p. Lire 147; j elle ne diffère pas essentiellement de celle de Huygens
pendice à sa lettre à de Witt. Dans le N°. 95 du 23 juin 1673, p. 6059

es indications sur la maniére dont il savait démontrer sa règle.

urbelap.so1.

lettre de Huygens à de Sluse du 25 septembre 1662, p. 238 du T. IV;

RU neue ass Fin Rss pe #45:

n fs PA Fo À

elap du TL

ete diéece, qu au lieu de chercher la grandeur minimum du segment AP,

444 AVERTISSEMENT.

mum où minimum ) à l’inftant où la ligne s devient normale à la courbe. L’appli-
cation de la méthode de Hudde amène donc dans ce cas une équation, qui , en
notation moderne, s'écrit :

— 29 +23+f(y)=o,

et dont on déduit y — +: f'Cy); ce qui permet de conftruire la normale AP

et, par fuite , auffi la tangente du point P *).
La destine méthode eft plus originale. Cette fois Si vgens choifit le point
fixe A fur la tangente elle-même , favoir à fon point d’interfeétion avec l'axe des

Berg
SE FO) qui doit devenir un

CPI OT s

maximum ou minimum au cas où la ligne
AP , qui joint le point fixe A au point mobile
P de la courbe, eft tangente en P à cette
courbe. 3 cette condition on trouve dus
+70 Où FRS

Évidemment on peut varier cette dernière méthode en fixant un autre point de
la tangente, p. e. le point d’interfeétion A’ avec l’axe des x. Dans ce dernier cas

y. C’eft alors l’expreffion Pr , ou fi l’on veut

il s’agit de rendre un maximum ou un minimum la fra@tion _3__, Huygens

za
applique cette méthode à des cas où y° = f(x) 3). On trouve alors, par la con-

dition du maximum ou minimum de PRE ES l'équation z2= — x pce) x
G+a) 1 T FC:

on doit, suivant la méthode de Descartes, commencer par déduire l'équation en x, owen y,
qui détermine les points d’intersection de la courbe avec le cercle qui a pour centre le point
À et pour rayon la ligne AP. Ensuite on doit introduire la condition que cette équation
possède deux racines égales qui correspondent au point P. Voir les p.413—423 du T. VI de
l'édition d'Adam et Tannery des Œuvres de Descartes sous l’article: ,, Façon generale de
trouuer les lignes droites qui couppent les courbes données, ou leurs ru me
droits”.

*) Voir, pour les applications de cette première méthode, les pp. 504, 506 et 545

AVERTISSEMENT, 445

Dé ”

néthodes n’exigent que des calculs très fimples dans les cas où Huygens
) e: cp re ne dssun pas 7 sas la courbe eft donnée par

| & acisfait, En effet, le 25 feptembre 1662, il manda à de
rs sais fps NS plus tôt à votre avant-dernière %), n’était-ce

ofais d'examiner quelques chofes concernant votre nouvelle

01 un re j'ai eu à peine le loifir, il y a feulement quelques jours. Car j'ai
ri ce que vous écrivez de la concifion de la méthode trouvée par
Ù den re de des set) j ’ai éd eur à pour Sonvrie en

, que vous ec. de la courbe de Gutfchoven, et cela de
É males 7) et par un calcul très bref qui occupe à peine deux de ces
Et je fuis tombé aufli fur votre conftruétion %); mais pourtant il me

o9—513 et consultez pour un ample exposé de ces méthodes les notes 5 de la
L dune 2 de la p. 511.
:37—238 du T.IV, où l'on lit: Jam enim ante ad penultimas tuas imposer :
m cirea novem inventum tuum prius expendenda mihi proposuissem, ad quæ vix
: diebus liberum otium concessum est.Miratus enim quod scribis de brevi-
d tangentes curvarum abs te repertæ, qualis nam ea esset invenire allaboravi
illius quidem curvæ Gutschovianæ quam proponis tangentem nullo negotio
ijs moc ri brevissimo, qui vix duos hujusmodi versiculos occupet-
ns! ionem quoque incidi; veruntamen quantum ex verbis tuis conjicio,
um uit reperisti, quodque ad omnes curvas spectet quarum proprictas
ressa sit, nempe ad has quoque quarum implicita quodammodo est æquatio, ut
in D) o quæ est curvæ illius quam tu in Schotenij commentarijs ad Cartesium
... Hujus tangentem in dato puncto ego quidem non nisi mediocriter prolixo
Heon. hac nempe æquatione, nam potest alioqui ad aliam multo compen-
ci) plurimumque mirabor methodum tuam, si absque ullo pene, ac tantum
racteribus istis reperire sam doceat”.
8 août 1662 dont il est ani àlap. 442.
4, 505 Et 513.
par de Sluse dans sa lettre de 18 août 1662 (p. 207 du T. IV); mais on ne la
pas dans les manuscrits de fepéraurs “oui elle se laisse déduire aisément des résul-

par lui. PS EE LORS

446 | . ‘ AVERTISSEMENT.

L.

écuitioné favoir aufi à celles dont l’équation eft en quelque façon iniplieié ;
comme 43 y3—xyr— 0, ce qui eft l’équation de la courbe que vous avez peut-
-être rencontrée dans les commentaires de van Schooten fur Defcartes :).. . Je
n’ai trouvé la tangente à cette courbe que par un calcul médiocrement prolixe ?)
(favoir en me fervant de cette équation-à, car la chofe peut être accomplie beau-
coup plus commodément par une autre voie #)) et j'admirerai beaucoup votre
methode fi elle enfeigne à trouver cette tangente prefque fans aucun calcul et par
la feule infpeétion des termes de Péquation”. Hi
En réponfe, de Slufe écrivit, le 6 oétobre +) , que fa méthode avait, en effet,

1) Voir à ce propos la note 1 de la p. 238 du T.IV. ds ne: sn
?) Voir les p. 509—512.

3) Voir les p. 506—508. #
4) Voir les p. 246—247 du T.IV. : PO
5) Dans une lettre du 10 décembre 1662, que nous ne connaissons que par la réponil de.

FFE e.29 298 du T. IV). Huygens fit savoir à celui-ci que Hudde et lui- ne

même avaient découvert une methode semblable à la sienne.
6) On retrouve cet algorithme, tel qu’il fut formulé par Hudde, dans l’,, Extrait d’une Lettre
de feu M. Hudde à M. van Schooten, professeur en Mathématiques à Leyde. Du 21.de
Novembre 1659. Traduit du Hollandois”, Cet ,,Extrait” fut publié p. 465—469 du

»Journal literaire de juillet & aout, M.DCC.XIII. T. I. Seconde partie. À la Haye, Chez "te,

T. Johnson”.

Puisque ce journal n’est pas aisément accessible, nous en empruntons la , Règle générale”
qui suit: ,Rangez tous les termes de l’équation qui exprime la nature de la Courbe, de
maniére qu’ils soient 2 o, &*ôtez de cette équation toutes les fractions qui ont x ou y dans
leurs diviseurs. Multipliez le terme dans lequel y a le plus de dimensions, par un nombre pris
à discrétion, ou même par o, & multipliez le terme dans lequel y a une dimension de moins,
par le ième nombre diminué er unité, & continuez de même à l'égard des autres termes

de l’équation. De même multi-

| ge ou par o. le terme où

a D x a le plus de dimensions: le
; terme où x a unedimensionde
: h, moins, doit être multiplié par

lemêmenombre moinsl’unité,
D &ainsi des autres. Quand on
C B < A 2.7.4 G divise le premier de ces pro-
duits par le second, le quo-
tient multiplié par — x est 3 AC. Au contraire si on divise le second de ses produits par
le premier, le quotient multiplié par — y sera 5 &c. VAE
À cette règle le correspondant inconnu du Journal ajoute la remarque: n° Cette préparation ;

pliez par un nombre pris à |

LL

AVERTISSEMENT. 447

la portée que Huygens lui fuppofait et il ajouta , comme preuve, la conftruétion
de la tangente à la courbe en queftion.
_ Or, quelques femaines après, probablement au commencement de décembre),
Huygens apprit que Hudde était en poffeflion d’une méthode femblable, Alors,
ayant pris connaiffance de l’algorithme employé par Hudde ‘), Huygens ne tarda
pas à en découvrir l’origine , qu’il expofa dans la lettre à de Wict de février 1663
dont nous avons déjà parlé 7). En effet, on trouvera au { 6 de la Pièce N°. VII
(p:516—517), ce que nous fuppofons être la première recherche inftituée par
Huygens fur le problème en queftion en partant de la méthode de Fermar. Elle
_luivficeconnaître enfin la règle qu’il avait cherchée fi ardemment. De plus, on
rencontre fur les même pages du manufcrit de petits calculs *) qui fe rapportent
à l'algorithme plus général de Hudde, dont celui de Huygens conftitue un cas
iculier,
Ajoutons qué Huygens communiqua fa méthode le 13 avril 66e à l’Académie
s Sciences dans un difcours dont nous publierons le réfumé dans un autre
ome, où nous réunirons tout ce qui concerne la participation de Huygens aux
v: ux de cette Académie.
fin, en 1693 > cette méthode fut publiée dans les ,, Divers ouvrages

+

le "ere et de Phyf ique” *). À cette occafion Huygens ne manqua

55) ie AE Er

Lu à DA ÉSAMRU LE
rares nn (faut que M. Hudde dans le temps qu’il a écrit cette Lettre, n’ait pas
u l'avantage de sa méthode à cet égard. On voit par ses Papiers qu’il l’a connu depuis”,
Voici d’ailleurs comment Huygens dix ans après s'exprime dans une lettre à Olden-
5 burg, du 24 juin 1673 (p.315 du T. VII), sur la part de Hudde et de lui-même dans l'in-
. vention de la méthode: ,Quand est ce que nous verrons la démonstration de la methode
s Tangentes de Monsieur Sluse?” (comparez la note 6 de la P- 442) ,C'est cette mesme
D, ay mandè que Monsieur Hudde et moy avions aussi. C’est pourtant Monsieur
de qui m’en a monstrè la pratique, et j'en ay cherchè depuis l’origine et demon-
ion a ma façon, laquelle en cas qu’elle soit differente de celle de Monsieur Sluze, je
L dnaner aussi”.
Ja p.442.
bris note 4 de la D. S16.
l’arricle ,Regula ad inveniendas Tangentes linearum curvarum”, P- 330—335 de
ge cité dans la note 1 de la p. 91 du T.IX.
puum verd operæ pretium tunc fuit compendiosa hujusce regulæ contractio, quam,

448 AVERTISSEMENT.

Notons encore que lors de la publication, en 1667, du troifième volume des
Lettres de Defcartes” éditées par Clerfelier ‘), et de celle, en 1679, des
»Varia Opera” de Fermat *), Huygens aperçut 3) que la théorie de la déter-
mination des tangentes des courbes algébriques avait été JEVRE plus loin pat
Fermat et Defcartes 4) qu’il ne l'avait fu.

S’il avait pu prendre connaiffance également de la Méthode de maximis et

/minimis expliquée et envoyée” (en juin 1638) ,,par M. Fermat à M. Defcar-
tes” 5), Huygens aurait vu que Fermat était en poffeflion d’une méthode équiva-
lente à la fienne pour trouver les tangentes d’une courbe algébrique quelconque
fCx,9) = 0 °) et qu’il l'avait appliquée , comme Huygens l’avait fait lui-même,

_etavec un fuccès égal, au folium de Defcartes.

Les autres travaux mathématiques de 1661—1666.

è : é C2

quoad potui, prosecutus, tandem in ipsas illas insignes Huddenii, Slusiique regulas desinere
inveni, quas mihi Viri hi Clarissimi uterque fere eodem tempore exhibuerant: an vero hac
eadem vià an alià in illas inciderint nondum mihi compertum”.
1) Lettres de Mr. Descartes. Où il répond à plusieurs difficultez qui luy ont ésté proposées |
sur la Dioptrique, la Geometrie, & sur plusieurs autres sujets. Tome troisiesme, et dernier.
A Paris chez Charles Angot, ruë S. Jacques, au Lion d'Or. M. DC. sorte mn
du Roy”. ÿ |
2) Voir l'ouvrage ciré dans la note 1 de la p. 326 du T. I. : 2: él < sébdil FD |
3) Voici comme il s'exprime à ce sujet dans le premier alinéa de l'article cité déhsis note 9,
p. 447: ,ldem Fermatius linearum curvarum Tàngentes regulà sibi peculiari inquirebat,
quam Cartesius suspicabatur non satis ipsum intelligere quo fundamento niteretur, ut ex
epistolis ejus hac de re scriptis apparet. Sanè in Fermatii operibus post mortem editis,nec
- bene expositus est regulæ usus, nec demonstrationem ullam adjectam habet. Cartesium verd
in his quas dixi literis, rationem ejus aliquatenus assecutum invenio, nec tamen tam perspi-
cuè eam explicuisse quàm per hæc quæ nunc trademus fiet, quæ jam olim, multd ante istas ;
literas vulgatas conscripsimus””. LE Le
4) En ce qui concerne Descartes, Huygens doit avoir eu en vue surtout ta lettre à
de 1638, p.332—335 du T. III de Clerselier (p. 170—173 du T.II de l'édition d'Adam :
et Tannery des Œuvres de Descartes), où Descartes explique à sa manière la méthode

eo

AVERTISSEMENT, 449

e dont dépend la conttruétion de l’heptagone régulier. Enfuite
1ème année la Pièce N°. VI (p. so1—503) qui contient une
0 nosuireise sabre à la courbe de Gutfchoven et à un de

| D en coordonnées Été iennes, comme Detiniies l'avait fait
: lu deuxième degré.

te de ous qu'il avait fini par comprendre après y avoir fait des objections
lettres précédentes; voir encore les p.328—331 de Clerselier (Adam et Tan-
y Pe128—131) et sur les objections de Descartes les pp. 300—303,305—311
ne de Clerselier (Adam et Tannery, T. 1, p.486—491, T.Il, pp.2—11 et
L Methods des tangentes de Fermat, Huygens la trouvait exposée dans l’article
ad disquirendam maximam et minimam” suivi de ,, De tangentibus linearum cur-
.133-—136 du T.I de l'édition des »Œuvres de Fermat” de 1891—1896, citée
ome présent), article dont une copie avait été envoyée à Descartes, et dans
articles des ,,Varia opera” (pp. 144—147 et 159—165 du T.I del ‘édition de
) qui étaient inconnus à Descartes; mais la méthode n’y est appliquée à des
s que dans des cas où l'onay —f Ge), f(x) représentant une fonction
entière ou fractionnaire.
fut pone en 1879 par Charles Henry , d’après un manuscrit inédit, dans le ,,Bul-
a e di storia delle scienze mateniatiche et fisiche” (T. XIT, p. 6 58— 66 3).
réimprimée dans le T. IL, p. 154—162, de l'édition de 1891—1896 des »QŒiuvres

re notation pote la méthode « consiste dans la résolution, par rapport à la sous-

a—e
és Er 3)—fCx,3)—=0,
‘g ige les puissances de e au-dessus de la première.
est basée chez Fermat sur la remarque que le point (=— L (49 de latangente

être quan-considécé comme un point de la courbe.

| af
ii Fi ie la methode donne: # — ds
Se Tres Te df°
LT dx

57

450 AVERTISSEMENT.

N°. VIII (p. s21— 523) s'occupe d’un brobiiniiée) l'analyfe indéterminée du
premier degré, problème qui trouve fon aprlicarion dans a fence del chrono
logie, lorfqu'’il s'agit de décerminer l’année du Cycle Julien introduit par Jc
Juftus Scaliger. Dans la deuxième (p. 524) Huygens vérifie une < uad

approchée du cercle di dpi pat un ME Pet re

1661.

CFig. I 1.

cqule ne adi invenienaos logarithumos D

ps b

où a approxima-

ae 1693

452 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661.

[Fig. 1.] $
s o
DRE
le i
2 N F k Î :
n G €
“ AT ES | K #7

Sit AFE hyperbole cujus afymptoti SC, CD rectum angulum comprehen-
dentes. fitque AB æquidiftans SC partium 10, qualium ED 1 ,et FG 2, fiq i
Vide lbrum C volo invenire logarithmum numeri 2. Quoties igitur fpatiom ABDE contin
ane medium Ubi fpatium FGDE, toties ratio AB ad ED continer rationem FG ad ED *)
ehisagitur "). F : x HT | ‘ À: Fe
inventa Gregü a S. Vincentio #). hoc eft toties exceffuslogarichmi numeri
fupra logarichmum numeri ED continetr exceffum logarithmi numeri FG fi
logarichmum numeri ED. notus autem eft logarithmus numeri AB quem ponimu
effe 100600000000 et logarichm. numeri ED five 1 , qui eft o. Ergo exceffus loga

richmi utriufque notus eft nempe 10000 &c. idem videlicet qui logar, numeri À
Si ergo nofcatur quam rationem habeat fpatium ABDE ad fparium EGD

notus erit exceffus logarichmi num.i FG fupra logar. numeri ED, adeoque.

_rithmus ipfe numeri FG. | Le a

he trsisnis th
FOR. ENS ANA

bte D us
à * F:

1) H s’agit des p. 110 —111 du Manuscrit C, qui contiennent le résumé d’une comm
présentée par Huygens à l’Académie des Sciences en novembre 1666. Nous reprod
résumé dans un autre Tome de notre publication, qui contiendra les discours tenus
Huygens dans cette Académie, On ÿ rencontrera un exposé de la;,methode pour.trouv
logarithmes”, à peu près dans la même forme que dans la présente Pièce mais sans av
indication sur la manière dont la règle en question a été déduite, Joseph Bertrand a pu
1868, p. 566— 567 du T.66 des Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, un r
moins complet de la même communication. Ce dernier résumé fut emprunté aux P
-verbaux conservés au Secrétariat de l’Académie. de

PU es aire ABDE qe

: NÉ LS AE PR EN aire FGDE $ Et : sé & y} FR)
2) En notation moderne: ED C5) +. s de
3) Voir la ,,Prop. CXXIX”, p. 596 de l',Opus geometricum”, ouvrage cité dans la note

p. 53 du T.I. Voici cette proposition, où nous avons remplacé les notations par ce
de la Fig. 1:,,Sint SC,CD asymptoti hyperbolæ AFE, & AB, EG, ED parallelæ asympto

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661. 453

“rer ie diétorum fpatiorum divido utrumque bifariam primo,
iendo mediam proportionalem inter lincas extremas, veluti inter
tuta media NO, ea bifariam dividet fpatium ABDE. Rurfus
-verfus ED eadem ratione bifeco, et harum medietates denuo
juoties continuo, prout accurate logarichmum invenire lubet. Pona-
à HKDE fpatium er stam bifeétionem inventum effe, ideoque
1 fparij ABDE,, ac fimilicer fpatium LD ex 5 bifeétione fpati FD
c proinde gomam parrem diéti patij FD. Si igitur nota fit ratio fpati

umiL Dé ipfa ratio fpatij ABDE ad FGDE.
RE TT AS Spatia HD et LD
| . feparatiminveniun-
tur hoc modo. Su-
mamus fpatium. HD

[Fig. 2]. Inter HK,

‘ED "miedix vcéniti-
_tuatur PQ et a cen-
tro hyp. T ducatur
__reŒta FT PR, quærec-
tam /HE meceffario
_bifariam. fecabit in
R 4) unde ducatur
2:23 RS. item XRA,
oi TD. : WPO parallelæ TD
CA mptoto. fit igitur
ct AP À Ru 20 ar TPE, te
ere AnPH aqu. EPX-er /\mPES æqû. [TJPA.. Auferenda
rti le HPE à ne Le a [J°XD ut habeatur
DE Pique ne “gi noftra theoremata de gear, peer 6) fic

ere 0 tira itEt
em ABGF, bite sit Fear FGDE” [le cas de la abmrbé
r Grégoire dans la Prop. CXXV, p. 594 de son livre]./,, Dico rationgm.A B ad

jes n DE rationemn ete ad ED, ques FT ABGF éontinet uns

| SAGE ++ SA
Re Cane proposition \ ke Ê (1 FG DE où la multiplication des deux

Me ki
PAF rpg amène la la relation indiquée dans la gai précédente.
enc le D dcer alinéa de la p. 457.
à l'avant-dernier alinéa de la p. 457.
l'égalité, au cas de l’hyperbole ae des angles HRX et TRX. Comparez le
vant | a de la p.457.
5 tu LT. ni ER Théorema vi re ,Theoremata de quadratura hyperboles,
ex dato portionum gravitatis centro”. D'après ce théorème on a la pro-

454 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661.

[Fig. 2.] _ proximè invenitur.

| nie SERVER 1,
à 4 {jam V erit proximè
centr. gr. portionis
frs dora ficut
1 £ | ad” s totius
Le ni a" RTP. #) ira
PARUS AnHPE ad ps

| “48 au tionem HPE. hoc
eft,/fi ut VT ad

1

PORN CS

ad Re erit EG æquale proxime portioni à sert u

LT

7 nd

HPE 3), FE 20 20 ‘fpario. DE 0 to. datis a
ipfas mediâ PQ, data eric gS ducenda in} Dur: babeur CT 2

vocetur 4, ED voc. 4, PQ voc. b 20 1/4, GR RAT 64

+ db. eujus fon Co 8. Tertre 3 3 4 - =. FE à &
3 ù
ns9(E CNET a+? vase (e er EE Dent
rs ES * A dpi ae he
| Thb+ Ta ;
Rp fi C3 gi” Fe tant sb 0 ad.
Er ire a
Pro meet Hit: Hdbhrebinorer 42
PQ ET N VAR CRT TRE SN PU
RS Mur 2° L ue na, A ka ja RUES lé

4 PLUS PPT 7 TE
4. ge gdd+2ab+ db

ds 3a+3d+4b F GA

portion, segm. hyp. HPE: AHPE = ? (2TP + rh). cv, où pv séene “
gravité du segment hyperbolique. ji PA Us rot du: 15 EH SA

Le]

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661. 455

10044
hoc Creer es — 4 54 [20 ] Sp. ducenda in KD,.

| … Similiter daca LM [Fig. 1] fer E D d, interque ipfas media prop.i
"à £ |/”f4. invenietur alticudo ducenda in MD, daturaque fic reétangulum

100f4

81f+81d+ 1084

er 4; mutatis nempe cantum Z in y et Ë in g, in terminis qui
87

tank proximè fpatio LD; ea inquam alritudoinvenietur

Es h funt pro Der Sp [Fig. 2].
… Mocetur altitudo Sp, p. Et altera quam dixi ducendam in MD [Fig, 1]
| vocetur 1. Quadratum vero hyperbolæ 74 [Fig. 21 fit gg. fit igitur KD >

1- 1. Et MD (Fig. 1] 1 Ÿ Itaque ratio fpatij HD ad fpatium LD

| eritea que pin . adsin* f_ 4 Sed ratio .. -f ad 1 — fret eademquæ

CREER five a—d ad a—Ÿ. Ergo ratio fpatij HD ad fpatium LD erit ea

que pina—dad#in Foi

Li Ad inveniendos logarichmos numerorum primorum ab unitate ad centenarium,

_ d'fit unitas, AB 10. Iraque p in #— 4, hoc eft, numerus exprimens fpatium HD

ne. Cquod pars nota eft fpatij ABDE) femel tantum inveniendus eft ad logarithmos
_ omnium numerorum primorum infra centenarium reperiendos; imo ad omnes

omnino. Sicut p inz—dadsin a ita eric logarithmus denarij (quia idem

quoque eft exceffus logarithmi denarij fupra logar.m unitatis) ad logar. m numeri
_propofiti quia hic quoque exceffus eft logarithmi numeri propofiti fupra logarith-
mum unitatis qui eft o.

Radix quæ quinto extrahitur ex 10 eft 10746078283213 5), hæc ef 4.

2) Formule éxicte) dans le cas d’un segment parabolique, pour déterminer la situation du centre
de gravité V.
_ ?) RTP représente RT + TP = :9TP + PR. L
[2

Fo On a trouvé Port, HPE — /\HwE; mais AHuE= TR AHTE = AHTE. Or,
2 ABTE mme (à cause de l'égalité des triangles HTK et ETD) = COXD. Par

| suite AtoE = RPXD = CX6.

+ 4 Lisez : IIS. es

té a On retrouve cette donnée et la suivante (avec 15 chiffres de plus) à la p. 10 de la première
_ édition (de aa de ’,,Arithmetica Logarithmica” de Briggs; ouvrage cité dans la note 4 de
(bé: Ja p. 477 du AE: 5

456 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. ss ses

Radix quæ fexto extrahitur ex 10 eft rogGégaoat4377 ha Beusèts. ph

unitas 10000000000000, eft d?). vré ie

Hinc invenitur Sy five p, in 4—4 > 732424004660 + he eh __—
femel cantum inveniendus ut diximus ?). RON re

} ce t' F8 |
HPE AIT TES Viynipyot:
_yT, TD. HK, PQ, ED paral-
le H it}, FAT afymptoto Ty. PQmedia |
prop. inter HK, ED. Oft.tra-
pezium HPCQK rauale tra
R Je Du. 4 4 de

ÉFie, 3.]

L 3 €

This CIN ni! MNT DA | tu ap

fe 77e AT N :

Set
Ben Are

aa 44 TT | HET A ah 3 Cia a {y ED ;

b T6 HR +PQ | mt}. | eh F7 me ml
V/6c bc—bKQ | ù $ 4 2 0BR QD LEO EM TE

aa V/ be OL SR. _caa aaV/ bc oi

COR DE ee

5 Remarquons que par l'introduction de cette se unité VE = = 195, u formule
note 2 de la p. 451 est remplacée par la suivante :

F4 | 415 Léf: En FE PALTE 1 SUP jF
| roof4 1 x 8 ad.
_ Li RS A =, 9 7
s e. 10044 ET. PSE

814 + 1085 + DAEA ee Fr re: “ts Vase
pi 7” k 4?

nait

où | maintenant a=dVie, b= ue. f = AVE, er LE joué que 6 4 peut se

égal à une puissance quelconque de 10.

Ajoutons que les p.11—16 du Manuscrit B contiennent dés calculs qui-se rs appor!
l'application de la règle à la détermination du »logar. numeri 2°. Après avoir

la p. 11 les mantisses 3010299094, Huygens reprend une partie des calculs, e

301029099567; résultat ,ou il y a 10 characteres vrais et l’unzieme qui surpasse

l'unité”, comme il s'exprime dans sa communication à l’Académie des Sciences.

_. Quant aux valeurs de f'etg, employées dans ces calculs, on les trouve à la:
Huygens les a calculées à l’aide de tables de logarithmes à 14 mantisses de 1,

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 166 1 À 1666. 1661. 457

aabcc —aabbc © aabcc—aabbc bon. Demonftratio adfcripta eft hac eadem
pagina 5).

_ HK ad PQ ut PQ ad ED. HK+PQ ad PQ ut PQ +ED ad ED et HK+PQ
_ ad PQ+ED ut PQ ad ED fed ut PQ ad ED ita DQ ad QK (quia ut PQ ad ED
7 it DT.QT.KT +). Ergo HK+PQ ad PQ +ED ut DQ ad QK. unde quod fit
ab HK+PQ in KQ æquale quod fit ab PQ +ED in DQ. Ideoque et utriufque
dimidia æqu.2. nempe trapez. HKRS trapez. RSDE 5). :

: ox TQ (/) la] (7%) QurJEL (e—5) [aa] LH (92-22

aac—aab > aac—aab bon

. cum ergo anguli RTS, REL five RVS fint æquales, fiet RV æqu. RT, duc-

tai ue yPN parall. RV, etiam PN æq. PT five etiam ipfi Py cum A\yPT ifofc.
| go yPN tangit hyperb. in P. Ergo P vertex portionis HPE, ideoque TPR ex

o hijperb.T eduéta fecat bafin portionis HE bifariam in R, ipfamque portio-

em in duo æqualia , e quibus auferendo /\2 æqualia HPR, EPR etiam fegmenta

reliqua æqualia erunt HP, PE. quibus ablatis a trapezijs æqualibus HPQK,

PQDE relinquentur fpatia mixtilinea HOPQK , PMEDAQ inter fe æqualia *).

_ Hinc jam facile oftenditur 7) Rationem HK ad ED toties muliplicem effe

rationis MG ad ED, (fumpta MG ad libitum inter HK, ED ,) quoties fpatium

HKDEP mixtilineum, multiplex eft fpatiÿ MGDE. Ut fi MG fit media prop.

inter PQ, ED, fit ratio HK ad ED quadrupla rationis MG ad ED, ficut et

LR HKDEP quadruplum fpatiÿ MGDE.

Dhhr 261

sh Meisrshe esrof j es D —

Mn bastil +5

_ Logarithmica” en divisant log 2 respectivement par 32 et 64 et én cherchant les nombres
_ correspondant à ces logarithmes. Cela était évidemment permis puisqu'il ne s’agit que d’une
vérification de l’exactitude de la règle en question.

+) Ainsi se termine la description de la règle. Ce qui suit se rapporte aux propriétés de la Fig. 3
et à la proposition de Grégoire de St. Vincent, citée dans la note 3 de la p. 452.

3) Voir la démonstration qui suit.

+) Huygens veut dire qu’on a PQ: ED = DT : QT =QT:KT.

_$) Lisez: ;,trapez. HPQK trapez. PQDE”.

5)Ce résultat est identique avec la ,, Prop. CVIIL”, p. 585 de l’ouvrage de Grégoire, mais la
_ démonstration est différente. os

*

i 61) Comparez la démonstration de Grégoire de la Prop.CXXV , mentionnée dans la note 3 de
Jap.4s2. |

58

APPENDICE © À LA PIÈCE N° L
[16682]

eue ad inveniendos FRS 1 '

vero Ar LL five illam AE PA a. Unitas vero dicatur 41 k
in 10'3 duéta intelligancur ut radicum fraétio evanefcat. |

Radix quinta ex 10 eft nn A Nb “it
Radix fexta ex 10 eft 10366329284377 *), b. ne

Unitas -—— 1000000680000D, 4. Li pk
ai PE + Not 200.44 EX
am inveniatur numerus æqualis iftis fimul b— a—
J q RE +4 343

numerus vocetur p, eft autem 55966103 5184532, idemque ducatur in 4—4, ac
produétus inde vocetur ». Qui numerus ad omnes logarithmos inveniendos adhibe-
bitur, eftque4175509443116778,&c, fed hos priores charaéteres adhibere fuffici
Si igicur ex. gr. inveniendus fit logarichmus binarij; habeantur et hujus rad
quinto fextoque extraétæ ficut de denario diximus , et

Radix quinta ex 2, 1021897 1486541 vocetur f
Radix fexta ex 2, 10108892860517 3) vocetur F8
Unitas 10000000000000 4 |

3

Similiter quoque inveniatur numerus mifualis pis fimul - dr

?) L’Appéndice est emprunté aux p. 21—22 du Manuscrit N°. 13 5 dont en question

dernieralinéa de la note 5 dela p. 235. $
?) Consultez sur ces données la note 5 de la p: 455. : LR PALS RES ! sis
3) Consultez le dernier alinéa de la note 1 de la p. 456. VERS

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. APPENDICE. 1668. 459

—3f—34, qui numerus vocetur 7. (In hoc exemplo eft 545869542830178.)
_ Hic numerus 7 ducatur in 4 — - produétufque inde vocetur s, qui hic eft

12569535892606 &c. Jamque erit ficut numerus y ad s, ita logarithmus denarij
ad logarithmum propofiti numeri #) , nempe hic, 0,30102999567. Pro charaéte-
riftica præponendum fcimus o, quia datus num. minor eft denario.

Si dati numéri, qui denario major fit, invenire logarithmum libeat, extrahatur
coties continuè radix ejus, donec ultimo extraéta minor fit radice fexta ex 10 nempe
10366 &c. voceturque ultimo extraéta g, penultima f, ficut prius; omnia deinceps
eodem modo peragantur, et invenietur hac ratione logarithmus radicis quæ
… feptima ab ultimâ numeratur, five quæ fex locis ultimam præcedit; idque æque
_ accurate atque modo logarithmum binarij invenimus, nempe ad 10 charaéteres
_veros. Inventum deinde logarithmum duplicando exiftet logarithmus radicis
_ oétavæ ab ultima; et rurfus duplicando, nonæ; atque ita porro, donec exiftit
ipfus numeri propofiti logarithmus, duplicatio continuabitur.

In vulgari logarithmorum inventione, necefle erat ex 32 charaéteribus cum
totidem zero adjunétis, quadragies circiter radicem extrahere 5) , ut fieret loga-
rithmus 10 verarum notarum. fed et alià multa præterea peragenda erant fummæ
_ prolixicatis.

= Demonftratio horum in libro B *).

: LS
| 4) On a donc d'aprés cette règle:
uses à 2004f | |
Lee j + 408 —3f— 34 )(a4—
(4) losf—= Give D)

ses | "1 , rit 4h 30-36) —0)

_ formule dont ilest facile de constater l'identité avec celle de Ja note 1 de la p. 456.

2
#) Voir, à lap. 10 del’, Arithmetica Logarithmica” de 1624, la table des racines ÿ/10, jusqu’à
_ n=54, dont Briggs s’est servi pour le calcul de ses logarithmes. Dans la racine qui cor-
_ respond à # = 40 l’unité est suivie de onze zéros. “;
*6) Woir-la Pièce N°. 1, p. 451—457, qui est précédée dans le Manuscrit B par des calculs pré-
+ pâratoires qui avec des modifications légères auraient pu amener la formule pour log
sous la forme (4) de la note 4; toutefois on ne la rencontre pas dans ce Manuscrit sous

San cette forme.

;
ne
A Fire. F'MOSRRAMOE COS É UE RMATAC A SGA ciseaux CAVUTS Fi
= 2 4 5 je PRÉERS ess EE pen Sésmn: î
ce : PANPETSES 3 T4 NT INPI: 6 HE
LAS TT &
; ‘s fi FRERES A de , F
2 4
‘
5 i £
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52 ï F x FT ;
i
à
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4
de en dr LE
es
Ye ; ni
he ni } :
à ;
KA Ne
«
Fab sms ob:

qe

) La pièce est aie a aux rh. te du Manuscrit B. Ave \ ppen
“pagne, elle a été pul ée pat Uylenbroek: dans Es ristiani Hugenii alio
2, du - VIT. Elle y occupe les p. 172—183 du ,,Fasciculus |

La Pièce traite des F .. la courbe —— plus tard bin j

ù
1
+

RAVAON MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666, 1661. 461

Ÿ FR jé AE funt partes mises fumtæ AB, BC, CD &c. ereretæ perpeñidi:
‘ ts AK, BF, CG, DH, ET &c. quarum unaquæque eft præcedentis dupla.
tranfit autem curva KGIL per extrema diétarum perpendicularium, quæ eadem
per extrema etiam tranfit perpendicularium LM, NO &c. quæ e pundtis bifeétio-
rtium AB, BC &c. ercûæ funt, ac made proportionales inter binas
| 1e proximas. crefcunt autem et hæ fecundum. duplam proportionem, ac
rurfus per extremia aliarum perpendicularium quæ bifecant partes ultimo effeétas
in reéta AË,! funtque item proximarum fuarum mediæ proportionales et in dupla
proportione crefcentes; atque ita in infinitum per omnes enim ejufmodi perpen-
_ dicularium extremitates linea curva verfus AË convexa tranfit *). Et patet quot-
libet punéta per quæ defcribenda fit in linea facile invenire. Habet autem pro-
prietates infignes. Primo ad inveniendas quotcunque medias proportionales inter
duas datas. Sint ex. gr. PR, QR. Statuantur ad curvam perpendiculares i ijs
æquales ST, VX, et intérvallum TX quo inter fe diftant dividatur in partes
ales unâ plures quam quot medias quærimus. Veluti fi duas, opoftet dividi in
| x hic punétis AZ, e quibus eduétæ ad lineam perpendidnlares Ar,
næ quæfitæ i inter ST, VX five LR3), QR. Quod facile demon-
XV, TS cadit fables infinita proportionalium ex natura lineæ,
nque Pak inter XV, ZY quor inter ZY, AF ,ac inter AF', TS ; totidem
am, quia partes XZ, ZA, AT fant æquales imnumereque illæ ‘proportio-
es æqualibus in edilis a fe fmücuo diftant.
TA, XA confiderandæ funt ut logarithmi linearum TS, XV *) et intervallum
ut differentia logarithmorum. "Ubicunque binæ perpendiculares intervallo
-m diflitæ erunt, habebunt eandem inter fe rationem. Sic ficubi duæ diftiterint
i AB earum ee minoris ps ap fs 1 nempe BF eft

4 #7 à {

Æ

. : Vs etre Î À Fi L :
rique”; voir la p. 169_de. léitonoginate de PARA de ral de la
ia compagte le , Traité de la lumiere”. Les résultats obtenus furent publiés
NT aux p. 176— 178 € du même » Discours” ét
$ RVpou ’axe “dE x et A2 [PRE celle des ,0ona rs pour l'équation de la courbe
Dr y LE de Te 9 LAN
< 4, ou, sion vent,4 =k, où “à æ AK; 4= va

je _

= 1, RER ED joué base a Aréit des logarithmes le aiare b=24b,ona,
sn a id mais la conception de Huygens est un peu différente. D'après les
| uivent il considère les abscisses AT non pas comme égales mais seulement comme
Ô e ds aux logarithmes des ordonnées TS. Soit donc log TS = .AT. Or, puisque
on de AB aux abscisses double les ordonnées on aura nécessairement log 2= = mM.AB et,

= D “ABpmbien, sil'onsnppose AB égal à 10" 108 2, AT= 197108 TS:

402 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661.

Reéta RA eft curvæ afymptotos.

Spatia duo quævis a binis sersenficelaribub intercepta quæ Yéqualibusi inter-
vallis diftant ut funt fpatia TSTA, YZXV , eam inter fe rationem habent quam
major unius perpend.is ad majorem perpend.em 'alrerius vel pra minor ad mino-
rem facillime demonftratur. hit si

Spatium quodvis a binis perp. bus intérceptum eft ad fparium sis denief
cens in infinitum ut differentia perpendicularium ad perpend.m minorem. Sic
fpatium STAF eft ad fpatium infinium THKQA ut S@ ad TA. Si enim

[Fig. 1.] j}
L
dde he a
\ ;
À\
AY pa
1
# £ La FF M.
DU a NS pee 7e Fed pue

eft ut S@ ad TA quia tres ST, TA, YZ funt prop.es; Et rurfus Didi mi.
YX ficut TA ad YI, éoque Épatioie SA ad YX ficur S® ad ST
ita porro, Erit proinde fpatium SA ad omnia fpatia FZ, VX, &c. in infin
ut S@ adomnes TA, VIT &c. quæ fimul efliciunt ipfam FA. Ergo Gi 16h

Spatia quævis duo a duabus perpend.bus intercepta ut CE [Fig.
inter fe ficut perpendicularium differentiæ, hoc eft hic ut cH ad (
enim et GK parall, AB. ë, |

Quia ergo per præced. ss CE eft ad fpatium infinitum DEA L

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661. 463

[Fig. 2.] ad HB,. Spatiumque fimiliter DF ad
fpatium infinitum GFA ur DK ad
KE, Et invertendo et componendo
fpatium infinitum GFA una cum
fpatio DF, hoc eft fpatium infi-
nitum DEA ad fpatium DF ut DE
live HB ad DK, Erit ex æquo
fpatium CE ad fpatium DEF ur CH
ad DK. Eodem modo autem often-
ditur fpatium DF ad fpat. GN ut
DK ad GL. Ergo ex æquo erit
fpatium CE ad fpatium GN ut CH
ad GL. quod erat oft.
st hi Si curvam linea reéta contingat

8 ac sa Si N A et a punéto contaétus in afymptoton
til! É o perpendicularis ducatur; erit pars
+ éd idee Diiuen et tangentem intercepta, cidem femper lineæ

: nn æqualis.

de 41
NE 1120 D

Sint hic [Fig. 3] tangentes AE, BF, et a punétis
A,B perpendiculares in afymptoton, AC, BD. dico
partes CE, DF effe æquales. Vel potius fic; fit AE
rangens, fitque ipfi CE æqualis DF ; dico et FB can-
gentem effe in B. À

Sumatur enim in reéta BF quodlibet punétum præ-
cer B, ut O, per quod ducatur perpendicularis POQ,
et, fumta ipfi DQ æquali CS in eandem partem,
erigatur perpendicularis SHG, fecans tangentem AE
in H, curvam vero in G. Eric itaque GS major quam
HS :). Eft autem ut AC ad HS hoc eft ut CE ad SE,
- five ut DF ad QF, ita BD ad OQ. Et invertendo et
- HS ad AC ita OQ ad BD. Sed ut AC ad GS ita eft
BD ad PQ, propter intervalla æqualia CS, DQ. Ergo

rs ex æquo erit ut HS ad GS ita OQ ad PQ. ÆErac autem
j GS meior, quam HS. ergo et PQ major quam OQ. Unde apparet punétum O effe
ni: a parte convexa curvæ AB. Eodem modo autem et punétum N fumtum ab altera
_ parte punéti B oftendetur cadere ad partem convexam curvæ AB. Ergo tangit
_ éam reéta NBOF in punéto B. quod erat dem.
ere lineæ eh vel DF cujus ope tangens in quovis punéto duci poffet,

| un étre est partout convexe du côté où se trouve l'axe TF; voir la p. # 5

464 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666: 1661.

Fig sd non poteft ratione ulla geometrica, ut puto, inve-

cenfendum eft, et perpendiculares AC,
numeros effe putemus minimo quodam exc
fuperantes ut 100000 et 99999. Erit V.

eft 43430, ut patet ex tabulis. Jam fi fiat ut
AV quæ eft 1 ad VX 43430 ita AC 106000 ad CE,
44 fiec hæc 4343000000, qualium gore is ferentia
Asie d) inter logarithmos numerorum 1 S AË et Les: se
T'es 8R9 4 EF eft 43430, qualiumque rh Le ’

3010299957. linea aütem quæ bar Ba sk Les
binarij facile invenitur, applicando cancum duas perpendicularés incencurvam et
afymptoton quarum altera fitalterins dupla velut GS, MR , nam SR incervallum
referet Le SRE binari. Ergo fi fiat ut 30102 h@ 3430 hoc eft p ‘u

3 ad 4 ia SR ad aliam ea erit linea CE vel DF + quam lotus re uuÿ

appellabimus. Invenitur autem adhuc accufatius fi loco numerorum L
4 Y

16685000000000000 ;

434294481903251 804) qualiumlog arithmus binarijeft 30 102999566398 ‘4

Patebit autem ufus hujus lateris-reéti in FO

-Sia punéto quolibee in U

[Fig 4] fumpto ut À [Fig. 4] demie: at

| Hit : afymptoton perpendicularis,

à sd vie ‘dico reétangulum ab AB

PTE 2 M EN os IE réRG NET à

| FT | : ABFE æquari fpatio infin

de DE 4e | : { curvam, perpendicularem

| ; afymptoron BZ interjeéto.

ét 99999. quæritur per. numeros 1eti fit enim

ie [AN | f; Fiat enim prim in codem E
2.6 ANR 60 AB, redtangulum quoddar

| N he rec 10 quod majus fit rcétan ras dico
“48 ei .… illud majus quoque effe di@to fpat

* dner ii infinito. Duétis enim diagonijs AF

DER TIC RH AH reétangulorum que,

conftat quidem AF tangere € cu Irvam

in A, quia BF ponitur effe latus rectum. Unde pars quædam lineæ AH cadet

intra Curvæ cavam partem, puta AK. dividatur AH in partes tor.æquales.

FRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661. 465

L,M,N, ut earum quælibet fit minor quam AK. Et duétis per ea punéta reétis
parallelis AB, divident eæ reétang." AH in reétangula æqualia ut funt AR,
QT &c. ab ijfdem vero punétis fi ducantur parallelæ afymptoti lineæ LO, MA,
NC, et a punétis ubi hæ occurrunt curvæ AC, demittantur perpendiculares in
afymptoton velut OY, AIT, CZ, fient etiam fpacia inter binas quafque earum
interjeéta inter fe gas lia ut funt AOYB, OANY , ACZTI ac denique etiam infi-
mum fpatium infinitum CZD , ut conftat éx præcedentibus 5), quia nempe diffe-
rentiæ duarum perpendicularium diéta fpatia comprehendentium funt ex conftr.c
æquales. Jam vero reétang.m AR majus effe liquet fpatio AOYB, cum hoc illius
pars fit, nam OY neceffario cadet inter AB et LR. Ergo et [JSR majus erit
fpatio OYTIIA, quippe quod æquale eft fpatio AOYB. Item [JVT majus eric
fpatio AIIZC atque ita fingula reétangula fi plura forent, fingulis fequentibus
fpatijs quum par utrorumque fitnumerus, ac denique ultimum [_[JVH majus quo-
mé run infimo ac infinito CZD. Itaque omnia reétangula omnibus fimul fparijs;

En hoc eft reétangulum ABHG fpatio
infinito ABDC majus crit.

Efto rurfus [_] quoddam ABHG
[Fig. 5] quod fit minus reétangulo
hs ABFE; dico illud minus quoque effe

— {patio infinito ADB. Duétis enim ut
ante diagonijs AF , AH, cum AF can-
. bre gat curvam in À, fecabit cam reéta

Am Auut4 HA verfus À produéta; produétaque

HE pars cadet intra cavitatem curvæ ut
AK. Dividatur AH in tot partes æqua-
| les ut earum unâ appoñitä in produéta
HA, velut AL, non pertingat ad K.
| Conftruétis porro reliquis ut prius.

TEEN -

(Fig. 5:

N patet reétangulum AR minus nunc effe

y _? fpatio AOYB cujus nempe pars eff,
“HR A nam L'Rianifefto nunccaditintérOY
VABT TXHO F et AB. Hinc ergoetreétang. AT minus

1) Ona CE = loge 8, AB, où e représente la base des logarithmes népériens et AB (voir la Fig. 1,

p- 460) ) la différence des abscisses qui correspond au rapport de 2 à 1 des ordonnées.

3) On retrouve cette + Ar avec le même nombre de chiffres, à la p. 11 de l’,,Arithmetica
Logarithmica”, ouvrage mentionné dans la note 5 de la p. 455. Ajoutons qu'on a log e —
== 0,434294481903251827 (Adams, Proc. Roy. Sôc. of London, vol. 42, 1887, p. 25).

_ +) Ce nombre, qui indique les premiers 18 mantisses de log 2, se retrouve eàla P. 14 de l’,,Arith-
metica Logarithmica”.

s) Voir les p. 462—463.

59

466 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661.

erit fpatio AAITB, cumetreétangulum
(Fig. 5.] Ti reétangulo et fpatium fpatio priori fit
æquale. eadem ratione reétang.m QT
minus erit fpatio ANOTT, et [_J" QX
fpatio QCZ®, et [_]GX fpatio CDZ
— infinito , quod nempe et ipfum reliquis
fpatijs æquale eft. Iraque totum rec-
tang.n ABHG minus effe patet _—
ME omni AQCDBA infinito.
Cum igitur oftenfum fit reéangu-
\ lum quodlibet quod majus eft reétan-

| Na gulo ABFE , majus quoque effe fpatio

ACDB iïnfinito; item reétangulum
quodvis quod minus eft reétangulo
ABFE minus quoque efle prædicto
D fpatio; necefle eft reétangulum ipfum
| | ____ ABFE eidem fpatio infinito ge à
PER ur 1 _effe. quod erat dem.
Nota vero hunc modum demon-
[Fig.6 ftrandi fine deduétionè ad abfurdum, quæ videtur hoc paéto
8. 6.]
alibi quoque devitari poffe *). d'A
A Si ergo ab codem punéto curvæ perpendicularis in
afymptoton, et tangens ducatur ut funt hic [Fig. 6] AB,
AF, erit femper triangulum ABF dimidium fpatij totius
infiniti ABD.
» Spatium quodvis inter duas perpendiculares intercep-
F - tum ut ABLH [Fig. 7], equale erit reftangulo fub latere
recto et differentia diétarum perpendicularium, ut hic rec-
tangulum AK. Nam cum fpatium infin. ABD fit æquale
CI AF ; fpatium vero infin. HLD æquale [_J°CF;
eritreliquum fpatium ABLH æquale [I reliquo AK.
Alia præcedentis demonftratio datur, oftendendo
ABDC [Fig. 8] terminatum duabus perpendicularibus
AB, CD, duplum femper effe fpatij i inter duas tangentes
AF, CE, ab ijfdem punétis eduétas, intercepti. |
Bañis BD in partes æquales dividatur BH, HN &c. unde perpend. ss ad curvam

L

*) Comparez, à la p. 338 du Tome présent, la description de Huygens de la méthode archimé-
dienne de la réduction à l’absurde; il lui semble donc que cette méthode peut être rem-
placée quelquefois par celle suivie dans la démonstration qu ” vient d'achever.

2

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661. 467

erigantur, HK, NP &c.Et a pun&is À, K, P &c. tangentes ducantur AF,KM &c.

ne. LL, et compleantur reétangula BG,
[Fig 8.] BK, KN, PH &c. et tangentes
binæ quæque proxime fibi occur-
rant in punétis L, Q &c. Jam quia
BF, HM, NR &c funt æquales
fient et FM, MR, &c æquales et
fingulæ fingulis BH,HN, NO &c.

Itaque triang.FLM minus erit

reétang.° AH, majus vero [le
KB. Itidem triang." MQR, minus
erit CKN, majus vero [lo
PH. Atque ita compofita figura

pus N FonT À ma ex omnibus triang, minor erit —

ju figurâ ex circumfcriptis rét-
tang. lis major vero dimidia figura ex reétangulis infcriptis. Unde facile often-
detur fpatium ACEF dimidium effe fpatij ACDB. Quod cum ubique contingat ,
ubicunque perpend.is CD ftatuatur patet cum CD infinite parva erit, fpatium
ACEF, fore infinitum inter curvam et afymptoton interjacens reétaque AF ter-
minatum; fpatium vero ACDB, fore infinitum inter curvam et afymproton, atque
linea AB cerminatum. Iraque illud fpatium infinitum hujus infiniti fpatij dimidium
ecrit, ac proinde et triangulum reliquum AFB ejufdem fpatij infiniti ACXEB
_dimidium effe conftabit. |

Hinc et de folido fpatij infiniti circa axem BE demonttr abitur , effe fequial-
terum coni ex converfione trianguli AFB circa BF.

Raempe cum folidum a criang.° FLM fit minus quam — à L cylindri a [Jie AH,

majus vero “ne 3 © cylindri a [To KB, atque ita de ceteris; facile oftendetur
| folidum a fpatio ACEF , effe 4 L folidi a fpatio ACDB idque ubicunque terminus
CD fratuatur. Unde folidum ab infinito fpatio ACXEFA erit : folidi ab infinito

fpatio ACXEBA. ac proinde conus a reliquosriangulo AFB æquabitur = 3 folidi

‘ab eodem fpatio ACXEBA.
Hinc porre er diftantia cencri grav.is fpatij infiniti ABEXA , ab afymptoto BE
oftenditur effe quarta pars perpendicularis AB.

468 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661.

Sumta enim BD [Fig. 9] > duplæ BF et BO - AB et compléto [Je

Cie. 9} BOCD, erit hoc duplum trianguli ABF ac proinde
LE æquale fpatio infinito ABEXA. Sed et cylindrus
a[_JBOCD circa BD æquabitur folido ex conver-
fione fpatij diéti infiniti circa BE. Eft enim cylindrus
#1 e converfione CJBOCD fexcuplus coni a conver-
fione criang,i OFB circa BF, ideoque fefquialter
coni à triang.° AFB circa eandem BF, cujus coni
et folidum a fpatio infinito ABEX féfavialrerum
SRI oftendimus. Itaque centra gr. folidi infinitier [[J!
BOCD æqualiter diftare neceffe eft a linea BE per
utraque igitur diftat dimidiâ BO , hoc eft quarta parte AB. q- €. d.
[Fig. 10:] Poteft idem hoc de centro gr.is aliter quoque ofténdi
A defcriptis intra fpatium infinitum ABEX [Fig. 10]
\ | reétangulis quorum unumquodque æquali A
IN exceffu fibi proximum fuperet. hæc enim.fi multit
dine infinita imaginemus poterunt haberi pro æqualibus
EE inter fe *), alciflimi autem centrum gr. diftabit ab
afymptoto BE per dimidiam AB, et fequentium dein- |
ceps centra gr. æqualibus fempér intervallis EE
fient ipfi BE, quæ fcilicec, inte-valla erunc dimidi:
exceffus altitudinum proximorum redangulorum. Cum igicur æqualium m
tudinum centra gravitatis in æqualia intervalla dividant lineam BT, ir
ipfius AB: erit commune omnium gravicatum centrum in medio ipfius BT, hoc ef,

diftabit pe? TAB ab afymptoto BE. | ibrartit

x.

x
€

il

Nullius fact a curva et af yimptoto et duabus perpendicularibus comprehenfi
centrum grav. ulterius diftat a majori carum perpendicularium quam eft Ras.
lateris reéti. Le

Sit ejufmodi fpatium ABCD [Fig. 11], dico cjus centr. gr. non ‘alterius
distare ab AB quam eft longitudo lateris reéti 3). Si cnim fieri poteft fit cjus :
centr. gr.in G ita ut GM major fic latere recto. poflum ergo ab ca abfcindere
particulam ut MR utrefidua RG adhuc he fit latere reéto. ducatur MRO #)

*) D'après le théorème de Guldin.

?) Voir l’avant-dernier alinéa de la p 462. TS RES
CD LES
AB—CD CD X BC, LR

représente le ,,latus rectum’ de la courbe. C’est d’ailleurs le résultat obtenu plus loin par
_ Huygens lui même voir le troisième alinéa de la p. 471.
+) Lisez: NRO.

3) L'analyse moderne nous donne facilement pour cette distance : r —

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661. 469

gi 41} 4924 (Figine * parall. BA, et per O ubi occurrit curvæ , agatur
MR 2 : AOM reéta 5). fietque neceffario NM minor
latere reéto, quia OM nontangit fed fecat curvam
in O. Sit OP parall. BC. et ipfi OP vel BN fuma-
“turæqualis CF verfus partem acutam fpatij infi-
miti, et ducatur FE parall. BA. quia igitur
portionis OEFN bafis FN æqualis eft bafñi CB
portionis ADCB, erit quoque ON ad EF ut AB
ad DCS). unde quum portio utraque conftare
… concipi poffit ex innumeris reétang. isæquales bafes
:" habentibus atque eadem proportione decrefcenti-
4 pe JU ri “1h bus, manifeftum eft (fed et acurate oftendi
sntni vrai io Lpoffet) utriufque centra grav, fimiliter dividere
diffantiam utriufque extremarum perpendicularium; quæ diftantia cum fit utro-
: bi que æqualis, æqualiter ergo utriufque centra gr. aberunt a perpendicularibus
E bus AB, ON. Ergo cum centr, gr. fpatij ADCB ponatur G , erit (fumpta
MO punétum-H centr.'gr. fpatij ONFE?7). a quo fi difetäcur fpatium
DEFC; cujus intra feipfum eft centr. gr; apparet fparij reliqui ODCN:centr. gr.
inter Her G cadere, para in K. Jam vero quia fpatium AONB eft ad fpatium ODCN
ut APad OQ ,ex præcedentibus +), hoc eftur OP ad XQ; fi fiat ut OP ad XQ ita
KG ad GE, erit L centr gravitetis fpatij AONB, quia nempe G ponitur centr. gr.
pari totius ABCD etK c centr. gr. pari ONCD. ÆErit autém°GL minor quam XQ
cum et KG fit minor quam OP "nam tota HG ipfi OP æqualis erat. atqui XQ
Minor eftquam MN ,cthær minor latcre reéto, ut fupra diétum fuit. Ergo GL
__ omnino minor crit laterc iredto. Sel GR: pfo major erat: Ergo GL minor quam
GR: Itaque L'éentr. gr. fpatij AONB caderet extra fpatium ipfum, atque ita
ut duéta per L linea re@ta *) totum caderét ad partem unam quod effe non porelt.
OH itaque paret , ubicunque CD perpend.is ftatuatur, ecfi in infinicum diftans
ab AB, femper fpatij ab utraque terminati centr. gr. non ulterius ab AB remotum
… fore, quam longitudine lateris re@i atque adeo reéte de fpario infinito concluditur
-_ effe eï centr. aliquod gr., idque non alterius quam diétum eft diftare ab AB.
Oftendam autem neque ainus diftare ab AB, dicta longitudine lateris reéti, ac
proinde ipfa hac longitudine inde abeffe ?), nl

4, RéitbEz le double etmp'ol de la aps M char Ta fte! Is’agit cette fois du point M situé
© sur l’asymptote BC.
_#) Consultez, p. 461 , le premicr alinéa de la sééenéé! Pièce.
À En vérité on doit considérer H , K et L non pas comme les centres de gravité eux mêmes
* dés espaces en question, mais comme les projections decces centres sur la droite MG.
:) Savoir une droite parallèle à A3,
9) Comparez la note 3. En effet, on constate facitéinient que le deuxième terme de l'expression

470 TAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661.

[Fig. 12] Sit enim fpatij infiniti AECB [Fig.

+ 1 +. 12] centr. gr. G, fitque fi poteft GM
minor latere reéto. Abfcindam igitur ab
ea partem MR , ita ut GM una cum MR
minor adhuc fit latere reéto; conftat enim
fieri poffe. ducatur NRO ut fupra, item-
que reta AOM, et OP: et fumatur
RK æqualis MG, unde et GK æqualis
fier MR.

Cum igitur duas portiones. quaslibet
quarum bafes æquales, centra à gravitatis
fuæ ita dividunt, ut æqualiter diftent a
perpendiculari majori, fi f cut modo de portionibus ABCD, ONFE [Fig. 11] often-
dimus. fequitur et de infinitis portionibus quales funt hic ABCE, ONCE idem
verum effe, cum ergo G ponatur centr. gr, fpatij infin. ABCE “firque MG æqualis
RK erit K centr. gr. fpatij infiniti ONCE *). Si jam ergo fiat, ficut portio AONB
ad diétum fpatium infin ONCE, hoc eft, ut AP ad ON; hoc eft ut PO five BN
ad NM, ita KG ad GL, erit in L centr. gr, portioni is AONB: eritque GL :
æqualis NM, quum KG fi æqualis BN. Eft autem BM major latere re&to,
(æqualis enim huic effet, fi AM tangeret curvam in A, cujus pars AO nunc
arcum curvæ fubtendic, ideoque angulus PAO fit major éitieri AO in Atangens
effet). Sed GMuna cum MR minor eft latere re6to ex conitruétione, Ergo ablatis
utrimque æqualibus hinc MR, inde BN , relinquetur NM major quam GM. "Sed :
ipñ NM æqualis oftenfa eft GL. Ergo et GL major quam GM. Itaque L, centr.
gr. portionis ABNO cadit extra portionem ipfam, ita ut reéta per illud duci :
poflit cui tota portio jaceat ad partem eandem, quod eft abfurdum. Itaquein
fpatio infinito ABCE centr. gr. nec magis, nec eciam minus diftat ab AB quam
longitudinem lateris re&ti, ergo hac ipfa longitudine ab ea remotum eft. es 4
erat dem.m. tr SRE

BN M c

ie L Hi
pour la distance en question s’approche indéfiniment de zéro lorsque le point C s'éloigne de
plus en plus vers la droite.

1) Comparez la note 7 de la p. 469. st a

?) Voir le deuxième alinéa de la p. 464 et le dernier de la p. 467. | HER re, A

3) Voir le premier alinéa de la p, 468. : ; Eee

4) Comparez la note 17 de la p. 199 du Tome présent. Fo

$) Comparez la note 3 de la p. 468. On arrive facilement à ce résultat en considérant l’espace en
question comme la différence des deux espaces qui s'étendent à l'infini depuis chacune des
deux ordonnées. On connaît, en effet, par ce qui précède, la situation des centres Gr
vité et les aires de ces deux espaces.

5) Plus tard Huygens ajouta ici: »demonstrationem multo poft scripsi in libro Gr.
Voir l’Appendice qui suit. à

e résultat semble reposer sur le théorème suivant: Soit Q une figure située entièrement

4: pres

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1661. 471

(Fig. 13.] Hinc et de folido fpatij infiniti ex conver-

A _. fione ejus circa perpendicularem pronun-
tiare poterimus. Etenim fi intra angulum
perpendicularis cum afymptoto reétangulum
applicetur , ut OBDC[Fig. 13], cujus alci-
tudo OB dimidia fit AB, bafis vero BD

0 & dupla lateris reéti. manifeftum eftejus reétan-
F guli centrum gr. P incidere in centr. gr.
| fparij infiniti ABEX; cui fpatio quoque dic-

PPS LE tum retangulum æquale eft*). Unde conftat

4 7 9 € converfione ejus circa OB cylindrum gigni

æqualem folido infinico ex converfione fpatij

infiniti circa eundem axem AB. Sicut de cylindro qui fit ejufdem reétanguli con-

verfione circa BD, oftenfum antea eft 3), effe eum æqualem folido alteri infinito
ex circumvolutione fpatij ABEX circa af ymptoton BE.

Eft ergo folidum ex fpatio infinito ABEX circa afymptoton BE ad folidum

infinitum ex eodem fpatio circa AB perpendicularem, ficut PF ad PS, hoc eft

ficut 4P perpend.is AB ad latus rectum lineæ AX. ad folidum vero circa reétam AZ

afymptoto parallelam ut 1 ad 3. Quod poftremum folidum calicem refert infinitæ
capacicatis, licet exigui ponderis, quod et in Cifloide contingit +).

Portionis a binis perpendicularibus terminatæ centrum gravitatis diftat a per-
pendiculari majore longitudine lateris recti demta linea quæ fe habeat ad bafin
portionis ficut minor perpendicularis ad exceffum quo ipfa a majori fuperatur s).
Si igicur detur “Latitiit cujufvis terminatæ centrum grav. inveniri poterit latus
reétum,

_Centrum gr. folidi infinit! circa afymptoton diftat a perpendiculari five a bafi

; _ipfius folidi per dimidium lateris reéti ‘).

Ergo et centr. gr. folidi infiniti circa perpendicularem diftabit per gipfius per-

pendicularis, quæ eft axis folidi 7).

* dans un des quadrants du système XOY de coordonnées rectilignes rectangulaires ; soit Q, le

solide engendré par la rotation de cette figure autour de l’axe des x, Q, celui qui résulte de

la rotation de la même figure Q autour de l’axe des y; la distance du centre de gravité de Q.

à l’axe des y est alors à la distance du centre de gravité de Q à l'axe des x, comme la

Hit HpR es du centre de gravité de la figure Q à l'axe des y à la distance de ce même centre à
’axe des x.

Afin de démontrer ce théorème, considérons en premier lieu l'anneau décrit par la révo-

. lution d’un élément 4 de la figure Q autour de l'axe des x. Évidemment le moment de cet

rs LÔT CO LS PE MORUMNTNA RAT ARR AMENT

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in orbes proportionales quorum
10 FT re _eadem altitudo in reéta AF 5),
ac M OomÈ mp

AD +; CM qe

La Ur HE rare

hs sup sb rw 1

sant par Tr axe ges yest tr au moment du solide @ par r
°x. Par suite, les volumes des solides Q: et Q,sonte
centres de gravité respectivement à l'axe des jet à l'axe des a.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. APPENDICE. 1689. 473

folid. à GKFE (355—35d+ 3dd) [ad] folid. à CGKA (364-348) [uc]
DQ (x —c) ad DN (ce)
Ép— 34 +) [ad] gd ur] — Le [ad] c
A __30c 3bc I
D? a [ad] — [ut] x—>c [ad] ec

34 — 3c [ad] 3c [ur] x—"c [ad] c

34a—6c © 6x%—3c
4—3c 5) 2 2x; c minimum % o.

I
HD XL,
)

7 AIT EM Er 2

5b de Guldin, ; ces mêmes volumes sont en raison directe des distances du centre de gravité
LE dela figure Q aux axes des x et des y; d’où s’ensuit le théorème en question.
_…. : Or il n’y a rien dans cette démonstration qui, sous une forme un peu modifiée, n’ait été
é facilement accessible à Huygens. On peut donc présumer que le théorème lui était connu;
comme la dernière phrase du textele semble prouver.
” Ajoutons qu’on retrouve le même théorème dans l'ouvrage suivant de Guido Grandi, qu'il
© publia en 1701: »Geometrica demonstratio theorematum Hugenianorum circa logisticam,
PE ,seœ La lineam, Qua occasione plures Geometricæ Methodi exhibentur circa
NT Tangentes, Quadraturas, Centra gravitatis, Solida, &c. variarum curvarum, uti infinitarum
2 di ü arum , Hyperbolarum, Spiralium &c.' Alieque Geometricæ Veritates illustrantur.
dita epistola geometrica ad P. Thomam Cevam S$. J. Auctore D. Guidone Grando Cremo-
pen, Monacho Camaldulensi, & in Almo Pisano Lyceo Publ. Phylosophiæ Professore”.
% sie: |Ceto ouvrage fut réimprimé par G. J.’s Gravesaride dans les ,Christiani Hugenii Zuilichemi
. Dum viveret. Zelhemii Toparchæ. Opera reliqua. Tomus primus. Amstelodami, Apud
__ Janssonio-Waesbergios, M.DCC.XX VII”, p. 137—315.
suit Guido Grandi, né à Crémone en 1671, mort à Pise en 1742, démontre le théorème d'une
manière analogue à celle que nous avons suivie, quoiqu’un peu plus compliquée, etil l’emploie
de même pour démontrer la conclusion à laquelle Huygens était arrivée, voir les p.266 —268
de la réimpression de son ouvrage.
©) D'après le lieu (p. 17 verso) que cet Appendice occupe au M anuscrit G.
?) Voir le deuxième alinea de la p. 467.
3) Comparez le raisonnement analogue qu ’on trouve au milieu du frémies alinéa de la. p. 469.

& 4) C'esta-dire en négligeant le terme Sad.
PL Lisez : 4æ—c.

\:

60

IT.

1662.

16 Jul. 1662.

Hyperbole dimenfio ope Logarithmorum.

[Fig. 1] : AHE ef 4
: bola. afymptoti SC,

HD ex quinta bif U
tione fparii ABDE .

quæ fupra ?) ubi de inventione lopatirhi ont ubi oftetiaittit dboë due K Din :
Sy 10364093244158 *) fit produétum æquale fpatio hyperbolico HD.
Quod fi velim jam invenire magnitudinem fpacij cujuflibet ABVT cujus data
fit laterum ratio AB ad TV (omnia enim, in quibus hæc ratio eadem eft, func
æqualia) oportet facere ut ficut differentia logarithmorum HK et ED, ad diffe-
rentiam logarithmorum AB et TV, ita fit fpatium HD en aliud quod D -
ipf ABVT quæfi to. à

1) La Pièce est empruntée aux p. 92—95 du Manuscrit B.

2) Voir la Pièce N°. I aux p.451 —455. RAT

3) On retrouve ce nombre dans les calculs qui, dans le Manuscrit B, précèdent ke Pièce. N°
citée dans la note précédente. Il a été supputé à l’aide de la formule qu’on trouve à ds ne
ligne de la p.455. NA -

af AE

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

475

À log. AB 5,00000,00000

log. ED 4,00000,00000

| 9,00000,00000
à hs 4,59000,00000
4,50000,00000

a afideTlogE ED 4,00000,00000
Pare E 8,50000,00000

+ 4,25000,00000
Fre ED 4,00000,00000
8,25000,00000
4,12500,00000

| log: ED 4,00000,00000
8,12500,00000
far 4,062 50, 00000
4,00000,00000
prenne

#44 À ae

| rs

SE Tia ci 1

69427950
| | 103640932

A ASERAL
De

it

tu a MUNIE 2008 ai
Durs

ba 2Hp.. LEE ts a: F*

Sie AB 100000. Ergo ED 10000; fit TV 50000. 17 >» 1000000

fume dimidium 5 |//g4 five medio prop. inter
AB, ED.

œ'?

Too 1000000,0000

Ÿ110KD 20 69427950 À

69427,9591 KD
10364,0932 Sy inventa in fuperioribus
719557838,5 *) fpatium HD,
log. HK. 4,03125,00000
log. ED. 4,00000,00000
0,03125,00000 diff,

5,00000,00000 log. AB

4:69897,00043 log. TV

de ce diff, log.m AB et TV que hic
outil oo: dE 2.

1

ppm dans le texte cette multiplication. Primitivement elle fut exécutée comme

ici à côté; ensuite Huygens, pour obtenir un
résultat plus exact, ajouta à chaque ligne des
produits partiels le chiffre qui aurait suivi
_ s’il avait admis dans cette ligne un chiffre de
lus, tout en intercalant les dixièmes entre les
dis déjà écrites. De cette manière les pre-
_ miéresquatrelignes devenaient comme il suit:
spi 1388
ES rare 00826 :::
MINT 11624783

27771160
2

etc.;

476 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

[Fig. 1.]

E à #8 4 D

LUS ad[de] 8,85706,57085 log. fpatij HD.
2.us 9,47860,97724 log. diff.z log.orum AB, TV :)

(. | APE

3.us ,49485,00217 log. diff.æ log.orum HK, ED.
9,84082,54592 log. 69314,71776, fatiais ABVT qualium PRE
tium quadratum AC, 100000,00000. M

Potuiffet et 3tius à primo f ubtrahi, et refiduo addi fecundus. Illudque refid

ad quamvis hyperbolæ portionem quadrandam ufui fore fciendum et, nempe "

0,36221,56868. Ji
Hinc itaque Regula facilis oritur ad hujufmodi PORHONER: quamlibet hyper
licam quadrandam. je

Data enim proportione linearum portionem cerminancium

in numeris, capiatur differentia logarichmorum utriufque
numeri, et quæraturejus differentiæ logarithmus, quo addito
ad 0,36221,56868, hoc eft, ad refiduum illud modo dictum quod

femper idem eft, fiet logarithmus fpatij quæfiti,unde "RENE se

tium numero dabitur?).

cl

1) C'est-à-dire après multiplication par AB? ; voir les formules de Ja note 2.

?) Cette règle correspond à l'emploi de la formule moderne : : des
log LPSC — log (log TV—10og DE)+(—1og loge).

Or, Huygens savait (voir la p. 452) que l'aire d’un espace hyperbolique comme TVDE eu
proportionnelle à la fois à l'aire du carré AC et à la différence des logarithmes de ABctde DE.

Il pouvait donc poser tt rs ré (log TV—1log DE) où C représente une constante,
Ë
et en déduire: FLE
log * MA MECRS = log (log TV—log DE)+-logC, s Fa

où il s’agit de calculer la valeur de log C. À cet effet il applique sa méthode d’approximation

x
à ,
FR NN

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS-DE 1664 À 1666, 1662.

477
: GG M fFigilasp (LE 0 otre Sirex:gr. data ratio linearum AB ad TV quæ
7. k " (}4441 's 'EATES 36 ad 5 3.) 2 à : $
: 299001 .40! 00000,00000, 2 444
1 .uol 00000 3600.: 1:55630,25008 log. 36 |

|
| |
Muæual Aib o000c 00608.» 2:69897,00043 logs N ,/ |
0,85733,24965 diff. Logona D }

ae

:

ad dc] 9:93314:92856 log. diff.æ

7 10,36221,56868 num. perpetuus #
#2 10,29536,49724 hujus logarithimi nu-
NUR e 01 meruseritarea fpatij ABVT in partibus qualium
quadratum hyperbolæ eft 100000,00000. Habebit autem numerus ille 11 cha-
raéteres, quum charaéteriftica logarichmi ejus fit 10, quæratur itaque primo
_numerus proximus dato logarithmo conveniens negleéta charaterica 10; inve-
uitur 19740; deinde ex differentia logarithmorum proximorum reliqui charac-
teres’ eliciantur 81018, fcribendi poit !priores ut fiat 19740,81018,0, addito
ag ca ut efficiatur numerus characterum 1 1. Eft ergo 1,97408,10180 area

NE Mol 2 ps Dis
ADO AL LDE,
t sarel 4 : -
; 567 2$ FORTE °
Fe iop , 1012 page ik sn A
FT Pa $ Li V4 fn, # LA r
MC 6 {fé HER TR ta 1 +, iFi ni
L
pr ses Lords 3 à } à 2e RES DEP * À | de
DFE TOOGOGOI ILISOUGHIAUIE UD AOC 1

nionrlsalre de: lesness FOR PIE: Rpres quoi la formule, +
FARRS HP MEME) Gil T à ALT TN \ n ps F: r

lui permet de calculer la valeur cherchée de log C, pour laquelle il trouve 0,3622156868.
Ajoutons qu’on retrouve la même règle dans le Journal des Sçavans de juillet 1668 (voir
p.231 de notre Tome V1), à la p. 23 du Manuscrit N°. 13, cité dans la note 5 de la p. 235,
: dans l”,,Horologium oscillatorium””, p. 78—79 de l'édition originale. Seulement, Huygens
mplace dans le Manuscrit N°.13 et dans l’,,Horologium oscillatorium” le ,numerus perpe-
tuus”” de la présente règle par 0,36221 56887 ; sans doute par suite d’un nouveau calcul que
ne connaissons pas, Or , on a,en effet, —logloge=—0,362215688699. : |
emarquons encore que l'emploi de l’ancienne valeur dans le Journal des Sçavans prouve
qu'on trouve dans le Manuscrit N°, 13 doit être postérieure au 2 juillet 1668.
le même exemple dans le Journal des Sçavans, dans le Manuscrit N°. 13 et dans
m oscillatorium”” aux lieux indiqués dans la note précédente; toutefois, dans ce
t l'yHorologium oscillatoritim”? les résultats sont un peu différents de celui obtenu
exte à cause de la valeur différente assignée au ,,numerus perpetuus”. C’est le seul
exemple traité dans l’,Horologium oscillatorium”; mais le Manuscrit N°. 13 suit d'assez
À 5 di fin le texte de la Pièce présente à l'exception de la valeur employée pour le

478 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

[Fig. 2.] Sit rurfus proportio AB ad TV data ut 100000
ad 1.

5,00000,00000 log. 100000.
0,00000,00000 log. 1

5:00000,00000 diff. log.orum n°

hay
D "CO

lo De en à rond De à

ad l'° ,69897,00043 log. diff.z diétæ
4 3 "| 0,36221,56868 num. perpetuus.
11,061 18,56911 hujus logar.i 2e
v numérus

fit 11,51292,54000 area ABVT.

Sit jam data proportio AB ad TV quæ 100000 ad 99999. 1} eur EN EER

5,00000,00000 log. 100000 or 180
4,99999,56570 log. 99999 18 vrafsits 00

43430 diff. log.orum $ 0798 sont Ds
4,63778,98294 log. diff.z hu 4
0,36221,56868 num. perpetuus Lin

5:00000,55162 logarichmi hujus numerus ut invenia-
tur, quærendi logarithmi duo proximi quorum differentia 55162, qui funt loga-
rithmi numerorum 78730, et 78729 ‘). Eft autem $,00000,00000 logarithmus
100000. Îtaque multiplicetur 100000 per 78730 et dividatur per 78729, a

3 2

100001 ?) numerus conveniens logarithmo propofñito, atque hic numerus eft par-

tium area ABVT qualium nempe quadratum hyperbolæ eft 1,00000,00000.

ire I
Hot A

3 4: t9È Fr2 4 ül ,
1) Il s’agit de la table des logarithmes à dix mantisses qu’on trouve ai l,Editio secundaaucta
per Adrianum Vlacq Goudanum”, de 1628 , de l”,,Arithmetica Logiirhnial smart que
nous avons mentionné dans la note 5 de la p. 455 ru présent Tome. On la trouve aussi dans
les éditions française, allemande, hollandaise et anglaise de cet ouvrage qui parurent en
même temps. Dans cette table Vlacq a comblé la lacune qui existait dans la première édition ,.
où Briggs s'était borné à donner les logarithmes Dana 14 manairess ses meurs Là
20000 et de 90000 à 100000. eertret SEE.
En effet, on rencontre dans la table en question le rer ets 55 162 ps la colonne des
»Differ.”, comme indiquant la différence des-logarithmes de 78729 et 78730. On a donc:
78730

à
21271

78729 A

10,0000055 162 = 108 7e et, par suite, num. 5,0000055162 = 7873000000 : F 78729 =

= 100001——

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 479

. PATES etiam quinque pofteriores charaéteres omittere cum tanta &xp/@erx
non dy En data proportione AB ad TV quæ 27183 ad 10000

4143429 log. 27183
| 4,00000 log. 10000
Frrea L 0,43429 dif, log.
ne. E 4,63778 log. diff.æ
0,36222 num. perp.
‘5,00000 logarithmus 1,00000 quæ el area fpacij
ET _ ABVT, quam hic apparet, ipfi quadrato
ve hyperbolæ æqualem efle, am hoc dem-
tis quinque zero eft 1,00000.

. ke 2
BR AA

< su wa HAS

| of oi de IP ki
auisra bosscd. x» bi ape . ÉXLEA
R : INT

16, | magnitudine ipac ABVT puta 1,97408 parcum qualium qua-
de À okæe 190090 continet inveniemus ape ce laterum AB, TV
ur | cerminantium hoc modo,

| | 'PAME RS 1,97408 fpatium datum
D fr 529536 log. fpatij dati |

"| 0,36222 num. perp. ns
ee 493314 log. differentiæ log. orum |

ê _0,85733 drfer, log.o: orne: EDS Re i F9

‘

erendi jam duo numeri quorum logarichmi differant 0,85733. Hi enim
eri inter fe rationem laterum quæfiram tenebunt.

CITE NT ti is sj00000 log. 100000 |
4 / "| 0,85733 diff. log.orum

"414267 log. 13889

Ep SN LU SITE

ABVT dau 100000, empe aqua cer nd

NS ns A.Ï pi

cat at tae LES HT? Ka TT

480 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666; 1662.

1,00000 fpatium datum
5,00000 ejus log.
Ll0,36220 num. perp.
4,63778 log. differ. log.orum
0,43430 diff. log.orum

ex 5,00000 log. 100000

456570 log. 36790 *).

CFig. 3.]

Portionis Hyperbole aream invenire®).

boles cujus latera tranfverfum rec-
tumque fint æqualia, hoc eft cujus
afymproti reëtum angulum confti-
tuañtutLAT. AR latus cranfv. fit 30 24.
AN w pb Ergo NT o |

et TS Ha+o— :e
a+ sy ri bb © /\ MQS
2 A .:l 20 qu. ABQ el
Laa + 2ab + bb hine fubtrahe infuper 2 \TSV Ge lqu.TS 518

+ à |
LE

San + ab 60 al) 34040001) 240 04 ab bb

HE FAST

a+ b V/ 2ab+ bb hinc fubtrahe » fpat. ABVT eritque reliquum æquale
fpat. LAT.

4 Se ‘
7 Dansle Manuscrit N°. 13 le même problème est traité en employant ip mantisses, ce qui con-
duit à la conclusion : »Ergo [AB] ad VT ut 1,00000,00000 ad 3678794412”.

?) Plus tard, à une époque inconnue, Huygens a biffé toute la partie du texte que l’on sets

sous cet en-tête en ajoutant l’annotation ,,Hæc multo brevius peragi possunt’”; mais

puisque plus loin (voir la note 1 de la p. 482) la valeur de l’aire du segment LAT est utilisée

dans les calculs, nous n’avons pas cru devoir supprimer la déduction de cette valeur. Quant

à la méthode plus brève , elle est indiquée par la figure qu’on trouve à la p. 78 de l'édition ori-

ginale de l'Horologium oscillatorium”. En effet, si du point L on abaisse la perpendiculaire

LE sur l’asymptote QS, on voit que le segment hyperbolique LAT est égal au D ni

LEVT diminué de l’espace hyperbolique LATVE,

Confideretur primum portio hyper- :

De us Mi Se,

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662, 481

fit AQ 100000. 4 ratio AQ ad TS cadem quæ AB ad
AN 200000, b TV, hinc per method. præc. invenietur
Ergo 400000. 24 + b fpat. ABVT
1. 5.6020599l0g. 24 + b 3.00000 log. AQ
5.3010299 log. b 4.23451 log. TS
10.9030898 fum. 0.76549 diff, Jog.prunt
5.4515449 log. |/24b +1 b 4.88394 log. diff.æ 4)
282840 /24b + bb. NT, 0.36222 num. perp.
ex 300000 4 +b NS % NQ 524616 log. sp. ABVT
17160 TS 176260 fpat. ABVT in partibüs qua-

lium quadr. AB 100000,

ue cE ke BE TR A4 Ergo qualium quadr. AQ est 100000
; talium 176260 erit 2 fpatium ABVT.,.
5.9286662 log. A is 024 ex 8485304 + b]/ 24b + bb
54515449 log. NT 6712705) portio LAT in parti-
5.3010299 log. AN bus qualium qu. AQ 100000,
_ 10.7525748 log /\.LAT majoribus logarithmis utendo accura-
j 565680 /\LAT 5) tius area hæc invenietur.

_ Omnes autem hyperbolæ portiones quarum diameter ad latus tranfverfum ean-
dem rationem habent, eæ ad infcriptum fibitriangulum quoque eandem rationem
_ habent. Unde apparet dati qualibet portione poffe hac methodo aream ejus inveniri.

: [Fig. 4.] |
te 44 Lineæ Parabolice, portionem reëtam continenti,
lie | Lx , invenire rettam lincam æqualem.

Sit portio data PCR 5), et in eadem bafi ponatur
Alu ifofc duplæ altitudinis REP. Tum hyperbolæ
| portio fumatur LAT cujus dimidium latus tranfv.
F24 QA fit % bafi parabolæ RP. Quæ autem ex centro
big LT _ feétionis ad mediam bafin hyperbolæ extendicur
QN fit 20 duabusfimul RF, FP. Jam per merhodum
præcedentem inventa hyperbolicæ portionis area,
dividatur ea per bafin LT, fierque altitudo reétan-

nes parer, le résultat n eh est pas PR
+) Après multiplication par l’aire du carré sur AB (voir ve formules de la note 2 de la p.476),
- pour laquelle Huygens prend 100000.
5) Lisez: 672270.
$) La construction, qui va suivre, pour trouver un segment OQ qui soit égura'ere parabolique

61

482 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

(Fig. 4.] guli GT portioni æqualis, qua altitudine NO
14 deduéta ab NQfiveRF +FP dv nr
F cur curvæ parabolicæ RCP.
SitRP 100000. RF, 150000. Hi por LAT
fit 67127000000 ') qualium FRORRRE EL ps

10,82690 log. port. LAT.
575257 log. LT?) :

. 507438 JORF ER Du
390000 NQ à Li.) EE es, A
118670 NO | an a
ÿ ù : 181330 ve 2 cuve RC. 6 î

& € + :
N3

RCP est janbidue à celle qu’on trouve aux pp. 344 et CR du T.II, qui a il
et on la retrouve avec une modification légère à la p. 77 de l’édition originale de
gium oscillatorium”. D'ailleurs elle se déduit aisément du »Theorema vi”,
présent Tome. PNEUS

9 Puisque le ,,latus rectum” de Fée ball LAT peut être choisi à touts:
cette hyperbole comme une hyperbole équilatère et y appliquer ensuite les
trouve à la p.481. Or, d'après ces calculs on a 671270 (lisez :672270
hyperbolique LAT dans le cas où l’on pose 100000 pour le carré c
[Fig. 3]: Donc, puisque dans le présent calcul on pose AQ=RP—
100000® pour le carré sur AQ et 67127000000 (lisez: épée:
ment LAT,. Le

+) Ce nombre est la somme de log NT (p. 481) et de 108 BE LPPOMENEURENES

tx Ys fre
) "Hat Pa
RON

1662.

… Deahitudine Atmofphera *).

re altitudo Hydrargyri in tubo, cum bene ab aere
nta se Boilio 2 ped. 6 poil. Londinenfium five unciarum 30°).
altitudo æquiponderat cylindro aeris dune. ad extremam

s h: Si à fix ive sant acreo æquiponderans erit altus circiter
“an io rurfus gravitatis aeris ad aquam a me inventa eff circiter
\eris s videlicet ita ut hic compreffus eft. Itaque altitudo 32640
reffi æquiponderaret aquæ pedibus 34, vel uncijs 30 argenti
m pe ‘altitudo fit dudtis 990 in 34. Sumamus autem rotundum

g à Riéeun n ca pas aux APR NTA PAT T TER pures, nous n’avons pas voulu la
c 4 Préde et dont elle constitue une application. Elle la suit immédiatement

1 dekiôn Si Ps dés assez différente se trouve aux p. 27—33 du Manuscrit N°. 13;
s la reproduisons dans l'Appendice I, p. 491—494, pour autant qu’elle diffère notable-
| Dre ce texte rare

a duré at frère Louis du 22 février soi p. 64 du T. IV. On trouve les expé-
20 février 1662, qui ont amené cette donnée, à la P- 57 du Manuscrit B. Nous
) blierons dans un autre Tome.

484 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

Porro compertum eft Boilianis experimentis, fpatia ab eadem quantitate aeris
occupata contrariam rationem fervareponderum quibus premitur *). Ita fi aeris
particulam tubo vitreo inclufam 60 unciæ hydrargyri premant, is aer duplo minus
fpatium occupabit quam fitantum 30 uncijs hydrargyri prematur. Ubi tamen
femper aeris quoque gravitas in cenfum venire deber ,ut nempe aer cuboinclufus,
cum nullus hydrargyrus adfufus eft, tamen quaf a 30 uncijs hydrargiri premi
intelligatur, quia tantunLeft pondus aeris fuperftantis. At cum 3ounciæ hydrargiri :
inje@æ funt, quafi a 60 uncijs premi credendus. Uncias pedis Lond.is non vero
gravitatis intelligimus. Hifce igicur pofitis omnia quæ ad Atmofphæræ altitudinem,
diverfamque aeris in qualibet ejus regione denfitatem pertinent, explicari poffunt.
Ponamus cylindrum quendam aeris ab ima terra ad fupremam atmofphæram
divifum effe fectionibus horizon.bus in partes minimas quarum unaquæque æqua-
lem aeris quantitatem et pondus contineat, quas partes extenfione admodum.
inæquales fore perfpicuum eft, cum quanto quæque altior eft canto minus aeris
pondus fuftineat (spa Sripligs fe excendat. Quantitates aurem aeris æquales ils
partibus comprehenfæ defignentur p
CFig. 1.] particulas æquales in quas feétum e
| reétangulum , ABCD. Quarum quæ
proxima eft AB, referat particul s.
acris infimam, et fequentium quæ:
fequentes ordine eodem. particulas
/ . aeris. Quod fi igicur reéta AB re . à
alticudinem ad quam fefeextendit par:
/ icula aeris infima, facile j jametr
quarum extenfio reperietur.. Conf
remus enim quamlibet earum ut FK;
quæ cum fuftineat tantèmmodo reli-
Le (] ? Quarum pondus quæ efficiunt reétan- |
je eulum KFCD, tanto proinde latius fe.
IL Ex baritèr quam particula iofima ad.
21 | F 7 © AB, quanto graviores fs que Loto,

Pr É
+

{ ni Vote
) Huygens reçut le premier avis de cette FRAME de Boyle par l'intermédiaire de Moray dans |
de la ,Defensio Doctrinæ na ER et Gravitate PR Couvrage cité dans la note » dela
p. 171 du T.IV), où Boyle communique les expériences qui l’on conduit à sa loi, Huygens
fut pleinement convaincu de l’exactitude de cette loi puisqu'il écrivit à Moray le 14 juillet

1662 (voir la p.171 du T.IV):,,J’ay estè sur tout bien aise d’y trouver les deux exp:
touchant la condensation et rarefaction de l'air, qui prouvent assez clairement cette pro-

prietè remarquable a sçavoir que la force de son ressortsuit la PF ePPRIER CORRE des ee
ou il est reduit”, | deg def es

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 485

reétangulo ABCD continentur ijs quæ efficiunt reétangulum KFCD, Hoc eft
ficut BC ad CF ita erit EF altitudo extenfonis particulæ KF ad AB altitudinem
extenfionis particulæ infimæ. Ergo reétangulum AB, BC, æquale erit reétangulo
EF, FC, ideoque pun&um E ad hyperbolen, quæ per punétum A defcribitur ad
afymptotos BC, CD. Singularum itaque prout ordine exhibentur in reétangulo
ABCD, extenfiones determinat hyperbola AEG, utque EF eft extenfo particulæ
KF, ita GL eft extenfio particulæ NL arque ira de cæteris.

Extenfiones autem omnium fimul quæ reétangulo ABFK continentur , efficient
fpatium AËFB, et omnium quæ reétangulo ABLN extenfiones efficient fpatium
AEGLB. atque ita quanto majus eft ex. gr. fpatium AEGLB reétangulo ABLN
tanto major erit alticudo extenfarum partium hujus reétanguli quam fi omnes æque
atque infima ad AB compreffæ jacerent. Et quæ proportio fpacij AEGLB ad
reétangulum rotum ABCD, eadem erit altitudinis partium extenfarum reétanguli
ABLN ad altitudinem omnium reétanguli ABCD), ita ut infima eft, compreffarum;
hoc eft ad altitudinem 33000 pedum.

Hic itaque primo animadvertendum eft, cum fpatium quale AEGLB poffit majus
majufque fumi in infinitum (nam fpatium inter hyperbolen et afymptotos eft infi-
nitæ magnitudinis) fequi infinitam effe aeris five atmofphæræ altitudinem. utique
fi in quantalibet aeris extenfione fibi conftare fumamus Boilianum experimentum.
Sed fi ex corporeis partibus aer conftat fefe mutuo tangentibus, nam contaétum
hunc arguere videtur vis illa aeris elaftica , non poteft fieri ut in infinitum cylindrus
aliquis aereus extendatur, cum definitum pondus habeat et quantitatem. Credibilius
itaque eft poft ingentem aeris expanfionem non amplius proportionem illam fervari

_quam oftendit Experimentum Boilij. Verum, quia quoufque fe extenditexperientia,
fucceflus femper egregiè refpondiffe inventus eft haud aberraturos puto fi eodem
principio impofterum utamur ad illa quæ fequuntur fupputanda. namque etfi forte
pars centiefmillefima quantitatis aeris, quæ in fuprema regione fita eft, non fecun-
dum iftam rationem extenditur, id nihil impedit quo minus in reliquo omni aere
exacte fatis obfervetur. Prædiéta igitur hypothefi, veluti fi per omnia certum fit
Boilij experimentum, innixi, fequentia Problemata folvemus. Veluti fi fcire velim
ad quantam altitudinem afcendendum fit ut tantum pars decima aeris, hoc eft
fecundum quantitatem aut pondus, fupra caput extet. quo nempe loco hydrar-
gyrus in tubo Toricelliano tantum 3 pollices altus reftabit.

Ac rurfus fi inquirendum fit, datâ loci altitudine fupra terræ fuperficiem, quanta
aeris portio, feu gravitas fupra atque infra refideat, et ad quantam proinde altitudi-
nem hydrargyrus in tubo fufpenfus manebit *). Itaque primd fit inveniendum,

2) Après avoir mentionné à son frère Lodewijk, dans une lettre du 17 août 1662, sa solution
de ce dernier problème, Huygens communiqua le lendemain à Moray les règles pour la
solution des deux problèmes; voir les pp. 198, 202 et 205—206 du T, IV,

Problema 1.

4186 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

Data aeris portione feu gravitate a loco aliquo furfum, invenire ri fic loci
ejus altitudo.

[Fig. 2.] | Sit furfum pars aebirus aeris. Ergo ponatur
LC [Fig. 2 ] © BC. Hinc duéta LG paral-
Jela qi y CD, fiet et LN seu AB ee]

D = LG 1). Jam itaque data ratione rein ad

AB inveniatur magnitudo fpatÿ ABLG in
partibus primd qualium quadr.m hyperbolæ
2 feu reétangulum ABCD 100000, D ;

Regulam fuperius pd tr ). aise

À hit

1,00000 log. 10
0,00000 log. 1 ,

1,00000 diff, log.
5,00000 log. diff. 3)

ra 0,36222 num. perpetuus ad dimetiendam hyperb. fupra à inve

5:36222 log. fpati ABLG 230260.
100000 [ad] 230260 [ut] 33000 pedes cui. log. 4,51851 [ad alt. quef g
5,00000

eV

36222 log. fpati ABLG
0,48149 diff. log.orum 100000 et 33000
4.88073 log. altitud.is pedum ram quæ crit ne,

poterit brevitatis gratia in hac regula effe numerus perpetuuso, 1 1927, quæ C
eft differentia duorum 0,48149 et 0,362202. adeo ut hoc modo cancum de
infbiEUReur, af

1) Puisqu’on a AB: LG = LC : BC; comparez le premier alinéa de la p. 48 5.
?) On trouve cette règle à la p. 476. Remarquons toutefois qu’elle fait connaître le rapport de
l'aire cherchée (ici celle de l’espace ABLG) au rectangle (AC) sur l’abscisse et l’ordonnée
d’un point quelconque de l’hyperbole. On a donc dans le cas présent: log spat. vu =
(log 10 — log 1 )+ log 100000 num. perp. Consultez la note 2 de la p. 476
3) C'est-à-dire après avoir ajouté log ABCD —log 100000 = 5; voir la note 1 de tag #6.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 487

1,00000 log. 10
0,00000 log. I

USE CODE 1,00000.difF. log.
f. | 5»00000 log. diff. log.orum 3)
° |o,11927 num. perp.

4,88073 log. altitud.is pedum quæfitæ quæ erit 75986

Exempl. 2.

î _Sit furfum pars aeris quæ fe habeat ad totius alcitudinis pondus ut 36789 ad
100000. Ea pars putetur NLCD. Cum fit ergo BC ad CL ut 100000 ad 36789,
eadem eric et proportio GL ad AB.

5,00000 log. 100000

456571 log. 36789

0,43429 diff, log.orum

É: | 456377 8 log. diff.æ log.orum 3) e

| 0,11927 num. perp. :
2 .. 451851 log. 33000, altitud. pedum quæfitæ

f,

Quando igitur in ea fumus altitudine, ubi finiret atmofphæra fi aer ubique com-
lus effet ut ille in quo hic vivimus; tune adhuc paulo plus tertia parte aeris
caput habemus. Sed quæ tertia pars ad immenfam porro altitudinem extendi
t. Hydrargyrus in tubo hic 14 pollices occupabit; quia ut 100000 ad 36789
30 poil. ad rr. AU
Data loci altitudine fupra terræ æquabilem fuperficiem, invenire quanta ibi
vitas feu portio aeris defuper incumbat, et ad quantam proinde altitudinem
rgyrus in tubo Toricelliano confifter.

it altitudo data pedum 1,00000. Regula itaque eft contraria præcedentis.

5,00000 log 100000 altitud. datæ.
0,11927 num. perp.

5,11927 log. diff.# logarithmorum
1,31600 dif.2 log.orum 4)

ex 5,00000 log.° 100000 femper adhibendo

[.

368400 log. 4831

bé

'est-à-dire le nombre qui correspond au logarithme qu’on obtient en retranchant du nombre

précédent log ABCD=5

488 TRAVAUX MATHÉMATIQUES: DIVERS DE 1661 À. 1666, ubée. »

Proportio igitur aeris totius ad portionem à defuper incumbentem F3 quæ
100000 ad 4831 hoc eft fere 21 ad 1.

100000 | ad] 4831 [ut] 30 pollices [ad] 14 ge. S tHitudo pollium drag . tubo.

Sit data altitudo pedum 33000.

451851 log. 33000

0,11927 num. perp.

4,63778 log. diff.® log.
0,43429 diff log.

ex 5,00000 log. 100000
4,56571 log. 36789

ad.

aer ergo totus ad aerem fuperextantem ut 100000 ad 36780.

E

Sit data alt.° pedum 380010.

à 1557970 log 380040: sum 3 15 nef à
Hait2927 num PAP aus ré sf te TO
569897 log. diff. ne
£ 5,00000 diff.a log. |
" [5,00000 log. 100000
0,00000 log. 1.

Hic ergo aer cotus ad fi uperextantem ut bb ad 1.

Sit data alt. pedum 100,00000.

7300000 log. 100,00000

1 0,11927 num. perp.
7511927 log. diff, log-orum |
131,61000 diff, log.

ex. 5,00000 x

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 489

Hic aer cotus ad fuperextantem ut 100000 ad ; dixi 122 zero
?

40739 122 zero
nam quia charaéteriftica logar.i eft 126 debet eius numerus conftare charaéteribus

127 quorum 5 primi funt 40739. Præftaret autem in tantis’ altitudinibus uti
logarithmis 10 characterum. s

Sciendum eft inventa altitudine loci ubi æaeris adhuc fupra eft, velut in primo

exemplo Problematis prioris *), facile etiam inveniri altitudines ubi fuperextet

I I

1
rh 0 vel 10000 que ita porro. Altitudo enim pedum 75986 illic in-

venta, bis fumpt: iet ioni
, bis fumpta conveniet proportioni ve five 100 ad 1 , ter fumpto vero con-

veniet proportioni == atque ita porro. Atque hoc in quavis proportionali pro-

greflione locum habet *).

Sit data pars aeris furfum dimidia cotius.

0,30103 log. 2

0,00000 log. 1

0,30103 diff. log.orum

4,47860 log. diff. log.orum

0,11927 num perp.

4,35933 log. 22873 altic. pedum quæf.

22873
45746 altit. quæf. ubi L aeris fuperne incumbit.
_22873 4
68619 alrit. quæf. ubi g aeris fupra.
22873
91492 altit. quæf. ubi L aeris fupra et fic deinceps.

1) Voir les p. 486 et 487.
2) C’estlà,en effet, une conséquence immédiate de la règle, puisque, p.e. dans le cas où le rapport

Fond D on doit remplacer dans le calcul du premier exemple (p.487) le premier et le

DE troisième des six nombres par 3,00000 et le quatrième par 5—-log 3 (voir la note 3 dela
p.486), de sorte que le sixième nombre est augmenté de log 3 et que, par conséquent, la
hauteur résultante est triplée.
, 62

490 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1669.

_ Sit data alt.° pedum 100.
ui sé | UE De Ut “. me ps

MAIS SRI CARE MULTI AIT

: OU Hi penis be eytor tes SE

2 ,00000 log, : 100 di à LC

01109 num, èr rot bpanthe
927 PP. iinbey 8 Matos Ce

2,11907 log. tes à om UC “a

A ere +968 Gr
132 *) diff.a log.oru

ex 5,00000 log. 100000

ion spirit quitl dde arovrn j # o til tro
RER ‘ul 99868 log. 99697 * “

«

ot ardt

ifE 4 D: (BISFTARUIIÉRE LA PES siiput 30 #rotuy 23 idosd GIGIH2RS
Fe 7 29; 10 : y <
fé UNE CCE K NE tj 4 GER SR FIGE NE 42078 fa É + races ME:

Ce

Ergo in turri pedum 100 Re Péri, ve hydrargyrus i in cubo Porc

1: oi in ÉRORANQORE ATANNOS #3q ru! 4 , ni
ne unc. pedis Londinenfis. 29 |
soi Heñotrodote 27800 ni dot SEM TO I MON 2 HONOR
è 4 1 14 # "s ECO , sé Î ,
(+ 194 que à |

EL say LD
FOR

2) 0,001 32 est . nombre qui Pre au pl ouds 2,11 92755 sh la nc
À Ps 48 st CA À SE sel téfçinsr soi a |
?) La quantité d'air re se trouve au- dessus de la tour . dons à la ut totale
” à 100000 , et la hauteur de la colonne de mercure du baromètre, qui est

65;

NS JE HET stiss 5h à

Tocoo8 "620 POUSSE juni 05946

_

pouces au: pied de la tour, devient donc au sommet :

ORDRE MEET La r

Hbanishidéocx br

AN À

doté tits
495 | APPENDICE 1 À LA PIÈCE N°. IV.
ions. sul .maiceo à
. Lu) brie Gr ho br : de [16682]
+sdab ste cri vire

De ahiudine Amol} nue et preflu a aeris,

"
LETESE 37) 48:

| les eft Boilianis experiments, fparia ab cadem q quantitate aeris occu-
para in eodem vel duobus æqualibus tubis contrariam rationem fervare ponderum
premitur*). Torricelliano autem experimento conftat aerém hunc infimum
_ premi a fuperiore pondere tanto quantum eft altitudinis 30 unc: _. Londinenfis

_ argenti vivi, Proportio autem gravitatis argenti vivi ad aquam eft 134 ad 1; aquæ

_ vero ad aerem a me reperta quæ 960 ad 1 3). Ad aerem fcilicet ficut hic circa nos
_compreffus eft. Hine alitudo 32640 pedum aeris ita comprefi æquiponderaret
uncijs 30 argenti vivi. Sumamus autem roi numerum 33000 pedum. Ex his

… igitur ifta invenimus. Cd Le
_ Definire ad quantam altitudinem séceonbendGic fe ut aeris pars data fupra

| caput extet. |

_… Sitdata pan aeris sein es
Vus! is SD: TS

2 | TAMRTS alinéa de la note I de la p. 4. wi

d æ ?) Comparez Pope 1 de la p.484.

Lab 3) Comparez rez sur les données qui précèdent les notes 2 ,3 et 4 de la p. 483.
à] Ce qui suit dans le Manuscrit ne diffère pas notablement du texte de la Pièce N£. IV à com-
| mencer par le calcul qu’on trouve en haut de la p. 486] jusqu'aux mots sauorum $ primi sunt
| "40739" (p.489). excepté seulement qu'on n'y retrouve pas l'exemple où l'altitude donnée
_ 1, 6st.égale à 33000 pieds. Nous croyons donc pouvoir supprimer cette partie du texte. Puis
15. après: Huygens fait suivre encore un calcul analogue au dernier calcul qu'on trouve à la
P. 490, mais où la tour est supposée avoir 150 pieds de haut; calcul que nous rc
également, puisqu'il ne présente rien de particulier. 24 ©

492 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. APPENDICE. 1668.

Quum pes Londinenfis fit ad pedem Parifienfem ut 100 ad 109 *), altitudo
È SE FE
autem hydrargyri maxima in tubo fit 30 unc. ped. Lond. eadem erit 27 ?) unc.

pedis Parifini.

Numerum perpetuum vero'ad hunc calculum, fi pedibus Parifienfibus uti
velimus, invenio 15670 3).

Expertus eft D. Perier #), in montibus Arvernorum, altitudinem hydrargyri .

. . . . . 26 LE . . : SRE à
in tubo circa radicem montis fuiffe 35 s)unc.pedis Parif.i, Poftquam vero afcen-
diffent pedes 3000 circiter (nam non fatis accurate captam fuiffe menfuram

se

fatetur) altitudo hydrargyri fuit += Le unc. Quæ ad examen revocanda fint.

Quum ad radicem montis fuerit altit. PRE sh unc.quæ in imo aere debe-

bat effe “7s© 7) unc. patet hinc imam montis radicem aliquam habuiffe altitu-

dinem, quam primo invenimus. Fuit nempe pondus aeris fupra. vexicem ad
pondus aeris cotius ut 26,35 ad 27,50. Quare operatio inftituenda fecur

regulam priorem, hoc modo. ny cet sus ner np ne :
1343933 log. 2750 7 T2 HIOGONE IV RES
3,42078 log. 2635 Sup enoGS si tue19r Ds 01
0,01855 dif. log. | | le ont Île :0Ts rm
u 3,26834 log. diff. log.orum, Gin? iviv bnsgre op ao
"| 0,15670 num. perp. ad menfuram Pots. F si tire
3,11164 log. 1308 *) pedes alritudinis ad radicem montis: |.
ES

1) En 1668, le rapport des longueurs des pieds anglais et de Paris n'était connu que sb es
faitement. Ce ne fut qu’en 1675 que Huygens fut mieux renseigné sur ce point. Leur
‘rapport est en effet de 100 à 106,5783 ; voir p. 462 du T. VII. :

+) Plutôt 28 avec le nouveau rapport.

3) On trouve avec le rapport corrigé : 14694. :

4) Voir aux p. 351—358 du T. II des , Œuvres de Blaise Pascal” (citées dans la note 4dela |
p.196 du Tome présent) la ,, Lettre de Monsieur Perier à Monsieur Pascallejeune,du22sep-
tembre 1648”, qui fut publiée dans le ,Récit de la Grande Experience de l'Equilibre des |
Liqueurs” Paris, Charles Savreux, 1648, et jointe plus tard à l'ouvrage de 1663 cité d dans la :
note 3 de la p. 252 de notreT. VII. Comparez la note 1 de la p. 365 du Le H des, Œuvres de
Blaise Pascal”.

rosée dE.

5) Voir la p.355 du T. Ildes »Œuvres” ; mais lisez plutôt 26.35 c'e me puisqu' on y ue pour la

hauteur du mercure ,,26 poulces trois lignes et demie”? » ut chez Perier le pouce vaut
12 lignes, pis cela résulte des données mêmes pi rot dans sa lettre. né <

5) Lisez : Er .

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. APrENDICE, 1668. 493

à An alitudinem fecundum æftimationem obfervatoris :
3000 pedum , fuit portio
aeris fupra verticem ad aerem totum pes ficut it ad d 7 50. E Ergo po

son meup me +1p6 19.97
ç | 343933 log. 27,50

se2edg.e 336549 log. PAC: dbéséss ide :

bé. C “0507384 diff. log. “rev ml

ea À te tie ae

“Hs 15670 num. perpet. ;

3571159 159 log. 5148 p. altitudo vera loci fupra uibiice terræ fuper-

ficiem. Sublatis autem 1308 ©) pedibus fupra inventis, qui altitudinem radicis

montis defignant ab his 5148 ?) fuperfunt 3840 pedes , quæ fuit altitudo à radice
montis ad locum obfervationis, quam ille taxavit 3000 pedibus.

In altitudine pedum 162 (27 toifes), ftatio hydrargyri fuit eidem obfervatori
_ eodem loco, je unc. 19),

343933 log. 27,50
341664 log. 26,10

0,02269 dif. log.

0935583 log. dif.
cb he ,15670 num. perpet.

_. sert |
29 31991 3 log. 1582 p. alticudo ab æquabili terræ fuperficie
PTT dr +: 1908) altit. ad radicem montis
_... … pedes 274), qui ipf fuere 162, quae cum tanta fic diffe-

ntia, oportet vel altitudinem hydrargyri non fatis bene annotatam fuille, vel
Aiud. quid i me çaufa fuiffe de RSRSTEUR ARE non fuiffe ab aere reéte repur-

à Ces 1er

o
n) Lisez: Sr En
DL Me:

9) Apr application des corrections indiquées la rêgle donne 1949 pieds pour l'altitude au pied

. Puy de Dôme et 5867 pour celle au sommet. En verité ce sommet a 1465 mètres d'altitude,

1 pie 4510 pieds de Paris. Consultez encore la note 1 de la p. 494.

Fa
(en use 2e CYVARE

__##) Entre autres l’abaissement de la température de l'air avec stone de l'altitude.
Men résulte que la diminution de la pression de l’air, qui accompagne l'accroissement de

_ l'altitude, est plus forte que la règle de Huygens ne le fait me Ha Par suite, la règle
_exagère les différences d'altitude.

494 TRAVAUX MATH ÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. APPENDICE. 1668.

gatum, unde in tubi parte vacua aeris non nihil refederet ,dici Dec sb rs fi
id fuerit minorem ex eo differentiam altitudinis hydrargyri fieri necef i198
Vel alia debet effe proportio gravitatis aeris ad hydrarg. et aquam quam +3 38 ;
illa 1 ad 960 :). Ces *90! CCE |

Numerus perpetuus in proxime praecedentibus invenitur auferendo 0,622,
numerum perpetuum ad dimenfionem hyperbolæ fuperius inventum *), à diffe-
rentia inter logarithmum 100000 et logar.m numeri pedum altitudinis columnæ
Ro + moe pohtne pers vivi ie LUNA til |

Eh

r,

T8 Oo ae kid ÿ: 150 kid! irora)
LE k à Gt id de 31j ssaahtit
aifOITE" 11 gic 18) tnu20l bs 21OM

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NOT 1 #4 ANRT ES

ES
4

de Paris pour l'altitude _ de Dôme, calculée ÉrE" : ar
2) Voir la p.476. $ v

5) Comparez les pp. 486 et 492.

:APPENDICE 119 À LA PIÈCE N°. IV.

1673.

[PREMIÈRE PARTIE] ?).

Jun. 1673.

314
3301 Ie te
2,21748 1. 165 3)

2,19590 I. 157
0,02158 diff, log.orum

*#) L’Appendice fut écrit, en 1673, sur une partie, restée primitivement vide, de la p. 101 du
Manuscrit B, laquelle page suit immédiatement celles dont nous avons emprunté la Pièce
N°. IV. Il contient l’application de la théorie de Huygens, exposée dans cette Pièce, à une
expérience de Cassini qui 1. trouvé qu’à une altitude de 1070 pieds le baromètre avait

"ep “baissé dé 16 lignes. Posant 27 = pouce = = 330 lignes pour la hauteur du baromètre au niveau

|| de la mer, on en déduit que la deg de l’air avait diminué dans la raison de 330 à 314.
+ … Ajoutons qu’on trouve à la p.38 du Manuscrit F des renseignements sur l'expérience
de Cassini. D’après la date où ce Manuscrit fut mis en usage, il est presque certain que
ces renseignements plus précis ne furent reçus par Huygens que vers 1680:
de M. Cassini, Nostredame de la garde montagne a Toulon a de hauteur

PE on x : J » . I .
- 1070 pieds. au haut le mercure ” barometre avait 27 pouces 3 de ligne. au

bas °8 po. r- ‘dé ligne. la difference est t donc I P. & de ligne. la pente de la

| montagne 41 degr. l'horizon sous le niveau 32'30".

3) Dans cette première partie Huygens commence par calculer, en appliquant sa théorie, la
hauteur fictive de l'atmosphère si la densité était partout égale à celle au niveau de la mer,
telle qu’elle résulte de l'expérience de Cassini; ensuite il en déduit quel rapport de la densité
“de l'air à celle de l’eau correspondrait à cette hauteu r.

1) Comparez, pour le calcul qui suit l'algorithme de la p. 486.

*

496 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. APPENDICE. 1673.

333405 log. dif. 302938 1. 1070 pedum quæ altitudo æris fecit
0,36222 log. perpet. Caflino 16 linearum diff.m in hydrarg.
.3,69627 log fpatij. 369627
0,66689)diff. log.inter 100000 0,66689

et 21565 *) ped. log. pedum altitudinis aeris æqualiter
302938 1. 1070 ped. parifini. prefli ut hic prope terram, quæ alti-

| . tudo æquiponderat DE poil. hydrarg.

0,36222 SPP Lg e ans
0,66689 433311 L. 21565 *) pedes 3).

0,30467 log. perpetuus ad altitudinem atmôfphæræ +).

‘ I 2156
273 5) 1 s) 505

12 |
14 43130 PR
108 21565
27 258780 7)
42 prés
7. ; "
427

606 ad 1 *) proportio gravitatis aquæ ad aerêm pofita proportione hydrargyri
ad aquam quæ 14 ad 1. Et pofito item Caflini experiménto ubi RE .
alticudinis dabant differentiam alricudinis hydrargyri à in dsnd Torric iano
linearum 16. | k tree

: SOIFSUISORS

2) Voir le calcul à côté. D’après l'algorithme mentionné dans la note précédente on doitsous-
traire du ,,log spatij” la différence entre les logarithmes de 100000 et du nombre Ce 5e ii
la hauteur de l'atmosphère fictive d’égale densité, afin de trouver le logarithme del
du lieu en question. Or, pour faire concorder l'expérience de Cassini et la th ie rs
Huygens, il faut que le résultat soit égal au logarithme de 1070. Ce résultat peut donc servir #
maintenant à calculer la hauteur de l’atmosphère fictive exprimée en pieds de Paris. ie

2) Lisez: 21533. . been

3) Comme l’on voit ce nombre diffère beaucoup de ie X 33000 = 30275 qui résulte :

des suppositions faites dans la partie de l’Appendice I qu’on trouve aux p. 492—494.
#) Comparez le ,,num. perp. ad mensuram Paris.” de la p. 492. nai 56 -1.64 64628 |
$) Partant de la hauteur de la colonne barométrique au niveau de la mer, Huygens calcule dei
la hauteur, en pouces de Paris, d’une colonne d’eau de pesanteur égalé, Nousnesavons -
pas d’ailleurs pourquoi Huygens a remplacé les 27"la poneut sorte plus Mi Re
27,35 pouces. AR SR pd

5) Le nombre 3 indique évidemment le nombre des lignes, supposées égales chacune à la
dixième partie d’un pouce; comparez la note 5 de la p. 492. STE ce

ne _ TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. APPENDICE. 1673. 497

ss sis PARTIE] 9). LS

L" M, + RE 4
Lo Er | Mot
rpet. De. Ÿ . x

20531 1x

sub log. p x

100000 ad |0780 [ut o lineæ * ad 2:
re Wet rie Dee k )t 1

| D Ce Fi pete

PE fe 2 HE ‘4 ; tu $à 124 :p3
15

ose. Peut-être se proposait define
TIR LE A7 nr

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F4?
"+ 55 LR j Énerds à
V CARO ONAX « & PTS TL
e F4 à | ? y

[1662 |”).

heptagonum circulo inlcribere.

[AB]z [ad BCJx [ut AE] 2

[ad ED] x — #2)

x BE % BC
X3

x— ED
x À

ra

: 222% — 3.00 29" 2EX
O 90 25— 222X — ZXNX + XS

fitx 90 13 0002—022— 2415)

111 V+4 ni JF: Ur

Héisquie EC = — a cause sd tlindléé PRET BEC et. tABC.. 'ÈT 804 52 we En tu

3) La construction n l’heptagone régulier est donc réduite à la solution d’une équation
. cubique, dont il faut choisir la racine positive plus grande que l’unité. Pour indiquer da
signification des autres racines, soit Z la longueur de la diagonale qui sous-tend-p côtés

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 499

= 2
[Fig. 2.] fit y 4 2 24)
2
HE
HET
3 9
Le
9
4 8
JET Re]
di à
1 PA D (0 — [00 —2zz]
er og
n.
Fi
2-7 S) 2 oO

de l’heptagone (de sorte qu’on a

d, —4,, d;—=4,, etc.); alors

les trois ac a< del’équation sont
a 4 d,

érales à 3, dE Aid ep

Ajoutons que quelques années auparavant van Schooten s'était occupé, non sans sUCCÈs,
de la détermination des équations algébriques dont dépend la construction des polygones
réguliers. [1 appliqua à cette détermination plusieurs méthodes qui, toutefois, pour l’hepta-
goneet pour les cas plus compliqués, amènent des équations d’un trop haut degré, qu’il réussit
à simplifier en écartant les facteurs inutiles. Aïnsi dans le cas de l’heptagone il trouve,
comme de juste, x5 — 7x4 + 14x°— 7 —o et dans celui du tétradécagone x3 — x? — 2x +
+1=—0o,où x représente chaque fois le rapport du côté au rayon du cercle circonscrit
(voir les p.464—475 de l'ouvrage de 1657 de van Schooten dont nous avons reproduit
le titre général et celui du ,, Liber V” aux pp. 50 et 52 du Tome présent, ou bien les p. 433—
443 de l’édition hollandaise sur laquelle on peut consulter les pp. 51 et 53 du même Tome).

D'ailleurs, puisque l’angle BAC de la Fig. 1 est égal à l’angle central que sous-tend le côté
du tétradécagone, il est clair que le rapport AB: BC, cherché par Huygens, est le réciproque
du rapport du côté du tétradécagone au rayon du cercle circonscrit.

On sait que ce fut Gauss qui, le premier, apprit à indiquer d’avance le degré des équations
dont dépend la construction d’un polygone régulier d’un nombre donné de côtés; voir la
»Sectio septima: De aequationibus circuli sectiones definientibus”” de ses ,,Disquisitiones
arithmeticæ” de 1801 (p.412—474 du T.1,1863, de ses œuvres complètes: , Carl Friedrich
Gauss Werke. Herausgegeben von der Kôniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu

- Güttingen”}).
‘ Réduction de l’équation à une équation sans second terme.
5) Après avoir trouvé l’équation réduite, Huygens applique dans la Fig. 2 les règles données par

500 TRAVAUX MOT HÉRATIQU ES DIVERS DE ré6 À M6Gur6sr

ana — ea 1) o

MORE x... Le ait)
220 220 + XX ——
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fx, 4 + ë
342 LA, M1 4
‘& sent il

ADN EVENE

La 61. FD HAE VE) mis)
| Pattes Rene sa | Géométrie” voir les p. dm à TV de lésion 'Ade
nery) pour la construction des racines d’une équation pe au nt C
peer et d’un à vs pe 238 son sommet: CA f

d’autres courbes, qu’ on obtient en bare SE LR à
‘Ajoutons encore que la construction au bas de la Fig. 1 nous est

E

VI.
1662.

[Quadrature de la courbe de Gutfchoven et cubature d'un de fes folides ae
révolution.|

VE
| -
DGN curva a Slufio mihi propofita*) ad inveniendam tangentem ?), illi vero a
__ Gutifcovio. proprietas ejus, ut angulo DNV reéto exiftente fit NV femper æqualis
_ eidem lineæ DC.
| | Sive pofita DR x. RN>Y, ut fit gi 20 xx 4). DC eft perpendic. axi DV.
_ DCOA quadrans circuli. CE 5) parall. DV, afymptotos curvæ DGN.

+

- ©) La Pièce est empruntée aux p. 125—126 du Manuscrit B.
?) Voir sa lettre du 18 août 1662, p. 207 du T. IV.

- 3) Voir sur la détermination de cette tangente le 1 (p. 504—505) de la Pièce N°. VIT qui suit.
4) On a en effet: DN?(x° +3): DR? (x°)=NV° (4°): NR° (y), où d = NV — DC.

5) Remarquez le double emploi de la lettre E dans la figure.

502 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

L2

11
| ÿ
LETTRES
T
A

4 Ÿ V

NMO, LHK funt reétæ. fit NO > DV ;et MO%RV.Sicut ergo proportionales
funt RV, VN, VD ita quoque MO, OD, ON. Sicut ergo MO ad OD, hoceft ME
ad EO, hoc eft MH ad KO, ita OD five MP ad ON. Unde facile oftenditur quod
ficut omnes MH ad omnes KO, hoc eft ficut DC ad arcum COA ita omnia
[Jia MHTP ad omnia KONL, hoc eft, ira quadr. AC ad figuram infinicam
AOCEFNDA *). Ex quo fundamento eft calculus in fine pag. præced. ?).7

Facile autem apparet et folidum a diéto fpatio infinito fefe habere ad folidum
à quadrato AC, utroque circa ADV converfo, ficut fuperficies a converfione
arcus AOC ad fupérf. à converfione re&æ DC. quorum ratio eft dupla per ee
quæ demonftravit Archim. lib. de fphær. ec cyl. 3). Eft autem folidum a conyer-
fione quadrantis DCA ad folidum a quadr[ato] AC ut 2 ad 3. Itaque’hine
deducitur, folidum à {patio reliquo infinito DGFEC effe folidi a Q AC fefqui-
tertium, ac proinde æquale fphæræ cujus radius DC +). Ita fit calix infinitæ
capacitatis et extenfonis, at definiti ponderis, ficut er in Ciffoide 5). A

7) OnaMH:KO—MP X MH :ON XMH.Or, dans le cas présent la conclusion ZMH : ZK0—
—2MPXMH:ZON X MH est permise, comme on peut le vérifier aisément, puisque le
rapport du premier au troisième terme de la proportion en gestion est une quantité constante,

*) Voir les calculs qui suivent.

3) Voir la ,, Prop. XXXI, Lib. l, p. 31 de l’édition de Bâle (mentionnée dans la note 3, p. 274
du T. XI) ,;, Cuiuslibet bare superficies quadrupla est circuli, qui in ea maximus habetur”.
Elle correspond à la Prop. XXXIII, p. 137 du T.I de l’édition de Heïiberg, citée dans la note
2,p. so du T. XI.

4) Ce résultat fut communiqué à de Sluse dans une lettre du 25 septembre 1662; voir 4es
p. 237—9239 du T. IV.

5) Comparez la note 17 de la p. 199 du Tome présent.

a tn pm mon

i Lis MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1660. 503

.4 © arc. AOC; r » DC.
a 3 ABCD [ad | fpat. ACÉFDA [ut] r [ad] q
Fr Bal q Que] r rr r [ad] ss D fpat. ACEFDA

eh 4 ES quadrans ACD

| in infin. DCEF ORTE

jreuti i DAC “ele fpatio infinito DCEF.

[.e00H |

ges ay) LI à; d jh

un _ | . te, MO NS. DE a à cb | à + shredoin À |
7 tof p [ut] CIMB Gs) [ra] pr fpa. OCEFNO à
| f }£pr— \OMD 0CM

pr AOMD 2 fpat. CE
+ AODQ 2 fat. ren ù

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il PRET RCE ER LAMBERT MARI

[1662.] FA A étbEu

te À
$

[ Recherches ae 1662 Jur la détermination des tangentes aes courbes algébriques.]

(Fig. 1.] à DL ARE Lio à

V9 — 299 +YY + à d = 575 4 Es

dévr.sddvy + dde D PS
Fa n+ à) 45]

— 2 diyy + 2d4yy — oddyvyy + Gddyys 5)
+ 2ddyvyy — 24ddvy3 — 2yy5 [20]
— 24d4y + 24d4y + 4ddyyy — 2yy+ 5 0

d#y
B— 2dûyy +9 ©

y

") La Pièce est empruntée aux pp. 125—139 du Manuscrit B; nous l’avons divisée en para-
graphes. D’après le lieu qu’elle occupe au Manuscrit B, elle doit dater de 1662. Consultez
encore la note 8. |

2) Ce paragraphe contient la détermination de la tangente à la courbe de Gutschoven de deux
manières différentes. séarelne 4 er Fe

3) Équation de la courbe de Gutschoven ; comparez le deuxième alinéa de la Pièce N°. VI.
P. 501. 5

hrs Ni)

that

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 505

9—25p +pp Llig: 2] [ad] 73% [ut] dd) [ad]

ddy* —— 20 557)
. ddyy — 24ddpy + ddpp — y+ + 2py3 — ppy

(Fig. 2.] 0 D + 2 ddyy — Gddpy +

+ 4ddpp + 2py5 — 2ppyy
per y—p

yUl | Fe
PO)
x

+) s représente donc la longueur d’un segment de la normale depuis le point sur la courbe jusqu’à
l'intersection avec l’axe des y. Or ; si l’on fixe ce point d’intersection, dont la distance à l’ori-
gine est désignée par » et qu’on déplace l’autre extrémité du segment le long de la courbe, il
faut que la longueur du segment soit stationnaire (c’est-à-dire en général maximum ou mini-
mum) lorsque le segment reprend sa position primitive. I s’agit donc dès ici de trouver la
valeur de y qui rend maximum ou migimum l'expression pour ss. À cet effet Huygens emploie
la méthode de Hudde, exposée dans son ,,Epistola secvnda de Maximis et Minimis” (voir la
note 5 de la p. 360 du T.II), pour déterminer le maximum ou minimum d’une fraction

: (x) __ZA,x? À ‘ x dr: ;
rationnelle (x) _2B,#, par la résolution de l'équation Z2(p-q)A»B, xt +1—0;équation

qu’on déduit facilement de la relation (en notation moderne) xp'(x)y(x)—xp(x)y'(x)—0o.
5) Cette première ligne contient les termes pour lesquels 7—0, celle qui suit ceux qui corre-
spondent à 9— 2; voir la note précédente.
5) Au lieu de 47 Huygens aurait pu choisir (voir la note 7 qui suit) le cargé de toute autre ligne
de longueur constante ; il ne choisit 7 que parce qu’elle représente la seule ligne de cette nature
qui entre dans l’équation de la courbe de Gutschoven.

7) s est donc proportionnel au quotient . Or, il est évident que lorsqu'on déplace, le long

de la courbe, le point où elle est touchée par la tangente, sans changer la longueur p, ce
quotient sera stationnaire et dans le cas présent un minimum. Par suite, on peut appliquer
la méthode de Hudde à l’expression pour ss. Divisant en même temps par /7y+, Huygens
obtient de cette manière l'équation qui suit, dont il écarte ensuite le facteur y—p.
#) C’est probablement à propos des deux méthodes de ce paragraphe que Huygens écrivit à de
Sluse dans la lettre du 25 septembre 1662, mentionnée dans la note 4 de la p.502:,,Nam
illiusquidem curvæ Gutschovianæ quam proponis tangentem nullo negotio investigavi varijs
modis calculoque brevissimo , qui vix duos hujusmodi versiculos occupet”.
Ajoutons que, auparavant, Huygen$ avait essayé, p. 113 du Manuscrit B, une méthode
analogue à la deuxième avec cette différence que pour la quantité qui doit être minimum
il choisit la longueur du segment zsitué sur l’axe des x entre l’origine des coordonnées et le

64

506 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

(Fig. 3.] ”

$ 2 *).

Pere”
F4 6x. 2 »

È L NT
vY — 2yx + " V Y

a[dd]e

[y +1 2bxx — “ms csbañad à :5 55°)

4bxx — 2byx — 24vxx + 19x53 in à
120%X — 72Vxx + 48x38 in x

4bbx — 2bby — 24ybx + o4bxx — 72Vxx + 483 [Ho].

24% +10bæx + obhæ:u:t jgtue die cer
36xx + 120x + bb Héd T AP 3h

“

à ed MES D . | hs
STE F3 FR EE ANNE

cumYy 2x3), 12x%° 90 bb,x 2

point d’intersection avec la tangente. Employant au reste les notations de la L lg. -2.
rentes de celles de la page citée du Manuscrit), on a donc

7. FR 7e ; SEE
+ j î

ap—st 7 — .
d’où Huygens déduit : ne | ru

72
— dâyy — 2pydd + ppdd— 5 2pÿ pe"

À cette fraction il applique ensuite la méthode de Hudde; ; ce qui donne quo
ms dé enp: |

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 507

Fig. 4.
he 22 + 22% + xx [ad] ee [ut] #6 [ad]

b3xx — 2hbx3
bzz + 2b2x + bxx FOz2x L 192xx E 6x5 2055*)
2bb23 + 2bbzx + Ghzzx —6bxs
— 6bz2x —8b2xx— 2bx3— 2432x%x— 242%
bbzz + bbzx — 4bx3 — abzxx — 1922%x —
— 12245 0 o per x +Zz

205)

© 20 bbz— 4bxx — 123xx D 0

4abxx bxx
“He bon. z 2 qe EEE
2 — 3XX

M'en uvre out ddyy — 3pddy +- 2ppdd +-py3—ppyy —0.
Après avoir obtenu cette équation Huygens ne continue pas le calcul. Il semble ne pas
ss avoir aperçu que l'équation est divisible par y— p. Or, après l’écartement de ce facteur on

arrive à la valeur de p indiquée dans le texte.
)ce paragraphe. contient la Jespiomins pe la tangente au folium de Descartes de trois

| manières différentes. En effet, l'équation À _ PE aus sa

re ghraies vs bxy=0o, pour laquelle les tangentes au point A sont les axes des coordon-

—=)?, qui suit , correspond à l’équation

“pal ‘nées. Or, Te cette dernière équation on reconnaît celle du folium de Descartes. Ainsi
_ danssa lettre à de Sluse, déjà citée dans les notes 4 de la p. 302 et 8 de la p. 505 Huygens pou-
_ vait écrire à propos du folium:,,Hujus tangentem in dato puncto ego quidem non nisi medio-
criter prolixo calculo inveni (ex hac nempe æquatione, nam potest alioqui ad aliam multo
commodiorem res deduci)”. Ajoutons que le calcul prolixe” était probablement celui du
_ S3,oudu$4.
?) Cette première méthode est identique à la première du $ 1,p. 504. Huygens va donc appli-
quer l’algorithme de Hudde (voir la note 4 de la p. 505) pour trouver le minimum où maxi-
_ mum de ss. Dans ce calcul il n’a pas besoin de s'occuper du terme »», puisque y est considéré
|. comme une constante.
k) da Détermination du lieu de largeur maximum de la honte Comparez les p. 301 et 302 du
_…. Tome présent.

sd. Ù est donc proportionnel à Te sa valeur doit donc être un maximum lorsqu'on déplace le

point de contact le long de la courbe en fixant la valeur de z.
gs Application de l’algorithme de Hudde accompagné de la division de tous les termes par 4°x°
ER première ligne correspond au premier terme du dénominateur, l’autre au deuxième térmce.

,

508 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

22 — s2x À ex [ad] _— Cut] #6 [ad]

bixx—2bbxs 1)
bzz — 2b2x + bxx + Gzzx — 122xx + 6x3
b 2 1 (e) I sn. 1°)
2% 3 2 1 2 1 0)
2bbzz— 2bbzx + 6bzzx — GbET
— 6022x + 8b2xx — 2hx3—2422x%x + 242%
bbz + 4bxx — 122xx 0 4)

4bxx Das ”

———- 090 220
12XX — bb gas —"5h

1) Fraction qu’il s’agit de rendre maximum à l’aide de l’algorithme de Hudde.

7) Cette ligne donne les coefficients p—7 (voir la note 4 de la p. 505) par lesquels on doit mul-
tiplier tous les termes qui correspondent au premier terme du numérateur. D’ailleurs, puis-
que Huygens se propose de diviser tous les termes par 2bxx on doit multiplier ceux du
dénominateur par G—a)b et non par (p—4)#3xx comme l’algorithme de Hudde l'exige.

3) On doit pour la même raison multiplier les termes correspondant à — 2hbx5 par — 2(p—4)x; :
c’est pourquoi Huygens change les signes des termes du dénominateur en même temps qu'il
les multiplie par 2(p—4)x. .

#) Cette équation est obtenue après division de l'expression qui précède par 3(3—x). fe

5) Ce paragraphe et le suivant nous montrent qu'avant de trouver, dans le cas d’une courbe
algébrique quelconque, la règle exposée dans la lettre à de Witt du 25 février 1663 ga 7
p. 312-317 du T. 1V), Huygens s’est occupé d’autres méthodes très curieuses pour
miner les tangentes d’une telle courbe. Afin de faire connaître la portée de ces n FR
nous croyons utile de les appliquer au cas général d’une courbe algébrique : CE x,9)=

=X,Ag xÆyË — 0 du degré u. Commençons donc par la méthode utilisée dans le présent
paragraphe et remarquons d’abord que la forme du triangle ECD (Fig. 6) est définie par les

rapports entre ses côtés, en posant y:6—7:#=—=g :b, où l’une des trois grandeurs €, #,b peut
être choisie égale à mue constante arbitraire, p. e. à la constante # de l” “a5AEN de J courbe.

Oniéléis ae 12 Ty= 7; où = AE. | He tm LoE 147
EURE
Or, la An pr ot de ces expressions pour x et y dans l'équation » la courbe, de “es
" NPRÉPONTE - Va #1 S ie
(1) fa @ Et ke = 9,(,")= ++ yB = 0. 7 42000

Si maintenant nous supposons un instant que les valeurs de, €, nent
invariables, et que soit l’inconnue de l’équation (1), les solutions de cette équation
correspondront aux points d’intersection de la droite EC avec la courbe f,, (x, p=0; mais :
puisqu'il faut qu’au point C correspondent deux racines égales de 1 nés env,onaura:

(2) 20, B; 27»? =0. a god st 108 LE

Cela explique le premier algorithme, représenté dans le texte par leg nombres 0,1 ,2 ; 3
3,1, 2,qui amènent l’équation o 90 3hz2rcc— nnzcey etc. 14 2e.
Pour expliquer le deuxième algorithme, représenté par les nombres 3,2,1,0,0, +, [ER

ne af

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 509

[Fig 6.]

$ 3,5).
x + 95 — xyii 0°) \
# Cad] # [ut] y [ad]? DE [2 9]
n [ad] c [ur] y [ad] 2 CE » y; y 20 EL

b SN y "À
#— "oz AE; +024 oz + |

+ ie débtarr + ne n°393 nnzv bnnyy,

pentes] ét )
dla ca .ç3, C cc
° L 2 Ô 3 1 2
3 ER UE (e) (e) 2 I

Rs de *
0 2 3bxavcc — nnxcey + Gbbczvy — 2 bnncvy + 20393 + 3n3y3 ”)
0% Gant — 303 )yy + (Gbbez— 2bnnc}y + nr oh nnzcc in

| | Gbzzy EU onnxy bnnyy,
sb © DD 70 A M: # s
FL 3 à C “ ce C. cc 5e sé

de D (+ 3bbz — bnn)yy + (Gbzzc — 2nnzc)y + gecxs in à cz

fAYY

: à F à k, TR y
— bbonnyy 5 3n32vy — nmezce"*) ; reftitue cc >

PNYVZZ

.—bb»y D 3 .:: »

ts

il suffit de que pe des équations (1) ) et or on déduit facilement : ;

N: x cà | Eu —0), Ba" — 0. |
C’est cet algorithme qui conduit dans le texte à l’équation o 3 325 + ie è - etc.

6) Fe du folium de Descartes; comparez la p. 301.

© 75 C’est l'équation qui correspond à T'équatiün (1) de la note 5: sé Mt dns
si: La signification de ce zéro nous échappé: bé nes ou

9) C’est l'équation qui correspond à l’équation (2) de la note 5 ; mais elle a été multipliée par «3.
.19) C'est l'équation qui correspond à l'équation (3) de la note 3.

11) On obtient cette équation en posant le deuxième membre de l'équation précédente, multiplié

510 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

[Fig. 6.] É me {5 ni __by
bbyy > 3nzyy piex péflitué zDx——

Fate 4 fe PNR
— bbyy © 3nxyy— 30ÿ8—nnxx
1 \ ARE T

GAXYY — ANXX |.
3ÿ— 2nxy RP fes

par 2. “Elle cond 7. à l'équation plus oh pe Li a
P8 22 By = 3e (a Bas ver

qu’on RE écrire, à cause a proportions v:0=y up p, er gel forme" ps 14e l'est
" k, 4 fe
320 785 ay — —=qÈ(u— HR np + LES

; riétte te
ou bien : F1 PART à À al +6 g - À 4 w£ } LE EM à DTA
= sisi 120, By pus, she, Vi ue
ouencore: Hé HeUTE, Juge lg é hi 81:
xy 4PC 3, re si. Le * Da Ti 71 3 ia
ao 2 L'npian) Zoe NE Durs Poe :
XV x. > HI EIÈN LE
MST mine D - — qu} (3) = 0. * NT LE 4 ans
ou enfin: £ subite HET LS ro
qx je ru xy nr (x, Do, Legs ex ht 4 |
d’où l’on déduit: TR NO A TOP
xy ï ESP à
(4) 4 = 2F ixtaat int tie 15 COMTE.
ra Nc

x
HR upst rp1ON PET sh # A
expression qui se réduit immédiacement à l'expression bien connue :

< ge haies met fi
(5) rè 1 4 J em JEtL ab 4

dx 2% 'TSITR :

On voit donc que la première méthode. de Huygens; quoiq 4 rte
duit à la valeur exacte de la +R D ARERES mais sous une orme (4) qui. diff

usuelle (s). IS: es HA DEEE : RTISEYSPE EN OREIAENT AE sens #2

1) Cette expression pour DE s' ‘accorde avec la construction de la FRERE sai

dans sa lettre du 6 octobre 1662, p.246 du T.IV.,

TU PS SES 5 EMI

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 511

[Fig. 7.]

$ 4°).
X$ + Y$— xyn D 0

x —2 [ad] y [ur] # [ad] nes >

rest ?) Dans ce paragraphe une méthode
5. différente de celle du $ 3 est appli-
quée, d’abord au folium de Descartes,
ensuite à la courbe de Gutschoven,
Ainsi que nous l’avons fait dans les
notes 5 de la p. 508 et 11 de la p. 509
pour la méthode précédente, nous appliquerons cette nouvelle méthode à son tour au cas

d’une courbe algébrique quelconque /,, (x, y) — Ft 2438 —o. :
Posant ED (x— x): CD (y)=—#:s;onaiciy = *

“he. 1 par suite :

LE — $3
QG) , AC see (x,2)=2,C5 2Y xd — 0.

Si l’on ne change pas les valeurs de z, ni de s, de sorte que la forme du triangle CED et la
Situation du point E ne varient pas, il est clair qu’en changeant la valeur de x, on verra le
point C se déplacer le long de la tangente et que les racines de l'équation E,Cyxt= —=0O COr-

_ respondront aux points d’intersection de cette tangente avec la courbe. Or, puisque le point
_ de contact ” la ge td doit correspondre à une racine double, on aura:
ns ee) jé ie Ey,Cxv = 0.
Det
Cela pense à le deuxième algorithme (p. 512), qui conduit à l'équation qui, plus bas, est
multipliée par De même l’équation :

C3). E(u— y), Cyx72 0
explique le premier algorithme.

… De cette façon l’équation sxzz + 3x32 + 5x3 — o du texte est remplacée dans le cas
général par:

(4) | 22y4Coa 72 4x (u— y) C5 x = 0
ou bien: |
| df(x a +
G—x)x Pre PL nf (es 3) = C4 +uxf(x,3)=0,

d’où résulte, puisque nr ge

: d
| ufCx, Dr
C5) DM Fr HT nat
st dx
relation qui est équivalente à la relation connue:

512 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

? sx —sù :. [it il
20 SENS DRE

F

S3X 8 — 3SINXT + GS XLR — 592?
115

O ss
a () 1 O 2
liée [Fig. 7.4 et |

te asaemo) "À
Tr
m3.

s1
ans #1

- — SXX À

+13 FKICE

osxe Hart pr ms: à
SF2L + 9% 2 888 mo4)
| SRR + GAXR —SA% 00 9. .

À SEE von 2 à
dé ‘+ JE véto sRe

wi Li 8 190885 OMR,
Er Si effer æquatio Curvæ #42
3 gr — «yn 0 0 vel quivis alius nun
3X3— HYX — 34%x + ny4 20 nyx duétus in y? eadem tamen inver 1
_conftruétio ad tangentem D ne |

GTA 00 NYX + NVZ: + A2? 20

QHYX — 3X$ 4
q IE IT ve] , Quia #xXy 90 X3+Y$ |
NY — 3XX veq si nee
3} — MIX 5 | 9 Ca cer
4 ) in 4e
ny — 3XX nd hogie. ring Si pipe
. sat) tis9 AE
cry Lena

La deuxième méthode "A Huygens conduit donc, elle aussi, à une care ian PORTE ]
-tangente équivalente à l'expression (6), mais de forme différente. ”
1) La grandeur de s détermine donc la forme du triangle ECD, puisque » est une constante
donnée.
?) Cette équation correspond donc à l’équation (3) de la note 2 de la page précédente,
3) Équation qui correspond à l’équation (2) de la note mentionnée.
+) Équation qui correspond à l'équation (4) de la note mentionnée. ofrs dar. :

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 513

(Fig. 8.] y
dE ee 5 77 +

+ YYXx — ddxx 51 0

y xs + 25
CRE" DS

090 —d'xx + 455 + ox32ss + xxzzss À) |

2 4 3 2
2 O ù I 2 | Ÿ Æ 4

}

à in — oddda + 4xxss + Gxess + azzss 2 o os)

ppt “À je 0e Ve RU

pre xin— o4ddd + ox2ss + a2ss Ho 10)
24dddx — 2ddddz + 2xxs57 + 4xss2z + 22355 5 o
4
où -—— dix dix us ddyy
UN XX + 2X27 + 21 XX + 22X + 27
la FETES dd — ddx 5 zyy
| sa $ Le + | ess dax 244x — yyx Si
: Kasteréahel Jos UE

| 5) Plus généralement, on trouve:
PART Er »
B=X—q4—= al df 3
sl

: % Or, le terme: A, y de j'égoationr 44 la courbe n are pas dans le nee et il dis-

| paraît dans le AE après réduction.
Voir la note 1 de la p. 510.

de la courbe de Gutschoven; comparez le dechétéie" alinéa de la Pièce N°. VI,
p. 501. Voir, pour l'exposition Apte de +e méthode pe ge lanoté 2 de la pe : pharare quan-

tit constante » est remplacée ici par d.

deiz shtrl bimioc wi xs Las
Huygens substitue da pour y x fo l'équation + phone» éme mis il omet le

| | terme 4, puisqu'il sait _. ce terme n’a pas mt a sur l'expression qu'il trouvera pour
st ete ee Drussi

à px parez la note 3; mais Huygens omet partout, ici et + dans l'équation qui suit, deux fac-
prets Mio st op te Mtetetos sai chmos sbbecon

LA

19) Comparez lanote2. TV

19 gx +2 est la Soustangenté praneaues givre

Fe 2) Nous supprimons l'application de la même méthode à la détbrinttiétfos del la tangente à la

parabole Fc fes Dur nc 20 7: (e hr : méme page, parce que cette appli-
6

À tin
Em rt

514 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

(Bees nr D s 5
Conchoides Stuf ij, in qua À polus. BL afympr.
femperque [JALD > EJABC dato *).…
A B-toel-Ber Per ps >
xx [ad] 4x — aa [ut] xx + 99 [ad] 4
25 + xyy— axx — ay — bxx 20 0 3) és
Dax — x5 + 4xx ;

4 LR ee à
EF (22 2 +w#) [ad] ne axx
[ur] #b [ad] ss) Re
bixx — bbx3 +abbxx ra

ZX — 22AX + HS — ALT IHIOALX — AXX

s) | b22x — bxi— obazz + 2bazx.: 4
O0 | —22ZXX + 22X + SALE — 4AzxX + 4x3 | perz—i
Uarax — 4x3 — 04h22 + ogazx NL ex pet A
it se
Oo 90 bzx + bxx —2haz— 22xx + 4uzx — oauz RS
bxx
20 2. Inventio pee ot DE ete

Pa it a

€ ra |
*o .

2XX — 44X + 244 + 24b — hx

cation ne présente rien de particulier. On rencontre la même courbe dans la lettre de
de Sluse du 6 octobre 1662, p.247 du T. IV. La construction de la tangente indiquée par lui
correspond à la solution de Huygens. 15 a 8f 4h + sioit do
7) Détermination de la tangente à la conchoïde de de. fps: de des nites enr |
détermination du point d’inflexion de cette courbe. ‘Linot .doV 108$ 00
?) Comparez la lettre de de Sluse du 6 octobre 1662 (p. 247 du. T. IV) où donne la défir à
de sa conchoïde, dont il dit avoir trouvéla construction ot tapente et du point d’i ee

+) Équation de la conéhotde dede Slusé. "04" 905Had ve ene4vtrtl
4) Huygens applique la dernière des trois méthodes die FR le. 2. Puisque s'est propor- |
tionnelle à= J

rs faut que sa grandeur soit maximum ou minimum lorsque A . t

à la sv su et lorsque z est considérée comme une constante tendèe que le point D est

le long de la courbe. Mio af Sd
s) Application de l'algorithme de Hudde pour déterminer la valeur maximum ou minimum d

_ fraction (voir la note 4 de la p. 505), accompagnée de la division de chaque terme

b°x?, Chaque ligne correspond à l’un des termes du numérateur. A
5) Hu ygens se sert ici de la première méthode du $ 1 ; consultez la note 4 delap 505.

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 515

[Fig. 10.)

[NE >] 2—4+x
QU 4 + x
22 — 242 + 444 22X = 04x + xx +

g.ED.
b
dxx NES 56)
é » pos
2AXX — 242% — Dax + ad + bxx 7)
x —4

+ 1 O +1 0 +19
2EXX — 2UXX + bxx
— 442% + 2442 + 444x — 243—obax

| 1
AXX — VXX —240X + 43 + bax

mp, ana pas ©?

1
Li — —bxx 4 abx
a[+] . 2 z Inventio tangentis aliter
XX — 24Xx + aa :
ad primam figuram ?) de 20 z Maxima
2XX — 44x + 244 + 24ab — bx
o 1 +14 2 1
Lu — 44% + 444 + 4ab — bx > o *°)
. aa + 4ab aa + ab
Lol TANT URI IRD UTRE HAE TA co x vel x D Lie 4
Man Mowte ssougrui lt fs -44 a + er
HE E, 4
MED Fr ES Lord
14 +77 it 3ab 3ab SUR RAS
Hal T sn —?— 90 x — 4 determinatio punéi
Le Rire Rae punéti ubi

flexus contrarius incipit.

nt ce “à ;

nus agit de Par à le maximum ou minimum de ss; mais puisque z est une quantité con-
! stante et que z doit être considérée comme telle, les trois premiers termes de l’expression
précédente n'importent pas et peuvent être négligés dans la formation de la fraction à laquelle
Huygens va appliquer l’algorithme de Hudde.

1fhCes coefficients ont servi pour former la première ligne (dépendant du premier terme x du
__… numérateur) de l'équation qui se construitsuivant Mhporitims de Hudde en divisant toute-

fois tous les termes par x.
8) Voir la Fig.9.
4°) Application de l'algorithme de Hudde avec division des termes par #xx.

516 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662.

[Fig. 11.]

$6 ").
z [ad] y [ut] ze [ad] PE 20 y—Ÿ

An
ne
’LFig. 12.] 2 à €

pe ge 7

LYS 749 90 0 *)
are qe 3
F 22

x — gite Sr Et y
— syn + 206 + en “77 æ 0

3
— ga — À PT + pm 20 0 *)

XNY — 3° 20 ZTXX — 2

Xny — 33°
3XX — ny

D 2

1) Ce paragraphe nous fait connaître les calculs qui ont servi à déduire l'algorithme simple pour
déterminer la sous-tangente d’une courbe algébrique donnée, que Huygens expose dans sa
lettre à de Witt du 25 février 1663 (p. 312—317 du T. IV et qui fut publié en 1693 dans
les ,, Divers ouvrages de Mathématique et de Physique. Par Messieurs de l’Académie Royale
des Sciences” (voir la p, 331 de l’ouvrage cité dans la note 4 de la p. 91 de notre T. IX).
Probablement cette découverte fut mandée à de Sluse dans une lettre du 10 décembre
1662, que nous ne connaissons pas Cvoir la seconde note 1 de la p. 291 du T. IV), puisqu'on
lit dans la réponse de de Sluse, du 12 janvier 1663 (voir la p. 292 du T. IV): ,,Gaudeo Te
ac Clarissimum Huddenium in tangentium methodum meæ non absimilem inoidisiet adivéro
eadem sitnecne, hoc rexuygio colliges”. :

2) Équation du folium de Descartes.

3) Il s’agit du coefficient de 2 dans l’équation qui précède.

4) L’algorithme employé ici pour la détermination de la sous-tangentene diffère de RE
dans la lettre à de Witt, citée dans la note 1 , que par le signeattachéà chaque te terme du numé-
rateur et du dénominateur.

Ajoutons qu’à la même page du manuscrit on trouve encore d'aucré petits cétcelé déts
lesquels on reconnaîtra facilement l’algorithme inventé par Hudde tel qu’ilest exposé dans

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 517

x + ÿ3 — xyn D o

CRE Ne

3 asc
— EX + yn

XL + XYY — 4XX — 4ÿyy —bxx DO

"Oo : L. jé (e) , 2 o : F serre sw.
Me ER" 3 Re 2 + RS # tr
D LPAT A RER AE / #”
rates Va 2ayy | ; D
peste il à
# "à à
.e

pr p.46 de nor Averiemet PR À Se" *

‘* F3
| e d'uit — 238 É . à ë {
0 5 hi où [44 jmms © + L
hs PEAR 3 Qu At: poses
Di riol. = * }
5: no PE TE un 38 7 PR 1 j

©, la igie de Hudde exige qu’on multiplie la fraction vbtenue par — k, de sorte qu’elle

| 3x?—yn |
Huygens que par le signe qui dépend de la convention qu’on a adoptée.
_ Le ges nt calculs res les coefficients : :

d'+4 ne
ru "fi 10 3

PER
, donne pour la sous-tangente Sn UE ner , qui se “réduit, si l’on applique la rela-
: Ron à pat +, ; expression que ne diffère de celle trouvée par

à Valérie de Hudde avec e cette dibsernes que, dans l’une des deux lignes, les

VIN.

[1664].

[Fig. 1.]

Sphare date diametrum invenire.

Defcribantur in fphæræ fuperficie duo triangula
æquilatera ABC, ADC,, fibi mutuo oppofita ita ut
bafes ijfdem pun@is A, C, terminentur. Diftantia
punétorum BD circino capiatur et in planum tranf-
feratur et fuper hac bafñ triangulum ifofceles confti-
cuatur cujus crura AB, AD | Fig. 2] diftancijs punéto-
rum BA vel AD fintæqualia. tum porro per tria punéta

BAD circulus defcribatur cujus fit diameter AE3), :
fuper qua rurfus triangulum ifofceles de-

fcribatur AFE#) cujus latera ipfis AB au

AD fint æqualia; et per tria punéta AFE
circulus defcribatur. Hujus diameter erit
diametro fphæræ æqualis.

æ [AE]; [q. HF]5) 4002 É [ad à. af]
aa [ut q.AF]4aT[ad q2GF]
4H #

acc
aa — —— aacc — -— 44
4 cc +

ac

V «-;
CC—-44
4

diam. fphæræ.

nt

7) La Pièce est empruntée à la p. 161 du Manuscrit B.

3) D’après le lieu que la Pièce occupe au Manuscrit B.

3) Ce cercle représente évidemment le petit cercle de la sphère qui passe par les points BAD et
qui a pour pôle le point C de la sphère.

+) Le point F correspond au pôle C. Fe

5) Nous avons ajouté à la Fig. 2 la lettre H qui manque dans la figure de Huygens.

be
[1665 ]°).

AB > x; BC > y; EF > 4; KA w bp;
AE > c

prop. EB ad BM 3)

a[ad]é[utJEB (x —2)[a4]BM €
BA
MC dx — dc + ay

a
prop. MC ad CL
€ [ad] a [ur] MC (EE +2) [ad]

dx — dc + ay
e

CL

prop. MC ad ML
flad] a [ue] MC(É HAN fa]

prop. EB ad EM

f Cad] g [ut] x—c [ad] EMÉ* FFE

| Dans cette Pièce, que nous empruntons aux pp. 8 et 29 du Manuscrit C, Huygens déduit les
formules qui peuvent servir à passer d’un système decoord oninéescartésiennes (commeLF=x",
| LC=y) à un autre quelconque (AB— x, BC —) de ce même genre. Ensuite il se propose
… d'appliquer ces formules à des recherches sur les cubiques.
D’après le lieu que la Pièce occupe au Manuscrit C.

à La direction de l’axe EF par rapport aux axes des x et des y est déterminée ici par le rapport
(proportio) de EB à BM, savoir de 4 à 4.

520 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1665.

EL % — 8% — dc + ge + 4)

ex EF a
LF af — dx + gx + de — gc — ay’)
f

In æquatione aliqua fi præter x3 habeatur et y3 non autem adfint etiam omnia
“hæc xx. yyx. xxp. Yyp. xyp non erit locus paraboloides cubica obtufa *).
Neque item fi unum horum adfit, non autem 5.

Si vero in æquatione aliqua præter x3 habeatur et y3 non autem adfint etiam
hæc duo xxy et yyx, non erit locus paraboloides cubica acuta *).
Neque item fi alterutrum horum adfuerit non autem y3.

(Fig. 2.] Multæ igitur formari poffunt
æquationes Cubicæ quæ non fint

- loci ad alterutrum parabolarum cu-
bicarum. Ut. autem numerus cubi-
carum Jinearum inveniatur 4) fim-
pliciffimæ lineæ proponendæutx3+
+ J—2yn Doet videndum quales
æquationum cafus | in AN
poflint. 4

HU 5

ee

\1
Te

7) Nous supprimons une autre déduction antoine (correspondant à une situation différente du
système de coordonnées) dont le résultat ne diffère du résultat RENE que par les
de quelques termes. rer,
?) Il s’agit évidemment de la cubique y" —Xx'; mais Huygens oublie le cas c EEE RsAmque ane
termes xxp, xp et yyp n’apparaissent point dins l'équation en MR) seu
3) Il s’agit ici de la cubique y'3 — #x”°. : ; GE
4) On connaît la manière magistrale dont le problème de la classification des subiquesht résol
par Newton dans son ,,Enumeratio linearum tertii ordinis”, publiéeen1704 se

X 1.

1666.
1666. Sept.

Invenire numerum qui per tres datos numeros [eorfim divi[us , relinquat à divifione
tres alios datos numeros.

Sit inveniendus qui per 28 divifus relinquar 13. Per 19 relinquat 4, per 15
relinquat 9.

Sit 28 % 4 13 2 #
1020 6 420
» 15 DC 9DP

-Sit numerus quæfitus primo gb + ac + bc. fi jam bc per 4 divifus relinqueret
ñn five 13, patet primæ conditioni fatisfacere numerum 4b + 4c+ be. Item fi 4c
divifus per à relinqueret o five 4, idem numerus 4b + 4c + bc fatisfaceret quoque
fecundæ conditioni. Item fi 42 divifus per c relinqueret p five 9, fatisfaceret idem
numerus 4b + 4c+ ch etiam tertiæ conditioni. Itraque tantum opus effet addere
ab + ac + bc ad inveniendum numerum quæfitum. quod quidem contingeret fi »
effet 5; 0 90 2; p 0 7. Sed cum bc per 4 divifus non relinquit #, videndum an
relinquat 1. nam tunc 2c du@tus in # faciet numerum qui divifus per 4 neceffario

relinquet # ut facile eft intelligere: nam fi fe > 4°) +2 fier ben 0 naq + n qui

. . . . n . . . . .
per 4 divifus relinquit 3° Quod fi vero bc per 4 divifus non relinquit unitatem,
quærendum per quem alium muliplicatus relinquat unitatem à divifione per 4.

: | de RER À dat
faciet ex. gr. Z “eliquum d. Quæritur jam tantum fita ut g relinquat 1. Jam

*) La Pièce est empruntée à la p. 102 du Manuscrit C. | ji med, ”
=) Huygens ajoute en marge: ,, tantum numerum aliquem integrum significat”.

66

522 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1666.

etiam bcf per 4 relinquet 1. nam à 2 q ie . Ergo bef És qgf + 7 Ergo bcf

20 aqf + df. Sed agf per a facit gf; et CET 1. Ergo af + df per a relin-
quit 1. Unde et bcf per 4 relinquit 1. Quod fi jam #cf ducatur in # neceffario

produétum bcfn divifum per 4 relinquet 7. Nam quia 6 D q+ _ Erit cf 2

20 4q + 1, et bcfn w agn+n. Sed agn En divifus per 4 facit gn + 2. hoc et,

relinquit 7 à divifione. Ergo bcfn per 4 relinquet # à divifione.

Simili ratione quæratur g qui duétus in g&c faciat produétum 4cg quod divifum
per à relinquat 1. Nam tunc 4cgo divifum per b relinquet o.

Similiter quoque quæratur # qui duétus in 4 faciat produétum 444 quod divifum
per c relinquat 1. Nam tunc #bhp divifum per c relinquet p.

Jamque numeri tres befn + 4cgo + abhp una additi f atisfacient omnibus condi- :

cionibus. nam compofitus ex his divifus per 4, faciet cgo + bhp + sh. Unde

faciet cfn + 4hp +; ubi fcimus acgo per à relinquere 0. Denique de

RES aa

per c faciet bfn + ago + _.. ubi fcimus abhp per € divifum relinquere p.

relinquetur # à divifione quia bcfn per arelinquit à divifione #. Item divis pe

FL “0 2?

Cæterum ut minimus numerus habeatur propofito fatisfaciens oportet ab numero
bcfn + acgo + bhp auferre totius #bc quoties poteft, five divifionem infticuére, |
nam quod ab ea relinquetur erit minimus numerus propofito fatisfaciens *). +

Notandum etiam manentibus numeris #, b, c etfi tres alij #, 0, p mutentur five
alij dentur, facile tamen quæftioni fatisfieri per numeros femel inventos bcf, acg,
abh. Patet enim illos tantum ae 4 effe fingulos in n,0, le prod |
addenda et per #bc dividenda *). 1602 | |

Ita ad inveniendum annum Periodi Julianæ Scaligeri s, ex datis Cyclo Sols, k
Cyclo Lunæ five aureo numero, et Indiétione. quia Cyclus folis Integer eft 28, :
Cyclus lunæ integer 19, Indictio 15. fiunt numeri perpetui |

pertles
bcf w eme à out 1.1 à ne
rdités E 41 () Mie

ti 44

') On. doit plutôt diviser par le plus petit commun multiple des nombres 2,b, c, pret
indiqué dans l'ouvrage cité dans la note 5 qui suit. Alors, en effet, le reste de la divisio 1est
le nombre le plus petit qui satisfait à la proposition. Pour s’en convaincre il suffit de remarquer |
que la différence entre deux nombres qui satisfont à la question doit être divisiblepara, par
et par c et, par suite, aussi par leur plus petit commun multiple. :

?) Voir sur Joseph Justus Scaliger, l'inventeur du Cycle Jones la note 2 de: la Re sen du T.Let
la note 4 de la p. 476 du T. V. Tr

TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1666. 523

Si jam anni alicujus cyclus folis fit 13. Lunæ 4, Indiétio 9. Oportet tantum
4845 in 13 fit 62985. Item 4200 in 4 fit 16800. Item 6916 in9 fit 62244,
l'additi faciunt 142029 qui divifus per 7980 five abc, numerum Periodi

fi É relinquit 6369, annum Periodi ejus quibus data conveniunt.

( y 3) Regulam hanc tanquam a fe inventam dederat +), fed potuit haufiffe
ercitationibus mathem.is Schorenij 5), qui D.° Perfii ijn Harlemenfi ‘) eam
| m fert en Nos quo paéto inventa effe potuerit hic explicuimus.

Souos 1} TS D Re,
; Re sé ES a ue. d
* 4 # FA
VE \
ik |
1 A4 j
ÿ È %
; + 0 | 1
130 die : PISTN TRE CON CON 0 + 10ù Re Cm

‘GA œ «ce AC

sur Fa Jacques de Bitiylaôte 124 ble la p.374 duT. VI

del”,Extrait d’une Lettre. du P. de Billy de la Comp. de ou du 22 Ado à Dijon” À
arut dans le ,, Journal des Sçavans du Lundy 6 Sept. 1666”, p. 670 de l'édition d’Amster-
. Billy y donne ,,Pour trouver l’année de la Periode Juliene par une methode
ès-facil "la règle suivante: : multipliez le Cycle du Soleil par 4845, celuy de la
y de l’Indiction par 6916. Ensuite divisez la somme des produits par
6 r Ce uliene: Ce qui restera de la division, sans avoir égard au quotient ;

tio at Î article fut insérée dans les An opinést Transactions” du 22 octobre
) sous le titre ,, A problem For finding the Year ofthe Julian Period Lx a new and

pie V? de l'ouvragen mentionné, duquel ,, Liber” nousavons repro-

. u d ent. On y retrouve, en effet, la méthode exposée par

la LES que nous avons indiquée dans la note 1. Elle y est appliquée

le purs les diviseurs sont 2, 3, 5 et 7 et les restes respectivement E,

7. A1et 13. avec les restes 2, 1 et 9; onn *y trouve aucune
trouver | ’année de la Période Julienne.

van Persiin, né probablement à Haarlem, ami de Ludolf van Een.

Re aitu déjà été mentionné par van Schooten à la p. 404 des PL xer-

aux pp. 435 et 436 de cet ouvrage, comme aussi à la

Se (p.319 de épen de 1659), où van Schooten

es mathematicæ” : : ,Cæterùm cum ad hujusmodi
s Ium ingeniosissimum excogitarit ante. memoratus D. Nicolaus
cuit eum, qualem ab ipso accepi, paucis hic subjicere”.

XI.
[1666.]

FB°) vel AC 17320 minor #)

H
LAC maj. 17321 lé CG 20000
AB 10000 | * BF 5 CL maj. 17320 4)
FL > BC maj. 7321 2680 LG min.

FL maj. 7321 [ad] LG min. 2680 [ut] GK 5 CD

À PB cp LG min. 2680 [ad] HK min. 981
31416 20000 DK % CG 5% AD Ré
62832 femicirconf. major vera MIS CR LUE à

20981 DH min.

3
62943 femicireumf. minor vera

secundum Oudardum 5. |

MESA
“

1) La Pièce, où Huygens examine une construction approchée de la circonférence du cercle,

se trouve à la p. 104 du Manuscrit C , qui suit aux pages dont nous avons emprunté la Pièce |

précédente. Elle doit dater de 1666.

7) Pour expliquer la construction qui va suivre il suffira de remarquer que l’angle FAB est égal
à 60°, qu'on y prend AC —FB et CG— AD. Alors DH représente approximativement la
troisième partie de la demi-circonférence du cercle dont AD est le rayon.

3) Huygens suppose AF — 20000.
4) Lisez 17321. Par conséquent, on doit remplacer partout 2680 par 2679. Cela donne 980 <

<HK,20980<7 DH, 62940 € 3DH. Ainsi la quantité 3DH est plus grande que la demi-

-circonférence du cercle, tandis que Oudart semble avoir prétendu qu’elle est plus petite.
5) Probablement Nicolaas Oudart, homme d'état hollandais, né à Malines, qui s’établit plus tard

à Londres, où il mourut en 1681. Il fut e.a. secrétaire de la Princesse Royale Mary Stuart,

veuve du Stadhouder Willem IT. On le trouve mentionné aux pp. 173 et 217 du T. HE.

PL

TE

finit FF toute
4 Our Rd ME Thor ot,

COR CRE e AN mr ET és
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F L à : È BIS CAN TE jui
à te RTE TT 10

LE. : LS Aî #3 À + fers} Fe

ed PIÈCES ET MÉMOIRES.

" TA Best +!

; VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. A te [DU CALCUL
DANS LES TE DERHASARD soirs mmeminense er 444 :
RE nn Re me dE em el dde nine nee
TITRES EN FAC-SIMILÉ . np Erees PT di
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+ at a Ji Mig CITANT SE NRA I
Hypothèfe fondamenta
Propof. L sera chances épis d'obtenir 4 ou # me vaut © re is Mass
L "DM is:

| Propors IL. site dus chances égales d'obtenir #, Son dise HE

| Propof.. I. Avoir p chances d'obtenir aet q Eagle b, je chances étant équi-

trot à : es | 3 FE
val m pa+-qb
1 peu e v 2 Tone cnrs ssess roses eressenesnerssensse
Lin water” Dp+g. : ] ee ”

La r-

Propof. I + Suppofons que je joue contre une autre perfonne à qui aura gagné le
premier trois parties , et que j'aie déjà gagné deux parties et lui une. Je veux favoir
quelle partie de l’enjeu m’eft due au cas où nous voulons __— le jeu et par-
tager équitablement les mifes .......................... MR DEN APRES
Propof. V. Suppofons qu’il me manque une partie à moi et trois à mon Eros
_ Ils’agit de partager l'enjeu dans cette hypothèfe ...........................
Propof. VI. Suppofons qu’il me manque deux parties et ait en manque trois à mon

ROVERMIRS ES BON PE ARR Ve su VER DRE HEAT 90, QU Le open
Propof. VIL. Suppofons qu’il me manque encore deux parties et lui quatre ........
Propof. VIIL. Suppofons maintenant que trois perfonnes jouent enfemble et qu'il
; | manque une sr. ainsi Loris la deuxième, mais qu'il en manque deux
Le TT I AI AE NE EI QUE ARRER EUTSSSSSECRRREREE
Propof. IX. Sous aies la part de chacun d’un nombre donné de joueurs, auxquels

PRE SE * | . RENTE STE See 4ON MP 7
er 2

Page.

1—91
3— 48
50—53

24755

56—59

73

“

528 I. PIÈCES ET MÉMOIRES.

manquent des parties en nombres donnés pour chacun d’eux féparément, il faut
d’abord fe rendre compte de ce qui reviendrait à celui dont on veut favoir la part :
dans le cas où lui et dans ceux où chacun des autres à fon tour aurait gagné la
première partie fuivante. En ajoutant toutes ces parts et en divifant la fomme

par le nombre des joueurs on trouve la part cherchée du joueur considéré . ..... 73
Propof. X. Trouver en combien de fois l’on peut accepter de jeter un fix avec un dé. 79
Propof. XI. Trouver en combien de fois l’on peut accepter de jeter 2 fix avec 2 dés.. 81
Propof. XII. Trouver le nrbre, ge Jgspyrec’ 0 peut a r de jeter 2 fix

du premier coup ...…. Fa etre VIP rar: + e. 5 4% qe ds 83

Propof. XIII. Dans l'hypothèfe que je joue un coup de us dés contre une autre
perfonne à condition que s’il vient 7 points, j'aurai gagné, mais qu'elle aura gagné
s’il en vient 10, et que nous partagerons l'enjeu en parties égales s’il vient autre”
chofe, trouver la part qui revient à chacun de nous........ es Reese 85
Propof. XIV. Si un autre joueur et moi jettent tour à tour 2 dés à condition que 4
j'aurai gaghé dès que j'aurai jeté 7 points et Jui dès qu il en aura eté 6, tandis us 14 AV |

que je lui laiffe le PRG _. trouver le pets de ma chance à la GLde ns Je dt
Étereices..1:.".: RUES VUE Ten re RS UE D à L- cart A

AppendiceY. red à Prius LS SN
S'il reste 1 jeu à gagner à À et 1 à B, et 2 jeux à C, combien vaudra la place de Aro Lu
chacun supposé qu’ils aient mis chacun 2 écus au jeu’? Et'sil refte 1 jeu à gagner à nano 4°
A,2àBeto2àC, 6 écus à au jeu ? Et encore s’il refter àA,2àB, 4x0, B'écus Séceqlt.
am jeu? eus ns Mn VONT D onto SE TON. 1: La ;

Appendice II. [1665]....... PURE VRP PE NL RP M ù
Solutions du deuxième et du quatrième des Exercices: 223:2.%009700.00, HU, dl ges

Appendice III. 1665] 2242 ne ne emnn, ps Nan D sante re star A A Dog
Jean a 2 jetons blancs et 1 noir, mais | Pierre 1 blanc et 2 noirs. Et chacun à fon
tour choifit à l'aveuglette un de ses jetons. Celui qui obtient un jeton noir doit osta,
ajouter un ducat à l'enjeu, mais celui qui obtient un jeton blanc reçoit tout ce qui! Doquri
a été mis. Et Jean choifit la première fois, quand il n’y a encore rien à l'enjeu. On rsicrté
demande combien eft l'avantage ou le défavantage de Jean au commencement: Li :
dieu, ; oies ne SR RUE NT SE D US |

dppendice IV 166$ enr. ss sus. DORMI RE ist yndl

qui tire un jeton noir ajoutera chaque fois un ducat à l'enjeu, et A tireralepre- ”
mier. On demande lorsqu'on veut que les chances de A et de B foient équivalentes,
quelle proportion devra exifter entre les nombres des jetons blancs et noirs de B..
Quel eft l'avantage de Fe tire le premier lorfqu’il a 8 jetons blancs et À noirs, etB. da

p blancset wnoirs Pusund of suub estioon us céradu ob aus él'islogies 0 TES

L PIÈCES ET MÉMOIRES.

NET 529
“ N'a Page.
| Appendice Ve665::.... RO AUGUST ver vi CARS
A joue croix ou pile contre B; les deux joueurs jettent tour à tour à condition que
: celui qui amène pile mettra chaque fois un ducat , mais qui jette croix prendra tout
ce qui eft mis; et À jettera le premier, alors qu’on n’a encore rien mis. Et il eft
_ entendu que le jeu ne finira pas avant que _— chofe ait été mis sésarase
: In ti us ul ec LU PE LR SE dt 917 116
etats l'Appendice Hi. Se Ron AE iles
Es. Explication des calculs de l’Appendice IV .......,:......,......,......... 126
… Quelle doit être dans le jeu de croix ou pile la fomme que chaque jeune doit mettre
_au début (chacun la même fomme) afin que A qui jette le premier ait une chance
_ aufibonne que B?.................. ve Ares de Sois sé dre CE 130
_ Aet B jettent à tour de rôle croix ou pile, à sde que celui qui jette pile mettra -
chaque fois un ducat à l'enjeu, mais celui qui jette croix recevra chaque fois un
ducat fi quelque chofe a été mis. Et À jettera le premier quand il n'yaencore
rien à l’enjeu et le jeu ne finira pas avant que quelque chofe ait été mis, et l’on
jouera jufqu’à ce que tout a été enlevé. On demande quel eft le défavantage de A. 132
Déterminer la fomme de la fuite des valeurs réciproques des nombres Ce + 144
Résa ER PR Ce DTA D EPA À Lu LU NE EC CR NT DU ONU .
et aline rite x. si 261 CEE QR 151
RE 1. Mit ommité ici. DRE ES PONS ER Be 3 es 4 44.5
Solution par les logarithmes de ,,problèmes des dés” identiques ou analogues à
Gr x des Prop. X et XI EDS De OR LR Ne ne evo 4 TES PÉRARE 156
’ 2 FIIL (1679) . tés as OR ES EPS ei FES L HUE
L Laits shift 4:71 CLR OR ET PAPE TN PART 164
A Li EPPPEPTS ds age MP ES Laos de sd 51
“Ciouentau pue: mettant chacun un ducat. Ce font toujours deux des trois
uent. Celui qui perd met de nouveau un ducat. Et celui qui fait perdre fes
adrefireseoféutivement RE On demande combien eft l'avantage
169
t q eus contre C. Et fi C gagne il joue de nouveau contre le troifième,
u’à ce que quelqu'un gagne 2 fois confécutivement , lequel prend alors l’enjeu
” outre le ducat que chacun qui perd: à une sels doit ajouter à l'enjeu. On
ps UV cs LATE Se US #6 2 RE. à TR 172
FPE > fimplifié où l’on ne met rien _ les 3 3 premies ducats ..... 173
fe ge touitiiut: ds ue an 6 Se HAL. ITS UE 1,4 :#76
of nétptoblèmelürique le jeu commence Ft qu'il y ue une mife......... 178
UX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659 ................ 181—407

5. Conftruire un triangle reétangle, Lorfqu’ on sde la fomme des côtés

VE ae enssius sc ci Pete Se EE lie ni ent ce der res 183—207
ay it :

539

Î. PIÈCES ET MÉMOIRES.

Il

LIT,

IV.
V.
VI

IX.

droits et la différence des fegments dans lefquels l'hypoténufe eft divifée parla

perpendiculaire abaiffée du fommet de l’angle droit......... doc lé) ba
1656. Conftruire les afymptotes d’une hyperbole qui conftitue la folution du
problème de Pappus ,,propofé en quatre lignes” ...,..:...,.......... Li À
1657. Trouver un nombre qui ajouté à fon carré fait un carré. ...:.......4.

Pourquoi chaque nombre premier augmenté ou bien diminué de uses devient

divifible par 6, de même par 4? excepté 2 et 3 ......, sent ali ga bee als poil
Difcuffion de l’équation diophantine, dite de Pell, 44° + 1 = y? ........ 4
Reconnaître fi un nombre donné eft un non-carré .........:....., 3 3005
Lorfqu’un nombre divifé par 9 n’a pourréfiduni1,ni8,nio,cene Goo pas

MUCUR nd caen dE sale dé liées er mme nee bocih cheb LAN
Déterminer le réfidu de la divifion d’un nombre par 7 ou par 11.:.::.:.444

Reconnaître fi un nombre donné eft un non-carré. Suite .,........:..:..2.
Appendice I. [1658]. Difcuflion de l’équation diophantine au? + 1 =»? ,...
Appendice II. [1657] Reconnaître fi un nombre donné eft un non-carré ou un

DONCubeésssadurr dis Rad SE dés an tel Si SVP LUE ER LAN PE 1
[1657]. Difcuflion de l'équation de la droite et ducerdesigl ui. si sum dl frais, ‘Ole

1657. Démonftration de Huygens du théorème de Pythagore . ........4.4 4

1657. Réduction de la re&ification de la parabole à la quadrature de l’hyper- …
bole et de la quadrature de la furface du conoïde parabolique à celle du cercle. pr
234
LE

PREMIÈRE PARTIE. Découvertes faites le 27 oétobre 1657........,:.......
DEuxièME PARTIE. Réduction, fuivant la méthode des anciens, de 1e re
fication de la parabole à la quadrature de l’hyperbole............ «vo114352
TRoIsIèME PARTIE. Réduétion, fuivant la méthode des anciens, de la qua-
drature de la furface courbe du conoïde parabolique à la quadrature du cercle.

droite donnée découpe un arc capable d’un angle donné .....,...:...:....

. 1657. Quadrature des paraboles de divers degrés. Pecaiant de leurs folides de

révolution. Détermination des centres de gravité des fegments plans et folides.

Appendice I. [1657]. Réda&ion à la modes des anciens d’une partie dutexte

précédent, si aies esperant lt ao. La sise dd ta

Appendice I1.[1657]. Quadrature des hyperboles de divers Hi FOUR Éci

[1657—1658]. Recherches de 1657 et 1658 fur quelques lignes courbes. Per-

les de de Slufe. Courbe que de Slufe avait rencontrée chez les anciens. Folium
de Defcartes. Conchoïde. Ciffoïde. Parabole. Quadratures. Cubatures de foli-
des de révolution. Tangentes, Points d’inflexion. Centres de gravité. Pius :
grande largeur de la boucle du folium. Propriétés des diamètres d’une parabole.
1658. Réduétion de la quadrature de la furface du conoïde elliptique allongéà
la quadrature du cercle, et réduétion de celle des furfaces du conoïde ellip-

314—346

tique aplati et du conoïde hyperbolique à la quadrature de l’hyperbole . .....

La : :
229

CHA

A
1657. Trouver un cercle qui touche à deux cercles donnés et. daqmel une

Page.

208

‘210
212

213

213
217

28paate

[. PIÈCES ET MÉMOIRES. 531

Page.
: PREMIÈRE PARTIE. Découvertes faites le 3 février 1658 ........,......... 314
Deuxième Parrie. Relation entre les quadratures des furfaces du fphéroïde
splatheeduiconpide byperbolique. .. 24.4. 441 4040 sde sie 2. 324

TROISIÈME PARTIE. Réfumé des réfultats obtenus dans les Partiesquiprécèdent 334
QUATRIÈME PARTIE. Avantages et défavantages de la méthode des indivi-
fibles comparée à celle des anciens. Defcription fchématique de la méthode de
démonftration archimédienne. Rédaëtion plus foignée des réfultats obtenus
dans la deuxième Partie, qui concernent les courbes adjointes de la parabole,

de l’ellipfe et de l’hyperbole ........ RAT ROLE EE VOA AE AT DO 2 À à 337
_ XI, 1658—1659. Recherches fur les propriétés géométriques de la cycloïde..... 347 — 376
PREMIÈRE PARTIE. Quadrature de la cycloïde. Cubature de fes folides de
révolution. Centre de gravité de fegments cycloïdaux.................... 347
DEUXIÈME PARTIE. Centre de gravité du folide engendré par une demi-révo-
lution d’un fegment cycloïdal autour de fa corde........................ 358

TROISIÈME PARTIE. Reëtification, et détermination du centre de gravité, d’un
arc cycloïdal. Quadrature de ja furface engendrée par la révolution autour de

CT SCOR RS NP OR I PL ER PET ET 363

QUATRIÈME PARTIE. Démonftration géométrique de la conftruétion de la
RE een. sel 507, 28 MN en oo housses 374
CINQUIÈME PARTIE. Centre de gravité d’une demi-cycloïde ..... ........ 376

Appendice. [1691] Application des méthodes de Wallis à la détermination du
centre de gravité d’une demi-cycloïde .............................. 377

XI. [1658]. Démonftration d’un théorème de ftéréométrie concernant la cubature
COR PT EE PET EE EEE EE TEE EEE EEE 379

XIIL. [1659]. Dédu&tion d’un théorème de cyclométrie, bafée fur la fituation connue
du centre de gravité d’un arc cycloïdal................ STE RCE 381
XIV. [1659]. Solution d’un problème d’arithmétique élémentaire ............... 384

XV. [1659]. Recherches fur la théorie des développées. Développées de l’ellipfe et
de l’hyperbole. Quadrature d'une courbe du huitième degré à l’aide de la déve-
loppée de l’hyperbole équilatère. Confidérations générales fur la théorie des

développées et des courbes parallèles. Développée de la cycloïde :.'.....:.: 387
Appendice. Détermination du centre de gravité de la cycloïde, bafée fur les

propriétés de fa développée. ..................................... 406

XVI. 1659. Conftruétion de la tangente à la quadratrice de Dinoftraté. 2.500002: 407

CONTRIBUTIONS AUX COMMENTAIRES DE VAN SCHOOTEN SUR
LA ,GEOMETRIA” DE DESCARTES. ÉDITIONS DE 1649 ET DE 1659.
D UE... u.........., AT NE ee D PI AS TRES 406 —422
| EEE rte FORT PTE 411—415
I. 1649. Cas particulier où la recherche d’un lieu géometrique amène un
CR PR PT ET CD CL CL ACER CE 416

532 [. PIÈCES ET MÉMOIRES.

Page.
Il. 1659. Conftruétion de la normale à la conchoïde....:........... susramiaus «7
IT. 1659. Cas particulier des ovales de Defcartes où ils deviennent des cercles... 419
IV. 1659. Forme de l’ovale de Defcartes dans le cafe cas qu'il gris dansla
difcuflion ñe fes ovales: scies ont er boue At bon se
V. 1659. Mener d’un point donné les normales à une parabole ....:.:........ 4e
Appendice. [1654]. Déduétion des formules de Defcartes pour déterminer
le ,latus tranfverfum” et le ,,latus reétum” d’une conique donnéeparune
équation quelconque du deuxième degré ......4.444..sc.tauer.... 403
TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1660 À 1666 ..:..........2.. 429—524
Po d ht dt ONE ROME
I. 1661. Déduétion de la sis pour trouver les logarithmes ................. 451
Appendice. [1668]. Règle pour trouver les logarithmes ... ..............: 458
Il. 1661. Recherches fur la courbe logarithmique. ............:....:,...4.4 460
Appendice. [1689]. Détermination du centre de gravité du écarte
la révolution de la courbe logarithmique autour de l'afymptote...:...... 472
III. 1662. Quadrature de l’hyperbole par les logarithmes. nc RonE reifica-
tion de la parabole. .... haie . ane ie ed A ;
IV. 1662. Relation entre l’altitude et la nèties stmafibétique 145.845. AMiier A TRES
_ Appendice I. [1668]. Application aux expériences fsies fur ARR
Pafcal par Perier au Puy de Dôme en Auvergne ....:.......,.41.4..: D
Appendice 11, 1673. Application à une mc de Caflini faite fur une mon- “db
tagne près de Toulon. .....:.111.4.,8 00 ERREUR 495 ;
V. [1662]. Conttruétion de l’ songs rétine uns dau sde, JESRS
VI. 1662. Quadrature de la ait de Gutfchoven et cubature d’un def fes folides CEE :
de révolution. ......:..:.2. ce cravate tutelle
VII, [1662]. Recherches fur la dicéretudies des tangentes des courbes prthnpeses 50
VIIL. [1664]. Trouver le diamètre d’une furface fphérique ..............:..... 51
IX. [1665]. Formules pour paffer d’un ve de coordonnées cartéfiennes à de e3
autre. Application aux cubiques : su sisadussonartoneus lentes diet he
X. 1666. Trouver un nombre qui, divifé par trois poses donnés, ae des
reftes donnés. Application au Cycle Julien.............:...:....,.:..
XT [1666]. Examen d’une rectification approchée de la circonférence du arciaies

H£>

IL PERSONNES MENTIONNÉES.

à _ Dans cette lifte on a rangé les noms fans avoir égard aux particules de, 4, an et autres.
: _Les chiffres gras défignent les pages où l’on trouve des renfeignements biographiques.

_ Académie de Berlin. 9.

| Académie des Sciences. 9, 14, 17,24, 220, 431,434, 447,452,456, 516.

Adam (Paul). 30, 210, 303, 316,317,321,414,416, 419, 421, 444, 448 , 449.
Adams (John Couch). 465.

Anderfon (Alexander). 421.

Angot (Charles). 448.

” | re 50,51,238,245, si rte ane ei Ne OR
CHE HARGE, 425.

Archiméde, 18, 189, 190, 191, 192, 236, 237; 251, 255, 259, 261, 262, 263, 266,311,
334, 336, 337, 338, 366, 367, 370, 466, 502.

| de). 411,426, 427.

_ Bernoulli (Jacques). 9, 10,11,12,16,17,19,20,24,27,28,30,88,89,91,154.
du :34€Jean).17.

,# (Nicolas). 17.

_Bertier (Antoine). 218.

Bertrand (Jofeph). 431,452.

_Bierens de Haan (David). 29.

| Billy (Jacques de). 523.

Binger (Librairie Gebroeders). 412.

_ Blaeu (Johan). 411.

Ken (Peter). 411.

Boulliau (Ifmael). 195, 200, 202, 206, 347, 353» 362.

Boyle (Robert). 436, 437 ; 483, 484, 485,491.

_ Briggs (Henry). 441, 451 , 455 456, 457 ; 459, 465, 478.

Broflin (George). 34, 26.

534 IL. PERSONNES MENTIONNÉES.

Brouncker (William). 188,224, 225,226, 2927, 298.

Browne (W.). 10.

Brunetti (Cofimo). 272.

Cantor (Moritz Benedi&). 21,22 ,185, 187.

Carcavy (Pierre de).4,6,7,9,23,64,88,89,90,92, 186, 195; 196, 197 » 199, 204, ds

210,362, 367, 373; 376,422.

Cardano (Geronimo). 22, 414, 415. à

Cartes (René des). 29, 55, 183, 185, 186, 189, 203,210, 301,302, 303, 304, 315,316, a
317» 321, 339» 374» 394 409, 411,412,413; 414, 415,416,417,419,420,421,
423, 424, 425, 426, 427, 4425 443 444 445; 446, 448, 449, 500, 507, Re:
511,516. PU

Caflini (Giovanni Domenico). 439, 495 ; 496.

Cavalleri (Bonaventura). 191, 199, 337- D

Ceulen (Ludolf van). 523. PA

Ceva (Thomas). 473. me

Chapelain (Jean). 206.

Clavius (Chriftoffel). 126, 232, 233, 267, 269, 313, 343, 344«

Clerfelier (Claude). 303,448 , 449. ES | :

Cocq (M: le). 164.

Comberoufle (Charles de). 272. his dinar

Commandinus (Fredericus). 238, 239,312, 341, 388. has

Coutereels (Johan). 384, 385.

Defcartes (R.). Voyez Cartes (René des).

Dettonville (A.). Voyez Pafcal (Blaife).

Dierkens (Salomon). 15,16, 26,28,156,161, 162

Dinoftrate. 183, 407.

Diophante. 56,57, 213.

Doublet (Philips). 3.

Dutens (Louis). 9.

Elfevier (Daniel). 411.

» (Johan). 52.
» (Louis). 411,413.

États de Hollande et de Weft-Frife. 14.

Euclide. 126, 198, 232, 233,266, 267, 269, 313, 343, 344, dir.

Euler (Leonhard). 214.

Everriies (Cornelis Frans). 184, 384, ne 386.

186, 187, 188, E 197, A M sn Pris 272 ss go ï.

303:329,418,442,443,447,448,440. s (visdsaite
Ferreo (Scipio). 415. La à 144 bat
Fiedler (Wilhelm). 272.

IL. "PERSONNES MENTIONNÉES. 535

ns 185,1 186, 4 188,213,9216, 223, 224.
+). 10.

wi iffenfchaften zu Gôttingen RE ) 499.
it van). 53, 555.

Willem oh e 3. sÉ :
et 194,195, moe 265, 266, 267 » 303,432, 434, 452,453,
Dour, 281,297, 360, 407, 468,472, 473.

LE 429» 442; 443,445, 449, 501, 504, 505, 511,513.
196

457.

-10,11,12, 14,15, 18, 29, 31, 33, 4 5; 26187338, 39, 40; 44, 89,
100, 101, 102, 103, 108, 113, 115, 116, 126, 130, 132, 153; 199, 295,
304, 393, 394, 414, 415, 443 » 444: 446, 447, 448, 505, 506, 507, 508,
516,517.

tyn, père). 3,412.

; frère). 412.

jk ce frére).3, 1, ae see

EM pe

536 IL. PERSONNES MENTIONNÉES.

Leibniz (Gottfried Wilhelm von). 9, 185,439.

Loria (Gino). 441.

Macmillan (Librairie). 9.

Marret (Veuve Paul). 9.

Medicis (Leopoldo de). 192,434, 439.

Mercator (Nicolas). 431, 432.

Méré (de). Voyez Broflin (George).

Merfenne (Marin). 186, 188, 197, 198, 199, 200, 201, 217,218, 302.

Meyer (Anton). 24, 25, 26. ex

Moivre (Abraham de). 9,17,20,24,25,97,928,20, 30, 89, 90,154 pa :

Monmort (Henri Louis Habert de). 9,11,16,17,20,23,24,27,29, ” fa 99; 154

Moray (Robert). 12,404, 433, 434; 436, RC 484,485.

Moulert (Symon). 385.

Muré frères (Librairie). 29.

Mylon (Claude). 4,5,6,7,8,9,184, 186, 199,213, 216.

Napier (John). 441.

Newton (Ifaac). 520. RTE 1h

Nijhoff (Martinus). 29. LACS

Oudart (Nicolaas). 450,824. 5 LES. Le

Paciuolo (Luca). 22, 25. SALE.

Pappus. 184,210, 342, 343, 407 , 414, 420, 421, 427. FC

Pafcal (Blaife). 3,4,6,7,8,9,19,20,22,23,95, 26, 30, 58,90,151,183, 184, 186, [9
196, 200, 201 , 202, 203,204, 20$, 220, 271,272, 345, 347» 48, 349: 350, 353:
358, 361, 362, 363, 369, 373, 376,438, 492.

Pell (John). 181,183,184,186,187,188,213, 216, 223.

Perier (Florin). 436, 438 , 492.

Perfijn (Nicolaas Huybertfz. van). 528.

Petit (Pierre). 205. br

Pythagore. 184, 232. Et eA

Quillau (Jacques). 9. Fast} } Rene

Rammazeyn (Librairie). 27.

Reimer (G.). 272. !: A

Richi (Michel-Ange). 350. 2 + FER]

Roanez (Duc de). Voyez Gouffer (Arthus). F8 Ë

Roberval (Gillis Perfonne de). 4,5,6,7,26, 56,197, 199,201,205,210, 413; +

Rouché (Eugène). 272. : =

Sauveur (Jofeph). 4%, 165, 168,555, 556. He: FR

Savreux (Charles). 492.

Scaliger (Jofeph Juftus). 450, 522. RER is

Schooten (Frans van). 4, 5, 6, 8,9,10,27, 50,51, 52,53, 54, 55, 56,57» 73; ‘ei 86.

189, 195,199, 203,206,211, 223, 266, 301, 304,312, 315, 367, 374; 394, 395

IL. PERSONNES MENTIONNÉES. 537

409, 411,413,414,415, 416,417 ,418,419,420, 421,422, 423, 424,427 , 445,
446, 499, 523, 555.

Schuh (F.). 39, 48, 383.

Slufe (René François de). 6, 8, 9, 189, 195, 196, 198, 199, 200, 266, 271,272, 280,281;
294, 295, 296, 297 , 298, 301 , 303, 304, 305, 307, 311,319, 323, 325, 350, 367,442,
443445: 446, 447,448, 501,502, 505, 507,510, 514,516, 517.

Société générale néerlandaife d’affurances fur la vie et de rentes viagéres, 9, 10, 14,15.

Snellius (Willebrordus). 382.

Society (la Royal). 9, 14,438.

Spinoza ( Benediétus de). 29, 30, 88.

Stampioen de Jonge (Jan Janfz.). 412.

Steiner (Jacob). 272.

Struyck (Nicolaas). ®, 17, 20, 23, 30,88, 89,91,154.

Stuart (Mary Harriet). 524.

1 Tacquet (Andreas). 206.

Tannery (Paul). 3,30, 210, 303,316, 317,321,414416,419,421,444, 448, 449.

Tarry (G.). 272.

Tartaglia (Nicolas). 22.

Thurnifiorum Fratres (Librairie). 9.

Todhunter (1.).9, 10,21, 24.

Torricelli (Evangelifta). 201, 441,483, 485 , 487, 490, 491, 494, 496.

_… Uylenbroek (Petrus Joannes). 414, 415:

Verfluys (A.). 232.
7,0 (Jan). 232.
Viack (Adriaan). 27, 435, 478.

_ Vloten (Johannes van). 29.

= Vollgraff(J. A.). 9.

Waefbergen (Janffons van). 473.

Pot: (John). 9,20,184, 185,188, 192, 195, 196, 199, 204, 205, 216,224, 225, 226,227,
228, 304, 307 » 309, 311» 367 » 369; 373» 374» 377 » 378» 379» 380.

Willem IL. 524 |

Witt (Johan de). 14,15,184, 208,289,312, 442 443» 47» 508,516.

Woodfall (H.). 9.

“Worp(J. A.). 412.

Wren (Chriftopher). 203, 350; 363, 367 ; 404, 405.

‘IL OUVRAGES RS

Les chiffres gras défignent les pages où l’on trouve une defcription de louve.
Les _ ordinaires donnent les pages où il eft pen de rose

10, and of the modulus of common logarithms, 1867, 465.
À. Ander ion, Exercitat. Mathermar. Dec Prima , 1619 > 421. ph +0

J. Arbuthnot, Of the laws of ins. 1692. 9,10.
Archimède, De conoïdibus et fphaeroiïdibus, 251, 259, 263.
De iis, quae in humido vehuntur, 18. QE HAE SMF
De planorum aequilibriis five de centris gravitatis planorum, 18.
De fphaera et cylindro, 237, 255, 259, 261, 334,335: 366. à
Opera. Adj: Eutocii Afcalon. Commentaria, Fr sat 251, 255,259:2
266, 335 ; 337 » 366, 502. ; L |

é Opera omnia cum commentariis Eutocii. Ed. J. 4, Hebers 890— “8, 18, 1981: 37

238,251,9255,259, 261, 263, 335, 366, 502.

” Opera omnia iterum edidit J. L. Heiberg, 1910 —1913, 192. E

Fe Traité de la méthode, 192. F8 RAD
F., de Beaune, In Geometriam R. des Cartes notae breves, 426, 428.
J. Bernoulli, Ars conjeétandi, Opus pofthumum , 1713, 9,10,11,12, 16, 27 19, 24, À

31,88, 89, 154.

P. de Billy, Extrait d’une lettre. 1666, 528.

s À problem for finding the Year ofthe Julian Period. 1666, 528.
R. Boyle, Defenfio doétrinae de Elatere et Gravitate Aëris, 1662, 436, 484. :
: Nova Experimenta phyfico-mechanica, 1660, 483

TE

Ni 3

IL, ouvRAGES crrés. 539

! ri. Arithmetica Logarithmica, 1624, AVS ds hsnresn rats:

: 5 _ Edit. fec. per Adr. Viack , 1628, :456, é
“ W. one. He: Hugenii Libellus de Ratiociniis in Ludo Aleae, ag # re
M. Cantor, Vorlefungen über Gefchichte der Mathematik , 1900 , 2r, "ess 187.
R. des Cartes, Difcours de la Méthode, 1637, 29.
ci tive Géométrie, 1637, 55,210, 315,316, 317,411, 413, 414, 416,419, 421, 500.
ne” "rGeometrin. Ed. Fr. à Schooten , 1649, 339, 374, 409, va 412,414, 416,417,
LEE | 423,424,425 , 426, 427, 523.
Me. 1e 0 LA pa Gébinetria: E4. Fr. à Schooten , 1659, 189, 203, 301, 304, 315, 317,339, 374,
10 | 394, 395409, LL ,412,413,414,415,417; 418,419, 420, 421,423, 424,
é _ 425,426 ,427, 445, 446, 523.
» Geometria. Ed. Fr. à Schooten,1683, 315, 339, 374, AU.

nn _ Lettres de Defcartes, éd. Clerfelier , 1667, 303 , 448.
[4 Œuvres. éd. de Charles Adam et Paul Tannery , 1897-1913, 29, 303, 316, 317;

: Phases ae 414, th 444; 449, 500.

sui bi méthode de maris e minis désitiués, 1879, 448.

» Methodus ad disquirendam maximam et minimam , 1679, 449.

‘ag _ Œuvres, publiées par Paul Tannery et Charles Henry , 1891-96 ,8,4,7,22,

+ 23,25,26, 29, 187, 197,198,213,272; 303, 448, 449.

» Varia opera mathematica, 1679, 198, 199.448, 449:

un. Cyklographie, 1882, 272.

B-Pwute pe Be, Solutio duorum probiemares circa numeros cubos et quadratos, 1657,
: ; 185, 188.

CA Gauss, Difquifitiones mathematicae, 1801, 499:

»n Werke, 863,499. HUE

chou, Geometrica demonftratio theorematum Hugenianorum , 1701, 478.

J. Graunt, Natural and political Obfervations made upon the Bills of Mortality, 1665,

“pont UT , À ET fe

1 sr St. Vincentio, Opus Geometricum, Quadratura Circuli et Se&. Coni, 1647, 194,

| Fais db ue 457 303» 432: 434: 452: 453 457-

H. van Houraër, Epiftola de islifihracactôlie à curvarum sfiesraié in reétas, 1659 , 189, 395.
JT. Hudde , Epiftola prima de reduétione aequationum , 1658, 894 , 415.

Et . Epiftola fecunda de Maximis et Minimis, 1659, 304, 505.

Extrait d’une lettre de feu M. Hudde, 1713, 446, 447.

Chr! en, Boeckje (Manufcrit}, è 2.

540 IL: OUVRAGES CITÉS.

F

Chr. Huygens, Contributions aux Commentaires de van Schooten fur la Geometria Renati
Defcartes, 1649, 1659, 411,412,413;,414,415,423. ‘
De Circuli Magnitudine Inventa, 1654, 3, 383. lstatt Med) ses DM :
De combinationum mirandis (Manufcrit), 20. so ste M
De ïis, quae liquido fupernatant ,1908,8, Rd SEE si PATES DT
De ratiociniis in ludo aleae, 1657,3,4,5,6,7,8,;9,10,. 15ÿ19, : 20,28,25, :
27, 28, 29, 50, 51, 92,93:95, 151,156, 157; édition hollandaife ,1660,4, .
5 8, DE, 53, 55, 555 ; latine, 1657, 5, 6, 8, 9,10, 19,50, 54, 57,556;
traduétions anglaifes (voyez Arbuthnot, ci 6 à put 1898, 10.
Dioptrica, 1703, 8,419. 12
Difcours de la caufe de la pefanteur , 1690, 8 439; #1 # sn. .#e)
à Exetafis Cyclometriae, etc. 1651, 3.: rs) è
Fundamentuin regulae noftrae ad Mrenientis toarithnos, Gt, a7- 4e
- Horologium , 1658, 192, 206. DA à Fier
Horologium ofcillatorium, 1673, bete ss I 92 195; +196, 198,206, Re 236

so: 7 S

396, 397; rene 400, 401, 493; pere fut 48,
Iluftrium quorundam problematum conftruétiones, 1654,,3, -.
Lettre touchant le Cycle Harmonique , 1691, 432,440. sd +
Manière pour trouver parle moyen des marrons la dimenfion de T
hyperbolique, 1668, 42 2. dope be rebondit ou
… Opera reliqua, 1728, 478. if ve:
Règle pour trouver les logarithmes 4606. ki pa pers rende
Regula ad inveniendas tangentes curvarum , 1693, SA: M #4 ss16.
Syftema Saturnium , 1659 , 192. mes, idoqntaolie
: Theoremata de quadratura hyperboles, etc. 51,5, 236, 2594277 4820458 Ë

Traité de la Lumière, 1690, 8, 461. se 3 =
. Travaux divers de jeuneffe, 1908, 412. nirétt
D:H. dé Das Geburtsjahr von Johannes ns 1896, 66

ÿ

L'ŒUr (e 0 Re Me

28: 25u éritess: EF at

G. W. Leibniz, Meditationes, Obfervationes & Crifes variae Lenitianse COuun ”
ranum Felleri, 1717), 9. 71 HR 2 à

"a Opera omnia, ed. Dutens. T. VI 1768. 9. - tof .

G. Loria, Le ricercheinedite di Evangelifta Torricelli née curva logarithmica, rat
N. Mercator , Logarithmo-technia, 1668, 431 , 4322 0. un) eds
M. Merfenne, Cogitata Phyfico-Mathematica , 1644, 188... elof 1
à Novarum obfervationum suce, Tom, HI, Lie, URLS
# Traétatus Mechanicus theoret. et praét. 1644, 197,198. PAS
ÿ Univ. Geometria, mixtaque Mathem. Synopfis, 1644, 201. Fe Fe
À. Meyer , Cours de calcul des probabilités, 1874, 24, 25, 26. ss

HE. ouvraGes crrés. 54

A. de Moivre, De Menfura Sortis, 1711, 9,24,27,31,88,89, 91, 154.
éd The Doûtrine of Chances, 118,9 ,17,28,31, 91, 154.
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1. L. Æ. de Monmort, Effay d’analyfe fur les jeux de hazard, prem, édition , 1708, 9, 24. fec.
Léetêtes cle éd.1713,9 , 11, 16, 17, 24,27, 31, 89,91, 154.
15. Newion ; Enumeratio linearum tertii ordinis, 1704 , 5204
à Pappus Alexandrinus, Mathematicae Colle&iones, Ed. F. Commandinus, 1578, 342, 343, 407,
420, 421.
BI. Pafcal, Ad problemata de Cycloide Additamentum ,1658, 200,362
. » + De numeris multiplicibus, 1665, 220.
é Hiftoire de la Roulette, 1658, 850.
» * = Hiftoria Trochoidis five Cycloidis; Gallice la Roulette, 1658, 203, 350, 362, 363.
A Lettre à M. de Carcavy, 1658, 204, 362.
» Lettre à M. Hugguens de Zulichem, 1659, 196.
é Lettres de fes Inventions en Géometrie, 1659, 376.
_» Œuvres complètes, 1872,22 ,23.
Œuvres publiées par L. Brunfchvigg et P, Boutroux ; 1908-1914, 196, 201 , 204,
205,220,272, 350, 362, 363, 492.
* Problemata de Cycloïde, 1658, 200, 347: 348, 349, 353, 356, 3584
ÿ Récit de la grande Expérience de l’Equilibre des liqueurs, 1648. 492,
mur: Récit de l'examen et du jugement des écrits envoyés pour les prix, 1658, 205.
… Traité du triangle arithmétique, 1665, 20, 22, 220,
Ur Traitez de l’Equilibre des Liqueurs, 1663 , 1664, 492.
Æ, Perier, Lettre à Monfieur Pafcal, 436, 438, 492,
_E, Rouché et Ch. de Comberoufje, Traité de géométrie; 1891, 2272.
J. Sauveur, Supputation des avantages du Banquier dans le Jeu de da Baffete, 1679, 16, 1 À
165, 168.
Fr. van Schooten, Commentarii, 1649, 1659, 203, 315, 374, ALU, 413, 415, 423, 424,
nr . 445 ; 446.
..Exercitationes Mathematicae, 1657, 5,6, 8, 9, 27, 80, 52, 54, 56,57,
1 286, 301, 499, 523; édition hollandaife, 1660, 5,6,8,%1,53,54,55,
sb sv sim2296, 575308, 4994
ie à = Fondamenten der Perfpeétive, 1660, 51.
E. Schuk, Sur quelques formules approximatives de la circonférence du cercle et fur la Cyclo-
_métrie de Huygens, 1913, 1914, 383.
R. F. Slufius, Method of drawing tangents to all geometrical curves without any labour of cal-
culation,1673, 442.
. A, :».. Modus quo demonftrat methodum fuam ducendi tangentes ad quaflibet curvas
a - abfque calculo, 1673, 448.
W. Snellius, Cyclometricus. De circuli dimenfione , 1621. 382.
B. Spinoze , Opera quotquot reperta funt, 1883, 29.

Rd Ed

542 IT. OUVRAGES CITÉS.

B. Spinoza , Reeckening van kanflen , 1687, 29, 88. Lei A Hu ts
Stelkonftige reeckening van den regenbuog, 1687. 29° |
’ Réimpreflion de ces deux traités par Bierens de Haan,1884,29.
JT. Steiner , Einige geometrische Betrachtungen, 1826,282. il 1e
JT. Steiner , Gefammelte Werke, 1881, 222.
N. Struyck, Uytreekening der kanfen in het fpeelen, 1716, té 17 154; mor ge eq
1912,9.
N. Struyck, Œuvres, trad. par J. A. Vollgraff, 1912, 9, 17,88, 89, 154
I. Todhunter, Hiftory ofthe theory of probability, 1865, 9, 10,27,04
P. J. Uylenbroek, Chrift. Hugenii Exercitationes REIN et Phiofophicse, 1833,
414, 460.
J, Verfluys, Zes-en-negentig bewijzen voor het theorema van Mets io, st, 232.
À. Vlack, Arithmetica logarithmica, Edit. fec. 1628. Voyez Briges FC pre "
. Trigonometria Artificialis, 1633, 2%.
5 Wallis, Arithmetica Infinitorum , 1656, 205.
à Commercium epiftolicum , 1658, 185, 188, AR Gest ptits ‘379.
ÿ De Algebra Traëtatus cum variis pétasse sos 20, 185 pe : 225,226,

227,228 , 379.

»”

Difcourfe of combinations, alternations and aiquotpars,1685, 20. +00

Mechanica, five de Motu, Pars fecunda, 1670, 377.

Opera Mathematica. Volumen primum, 1695, 492, 205, 367, 377, 3783795408

5 Traëtatus duo, 1659, 192, 204 ; 205 ; 367 » 377 » 378; 379» 380, 405: fi ee

J. de Witt, Elementa Curvarum linearum, 1659, 329. 0 6 0
; Waerdije van Lijfrenten naar proportie van Los-renten 676 ; 59 % à, |

J. À. Worp, De jeugd van Chriftiaan Huygens sit een “Handféhrift van ziÿn el
“ O8, ju: 2 cases PATES a PS ie |
Archives Néerlandailes,1913, 1914, 383. fe, aies OS , Wash sé MANDOR E
Bibliotheca Mathematica, 1900, 447. F4 | Lite
Bullettino di bibliografa e di ftoria delle fcienze itétemetichié à fRetié) 1879, 440. “+ SONT

Comptes rendus hebdomadaires des féances de l’Académie des Sciences, 1868, 431,452. à
Divers ouvrages de Mathématique et de st cu par nur That 7 pie pinis peurs: des
Sciences, 1693, 205, 447,516.
Encyklopädie der mathematifchen Wiffenfchaften mit Einfchluss ibrer Arena, 1900
—1904, T. 1,188, 214. F4
Journal des Sçavans, 1666, 523; 1668, 434, a7741670, 1,16, 17; és Re
Journal literaire, 1713, 446. DL TE 4
Mededeelingen van de Direétie van de Algemeene Mrafehapi van » Levenfrergstring en Lif- ,
rente, 1895, 16, 15; 1896, 1897, 15.
Mémoires pour fervir à l’hiftoire des affurances fur la vie et des rentes vigèreraux pipohaitt
1898, 2, 15. : | 0, ei GARE

IL. OUVRAGES CITÉS. 543

nr DANE voor Lo gefchiedenis der Nederl. Kunft, FEES Nijver-
\Pranfhétions, 1006 ,%03 1673: 442,443;171, 9.

ceedings of the Royal Society of London ,1887, 465.

if re des procès-verbaux de l’Académie des Sciences, 1666, 481.

itfchril ace und dhèrs n: 10. J

Apart 5: NE TTL TON ATÎT EN |
Anar { LE Fred sl MS PAM ie. LE
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ANNE Mi Hope

1%. MATIÈRES TRAITÉES.

Dans cette Table les matières fcientifiques traitées dans ce Métèaié bé ont été groupée
fous divers articles généraux, favoir :

Algèbre. frères Huygens. . Philofophie.

Arithmétique. Géographie. | … Philologie.
Aftronomie. Géométrie. Phyfique.
Chronologie. Mécanique. __ Poidset mefures.
Chronométrie. Mufque,. 25% 553 Probabilités.
Cours des études des Œuvres. Dh Spas

F æe

Fous Fonnaîye, tous ler oi où aies fujet eft craité on cherchers dans la in a ti

devra y conduire, la nomenclature pre dans l’ordre siphhétions à Table.
Les chiffres indiquent les pages.
On a marqué d’un aftérifque les endroits qui ont été jugés les plus importants. :
L'article Œuvres fe rapporte aux écrits de Huygens, foit publiés ici ou ailleurs, foit *
ment ébauchés.

AcousTiQUE. Théorie des fons harmoniques. 17; à Cali ns Lettre x M. Hu
_ l’Auteur touchant le Cycle Harmonique). ; À hs
ALGÈBRE. 9, 54*—57%*; (voir Analyfe combinatoire, Anabfe nés dé, sé pi legt
Équations algébriques, Équations diophantines, Inégalités algébriques, Interpolation
rithmes, Maxima et minima, Nombres, Principes et applications du calcul Ferme ê
gral, Suites, Triangle arithmétique de Pafcal).
ANALYSE COMBINATOIRE. 19%, 20%, 23%, 25; (voir Œuvres: De combinationum mirandis).
ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ. Trouver un nombre qui, qe par trois nomb
donnés, laiffe des reftes donnés. 450, 521X—523%,
APPLICATION DE LA THÉORIE DU CENTRE DE GRAVITÉ AUX QUADRATURES aerROCHÉES
perbole. 432*%— 435%, 453*—4506%, 474,475; Du cercle. 183, 381%, 382%,

IV, MATIÈRES TRAITÉES. 545

ARCGENCIEL.29

_ ARCS CYCLOÏDAUX DU PENDULE, 205%, 206%,

_ ARITHMÉTIQUE. 50—55; (voir Nombres, Problème d'Everfdyck, Suites, Triangle arithmétique

ue de Pafcal). Algorithmes appliqués par Huygens: de la divifion. 152, de la multiplication.

475, de l’extraélion de la racine carrée. 216%,217. Vérification du réfultat d’une multipli-

cation. 224,209.
ni sréreit none: Chronométrie, Cycle Julien).

RRpaint roi: Poids fpécifiques. De l'air). Denfité de l’atmofphère à différentes altitudes.

- F, 484k—489*, 491, 492*—496%. Hauteur fitive de l’atmofphère fuppofée

ns homogène. 437,438 ,483*,484—489, 491 , 494, 495*—497%,

: BAROMÈTRE. 493 , 494 ; (voir Poids fpécifiques. Du mercure). Expériences de Cafini fur une

+ montagne près de Toulon. 439, 495*, 496*, de Perier fur le Puy de Dôme, 436% ,438*,
439%, 492*—494*. Hauteur de la colonne barométrique au niveau de la mer. 438,483*#,

_ 484. 491, 492 ,495—497 , à diverfes altitudes (voir née Rd

CUL DES RENTES VIAGÈRES. 9, 13X— 15%.

CENT RE DE GRAVITÉ. 18, 183; (voir Application de la théorie du centre de gravité aux quadra-

7 dures approchées, Œuvres: Theoremata de quadratura hyperboles, ellipfis et circuli ex dato
portionum gravitatis centro, Perles de de Slufe, Théorème de Guldin, Théorème [ur la

_ fituation des centres de gravité des folides de révolution engendrés par une même figure autour de
deux axes perpendieulaires l’un à l'autre). Arc cycloïdal. 203%, 363, 368*—373%, 381,382;

… Cifloïde. 200; Logarithmique. 441, 467*—470%; Paraboles de divers degrés. 197*, 198%,
, 273 276, 281%, 282%; Segment de parabole. 432, 454; Segment et demi-fegment

| oïdal. 200%—202%*, 204, 353*—357*, 376%—378*, 406*; Segment de finufoïde.
353% 355%, 3573 Solides de révolution engendrés par la logarithmique. 442, 471*X—473*,

par les paraboles de divers degrés. 197%, 198%, 273, 282%; Solides de révolution entiers ou

els engendrés par un fegment cycloïdal. 201%, 353, 358*— 361%, par un fegment
rcle. 358%, 361*, par un fegment de finufoïde. 358*—361*; Surfaces cylindriques.
— 357%, Surfaces de révolution entiers ou partiels engendrés par un arc cycloïdal.

INSTANTANÉ DE ROTATION. 374+
E Grole Centre de gravité, Décrire un cercle qui coupe trois cercles donnés fous des angles
| ; Quadrature de furfaces planes, Reëification approchée d'un arc de cercle ou de la cir-

u à (voir Influence de la température fur la denfiré de air).
GIE (voir Cycle Julien).
ue (voir Arcs cycloïdaux du pendule, Ifochronifme de la cycloïde , Œuvres : Horo-
IE , Horologium ofcillatorium).

fi TIQUE (voir Centre inflantané de rotation).

O DE 183, 199, 200; (voir Centre de gravité, Cubature de folides de révolution, Quadra-
ture de furfaces planes, Quadrature et cubature d'efpaces qui s'étendent à l'infini).

Concuoioe. 183, 1993 (voir Conchoïde de de Slufe, Cubature de folides de cnpae- Cubature
9

546 IV. MATIÈRES TRAITÉES.

de folides engendrés par la révolution d'une courbe autour de son asymptote, Œuvres: Contribu-

tions aux Commentaires de van Schooten fur la Geometria Renati Descartes, Quadrature md

fur faces planes, Quadrature et cubature d'efpaces qui s'étendent à l'infini).

_ CONCHOÏDE DE DE SLUSE. 514%; (voir Points d’inflexion, denis

CÔNE (voir Széréométrie).

ConiQues. 50, 51; (voir Cercle, Courbes adjointes aux courbes méridiennes des ifiest de r'évo-
lution du fecond degré, Développées, Parabole, Hyper bole). Détermination de la fous-normale.
314, 315%, 317%, 339%, 340%, 387, 3913 Détermination du ,,latus tranfverfum” et du ,latus
reétum” d’une conique donnée par une équation quelconque du deuxième byRE 413»
423*—427*.

CoNoOÏDE HYPERBOLIQUE (— fegment d’hyperboloïde de révolution à deux mobi Croïk
Courbes adjointes aux courbes méridiennes des fur faces de révolution du die 7. mena à
de folides de révolution, pren de fur faces de Spsenens :

lution).
CONSTITUTION DE LA MATIÈRE. Explication de l’élafticité de l’air. pe” +
CONSTRUCTION DE HUYGENS DE L’HEPTAGONE RÉGULIER: 448, 449, 498*— 500%, ::
CoURBE DE GUTSCHOVEN. 501%, 504, 5053 (voir Cubature de folides de révolution, Qua

de furfaces étase rate et ae sis qui s'étendent à l'infini, me

fchoven, Courbes diverfes, Courbes parallèles ou équidiflantes, sense Cycloïde, éve
pantes, Développées, Épicycloïde, Folium de Defcartes, ren de divers rires Logai

mortalité, Sinufoïde).
COUREES ADJOINTES AUX COURBES MÉRIDIENNES DES SURFACES DE xévisiriiiéthe SECOND D “>
190%, 192, 193; 194 336%. Conoïde hyperbolique 190, 193, agmitste Linie 32 hs

341, SAUT 346%. Le
CoURBES DIVERSES. 183, 300, (24—x° )3 y°—4° = 0. Costes: 397. éootatilé À
COURBES PARALLÈLES OU ÉQUIDISTANTES. Théorie générale. 184, 207%, 398%, pans
Cours DES ÉTUDES DES FRÈRES HUYGENS. 3, 10, 54%*, 55%, 411, 412%, ses OUT
CUBATURE DE SOLIDES DE RÉVOLUTION. 183 (voir Cubature de folides engendrés par la

tion d’une courbe autour de fon afymptote, Perles de de Slufe, Quadrature et cubature

qui s'étendent à l'infini, Stéréométrie, Théorème de Guldin). Ciffoïde 200%; Conchoïde.

— 308%; Cycloïde ou fegment cycloïdal. 200%—202%, 205%, 253, 356%, 357%, 377%, 3

406%#, 407; Hyperbole (Conoïde hyperbolique). 190%, 236, 263%, 264*,265; Logarithr )

441%, 471%; Paraboles de divers degrés. 197*, 198%, 199, 273, 276, a

soi ti 356%, 357*. FI 4

IV. MATIÈRES TRAITÉES.

547

CUBATURE DE SOLIDES ENGENDRÉS PAR LA RÉVOLUTION D'UNE COURBE AUTOUR DE SON ASYM-

-PTOTE. Conchoïde. 306*—308*; Hyperbole. 307; Logarithmique. 467#, 468.

Cugiques (voir Géométrie cartéfienne, Parabole cubique).

CYCLE JULIEN 450, 522%, 523%,

CycLoïpE. 183 , 200* , 205, 347%, 359; (voir Arcs cycloïdaux du pendule | Centre de gravité,
Cubature de solides de révolution, Développées, Problèmes et écrits de Pafcal fur la cycloïde,
Quadrature de surfaces de révolution, Quadrature de sur faces planes, Re@ification, Tangentes).

_ DÉCRIRE UN CERCLE QUI COUPE TROIS CERCLES DONNÉS SOUS DES ANGLES DONNÉS. 1 84,271%#,272#,

DERNIER PROBLÈME DE PROBABILITÉS PROPOSÉ PAR HUYGENS À HuDDE. 10#, 38#—48*,

132X—144%.

DéveLoPpantes (voir Courbes parallèles ou équidiffantes, Développées).

DéveLorPées (voir Ares cycloïdaux du pendule). Coniques. 206%, 387*—396%; Cycloïde. 206*,

| 207, 347, 373, 404%, 405*; Épicycloïde. 406; Hyperboles de divers degrés. 206#, 207%; Para-
“boles de divers degrés. 206%, 207*, Théorie générale. 183, 184, 205#*—207*, 387*,

+ 397*%—405*.

. DivisiON D'UN SEGMENT EN MOYENNE ET EXTRÊME RAISON. 332—334.

_ DiscussSIONS SUR LA QUESTION SI CERTAINS PROBLÈMES DOIVENT ÊTRE CONSIDÉRÉS COMME PLANS

_ OUCOMME SOLIDES. 420*X—422%*,

Durricarion pu cuBE (voir Logarithmique. Interpolation à l’aide de la logarithmique d’un

_ nombre quelconque de fegments continüment proportionnels).

. DYNAMIQUE (voir //ockronifme de la cycloïde).
ELvpse (voir Coniques).

ÉricycLoïne (voir Développées). Propriétés. 407, 408.

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (voir Équations cubiques, Polygones réguliers, Réfolution par conffruêtion

des équations algébriques). Méthode de Hudde pour la recherche des faéteurs rationnels.

393, 394%

… Équarions CUBIQUES. Déduétion des règles de Cardan. 414%, 415%.

… ÉquaTIOoN DE PELL (voir Équations diophantines: ax° +1 =).

Les ÉQUATIONS DIOPHANTINES 56, 57; (voir Analyfe indéterminée du premier degré). a + x° —7Y".

| 212#,213%5 0x Li". 183, 184, 186%—188%, 213%— 217%, 223*— 228%; 2x°—1 —7".

no 187,214; ax? + k=%.187,214,215, 217.

_ ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. 155%.

_ ExPÉRIENCES DE HUYGENS POUR DÉTERMINER LE POIDS SPÉCIFIQUE DE L'AIR. 483%.

Forum DE DESCARTES. 183, 301, 446, 506—508, 520; (voir Tangentes). Largeur maximum de

| Jaboucle. 301*, 302%, 506, 507.

FONCTIONS GÉNÉRATRICES. 24, 25.

GÉOGRAPHIE. 9.

GÉOMÉTRIE. 50—55, 185%; (voir Centre de gravité. Cinématique, Courbes, Cubature de folides
de révolution, Développantes, Développées, Difcuffions fur la question fi certains problèmes
doivent étre confidérés comme plans ou comme folides, Duplication du cube, Géométrie car-

+ téfienne, Lieux géométriques, Maxima et css Méthode de démonfiration des anciens, Nor-

548 IV. MATIÈRES TRAITÉES.

ta.

males, Perfpeîtive, Planimétrie, Points d’inflection, Polygones circonfcrits ou infcrirs à une courbe
donnée, Polygones réguliers, Principes et applications du calcul différentiel et intégral, Qua-
drature de furfaces courbes, Quadrature de [urfaces planes, Quantités commenfurables,
Retification, Rédu®ion de divers problèmes à la quadrature du cercle ou de l'hyperbole,
Réfolution par constru®ion des équations algébrique:, Reffauration des lieux plans pérennes
Széréométrie, Surfaces courbes, Tangentes). ;

GÉOMÉTRIE CARTÉSIENNE. 54, 55» 184, 413,414%, 449; (voir RE Œuvres: Contributions
aux Commentaires de van Schooten fur la Geometria Renati Defcartes). Difcuflion de
l'équation générale du troifième degré. 449%, 519, 520; Équation de la ligne droite. 184,230,
du cercle. 184, 231; Formules pour pafler d’un fyftème de coordonnées cartéfiennes à un
autre. 519, 520. Problème de Pappus. 210,211, vers FEAT

HYDROSTATIQUE. 8, 18. ai à

HyrERBOLE (voir Coniques, Cubature de folides de révolution, Cubature de folides sell AE
la révolution d'une courbe autour de fon afymptote, Polygonescirconfcrits ou infcrits àunecourbe
donnée, Quadrature de fur faces planes). Conftruë&ion des afymptotes.210, 2113 Propriétésdes
fegments fucceflifs déterminés par les points d’interfeétion d’un fyftème de droites parallèles à
l'axe. 191, 247, 248; Propriétés diverfes. 308, 309, 453, 456, 457; Théorème fur l'égalité
desaires de deux fegments d’une même hyperbole. 194%, 327, 3303 Tirer par un point donn:
de l’hyperbole une corde qui détermine un fegment dont Er che nt
donné, 194%, 325%, 327%, 330%. SRE

HYPERBOLES DE DIVERS DEGRÉS. 183, 191, 198%, 199, 278, abs (voir sonia Quand. |
ture de furfaces planes, Quadrature et cubature de fur faces qui s'étendent à l'infini).

INpivisigLes. Méthode des indivifibles. 191%, 201, 337%. mes

INÉGALITÉS ALGÉBRIQUES. 273, 274, 283.

INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE SUR LA DENSITÉ DE L'AIR. 436, 493.

INTÉGRALES DÉFINIES. 24—26.

INTERPOLATION. 12, 133 (voir Duplication du cube).

ISOCHRONISME DE LA CYCLOÏDE. 206%,

JEUX DE HASARD. 3, 4, 10, 169; (voir Règles et probabilités de*divers jeux A par 2

LENTILLES APLANATIQUES À SURFACES SPHÉRIQUES. 419%. (ÈEER SE ess

LIEUX GÉOMÉTRIQUES (voir Œuvres: Contributions aux Commentaires van hSchobten ie
Geometria Renati Defcartes). A

LOGARITHMES. 16, 26, 27*, 156, 159—162, 193, 555%; (voir stoibiique Érnétititl
l'hyperbole par les logarithmes). Application au cycle harmonique (voir Acouflique ); Caleul
de log e. 441%, 464%, 465%; Calcul de log log e. 435%, 477%; Calcul des logarithmes.
431*X—434%,451*—459%; Série logarithmique de Merémor-p#t yen lei on
mes. 434%, 435%, 441*,455,456,450,465,478% CROSS

LOGARITHMIQUE. 439%—440%, 450*— 473%; (voir Centre de gravité: Logos Solides
de révolution engendrés par la logarithmique, Cwbature de folides de révolution, Cubature de
folides engendrés par la révolution d'une courbe autour de fon afymptote, Quadrature de furfa
planes, Quadrature et cubature d’efpaces qui s'étendent à l'infini). Conftruë&ion par pc

FV. MATIÈRES TRAITÉES. 549

440%, 441%, 461*#; Définition. 441%; Invariabilité de la longueur de la fous-tangente. 441#,
463*, 464%; Interpolation à l’aide de la logarithmique d’un nombre quelconque de fegments
continüment proportionnels. 441 ; 464%,

Loi pe BoyLE. 430%, 437%, 484, 485, 491. Déviations de la loi de Boyle. 436%, 485%, 493.
Maxima ET MINIMA (Voir Folium de Defcartes, Méthode de Fermat pour les maxima et minima,
" Œuvres: Contributionsaux Commentaires de van Schooten fur la Geometria Renati Defcartes,
Règle-de Hudde pour trouver la valeur maximum ou minimum d'une fraëtion algébrique).
MÉCANIQUE. 18; (voir Cinématique, Dynamique, Hydroflatique, Statique).

- MÉTHODE DE DÉMONSTRATION DES ANCIENS. 18%, 54, 55, 189, 190%—192*#, 198, 201, 209,
- 237, 290, 311, 330*%-— 338%, 366, 466%. Poftulats d’Archimède fur les longueurs des lignes
qui ont les mêmes points terminaux et fur les furfaces qui fe terminent à un même contour.

1 91%, 237%, 238%, 255%, 262.

Méruope DE DESCARTES POUR LES NORMALES ET LES TANGENTES. 443%, 444%.

MÉTHODE DE FERMAT POUR LES MAXIMA ET MINIMA. 299, 301, 302, 303, 418,448.

à Mérnone DE FERMAT POUR LES TANGENTES. 207%, 298, 299%, 418, 442%, 443%, 447%, 448#.
MérnoDE DE HUYGENS POUR LA RÉSOLUTION DES PROBLÈMES DU CALCUL DES PROBABILITÉS.
#ap#, 20%

MÉTHODES DIVERSES DE HÜYGENS POUR LES TANGENTES DÉS COURBES ALGÉBRIQUES. 442%—446%*,

Mso4#+— 517%; (voir Œuvres: Regula ad inveniendas tangentes linearum curvarum ).

Musique (voir Acouflique).

NomBres (voir Équations diophantines, Nombres amicaux, Nombres incommenfurables, Nombre

parfaits, Nombres triangulaires, Triangle arithmétique de Pafcal). Caraëtères de divifibilité

. et détermination du réfidu. 186*, 219%—222%, 224; Caraëtères des nombres carrés. 186*,

#y87, 217,218, 220—223, 229, des nombres cubiques. 218, 229, des nombres cubocubiques.

+ 2295 Propriétés des nombres premiers. 213; Réduétion à un fyftème non décimal. 218%,

« 230—2292; Théorie des nombres. 56%, 57*, pitié 186%.

NomsRes AMICAUX. 186%, 187.

NOMBRES INCOMMENSURABLES. 126%.

NOMBRES PARFAITS. 187.

Pen Es TRIANGULAIRES. 21, 140, 141, 144%, 145%, 146, 147. SOmmation de la fuite infinie

* des valeurs réciproques des nombres triangulaires. 20%, 21%, 140, 141, 145*—150%*.
nest (voir Coniques, Méthode de Defcartes pour les normales et les tangentes, Œuvres: Con-

__ tributions aux Commentaires de van Schooten fur la Geometria Renati Defcartes).

Œuvres. 434%, 439%. Travaux divers de Jeunefle. 412%.

De is que liquido fupernatant. 8, 18.
Exétafis Cyclometriæ CI. Viri Gregorii à S. Vincentios 3.
Theoremata de Quadratura hyperboles, elliplis, et circuli ex dato porfionum gravitätis cenro.

3: 236%, 253%, 277, 432%, 453%, 454%. |

+ Dé Cireuli Magnitudine Inventa. 3, 383.

Tifirium quorundam problematum conftrutiones. 3.

. Horologium. 192, 206.

550 IV. MATIÈRES TRAITÉES.

Syflema Saturnium. 192. ia | : dvehshras cmebfietté Gif Née nes
Dioptrica. 8, 419%. ; ET
Contributions aux Commentaires de van Schooten pret la Cispottiih Renañi os -
; ET 7*, Cas particulier où la recherche d’un lieu géométrique amène un théorème. 411%, 412%
416%, 417%. Conftruétion de la normale à la conchoïde.. 417, 418. Méthodes pour trouver
les maxima et minima et les tangentes. 418%. Cas particulier des ovales de Defcartes où ils
deviennent des cercles. 419%. Forme de l’ovale de Defcartes dans le troifième.des cas qu'il
diftingue. 420*—422*+. Déduétion des règles de Cardan pour la réfolution de etre ne
414%, 415%, PUTA
De ratiociniis in ludo aleæ. Édition latine. este 6*, Ro tt 19, see patte er: 575 Étui Tra-
duétions anglaifes. 9%, française 10*, Édition hollandaise, 3*—10%, 19%, 51%, 53*—01*,
555%. Préface de van Schooten. 54%, 55%. Préface de Huygens. 8*,54%—59%*, Introduétion et
Prop. I—III. 60*—67%*; (voir Pointde départ et théorème fondamental de Huygensconcernantie
calcul des probabilités). Prop. IV—IX: 66*—77*#; (voir Problème des partis). Prop. X=XIV.
76%—87%; (voir Problèmes des dés). Exercices 88*— 91*#; (voir -fur.ces Exercices en général.
54,7%, 8,15, 29%k—: 1%, 58%, 59%, 88%, 8o*k et en particulier fur l’Exercice L. 29#—31%,
88%, 89%; IL. 10, 11%, 29%, 31%; 88%, 80%, sons IL, 31%, rs tue 10, porn |

Travaux mathématiques Pépin
tenu les p. 529—53 Dr

la p.532). eh 6 Bret : 2 %
Règle pour trouver les logarithmes. 43 se 452%, dus “uséh a

- Manière pour trouver par le moyen des logarithmes la hioé de Papas hperhlique.«rr* |

De combinationum mir andis hote pue Dry » 3 «NT 43088 7

Horologium ofcillatorium. 184%, 189, 192*#, 195%, are 1 ré 206%, dot pe 267%, 268%

273%, 317%, 519%, 322%, 325%, 320%, za, 337%, 347 7 387*, ones

403%, 404%, 439, 477%, 480%, 482%, AA HE OT ESA
Traité de la lumière. 8 ; 461. Strass RON
Difcours de la caufe de la pefanteur. 8, 439%, 441%, ié Fur re sua DE

Lettre de Mr. Huygens à l'auteur touchant le Cycle. priés sd PéRegie runs Ledh
Regula ad invenierdas tpagentes curvarum, 288%, 289%, 418%,.442*,. 443$» At
— 448%, 516%. à a qeu so retébenme!) Pur draft”

OPTIQUE (voir sr Ole Eenhiiles Dis à pr ivhériues, Greg Dioptrica,
Traité de la lumière, Ovales de Defcartes). fs Acnbifahat fandtasti:
OvALES DE DESCARTES (voir Œuvres: Contributions aux Commentaire de van Schooten sur

Geometria Renati Defcartes). té, nÜE-d8 7 sie seit

PaRABOLE (voir Centre de gravité, PA d cir where sr année ris

drature de furfaces de révolution, Quadrature de furfaces planes , Reifcation, Tangentes
Cas où trois points d’interfection d’une parabole et d’un D mat ropriétés
des diamètres de la parabole. 312, 313. bre ;rot sertaphatalée

IV. MATIÈRES TRAITÉES. 551

PARABOLE CUBIQUE. 395, 520%; (voir Reétification).
PARABOLE VIRTUELLE DE GREGORIUS A ST. VINCENTIO, 302%; (voir Quadrature de [urfaces
PARABOLES DE DIVERS DEGRÉS. 183, 191, 197%, 198%, 273%, 281%, 275, 276, 285, 520; (voir
Centre de gravité, Cubature de folides de révolution, Développées, Parabole cubique, Polygones
_circonfcrits ou infcrits à une courbe donnée, Quadrature de fur faces planes).
Parr DU DIABLE DANS LES JEUX OÙ LES COUPS PEUVENT SE RÉPÉTER INDÉFINIMENT SANS ÉPUISER
L'ENJEU. 47%, 48%,
PERLES DE DE SLUSE (courbes comprifes dans l'équation (4 — VV Y =D +: 1 xt) 199%;
| 433 —yt— 4x. Quadrature. 303*— 305%; 4y3 —3* = xt. Cubature du folide de révo-
- lution. 304%, 305%; 4py —— x? (4x). Centre de gravité. 294, 297%, Cubature du folide
de révolution. 297: Point d’inflexion. 299%, Quadrature 294*—296%, 300%, Tangente. 199,
295, 297*—299%, 305).
PERSPECTIVE. 53.

__ PuisoLociE. Indications de Huygens pour fervir à l’occafion de la traduétion latine de fon

ouvrage fur le calcul des probabilités. 5%, 6*, 56, 57.
PuiLosopmiE (voir Conflitution de la matière, Philofophie Cartéfienne).
PHILOSOPHIE CARTÉSIENNE. 29%,
| PuysiQue. 18%; (voir Acouflique, Atmofphère, Baromètre, Chaleur, Conflitution de la matière,
Loi de Boyle, Optique, Poids fpécifiques.
PLANIMÉTRIE (voir Problèmes de planimétrie). Démonftration de Huygens du théorème de
Pythagore. 184, 232%, 233%; Théorèmes de planimétrie. 184, 240, 241, 363, 364, 369, 374,
375; 379, 380. è
EE Poips ET MESURES, Comparaifon des mefures anglaifes et françaifes. 438, 492%.
| 7 Poips sPéciriQues. De l'air. 438, 483, 494, 406, 497 3; (voir Expériences de Huygens pour déter-
-miner le poids fpécifique de l'air, Influence de la température fur la denfité de l'air); Du mer-
+ cure. 438, 483%, 491, 494, 496.
POINT DE DÉPART ET THÉORÈME FONDAMENTAL DE HUYGENS CONCERNANT LE CALCUL DES
PROBABILITÉS. 7*, 11, 18%, 19%, 58*— 67%, 92.

Poinrrs D'INFLEX1ON (voir Perles de de Slufe). Conctoïde de de Slufe. 515.

POLYGONES CIRCONSCRITS OU INSCRITS À UNE COURBE DONNÉE. 337%, 338%, 400%, 401%, 403.
- Hyperbole. 245—248,250—2592,9257,258, 260, 261—263; Parabole237—245,250—2502,
254, 255, 260—262, 338; Paraboles de divers degrés. 276—278, 286, 287.

_ Porvcones RÉGULIERS. (voir Confru@ion de Huygens del heptagone régulier). Détermination des
équations dont dépend la conftruétion des polygones réguliers. 499%.

‘: _ PRINCIPES ET APPLICATIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL. 204*, 205%, 377%, 378%,

… 442%; (voir Développantes, Développées, Équations fonétionnelles, Fon®@'ions génératrices, Indi-
… wifibles, Intégrales définies, Méthode de Defcartes pour les normales et les tangentes, Méthode de

+ Fermatpour les maxima et minima, Méthode de Fermat pour les tangentes, Méthodes diverfes
. de Huygens pour les tangentes des courbes algébriques, Œuvres: Regula ad inveniendastangentes
.… curvarum, Problèmes et écrits de Pafcal fur la cycloïde, Règle de Hudde pour trouver la valeur

552 IV. MATIÈRES TRAITÉES.

maximum ou minimum d'une fra@ion algébrique, Règle générale de Hidlsei pour les ne
des courbes algébriques ). TT
PROBABILITÉS (voir Calcul des rentes viagères, Jeux de hafard, Œuvres : De ratiociniis in ludo

ù aleac, Méthode de Huygens pour la réfolution des problèmes du calcul des probabilités, Part du
diable dans les jeux où les coups peuvent fe répéter indéfiniment [ans épuifer l'enjeu , Point de
départ et theorème fondamental de Huygens concernant le calcul des probabilités, Problèmes
divers du calcul des probabilités, Vie moyenne et probabilités de vie). Origine et cr
du caleul des probabilités. 3*, 4%, 19, 20%, 22,925, 30%, 58%, SO%.

PROBLÈME DES PARTIS. 4%, 5%, 7%,8%,19,21*—26%, 28%, 29%, 60%, 61*, 66k—77%*, er

PROBLÈME D'EVERSDYCK. 184, 384—386.

PROBLÈMES CONCERNANT LA QUADRATURE DE LA SURFACE DU CONOÏDE PAR ABOLIQUE, 267—270.

_ PROBLÈMES DE PLANIMÉTRIE. 184, 208, 209; (voir Décrire un cercle qui coupe #rois cercles donnés
fous des angles donnés, Divifion d’un fegment en moyenne et extrême raifon).

PROBLÈMES DES DÉs. 4*, 19, 26%, 76, 77. En combien de fois peut on accepter de jetersfixavec
n dés. Cas particuliers. 16, 26k—28%, 78k—83%, 156%—163%; Problèmes où il s’agit de deux
joueurs dont l’un doit jeter 7 et l’autre 6 pointsavec deux dés. 4,6%, 19%, 84*— 87%; Trouver
le nombre de dés avec lefquels on peut accepter dej eter 2 fix du premier coup. 28*%,82%—85%.

PROBLÈMES DIVERS DU CALCUL DES PROBABILITÉS. 3%, 6k—8%, 19, 56—59; (voir Œuvres: De
fatiociniis in ludo aleae, Problème des partis, Problèmes des mis Problèmes angers. ; à
partis, Problèmes [ur l'avantage ou défavantage de la primauté). 0 \ :

PROBLÈMES ET ÉCRITS DE PASCAL SUR LA CYCLOÏDE. 183, 200*—205%*, MTS 353%,
358*, 376%.

PROBLÈMES SUR LA DURÉE DES PARTIES. O1*%.

PROBLÈMES SUR L’AVANTAGE OU DÉSAVANTAGE DE LA PRIMAUTÉ, 11%, 31%; (voir Dernier pro-
blème de probabilités propofé par Huygens à Hudde). Cas où le jeu eft gagné par celui qui réuffit
le premier à faire un coup déterminé. 6%, 10, 31*— 38%, 102*—132%; (voir Œuvres: De
ratiociniis in ludo aleae. Exercice IL.); Cas où l’on doit gagner deux parties coufécativesphur
gagner le jeu. 17%, 18%, 169*—179%,

QUADRATRICE DE DINOSTRATE. 183, 407. er A

QUADRATURE DE L’'HYPERBOLE PAR LES LOGARITHMES. 432*—437%*, 452%, 457, PE PE
486, 495 , 496. | D

QUADRATURE DE SURFACES COURBES (voir Quadrature de [ur faces chatons Quadrature de
Jurfaces de révolution).

QUADRATURE DE SURFACES CYLINDRIQUES. 348%—350%, 377.

QUADRATURE DE SURFACES DE RÉVOLUTION. 190%, 314%, 315, 317, 320. Conoïde ist:
(voir Relation entre les quadratures des fur faces du fphéroïde aplati et du conoïde hyper bolique).
183, 188, 190%, 192, 193*, 195, 196%, 315%, 316%, 335*, 336%; Conoïde parabolique
(voir Problèmes concernant la quadrature de la furface du conoïde parabolique). 183,
188*— 190%, 191, 192, 195, 196%, 200%, 236%, 254, 259%—268*, 314#—315*, 334%;
Sphère. 334; Sphéroïde allongé. 183, 188, 190*, 192, 195, 196%, 320%—324%*, 335, 390%;
Sphéroïde aplati (voir Relation entre les quadratures des furfaces du fphéroïde aplati et du

IV. MATIÈRES TRAITÉES. 553

conoïde hyperbolique). 183, 188, 190%, 192, 193%, 195, 196%, 317#—319%, 335%, 330%;
Surfaces engendrées par la révolution de la cycloïde. 203%, 373%, 374, d’une parabole autour
de fon appliquée. 196*, 197*; Tronc de cône. 259, 261.

QUADRATURE DE SURFACES PLANES (voir Courbes diverfes, Perles de de Slufe, Quadrature et
cubature d'efpaces qui s'étendent à l'infini). Cercle (voir Réduëtion de divers problèmes à la
quadrature du cercle ou de l’hyperbole); Ciffoïde. 200, 309#—312%*, 368, 502; Conchoïde.
306%, 308%, 309%; Courbe de Gurfchoven. 449, 501*—503*; Cycloïde 200%X—202*, 348*—
—352*, 363*, 406, 407; Hyperbole (voir Application de la théorie du centre de gravité
à la quadrature approchée de l'hyperbole, Quadrature de l'hyperbole par les logarithmes,
Réduëtion de divers problèmes à la quadrature du cercle ou de l'hyperbole, Rédu@ion de la
reification de la parabole à la quadrature de l'hyperbole et réciproquement). Hyperboles
de divers degrés. 198%, 199%, 270, 287*%—203%, 336*; Logarithmique. 441%, 462*—
—469*#, 471%; Parabole. 273; Parabole virtuelle de Gregorius a St. Vincentio. 303; Para-
boles de divers degrés. 197*—199%, 273, 276%— 280%, 285% 287%, 336%; Sinufoïde.
348%, 349%, 352.

QUADRATURE ET CUBATURE D'ESPACES QUI S'ÉTENDENT À L'INFINI. 199%, Ciffoïde. 309*— 312%;
Conchoïde. 306%, 308%, 309*; Courbe de Gutfchoven. 502%, 503; Hyperboles de divers
degrés. 198%, 199%, 279%, 288%—203*; Logarithmique. 464%, 406*%—468%, 471%.

QUANTITÉS COMMENSURABLES. Théorèmes sur les quantités commenfurables. 266, 267, 324.

RECTIFICATION. 395, 396. Cercle (voir ReGification approchée d'un arc de cercle ou de la cir-
conférence entière); Cycloïde. 203%, 363*—367*, 404, 403. Méthodes générales. 189%;
Parabole (voir Réduétion de la re&ification de la parabole à la quadrature de l'hyper bole et
réciproquement ). Reétification par les logarithmes. 435%, 481%, 482%, Parabole cubique. 189.

RECTIFICATION APPROCHÉE D'UN ARC DE CERCLE OU DE LA CIRCONFÉRENCE ENTIÈRE. 183,
381*— 383%, 450, 524%.

RÉDUCTION DE DIVERS PROBLÈMES À LA QUADRATURE DU CERCLE OU DE L'HYPERBOLE. 200%,

RÉDUCTION DE LA RECTIFICATION DE LA PARABOLE À LA QUADRATURE DE L'HYPERBOLE ET
RÉCIPROQUEMENT. 183, 188%, 190, 191,195, 196, 234X—237%, 249%— 253%, 335, 336,
435, 481,482.

RÈGLE DE HUDDE POUR TROUVER LA VALEUR MAXIMUM. OU MINIMUM D'UNE FRACTION ALGÉ-
BRIQUE. 301%, 443%, 444, 504, 505*, 506—509, 514, 515.

RÈGLE GÉNÉRALE DE HUDDE POUR LES TANGENTES D’UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 446%, 447%,
516,517*.

RÈGLES ET PROBABILITÉS DE DIVERS JEUX DE HASARD. Jeu de la Baffette. 16%, 17%, 164*— 168%,
555%, 556*; Jeu de Quinquenove. 16%,

RELATION ENTRE LES QUADRATURES DES SURFACES DU SPHÉROÏDE APLATI ET DU CONOÏDE HYPER -
BOLIQUE. 192*—195%, 324%— 326%, 329*— 335%, Cas particulier important 194%, 195%.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE LA MORTALITÉ, 12*—1 4%,

R£ésOLUTION PAR CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 421 , 422. Équations cubiques.
498—500.

RESTAURATION DES LIEUX PLANS D’APOLLONIUS. 50 , 51.

79

P di

554 IV. MATIÈRES TRAITÉES.

SiNUsoÏDE (— courbe BVC de la p. 348). 348%. ;, (voir Frs de gravité, Cubature de dalines
de révolution, Quadrature de fur faces planes).

SOMMATIONS DE DIVERSES SUITES NUMÉRIQUES. 9, 18, 21%, 33, 35 » 43: 104, res 107,
119—114,120—122,130,131,171,176,177, 1793 (voir Nombres triangulaires). Suites
géométriques. 106*, 114,121,158,161,177; 179.

SPHÈRE (voir Quadrature de [ur faces de révolution, Trouver le diamètre d'une [ur face fphérique).

SPHÉROÏDES (— ellipfoïdes de révolution); (voir Courbes adjointes aux courbes méridiennes des
fur faces de révolution du fecond degré, Quadrature de [ur faces de révolution).

STATIQUE (voir Centre de gravité). Principes de la ftatique. 18.

STATISTIQUE. 9; voir Repréfentation graphique de la mortalité, Tables de mortalité, Vie moyenne
et probabilités de vie).

STÉRÉOMÉTRIE (voir Sphère). Théorèmes fur le volume ou la furface courbe d’un tronc de pyra-
mide ou de cône ou du folide décrit par un trapèze tournant autour d’une droite parallèle à fa
bafe. 184, 256, 257,259, 261, 379, 380. A

Suites (voir Sommation de diver[es fuites numériques). Propriétés de la fuite des nombres carrés
impairs. 190 , 234, 235%, 240%, 241%, sr.

SURFACES COURBES (voir Centre de gravité, Cône, Conoïde hyper bolique, Conoïde sitolstts
Cubature de folides de révolution, Quadrature de furfaces courbes, Sphère , Sphéroïdes). Elip-
soïde de révolution (voir Spkéroïdes); Hyperboloïde de révolution à deux nappes Ne be
Conoïde hyper bolique); Paraboloïde de révolution (voir Conoïde ages ' M

TABLES DE MORTAUITÉ. 12, 13 (voir Repréfentation graphique de la mortalité). Fit. à

TANGENTES, 203%, 204%, 397, 399, 400; (voir Méthode de Defcartes pour les wir aiatieiles
tangentes, Méthode de Fermat pour les tangentes, Méthodes diverfes de Huygens pour les tan-
gentes des courbes algébriques , Œuvres: Contributions aux Commentaires de van Schooten fur
la Geometria Renati Defcartes, Regula ad inveniendas tangentes curvarum, Perles de
de Slufe). Conchoïde 417*, 418*3 Conchoïde de de Slufe. 514, 4173 Courbe de Gutfchoven.
442, 443%, 445, 501,504, 505, 5133 Cycloide. 203%#, 204*, 369, 374%, 375%; Folium de.
Defcartes. 445, 446%, 447, 448%, 506%*—512*, 516,517; Hyperbole. 327—329; Hyper-
boles de divers degrés. 198*, 288, 289; Parabole. 273*, 275, 276, 813; Paraboles de
divers degrés. 197%, 198%, 199, 274*—0276*, 283*— 985%, 288; Quadratrice de Dino-
ftrate. 407. À

THÉORÈME DE GULDIN. 280%, 281%, 207, 468, 471, 472. RL

THÉORÈME SUR LA SITUATION DES CENTRES DE GRAVITÉ DES SOLIDES DE RÉVOLUTION ENGEN-
DRÉS PAR UNE MÊME FIGURE AUTOUR DE DEUX AXES PERPENDICULAIRES L’UN À noise
470X—473*.

TRIANGLE ARITHMÉTIQUE DE PASCAL, 22%, ; 85 HR

TROUVER LE DIAMÈTRE D’UNE SURFACE SPHÉRIQUE. 449, 518%, |

VIE MOYENNE ET PROBABILITÉS DE VIE. 12*—14%*, END

LS

ADDITIONS Er CORRECTIONS. :

Au lieu de lifez

3 ligne 3 d'enbas Louis Lodewijk
5 note 12. Ajoutez àcette note : Remarquons encore que l'édition hollandaife parut auffi, dans

113

165
168

ÿ.

la même année 1660 et par les foins du même libraire, comme
ouvrage féparé fous le titre: Van Rekeningh in Spelen van Geluk,
door Chr. Huygens toegevoegd aan het ,, Vijfde Bouck der Mathe-
matifche Oeffeninghen, begrijpende Dertich afdeelingen van ge-
mengde stoffe, door Francifcus van Schooten, Profeffor Mathefeos
in de Univerfiteyt tot Leyden. — t Amfterdam Bij Gerrit van
Goedefbergh, Boeckverkooper op ’t Water, in de Delftfche Bijbel,
tegenover de Nieuwe Brugh. Anno 1660”

6 ligne 1 13 février 1679, p.43 13 février 1679(p. 50 de l'édition
d’Amfterdam de 1714)

ds Juftiani Juftiniani

2 S 4 en lieu propre … Le aux p. 451—457 qui fuivent;

mais confultez encore fur la
caufe qui a incité Huygens à
s'occuper du calcul des loga-
rithmes le dernier alinéa de la

P- 433:
PRE joueurs joueur
4 d’Amfterdam d’Amfterdam de 1714

1. Ajoutez après le deuxième alinéa de cette note : Remarquons encore que, dans quel-
ques mots qui fervent d’introduétion à l’article de Sauveur, la
réda&ion du »Journal des Sçavans” mentionne (p.41) les calculs de

* Huygens de la manière fuivante: ;11 y a lieu de croirequ'il” (c’eft-
à-dire Sauveur) ,,ne s’eft pas trompé dans la fupputation des Table

556 ADDITIONS ET CORRECTIONS.

Page Au lieu de Me er
qu’il donne, puifque les trois premieres fe rapportent à trois de
ces regles, que Monfr. Hugens a pris la peine de calculer, & dont
il a donné le fondement aufli bien que des autres qui regardent
les jeux de hazard, dans le Traité qu’il a publié autrefois fur cette

matière.”
192 note 14 de la page précé-
dente ligne 4 d'en bas intérreffant

197 ligne 5 conoide
» #1 d'en bas verifier
ER [1657]
299 note 7 ligne 2 d'en bas lestermes
Satin iér3 [Fig. 15 J° fon
» » 10 #méême ligne divifé
363 » 5 ligne 6 are
RS: : die 20 élements
FT RUE RU Tàngentes

lifez

intéreffant
conoïde

vérifier
1657

les termes

[Fig. 15] font
divifée

arc

éléments

Tangentes -::: .. see 8

SOMMAIRE.

AUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659........... .... . ........ .... N81
L RIBUTIONS AUX COMMENTAIRES DE VAN SCHOOTEN SUR LA »GEOMETRIA” DE
NES. Sn

; : TS RES R
IT. PERSONNES MENTIONNÉES . .........:............. si + HS
fie dé dx es ei fe Seed 0 MR
D ha), Linie ot aie AA
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113 Oeuvres complètes

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